2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷（解析版）.pdf

2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷一、选 择 题（共 io 小题）.1.若二次根式石有意义，则x 的取值范围是（）A.x=38 时，求/C E 的度数.CD22.为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某商店销售A,B 两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题.名称4种头盔B 种头盔批 发 价（元/个）6 04 0零 售 价（元/个）8 05 0（1）第一次，该商店批发A,8两种头盔共120 个，用去5 6 0 0 元钱，求 4,8两种头盔各批发了多少个？（2）第二次，该商店用7 20 0 元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于3 0%,则该超市第二次至少批发 A种头盔多少个？23.如图，在 R tZ4 BC 中，/C=9 0 ,平分NB AC交 8c 于点。，。为 AB 上一点，经过点A,。的。分别交A B,AC于点E,F,连接。尸交AO于点G.（1）求证：8c 是 的 切 线；（2）求证：A D2=ABAF；24 .设点P在矩形A 8 C 内部，当点尸到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“中轴点”.例 如：若点P在 矩 形 内 部，且=则称P为边AO的“中轴点”.已知点尸是矩形A BC。边A。的“中轴点”，且A B=10,B C=8,如 图1.(1)求证：P是矩形A BC。边8 C的“中轴点”；(2)如图2,连接P A,PB,若P A B是直角三角形，求P A的值;(3)如图 3,连接 P A,PB,P D,求 ta n/P ZX ta n/P 8 A 的最小值.25.抛物线y=a x2+c与x轴交于A,8两点，顶点为C,点P为抛物线上一点，且位于x轴下方.(1)如图 1,若 P (1,-3),B(4,0).求该抛物线的解析式；若。是抛物线上一点，满足N DP O=N P O B,求点。的坐标；(2)如图2,已知直线P 4,P B与y轴分别交于E、F两点.当点尸运动时，当 手 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.图1图2参考答案一、选 择 题（本大题共计10个小题，每小题3 分，共 30分）1.若二次根式正反有意义，则 x 的取值范围是（）A.x3 B.xW3 C.%W3 D.%23解：由题意可知：x-3 2 0,x23故选：D.故选：B.3.下列计算正确的是()A.2 2+3。2=5/B.(a+b)2=a2+ab+b2C.(-2a2)3=_ 8。6 D.-2a23=-6a2解：2a2+3解=5解,故选项4 错误；(+b)2=a2+2ah+b 故选项 8 错误；(-2 2)3=-8 6,故选项c 正确;-2a23出=-6a4,故选项D 错误；故选：C.4.围棋起源于中国，古代称之 为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人A lphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（）解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意;B、不是中心对称图形,故本选项不合题意;C、不是中心对称图形,故本选项不合题意;D、不是中心对称图形,故本选项不合题意.故选：A.5.x+l)23(x-5)-9不等式组V解：不等式组VB.D.的解集在数轴上表示为x+l23(x-5)-9 由得：由得：x2,不等式组的解集为lW x=-2 N+2 x+/n 上的点，；.=-2m2+2m+m,.m-nlm2-2m 2(m-)2-,2 2.mvW -1 )2当机=-2时，机-有最小值，最小值为2 X (-2-2*=，2 2 2 2 2故选：B.二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)1 1 .2 02 1 年 2月 2 4 日，我国首次火星探测任务天间一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道.此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离5 9 000000米的椭圆形轨道.将5 9 000000米用科学记数法表示为5.9 义1。7 米.【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为&X 1 0,其 中 l W|a|1 0,为整数,且“比原来的整数位数少1,据此判断即可.解：5 9 000000 米=5.9 X I 07 米.故答案为：5.9 X 1 07.1 2 .如图，已知。4 Zl =1 2 8 ,则/2=5 2 .【分析】由平行线的性质得出N 3=N 1 =1 2 8 ,再结合N 2,N3互补，即可求出N2的度数.解：如图所示:b:a b,.-.Z 3 =Z1=128.X V Z 2+Z 3=180,AZ2=180-N 3 =180-128=52.故答案为：52.13.当m 2 时,函 数 y=Q 2 的图象在第二、四象限内.X【分析】由双曲线在第二、四象限，可知左V 0 即可解答.解：.函数丫=正2 的图象在第二、四象限内.X:m-2 =3 8 时，求N O C E 的度数.【解答】证明：（1）平分N BA C,：.ZCAE=ZBAE,在4 CE和A BE中,AC=AB,AE=AE：./A CE/A BE(.SA S)；(2)：A C=A E,Z CA D=3 8 ,Z A CE=Z A C=71 ,又,.N C4 O=N BA O=3 8 ,./CA 8=N CA +BA O=3 8 +3 8 =76,:A B/CD,A Z D C A+Z B A C=1 8 0 ,A A D C E+A A C E+A B A D=W ,A Z D C =1 8 0 -71 -76 =3 3 .2 2.为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某商店销售4 8两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题.名称A种头盔8种头盔批 发 价（元/个）604 0零 售 价（元/个）8 050（1）第一次，该商店批发4 8两种头盔共1 2 0 个，用去560 0 元钱，求 A,8两种头盔各批发了多少个？（2）第二次，该商店用72 0 0 元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于3 0%,则该超市第二次至少批发 A种头盔多少个？解：（1）设第一次A种头盔批发了 x个，B 种头盔批发了 y个.根据题意，得x+y=12060 x+40y=5600解得:x=40ly=80答：第一次A种头盔批发了 4 0 个，8种头盔批发了 8 0 个.（2）设第二次批发A种头盔x 个 则批发8种头 盔 叫 普 个.由题意，得(80-60)a+(50-40)X f 2 0 06 0-7200 X 30%,40解得：。272,答：第二次该商店至少批发72个 A 种头盔.2 3.如图，在 RtZ48C中，/C=9 0 ,AD平分NBAC交 8 c 于 点。，。为 AB上一点,经过点A,。的。分别交48,AC于点E,F,连接O F交 A。于点G.(1)求证：8 c 是O 0的切线；(2)求证：A 2=A BA F；(3)若 8E=12,lan 8=7，求 4。的长.连 接。，则 0 4=。，：.Z O D A =Z O ADf AO是N8AC的平分线,：.Z O A D=Z C A Dt：.Z O D A =Z C A D9：.OD/A C,：.ZOD B=ZC=90 ,丁点。在O。上，BC是。0 的切线；(2)如图2,连接 OD,DF,EF,是。的直径，.NAFE=90=Z C,J.EF/BC,：./B=N A E F,/NAEF=ZADF,：.NB=ZADF,由(1)知，/BAD=NDAF,：./ABD-/AD F,.A B =A DA D A F：.AD2=ABAF；(3)如图3,连接EF,在 中，tanB_ 5 _=0D运一丽：OD2+BD2=OB2,设 0。为 5 x,则 BD 为 12x,由 勾 股 定 理 得VBD2+OD2=1 3X,，s in 8=*=2,OB 13设半径为r，513得r152，AE=15,A B=A E+BE=21,：AE为直径，.N 4F E=/C=90,J.EF/BC,：.Z A E F=ZB,5 5：.A F=A E X =5 X 13 137513A D2=A BA F,A0=JA B x A F=J 27 x=.V lo J.O2 4.设点P 在矩形ABC。内部，当点P 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称 点 P 为该边的“中轴点”.例 如：若点P 在矩形A8C。内部，且 PA=P,则称尸为边A的“中轴点”.已 知 点 P 是矩形ABCD边 4。的 中轴点，且 AB=10,B C=8,如 图 1.(1)求证：P 是矩形A8C。边 BC的“中轴点”；(2)如图2,连接PA,P B,若PAB是直角三角形，求 PA的值；(3)如图3,连接PA,PB,P D,求 tan/P)Ctan/PB A 的最小值.【分析】(1)连接尸 3、P C,通过求证CD尸好A 4P即可求证尸是矩形A8CD边 BC的“中轴点”；(2)连 接P D,过 点P作P E 1DA于点E,过点P作P F L A B于点F,设 4/=无，利用三角形相似找到关系式，即可算出A P的长；(3)过点尸作尸尸_LAB于点/，利 用(1)(2)中所求，将NPOC进行转换，再结合二次函数最值即可找到tan/P O U tan/P B A 的最小值.点P为该边的“中轴点”，：.PA=PD,ZPDA=ZPAD,X V ZCDA=ZDAB=90,:CDP=NBAP,在 C D P 和B A P 中，PD=PACD=BA：.C D P/B A PSA S),:PC=PB,：.P 是矩形ABCD边B C 的“中轴点“；(2)解：连接尸 ，过点尸作P E L D 4 于点E,过点P作P F L 4 8 于点F,图2由(1)得PD=PA,故为等腰三角形，：.D E=E A=A D=C X 8=4,:在四边形 P E A 尸中，ZPEA=ZEAF=ZAFP=90,二四边形P E A 尸为矩形，：.EA=PF=4,又,.P A 5 是直角三角形，NPFA=PFB=90,：.ZPAF=90-ZPBA,Z FP B=9 00-ZPBF,:.F A PsXF PB,A F=J P F 丽 钎P-A QBF,即 16=A F*B F,设 A F=x,则 8/=1 0-尤，可得方程：x(10-x)=16,解得：x i=2,%2=8 当 A F=2 时，P A=VAF2+PF2=722+42=2娓,当 4 尸=8 时，PA=VAF2+PF2=VS2+42=W5，综上，当 P A B 是直角三角形时，PA的值为2 庭 或 4 庭；(3)过点尸作P F_ L A B 于点尸，如图所示：由(I)(2)可知，N P D C=/P A F,PF=4,P F P F7t a n =Z P D C=t a n N P A 尸=：,t a n Z PBA=-7A F B Ft a n Z P D C,t a n Z PBA=-AFZ-BFJ设 AP=x,则 B 尸=10-x,t a n Z PD C-tan Z PBA16x(10-x)观察易知，当x (10-x)取得最大值时，t a n/P OU t a n NP B A 取得最小值,令 y=x(10-x)-x2+10 x=-(x-5)2+2 5,V -K O,二当x=5时,丁取得最大值2 5,16x(10-x)存在最小值:1625故tanZ P D C-tanZ P B A的最小值为坐.2 5.抛物线y=a/+c 与x轴交于A,8两点，顶点为C,点 P为抛物线上一点，且位于x轴下方.(1)如图 1,若 尸(1,-3),B(4,0).求该抛物线的解析式；若。是抛物线上一点，满足N O PO=N PO 8,求点。的坐标；(2)如图2,已知直线P A,P B 与 y 轴分别交于E、尸两点.当点尸运动时，踪 旦 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式，可得答案；根据平行线的判定，可得P D/OB,根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得力点坐标；(2)根据待定系数法，可得E、尸点的坐标，根据分式的性质，可得答案.解：(1)将 P (1,-3),8 (4,0)代入 y=o x 2+c,得(_1卜+。=0,解 得/Ia+c=-3 _ 16,c=抛物线的解析式为、=占 2 -孕；0 5如图1,当点。在 O P左侧时，由 N O PO=N PO B,得DP/OB,。与尸关于y 轴对称，P(1,-3),得。(-1,-3)；当点。在。P右侧时，延长PD交 x轴于点G.作 PHA.OB 于点 H,则 O H=1,PH=3.NDPO=NPOB,：.PG=OG.设 O G=x,则 PG=x,HG=x-1在 RtzPG/中，由/=J-1)2+32,得 =5.点 G(5,0).直线PG的 解 析 式 为 尸 条 一 普解方程组3 15FT得V1 2 16y节x-Xi=lVl=-311X2T2 7丫2=万：P(1,-3),斗，-缸4 1611 97，点D的坐标为（-1,-3）或（1一，-）.4 16（2）点尸运动时，-是定值,定值为2,理由如下:图2作 PQ_LAB 于 Q 点，设 尸(M 2,am2+c),A(-t,0),B(6at2.：PQ/OF,.P Q 二B QOF B 0，OF=FQ也.=_(a m 2+c)t=(a K-a 1 2)t 一 吁 。B Q t-m m-t同理 OE=-amt+at2.,贝U at2+c=0,：.OE+OF=2at2=-2c=2OC.