2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ） （解析版）.pdf

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国H）一、选 择 题（共 12小题）.1.已知集合。=0,1,2,3,4,5,A=2,4,5,8=0,2,4）,则 AA（：u 8=（）A.5 B.2,4 C.0,2,5 D.0,2,4,52.已知 sina0,c o s a 0 B.cos2a 0,b 0）的焦点F（c,0）到渐近线的距离为乂 c，且点2,2 9a b/（2,“）在双曲线上，则双曲线的方程为（）_ _ 匚=1 B.工 上9 3 12 37.异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“A”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输 出1,反之输出0.如十进制下的数1 0与9表示成二进制分别是 1 0 1 0,1 0 0 1 (即 1 0=l X 23+0 X 22+l X 21+0 X 2,9=1 X 23+0 X 22+0 X2+1 X2 ),那么 1 0 A 9=1 0 1 0 A 1 0 0 1=0 0 1 1,现有运算 1 2 A?=1 1 0 0 A =0 0 0 1,则，的 值 为()A.7 B.9 C.1 1 D.1 38 .已知奇函数/(x)的定义域为R,且满足/(2+x)(2-x),以下关于函数f(x)的说法：f(x)满足f(8-x)+f(x)=0；8为f(x)的一个周期；f(x)=s i n孚 是 满 足条件的一个函数；()有无数个零点4其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.49 .已知三棱锥P-A 8 C的高为1,底面 A 8 C为等边三角形，P A =P 8=P C 且P,A,B,C都在体积为弯L的球。的表面上，则该三棱锥的底面 A B C的边长为()A.B.7 3 C.3 D.2M1 0 .甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5,则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5,就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设 第 九次由甲掷的概率为尸 ，则P i o的 值 为()A 且 一 B.1 C至 电 D,2 71024 2 1024 5121 1 .若 尸()表示正整数n的个位数字，an=P(n2)-P(2),数列 知 的 前n项和为S,tf 则$2 0 2 1=()A.-1 B.0C.1 0 0 9D.1 0 1 11 2 .已知函数/(x)=eAlnxf a=f(-/H3),b=f(/?3),c=f(3e),d=f(,则 a,b,c,d的大小顺序为()A.a b c dB.d c b aC.c d b aD.c d a b二、填 空 题(共 4 小 题).1 3 .若向量Z，方防足之=(c o s 0,s i n 0)(6 e R),电=2,则|2 二-3的 取 值 范 围 为-1 4 .在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到.若他们说的都为真话，从上述回答分析，5 人 可 能 到 的 先 后 顺 序 的 不 同 情 况 种 数 为.1 5.已知等差数列 斯 满足4 2 =3,4 3 是 m与。9 的等比中项，则&2 的值为.i=l1 6 .在长方体A B C。-A 囚 GQ中，A B=,A D+A A=2,E为 棱 上 任 意 一 点，给出下列四个结论：BQ与 AC不垂直；长方体A B C D -AJB CIOI外接球的表面积最小为3TT；E到平面4BQ的距离的最大值为喙；长方体A B C D -A 出CQi的表面积的最大值为6.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 为.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.1 7 .在四边形4 B C O 中，对角线AC与 8。相交于点E,A 8 O 为等边三角形，B D=2,A Cyfi B C=1.(1)求N C 8。的大小；(2)求/!：的面积.1 8 .为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A 组合：物理、化学、生物，8组合：历史、政治、地理，C 组合：物理、化学、地理根据选课数据得至 I J,选择A 组合的概率为三，选择8组合的概率为，选 择 C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.(1)求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；(2)记 口表示这三人中选择含地理的组合的人数，求 1 的分布列及数学期望.1 9.如图，两个全等的梯形AB C。与 B AE 尸所在的平面互相垂直，A B A D,A D/B C,A B=AQ,B C=2 A D,尸为CF的中点.(1)证明：P 平面 AB F E；(2)求平面O E 尸与平面B C F 所成的锐二面角的余弦值.(1)求曲线C的离心率;(2)设曲线C的右焦点为F,斜率为k 的动直线/过点/与曲线C交于A,8两点，线段 A B的垂直平分线交x轴于点P,证明:|P F|AB|为定值.2 1 .己知函数/(x)=x+alnx,g(x)=x e,aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当 a=2时，方程g (x)mf(x)有两个实根，求实数，的取值范围.(二)选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程(v=l+2 c os a2 2 .在直角坐标系x O y 中，曲线G 的参数方程为1 (a 为 参 数)以。为极点，l y=l-2 sin O.x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为Pco s(8+：)(P 0,080,c osa0B.c os2 a 0D.s irr-0,c osa0，正确；当为偶数时，可得sin -0,错误;故选：C.3.已知复数2=+(a-1)i(aR),则|z|的最小值为()A.B.返 C.返 D.12 2 2解：因为 z=o+(a-1)i,所以 I Z|=7 a2+(a-l)2=42(a卷)卷所以|z|的最小值为返，2故选：B.4.直线y=2 x-1被 过 点（0,1）和（2A.E51）,且半径为旄的圆截得的弦长为（RL）.-5)n2V105ril 271455 5 5解：过 点(0,1)和(2,1),半径为爬的圆的圆心(1,-1)或(1,3).过 点(0,1),(2,1)且 半 径 为 的 圆 的 方 程 为(x-1)2+(y+l)2=5或(x-1)2+(y-3)25,叵，二 季 或 户|2-3-1|2代则圆心到直线y=2x-1 的距离为d=722+(-1)2722+(-1)2 5则弦长=2X解注（等 常故选：B.5.已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A.返 B.在 C.D.2 3 4 2解：设该四棱锥为P-ABCZ）,则由题意可知四棱锥P-ABCC满足底面ABC。为矩形,则：平面 POCJ_平面 ABC。，且尸C=PD=3,4B=4,AD=2.如图,过点P 作 PE_LCD,则 PE_L平面A8C。，连接A E,可知NPAE为直线PA与平面A5CQ所成的角，则 眸 出 12_02=诉 AE=VAD2+DE2=2V2所以t a n/P A E 嗡喘=.故选：C.2 26.已知双曲线-4=l(a0,b 0)的焦点尸(c,a bz0)到渐近线的距离为返C，且点2 c(2,服)在双曲线上，则双曲线的方程为()2 2A.2 匚=19 32B.工122V=1=1/丫2b e解：双 曲 线 七-勺=1 的焦点F(c,0)到渐近线公土Q=0的 距 离 为/=-=-c所以b2-1c4又。2=/+/,所以户=3 上4 3因为点(2,6)在双曲线上，所以一了一亍=1,所以/=3,1=%a b所以双曲线的方程为式_ 工1=1.3 9故选：D.7 .异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“八”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输 出 1,反之输出0.如十进制下的数1 0 与 9表示成二进制分别是 1 0 1 0,1 0 0 1 (即 1 O=1 X 23+O X 22+1 X 21+O X 2,9=1 X 23+0 X 22+0 X 2 +l X 2),那么 1 0 A 9=1 0 1 0 A 1 0 0 1=0 0 1 1,现有运算 1 2 A m=1 1 0 0 A n=0 0 0 1,则，的 值 为()A.7 B.9 C.1 1 D.1 3解：由 1 2 人机=1 1 0 0 八=0 0 0 1,可得=1 1 0 1,表示成十进制为1 3,所以w=1 3.故选：D.8 .已知奇函数/(x)的定义域为R,且满足/(2+x)=f (2 -x),以下关于函数f (x)的说法:/(X)满足/(8-x)+fC x)=0；8 为/(x)的一个周期；f(x)=s in 号是满足条件的一个函数；(有无数个零点4其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解：因为/(2+x)=/(2-x),所以,r(4+x)=/(-x),因为/(X)是奇函数，所以/(-x)=-/(x),所以/(4+x)-f(x),所以/(8+x)=-f(x+4)=f(x),所以8 为7(x)的一个周期，故正确；由/(8+x)=/(x)可得/(8-x)=/(-%)=-f (x),所以/(8-尤)+f(x)=0,故正确；JT vf(x)=s in A 为奇函数满足了 )t/X-X)=0,且一条对称轴为直线x=2,故正确；由一(X)为奇函数且定义域为R 知，/(0)=0,又f(X)为周期函数，所以/(X)有无数个零点，故正确.故选：D.9.已知三棱锥尸-4 8 C 的高为1,底面 4 8C 为等边三角形，PA =P B=P C,且 P,A,B,C 都在体积为卓匕的球。的表面上，则该三棱锥的底面4 B C 的边长为()A.B.73 C.3 D.2733解：设球。的半径为凡 由球的体积为旦竺可得，!兀R3 芸二 解得R=2.3 3 3因为三棱锥P-A 8 C 的高/?为 1,所以球心。在三棱锥外.如图，设点O i为ABC的外心，则。0 平面ABC在 RtZiAO。中，由 A 0；=0A2-0 0；,且。0I=R-/?=1,得 A 0=百.因为ABC为等边三角形，所以A 0 i ABsin60 哼AB，所以 AB=J A0 =3.故选：c.1 0.甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5,则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5,就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第次由甲掷的概率为化”则R o的 值 为（）A.旦L B.1 C.至 里 D.2 5 71 0 2 4 2 1 0 2 4 5 1 2解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为冬第次由甲掷有两种情况：一是第-1由甲掷，第次由甲掷，概率为P n T，二 是 第 次 由 乙 掷，第次由甲掷，概率为这两种情况是互斥的，所以P n P k l+/a-P k l），即所以 P -7 =-（P 1n 2 2 1 1-1 2即数列 p）是以P i-N W为首项，为公比的等比数列，1 n 2 1 2 2 2所以Pn9总(蒋 产 所 以 乙 卷6吟)9罐故选：A.1 1.若 产()表示正整数n 的个位数字，a“=P(n2)-P (2 n),数列 斯 的前n 项和为S,”则$202 产()A.-1 B.0 C.1009 D.1011解：由题意得612=0,673=3,a4=-2,。5=5,%=4,劭=5,a&=-2,a9=-7,h c d B.d c b a C.c d h a D.c d a h解：因 为a=f(-ln3)=e-h l3ln(ln3),速,b=f(ln3)=elnClnS)=31n(ln3)-所以ag(e)=0,所以 3e/3.所以 所以 dc,所以 dcba.故选：B.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.若向量 E 满足Z=(cos0,sin6)(6GR),|3=2,则|2；可 的 取 值 范 围 为 0,4 L.解：I：|=L E 1=2,设:与4的夹角为a，则：(2工)2=。2+/-4；联8-8cosCUVaG0,n ,0W8-8cosaW16,0=C 12 a-b|4 4，A|2 a-b|的取值范围为0,4.故答案为：0,4.14.在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到.若他们说的都为真话，从上述回答分析，5 人可能到的先后顺序的不同情况种数为解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A2i&2=4种，乙第三个到达有421A21A2?=8种，乙第四个到达有A32A2?=12种，乙最后到达有A j=2 4 种，所以不同的情况种数为4+8+12+24=48.故答案为：48.15.已知等差数列 斯 满 足。2=3,是 功 与 49的等比中项，则 a 2上的值为3或看i=l2(32+3).解：设等差数列%的公差为“，由4 2=3,可得 i+d=3,由的是勾与。9的等比中项，可得的2=。1a9,即(0+24)2=1(ai+8 d),化为 d a i=/,由可得0=微 或”|=3,4=0,n当=3,d=0 时，a?1=。2+。4+。2=3+3+3=3；i=l n1 ),2=。2+。4+一+。2=3+6+.+3=(3n2+3/i).i=l2故答案为：3或/(32+3).16.在长方体ABC。-A iB iG Q 中，A B=,A D+A A=2,E 为棱C Q 上任意一点，给出下列四个结论：8 5 与 AC不垂直；长方体A B C D-A归iG D i外接球的表面积最小为3TT；E到平面A D的距离的最大值为坐；长方体A B C D-AiBtCiDi的表面积的最大值为6.其中所有正确结论的序号为 .解：对于，当长方体为正方体时，B D L A C,故错误；对于，如图，i&A D=x,则 A A=2-x (0 V x 2),所以BDi=V12+X2+(2-X)2=V2(x-l)2+3当x=l时，B Q 的 最 小 值 为 即 长 方 体 ABCQ-A囚 C。外接球的直径为我,所以外接球表面积的最小值为3 m 故正确；对于，设点E 到平面4 8。的距离为，如图，由V三棱锥E-ADBJ V三棱椎D-A/1E，可得SAADBI出 得 5人 用 佳 加 ，_ X(2-x)Y+9-V o所以由可知，h=-i-.,其中x(2-x)心+呼卫心当且仅当x=2-x,即x=l时等号成立，所以h李，当且仅当x=2-x,即x=l时，等号成立，故正确；对于,该长方体的表面积为S=2 x+2 x(2 -x)+2(2-x)=4+4犬-2x2=-2(x-1)2+6,当x=l时，S的最大值为6,故正确.故答案为：.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第172 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.1 7.在四边形A8CD中，对角线4 c 与 BO相交于点E,A3。为等边三角形，80=2,A C=5,B C=1.(1)求/C B O的大小;（2）求 A O E的面积.解：（1）在4 8 C 中，A B=2,A C=7，B C =1,由余弦定理得c o s N A B C*：震孝222+l2-（V7）2=1-2 X 2 X 1 =2 因为 O C N A B C C n,0 0 TT所以N A B C=S兀,所 以N C B D 兀-N A B D-PJ T(2)由NCBDr=/ADB知，B C/A D,O所以 B C EsD A E,所 以 第 里 品，所以Q E=2 B E.A D D E 2因为8。=2,所以D E 4.1 ,1 4 冗 2M所以 SAADE 杂0X D E X s i n/A D E若 x 2 x令x sin 1 8.为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得至I J,选择A组合的概率为,，选择B组合的概率为人 选 择C组合的概率为占 甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.(1)求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；(2)记n表示这三人中选择含地理的组合的人数，求 口的分布列及数学期望.解：用A i表示第，位同学选择A组合，用5表示第，位同学选择8组合，用G表示第i位同学选择C组合，i=l,2,3.由题意可知，A B G互相独立，且如)=|,p(Bi)=|-pg)6(1)三位同学恰好选择不同组合共有A g =6种情况，每种情况的概率相同,故三位同学恰好选择不同组合的概率为:Q 1 1 1 OP=6XP(A1B2C3)=6XP(A1)P(B2)P(C3)=6X|X1X-=.(2)由题意知n的所有可能取值为0,1,2,3,且 一仇3,看),所以5=0)=吗 脩)0合3嗡,P(TI=D=CM)1(|)2）到 点（T，0），（1,0）的距离之和为4,且 4 2,根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x 轴上的椭圆.设椭圆的长轴长为2 a,焦距为2 c,贝 I 2 a=4,2c=2,所以曲线C的禺心率为e=-z-=-a 2（2）证明：设椭圆的短轴长为2 乩由（1）可得/=/-0 2=32 2所以曲线C的 方 程 为 三-=1，则 F（l,0）.4 3由题意可知，动直线/的方程为y=A（x-1）,设 A（xi，M），8（X 2，”），由,(2 2-x-+,-y-=4 3、y=k(x-l)得（3+4 犬）X-8炉 X+4(正-3)=0,8k 2所以乂1+*2=津 匕3+4 kJ4(k2-3)X i x2=-3-+-4-k-o2-设 A B的中点为。（沏，X），则 x。十x +x?之 4 k 2 可，y0=k(x0-l)=巫 q2 u 3+4 k2当 2。时，线段A B的垂直平分线的方程为y-二3k A（X-.A L2）,3+4/k 3+4 1卜2令 y=0,得乂=-p3+4 kJ所以同口总一小需2IAB|=4(xX2)2+(y/y 2)2=J(1+k 2)(X 1+X 2)“-4 X 1 X 2 11 2(k 2+l)3+4 k2所以P FAB3(l+k2)3+4 1?二 11 2(l +k 2)43+4 k2当=0时，/的方程为y=0,此时，|AB|=2 a=4,|=c=l,罔-小综上，挤2 1.已知函数/(x)=x+alnx,g(x)=xe,a G R.为定值.(1)求函数/(*)的单调区间;(2)当。=2时，方程g(x)=/(x)有两个实根，求实数?的取值范围.解：(1)由题意知函数/(x)的定义域为(0,+8),因为f(x)=x+abix,a G R,所以f (x)=l+-0在 区 间(0,+8)上恒成立，所以函数f (x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；当 a 0,得 x -a,令/(x)0,得 0 xV-a,所以函数/(x)的单调递增区间为(-a,+8),单调递减区间为(0,-a)；综上：当a 2 0时，函数/(X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；当“0时，函数f(x)的单调递增区间为(-a,+8),单调递减区间为(0,-a)；(2)方程g(x)=mf(x)有两个实根，即关于x的方程(x+2历%)=0有两个实根，即函数/i (x)xe-m(x+2/nx)有两个零点，又 h(x)xe-m(x+2/nx)=e v+2/m-m(x+2/nx),令，=x+2/”x,由(1)得r是关于x的单调递增函数，且始R,所以只需函数C t)=-削 有 两 个 零 点，令（/）=0,得工=-V，令Q（t）=V，则 m心 肝易知当r e （-1）时，（p（/）单调递增，/、l t(t)=-e当 始（1,+8）时，（p单调递减，所以当f=l时，p 取得最大值。（1）=工，e又因为当 0 时，p （/）0 时，（p 0,（p （0）=0,则函数。（t）=4*的图象如图所示：e所以当工（0,即机e （e,+8）时，函数人（x）有两个零点,m e所以实数，”的取值范围为（e,+8）.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程yT=1l-+2Ospi（nnc?C CIl（a为参数）以。为极点,x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲线C2的 极 坐 标 方 程 为P c os （8（P0,0 8 令无=pcos0,y=psinS,得x-y=b,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y -b=0.(2)设 P(l+2cosa,1 -2 sin a),因为点P到直线x-y-。=0 的距离为1,f-r-p i 1 1+2 c os a -(l-2 s inC l)-b|_所以 北 =L化简得2亚s in(a -F-)-b=a .若关于a 的方程有解，则曲线G 上存在点尸到曲线C2的距离为1,JT所以 b=2亚s in(a兀或 b=2 V s in(a +-)-2 由得-&b 0 时，f(x)的最小值为1,证明：a 2【解答】(1)解：由题意得f (x)=2 x-4|+|x+11,当x 2 2 时，原不等式可化为3x-3W 9,解得 x W 4,故 2WxW4；(1 分)当-lW x 2 时，原不等式可化为5-xW9,解得x 2-4,故-lW x2；当x -I 时，原不等式可化为-3x+3W9,解得X 2-2,故-2Wx 0,所 以 今 落 二 冷+“！春呜哈4当且仅当a=b=,或a=b=-时等号成立，0 092,