2021年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷.pdf

2021年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷一、选 择 题（本大题共6 小题，每小题2 分，共 12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.（2 分）比-2 小的数是（）A.-3 B.-I C.0 D.12.（2 分）下列运算正确的是（）A.a3+aa6 B.C.a64-a2=a4 D.（a3）2a93.（2 分）当x=l 时，下列式子没有意义的是（）A.-B.C.D.2ZLx+l X X-14.（2 分）如图，数轴上两点何、N 所对应的实数分别为m、n,则 m-n 的结果可能为（）N M .-1-_-1-1-1-_ I-3-2-1 O 1 2A.4 B.3 C.2 D.-0.35.（2 分）如图，在ABC中，NC=90,沿。E 翻折使得A 与 3 重合，若/C BD=26。，则NAOE的度数是（）A.57 B.58 C.59 D.606.（2 分）关于x 的方程p f+p=&（p,q 为常数，且 pqWO）的根的情况，下列结论中正x确 的 是（）A.一个实数根 B.两个实数根 C.三个实数根 D.无实数根二、填 空 题（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）7.（2 分）5 的平方根是,算术平方根是.8.（2 分）华为正在研制厚度为0.000000005/n的芯片，用科学记数法表示0.000000005是.9.（2 分）计算（V 1 2-V 3）的 结 果 是.1 0.（2分）若/-4 x -7 =0的两个根为X I、XI,则X 1+A 2-X L T 2 的值是.1 1.（2分）如图，一个长为2 a,宽为2 6 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图那样拼成一个面积为4 9 的大正方形，若中间小正方形的面积为1,则。=,b=1 2.（2分）光明中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取5 0 人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，则这5 0 人的社会实践活动成绩的中位数是1 3.（2分）若点A与点8（1,1）关于点C（-1,-1）对称，则点4的坐标是.1 4.（2分）笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去1 6 2 元，那么该同学最多购买钢笔 支.1 5.（2分）如图，P是。外一点，PB、PC是。的两条切线，切点分别为8、C,若N P为 3 8 ,点 A在。上（不与8、C重合），则NBAC=.1 6.（2分）如图，在边长为2 c r o 的正方形A BC。中，直线/经过点。，作 B E，/,垂足为E,连接A E.若 A E=B E,则 A BE 的面积为 cm2.三、解 答 题（本大题共U 小题，共 88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）217.（7 分）计 算（1+史2）T a Ta al-x 4 018.（7分）解不等式组（x+1 并写出不等式组的整数解.2 19.（8分）如图，在矩形ABC。中，E是BC的中点，DF AE,垂足为F.（1）求证（2）若 48=12,8 c=1 0,求。F 的长.D CA B20.（8分）某商场统计了 A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下:月份销量品牌一月二月三月四月五月六月 七月A品牌163129242424 20B品牌162024252627 30（1）分别求这7个月A、8两种品牌洗衣机销量的方差；（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、8两种品牌洗衣机以满足市场需求.请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明由.21.（8分）甲、乙、丙互相传球.假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球.(1)经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率；(2)经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为.2 2.(8 分)如 图，在。A 8 C D 中，E、F分别为A。、8c的中点，点 M、N在对角线AC上,且 A M=C N.(1)求证：四 边 形 是 平 行 四 边 形；(2)若 A 8 L A C,求证：四 边 形 是 菱 形.2 3.(8 分)为了测量悬停在空中A处的无人机的高度，小明在楼顶B处测得无人机的仰角为 4 5 ,小丽在地面C处测得A、B的仰角分别为5 6。、1 4 .楼 高 为 2 0 米，求此时无人机离地面的高度.(参考数据：t a n l 4 七0.2 5,t a n 5 6 -1.5 0)2 4.(8 分)如 图，在菱形A B C Q 中，E是 CQ上一点，且NCAE=N8,。经过点A、C、E.(1)求证 A C=A E；(2)求证A8与。0相切.2 5.(8 分)2 0 2 0 年江苏开通了多条省内高铁，其中一条从南京-镇 江-扬 州-淮安的高铁线路如图所示，本线路高铁速度不超过每分钟5千米.现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发2 0分钟.设甲车出发x分钟后行驶的路程为yi千米，图中的折线O -4 -B -C -。-E表示在整个行驶过程中yi与x的函数图象.（1）甲车速度为 千米/分；（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发后多久与甲车相遇？（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙 的 范 围 为.2 6.（9分）已 知 二 次 函 数-2 （m+1）x+4 （根为常数，且,W 0）.（1）求证：不论，为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）不 论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为、:（3）该函数图象所经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的根的取值范围.2 7.（9分）如图，在 A B C中，/A C 8=9 0 ,用直尺与圆规分别作出满足下列条件的。0.（不写作法，保留作图痕迹）（1）在图中，过点C且与A B相切；（作出一个即可）（2）在图中，。为A B上一定点，OO过点C且与A 3相切于点。：（3）在图中，E为A C上一定点，。过点C、E且与4 2相切.2021年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.（2 分）比-2 小的 数 是（）A.-3 B.-1 C.0 D.1【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断出四个数中，比-2 小的数是哪个数即可.【解答】解：-3-2-1V0C1,.比-2 小的数是-3.故选：A.【点评】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的法则是解答本题的关键.2.（2 分）下列运算正确的是（）A.a3+a3=a6 B.a2,ai=a（C.a6-a2=ai D.（/）2=fl9【分析】直接利用同底数累的乘除运算法则以及哥的乘方运算法则分别计算得出答案.【解答】解:A.a3+a3=2 a 故 A 选项错误；B.a1*ai=a5,故 8 选项错误；C.a6-j-a2=a4,故 C 选项正确；D.（“3）2=。6,故。选项错误，故选：C.【点评】此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及基的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.3.（2 分）当x=l时，下列式子没有意义的是（）A.B.x T C.D.x+1 x x-l【分析】根据分式的分母不为0、二次根式的被开方数是非负数解答即可.【解答】解：A、当x+l=0,即x=-l 时，式子没有意义；B、当x=0 时，式子没有意义；C、当x-l 0,即x 0,n0,.m-n=m-n,由数轴可知，M 点与N 点之间的距离大于3,-m-n的结果只可能为4.故选：A.【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是牢记数轴上两点之间的距离公式.5.（2 分）如图，在AABC中，NC=90,沿 OE翻折使得A 与 3 重合，若/CBO=26,则NAOE的度数是（）A.57 B.58 C.59 D.60【分析】由 折 叠 的 性 质 可 得 出 利 用 三 角 形 的 外 角 性 质 可 求出NAQB的度数，进而可求出/A C E 的度数.【解答】解：由题意可知：N A D E=NBDE=L/A DB.2Z A D B=Z C+Z CBD=9 0 0 +2 6 =1 1 6 ,ZA D E=AXH6O=5 8 .2故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.6.（2分）关于x的方程pf+p=9 （p,q为常数，且pqW O）的根的情况，下列结论中正X确 的 是（）A.一个实数根 B.两个实数根 C.三个实数根 D.无实数根【分析】画出函数y=p7+p和函数y=&（p,q为常数，且pq O）的图象，根据函数x图象即可得到结论.【解答】解：关于x的方程p f+p=9 5,q为常数,且%#0）的根的情况，就是函数Xy=p/+p和函数y=8 （p,4为常数，且q W O）的图象的交点的情况，x,函数y=pf+p的对称轴为y轴，函数y=9 （p,q为 常 数,且pg W O）的图象在一、x三象限或二、四象限，函 数 产p7+p和 函 数 尸9（p,夕为常数，且pqW O）的图象的只有一个交点，X，关于X的方程谓+p=9 （p,4为常数，且pqW O）有一个实数根，X【点评】本题考查了反比例函数的图象，二次函数的图象，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键.二、填 空 题（本大题共10小题，每小题2 分，共 2 0 分，请把答案填写在答题卡相应位置上）7.（2分）5的平方根是 土 友,算术平方根是_ 旄_.【分析】分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可.【解答】解：5的平方根是土泥，算术平方根是泥.【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根定义.解题注意平方根和算术平方根的区别：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正数为算术平方根.8.（2分）华为正在研制厚度为0.0 0 0 0 0 0 0 0 5/7?的芯片，用科学记数法表示0.0 0 0 0 0 0 0 0 5 是5X 1Q9.【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a 义1 0 一 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数塞，指 数 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解:0.0 0 0 0 0 0 0 0 5 =5X 1 0-9.故答案是：5 X 1 0 2【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a Xl（T ,其 中 l W|a|.SA BEA BEMy/2-1 2SAABE1 A B*E M=&+1,2故 答 案 为1或 标L【点评】本题主要考查了圆的垂径定理，正确作图，根据垂直平分线和勾股定理逐步求出 的 长 度 是 解 题 的 关 键.三、解答题(本大题共11小题，共8 8分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21 7.(7分)计 算(1+史2)T I 1.a a【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可.2【解答】解：原式=(且+史2)+亘 二1a a a=2 a+2 aa(a+1)(a-1)=2(a+l)aa(a+1)(a-1)=2【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.l-x4 01 8.(7分)解不等式组|x+1 ,c，并写出不等式组的整数解.2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】解：解不等式1-xW O,得：解不等式三包V 3,得：x 5,2不等式组的解集为l W xSB2,.B品牌洗衣机的销量稳定，并且8 两种品牌洗衣机销量呈上升趋势，建议商场采购B品牌洗衣机.【点评】本题考查了方差：方差的计算公式为$2=上 (xi-彳)2+(4-彳)，+(初n-X)2.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.21.(8 分)甲、乙、丙互相传球.假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球.(1)经过2 次传球后，求球仍回到甲手中的概率；(2)经过3 次传球后，球仍回到甲手中的概率为1 .一 4一【分析】画树状图展示所有4 种等可能的结果数，再找出球仍回到甲手中的结果数，然后根据概率公式求解；【解答】解：(1)画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中球仍传到甲手中的结果数为2,所以球仍回到甲手中的概率=2=.4 2(2)画树状图得：经过三次传球后，球仍传到甲手中的概率产(球 回 到 甲 手 中)p=2=工；8 4故答案为：1.4【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或8的结果数目?，求出概率.2 2.(8分)如 图，在o A B C D中，E、尸分别为A。、B C的中点，点M、N在对角线A C上,且 A M=C N.(1)求证：四边形E M E V是平行四边形；(2)若4 B _ L A C,求证：四边形E M F N是菱形.【分析】(1)证A E M丝C F N (S A S),得 E M=F N,N A M E=N C N F,则/E M N=NF N M,证出E M/F N,即可得出结论；(2)连 接E尸交A C于。，先证四边形4 E F B是平行四边形，再证即可得出 EMFN是菱形.【解答】证明：(1)四边形A 8C D是平行四边形，J.AD/BC,ADBC,：.N E A M=NFCN,：E、尸分别为A。、8 c的中点，：.A E=D E=B F=C F,在 A E M 和 C F N 中，AE=CFAM=CNA/A EM/CFN(S A S),：.EM=FN,N A M E=N C N F,：.N E M N=ZFNM,：.EM/FN,四边形E M F N是平行四边形；(2)连接EF交 AC于 O,如图所示:由(1)得：A E/BF,A E=BF,四边形4 E F 8 是平行四边形，.,.A B/EF,：A BA C,.N B A C=90 ,N C O F=N B A C=90 ,J.EFLMN,四边形E M F N 是菱形.【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.2 3.（8 分）为了测量悬停在空中A处的无人机的高度，小明在楼顶B处测得无人机的仰角为 45 ,小丽在地面C处测得4、8的仰角分别为56、14 .楼高8 力为20米，求此时无人机离地面的高度.（参考数据:t an 14 0.25,t an 56 1.50）45BC D【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可计算出A b和 EF的长，即可得到AE的值.【解答】解：作。于点,作 8FLA E于点E设 AF=x,V ZAFB=90,NA8/=45,：NBAF=NABF=45,：.AF=BF=x,VBFAE,BDCD,FEA.CD,四边形3QEF是矩形，:DE=BF=x,：A B C D=W ,8。=20 米，tan/BC)=吗CD.cn=80 米，：.CE=(8 0-x)米,VZACE=56,lanZ A C E=.-i20_,CE 80-x.,.x=40,即A F=40米，.*.AE=4F+EF=40+20=60(米)，即此时无人机离地面的高度是60米.【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.24.(8分)如 图，在菱形ABCD中，E是CO上一点，且N C A E=N B,经过点A、C、E.(1)求证 4C=AE；(2)求证A8与。相切.【分析】(1)根据菱形的选择得到D4=)C,ZD=ZB,AB/C D,求得ND=NCAE,推出/AC=NAEC,于是得到结论；(2)连接 OA,0 C,根 据 已 知 条 件 得 到4c=/0。4=工(180-2ZAEC)=902-NAEC,根据平行线的性质得到/A C O=N B4C,根据切线的判定定理即可得到结论.【解答】证明：(1)I四边形ABC。是菱形，：.DA=DC,ND=NB,AB/CD,：.ZACD=ZCAD=ZCAE+ZDAE,：ND=NB,NCAE=NB,：.ZD ZCAE,：ZAEC=ZD+ZDAE,：.ZACD=ZAEC,：.AC=AE；(2)连接 O A,OC,OA =OC,N A O C=2/A E C,：.ZOA C=ZOCA 1.(18 0 -2/A E C)=9 0-ZA EC,2JA B/CD,：.N A C =A BA C,：Z A C D=ZA EC,：.NBA C=ZA EC,.N B A C+N O A C=9 0,又 点A在OO上，.,.A B与(D O相切.【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.25.(8分)2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条从南京-镇 江-扬 州-淮 安的高铁线路如图所示，本线路高铁速度不超过每分钟5千米.现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发2 0分钟.设甲车出发x分钟后行驶的路程为j i千米，图中的折线O-4 -B -C -O -E表示在整个行驶过程中y i与x的函数图象.(1)甲 车 速 度 为3千米/分;(2)若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发后多久与甲车相遇？(3)若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为 乙 生 或 毁。乙W5.8 4 7【分析】（1）由题意直接求甲的速度；（2）设乙车出发r 分钟后与甲相遇，列出关于f 的方程即可；（3）甲、乙两车相遇，分在镇江站之前，在镇江站和扬州站之间，扬州站和淮安站之间三种情况讨论即可.【解答】解：（1）V A （30,90）,二甲的速度为:90+30=3（千米/分）;故答案为：3；（2）由题意知：南京到淮安的路程为：90+6 0+120=27 0千米，乙车从南京到淮安的时间 为 1 小时，所以乙车速度：2 2=4.5 千米/分，60设乙车出发f 分钟后与甲相遇，由题意得：4.5 f=3（Z+I 5）,解得：1=30（分钟），.乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小（取不到，下同），v 乙 =9,30-20由题意得：V 乙 W5,所以不成立；甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江时速度最大，恰好到达扬州站时速度最小，.15 V 乙4 9。毁 丫 乙 6,55-20 35-20 7.毁y 乙W 5;7甲、乙两车在扬州站和淮安站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，恰好到达淮安站时速度最小，270 v.5 0,100-20 60-20 8 4故答案为：乙 生 或 毁 乙W 5；8 4 7【点评】本题考查一次函数的应用，观察图象和分类讨论是解题关键.26.(9分)已 知 二 次 函 数2(m+1)x+4 (?为常数，且机W 0).(1)求证：不论相为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)不论机为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为_ 电4)、(2,0)；(3)该函数图象所经过的象限随，值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的?的取值范围.【分析】(1)=房-4比=4 (机-1)20,即可求解；(2)由 丫=m/-2(机+1)x+4=Cx-2)(nvc-2),所以当 x=0 时，y=4,当 x-2=O,即x=2时，y=O,即可求得定点坐标；(3)当 i 0时，开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴上方，抛物线与x轴的两个交点在)，轴的两侧，从而得到图象经过的象限；当m=时，开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方且顶点在x轴上，从而得到图象经过的象限；当0根1或机1时，开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，抛物线与x轴的两个交点都在x轴的正半轴上，从而得到图象经过的象限.【解答】(1)证明：令 y=O,即 n t r2-2(m+l )x+4=0,b2-4ac=-2(/n+1)2-4/HX 4=4/M2-8/n+4=4 (m-I)20,.方程总有实数根.该函数的图像与x轴总有公共点；(2)解：-2(n?+1)x+4=(x -2)(mx-2).因为该函数的图象都会经过两个定点,所以当x=0时，y=4,当 x-2=0,即 x=2 时，y=0,所以该函数图象始终过定点(0,4)、(2,0),故答案为(0,4),(2,0)；(3)解：?0时，函数图像过一、二、三、四象限；加=1时，函数图像过一、二象限；0小1或相1时，函数图像过一、二、四象限.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程的根的判别式.也考查了二次函数的性质.27.(9分)如图，在 AB C中，/AC 8=90,用直尺与圆规分别作出满足下列条件的。0.(不写作法，保留作图痕迹)(1)在图中，。过点C且与A B相切；(作出一个即可)(2)在图中，。为A B上一定点，。过点C且与A B相切于点 ；(3)在图中，E为A C上一定点，。过点C、E且与A B相切.图 图 图【分析】(1)以A为圆心，4 c为半径画弧交A B于E,分别以E、C为圆心，大于工E C2长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点A,交B C于点。，以。为圆心，O C为半径的圆。即为所求.(2)连 接C,作CD垂直平分线，过点。作4 B垂线交C 的垂直平分线于点。，连接。力、O C,以。为圆心，0。为半径的圆即为所求.(3)作C E垂直平分线，确定其中点。，以。为圆心，D 4为半径画弧交B C于点F,以A为圆心，C F为半径画弧交A 8于点H；过点”作A B垂线交C E垂直平分线于点。，以。为圆心，O C为半径作圆。即为所求.【解答】解：(1)如 图1,。即为所求.以A为圆心，A C为半径画弧交A B于E；分别以E、C 为圆心，大于2E C 长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点A,交2B C 于点、0；以。为圆心，OC为半径的圆0 即为所求.图1(2)如图2,。即为所求.连接C。，作 CD垂直平分线；过点。作A B垂线交C D的垂直平分线于点0；连接0 C,以。为圆心，。为半径的圆即为所求.(3)如图3,即为所求.作 CE垂直平分线，确定其中点；以。为圆心，D 4为半径画弧交8 c 于点F；以A 为圆心，CF为半径画弧交AB于点H；过点H作AB垂线交C E垂直平分线于点0；O 为圆心，0 C为半径作圆。即为所求.【点评】本题考查了切线判定，利用尺规作出符合要求的图形.