2021年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题解析版.pdf

绝密启用前2 0 1 7 年普通高等学校招生全国统考试(江苏卷)数学I【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高.2017年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化。1.体现新课标理念，实现平稳过渡。试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。如第7题首次考查几何概型概率问题。2.关注通性通法。试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。如 第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。3.体现数学应用，关注社会生活。第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。两道必做题一改常规,既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。【试卷解析】参考公式：柱体的体积V=S，其中S是柱体的底面积，/是柱体的高.球体积公式V=辿，其中R是球的半径.3一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合人=1,2,B=a,/+3 ,若=则实数。的值为 .【答案】1【解析】由题意Iw B,显然/+3 N 3,所以a=l,此时a?+3=4,满足题意，故答案为1.【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关4 0 3 =0,4 =3等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑0是否成立，以防漏解.2.已知复数z=(l+i)(l+2i),其中i是虚数单位，则z的模是.【答案】屈【解析】|z|=|(l+i)(l+2O|=|l+i|l+2i|=0 x =而，故答案为 所.【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+友)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d e R).其 次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+砥e/?)的实部为Q、虚 部 为、模为a+廿、对应点为(a,5)、共辗为。一瓦3 .某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为2 0 0,4 0 0,3 0 0,1 0 0 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取6 0 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_ 左件.【答案】1 8【解析】所求人数为6 0 x =1 8,故答案为1 8.1 0 0 0 0【考点】分层抽样4 .右图是一个算法流程图，若输入x的值为,，则输出的y的值是_ A1 6【答案】-2【解析】由题意y =2 +l o g 2 =2,故答案为一2.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5 .t an(a则 t an c =.4 67【答案】-5【解析】tan a =tan(a-)+-=-=J=.故答案为-.4 4，冗、无、4 v1_)tan _ 1 一【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将己知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.6 .如图,在圆柱0 1,。2 内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱。,。2 的体积为匕，球O 的体积为匕，则 的值是 .%3【答案】-2【解析】设球半径为r，则 乜=年包=3.故答案为3.V,4 3 2 22 nr3【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略7.记函数/（x）=6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5 J 上随机取一个数x，则x w。的概率是一.【答案】-9【解析】由6+X-/2 0,即/-X-G W O,得一2WXW 3,根据几何概型的概率计算公式得x e。的概七 日 3 一 （一2）5率是一 二，=一.5-（Y）9【考点】几何概型概率【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.8.在平面直角坐标系x 0 y 中，双曲线、-丁=i 的右准线与它的两条渐近线分别交于点尸,0,其焦点是耳则四边形耳尸白。的面积是.【答案】2&【解析】右准线方程为x=噜，渐近线为丁 =二 半 x,则 P（零,曙），缜甯,甯），耳（5，0）,用（晒,0）,则 S =2 晒x 端=2 的.【考点】双曲线渐近线9 7工_2 1/b2【名师点睛】1.已知双曲线方程2 2_ _ y_a2 b2=1 求渐近线:=0=y2.已知渐近线丁 =侬 设双曲线标准方程加2/一 丁=尤3,双曲线焦点到渐近线距离为b,垂足为对应准线与渐近线的交点.9.等比数列 的各项均为实数，其前n项的和为5，已知S 3 =N，56=昆，则/=A【答案】3 2【解析】当4=1时，显然不符合题意；当1时,4(1-0)=7-q-4q(-Q =6 3-q 4解 得4=1,q =2则小x 2,=3 2.【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用,但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采 用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10 .某公司一年购买某种货物6 0 0吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是.【答案】3 0【解析】总费用4x +眄x 6 =4(x +%)24 x2师=2 4 0,当旦仅当天=出，即x =3 0时等号成立.XX X【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知函数/(x X V-Z x +e*-二，其 中e是自然对数的底数.若/(a-l)+/(2/)W 0,则实数。的取值范围是.【答案】-1 3t 解析】因为/(一 力=一/+2%+乙-/=一/),所以函数f(x)是奇函数，e因为/(X)=3/-2 +d+e-x 之3/-2 +2&X -e-r 2 0 ,所以数f(x)在 R上单调递增，又 d-l)+/(2/)W0,即 f(2/)&/(I 一a),所以2a*l-a,即 2 +。一1 0,解得T WaW：,故实数a的取值范围为 一1 4 .【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为/(g(x)/(%)的形式，然后根据函数的单调性去掉“广，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与 力 )的取值应在外层函数的定义域内1 2 .如图，在同一个平面内，向 量 至，砺，元 的 模 分 别 为1,1,血，)与 觉 的 夹 角 为a,且t a na=7,砺与 双 的 夹 角 为4 5 .若O C =m O A +nOB(/,n e R),贝I+”=.【答案】37 7 7 5【解析】由t a na =7可得si na =-,c osa =，根据向量的分解，1 0 1 0a/?c os 4 5 +m c osa =V 2，即 n si n 4 5 一si n a =0也2也2n-v-2-m =7 2A1 07 7 2 _n-m =()1 05 +w =1 0即 5 -7 m =05 7即得，=,=,4 4所以 w/+=3.【考 点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方 程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作 用 脱 去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平 行、夹角与距离问题.1 3 .在平面直角坐标系xOy中,4-1 2,0),3(0,6),点P在 圆。x2+y2=5 0上，若 苏 丽 2 0,则点尸的横坐标的取值范围是 .【答 案】一5正,1-2 x-y+5 =0 f x=-5t解析】设尸(”)，由尸4PB4 2 0,易得2 x-y+5S0,由、“，可得 或x*+y=5 0 y=-58：,;由2X-N+5W0得尸点在圆左边弧 岔 上，结合限制条件一，可得点P横(7 =7坐标的取值范围为-5点 .【考 点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.X?X D14.设/(X)是 定 义 在R且 周 期 为1的函数，在 区 间 o,i)上,/(幻=其中集合x,x 史 D、D=|x|x =七,e N*,则 方 程/(幻一 1g x =0的解的个数是.【答 案】8【解 析】由 于/(x)e 0,l),则需考虑l W x.因为KZ)C平面.4BD,所以B C _ A D又4514D,H3U平面A3C,B Cu平面W3C,(第15题)所以疝J1平面ABC,又因为，C=(3,-g),x0,7t.(1)若a仇求x的值；(2)记f(x)=a-b，求/(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】(1)x=(2)x=0时，八功取得最大值，为3：x=2时，f(x)取得最小值，为一2 G.6 6【解析】解：(1)因为a=(cosx,sinx),=(3,-百)，a/b.所以一出 cos x=3sin x-若c o s x=0,贝iJsinx=O,与sin：x+cos：:r=l矛盾，故COSXHO.于是 tan x=-.357r又xeO，E，所以工=1.(2)f(x)=a-b=(cos x,sinx)(3,-g)=3cosx-V 3sinx=2A/COS(X+).6因为xe0,n 所以x+3必争，从而 一1 cos(x+).6 271 71于是，当x+%=q,即x=0时，外动取到最大值3；-r r S jr当 +/=兀，即x=7-时，/(%)取到最小值-2 6.6 6【考点】向量共线，数量积【名师点睛】向量平行：。/5=%=工2%，_ _ _ _ _|_ _ _Q/瓦 方 w 6 n m/l R,a =4 B,8 A=Z AC o O A =-O B H-O C1 +2 1 +4(2)向量垂直：a _ Lho a-b=0 xx2+x%=。，向量加减乘：ab=(xi x2,y1 y2),a=a ,a-b=a-b cos 2 21 7.（本小题满分1 4 分）如图，在平面直角坐标系x O y 中椭圆E:+与=1（。人 0）的左、右焦点分a b别为K，居，离心率为;，两准线之间的距离为8.点尸在椭圆E 上，且位于第一象限，过点号作直线PZ的垂线/,，过点用作直线PFi的垂线4 .（1）求椭圆E 的标准*程；（2）若直线E 的交点Q在椭圆E 上，求点P 的坐标.2 2【答案】（1）土 +匕=14 3坪 粤）【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为C.因为椭圆E的离心率为3,两准线之间的距离为8,所以（=3与=8 解得a=2,c=l,于是方=石 匚7 =代，因此椭圆E的标准方程是+-=1.4 3（2）由 知，耳（一L0）,田（L0）.设P（6上）,因为点P为第一象限的点，故&0ty-0.当f=1时,4与 乙 相交于 兄，与题设不符.当天时，直线尸石的斜率为 三，直线产石的斜率为上7X；+1 X-1因为4 1尸耳，41 P月，所以直线4的斜率为七直线右的斜率为一土 二，J e J oX，+1从而直线4的方程：y =-一（+1）,0 x 1直线4的方程：y =-=a1）.由，x =-x0,y=-,所以Q（x（）,）.%因为点。在椭圆上，由对称性，得 上&=%,即x；-y：=l或 片+y；=l.%又尸在椭圆上，故 三+三=1.4 3（4 鸣因此点P的坐标为 7 7.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.1 8.（本小题满分1 6分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器H的高均为3 2 c m,容 器I的底面对角线A C的长为1 0夕c m,容器H的两底面对角线E G,的长分别为1 4 c m和6 2 c m.分别在容器I和容器H中注入水，水深均为1 2 c m.现有一根玻璃棒/，其长度为4 0cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将/放在容器I中,/的一端置于点A处，另一端置于侧棱C G上，求/没入水中部分的长度；（2）将/放在容器I I中,/的一端置于点E处，另一端置于侧棱G G上，求/没入水中部分的长度.容 器 容器n（第1 8题）【答案】（1）1 6 （2）2 0【解析】解：（1）由正棱柱的定义，C G，平面A B C D,所以平面A A C G，平面ABCD,CC,AC.记玻璃棒的另一端落在C G上点M处.因为 TC=10W 14J/=40,_ _3所以MC=/Q 0-3 0 ,从而 sin Z JH C =记 出/与水面的焦点为匕 过？作尸Q J U C g 为垂足，则 P i Q l 平 面A B C D,故户应:=12,从 而APl=一 第7=16sin N A IC答：玻璃棒/没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（第18 题）（第18 题）(2)如图，O,O i是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，。0 平 面 所6”，所以平面E iE G G,平面EFG”，0 0 LEG.同理，平面 E iE G G i,平面 E iB G iH i,OOX.EG.记玻璃棒的另一端落在G G i上点N处.过 G 作 G KLEiG,K 为垂足，则 GK=OOi=32.因为 EG=14,EIGI=62,c c r,62-14所以K G i=-224,从而 GG】=JKG：+GK 2 =A/2 42+3 22=40.TT设 N EGG=a,N ENG=/?,则 sin a=sin（+/KGGJ=cos N KGG45兀3因为一二兀，所以cosa=.2 540 14 7在ENG中，由正弦定理可得二一 二一解得sin =.sin a sin p 2524因为0尸5，所以cos/7=石.于是4 24 7 3sin/NEG=sin(7i-a-/3)=sin(a+/?)=sin a cos 0+cos asin/?=x 一 +x 一 =一.5 25 25 5记E N与水面的交点为尸2,过尸2作尸2Q _LE G,。2为垂足，则尸2 0 2,平 面E F G H,故220=12,从而 EP2=强一=20.sin NNEG答:玻璃棒1没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)【考点】正余弦定理【名前点晴】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.1 9.(本小题满分1 6 分)对 于 给 定 的 正 整 数 3若数列”“满足an-k+an-k+i+4一1+4+1 +an+k_t+an+k=2ka对任意正整数n n k)总成立，则称数列 是“P*)数列”.(1 )证明：等差数列(是“尸(3)数列”;(2)若数列 既 是“尸(2)数列”，又 是“P(3)数列“，证明：%是等差数歹IJ.【答案】(1)见 解 析(2)见解析【解析】证明：3)因为 小 是等差数列，设其公差为d,则/=q+(一 l)d,从而，当 之4 时，an_.+a.;.=a.+(n-k-Y)d+ax+(n+k-T)d=2 c?!+-T)d=2ar,k=l:2s3S所以a1+a-+&：=6 a：，因此等差数列 4 是“P 3 1 数列”.(2)数列%既 是“P2i数列”，又 是“尸 3 1 数列”，因此，当23时，a“-2+a,i+a“+i+a.+2 =4 凡，当 2 4 时，an_3+an_2+a,-+an+an+2+an+3=6%.由知，a,-3 +an-2=4%-(。“+i),4+2 +a,，+3 =4 a的 一 (q T +4)，将代入,得4-：+a_=2/，其中氏2 4 ,所以生是等差数列，设其公差为在中，取=4,则 生+生+生+生=4q,所 以 生=生 一 ，在中，取=3,则 用+a：+4+生=4 生，所以用=%-2 ,所以数列 4J是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明%为等差数列的方法：(1)用定义证明：。用一4,=4(4 为常数)；用等差中项证明：2 a,用=an+an+2；(3)通项法：。“为的一次函数；(4)前 n 项和法：Sn=A n2+B n2 0.(本小题满分1 6分)己 知 函 数/(x)=x 3+or 2+x +i(a 0,6 R)有极值，且导函数尸 的极值点是/(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：/3；(3)若/(x),/(x)这两个函数的所有极值之和不小于-g,求a的取值范围.【答案】(1)a 3(2)见 解 析(3)3 a 0,故人=生+.3 2 7 9 3 9 a因为/(x)有极值，故/(x)=0有实根，从而人幺=-(2 7 a 3)0(x w l),故/(x)在R上是增函数，/(幻 没有极值；a J a2 3 b a+yl cr 3 ba 3时，/(x)=0有两个相异的实根玉=二-吆，4=；列表如下X(-8,%)再(西“(工2，+)+0-0+f(x)极大值极小值故/(x)的极值点是xt,x2.从而a 3,因此占=9 +3,定义域为(3,+工).9 a丁、4 /、5 b laJa 3(2)由(1)知，L=-+尸.ja 9 ayJa2 r 3 7 3，产一”设 且“尸 彳+一则g=?_=,9 t 9 f 9 广当t w(羊,+x)时，g)0,从而g(r)在(包 产 工)上单调递增.因为a 3,所以故g(a JZ)g(3百 尸 百，即 二 百.yja因此62 3。.(3)由(1)知，/(X)的极值点是玉,，且芯+%2 =-2。，%；+x；=,“9 61从而/(3)+)=X：+aXy+/?%,+1 +%2 +bx2+1=j(3%)2+2 Z X 1 +b)+(3%2 +2 +/?)+a(x：+)+0(5 +)+241 73-6ab 4 ab,八=-+2 =02 7 9i己f(x),f(x)所有极值之和为h(a),因为/*(x)的极值为方一=一：。-+3，所以3)=-：a+,，a 3.j 9 4 7 9 a因为/3尸-,+0-33 4*=因此当点P的坐标为（4,4）时，曲线C上点P到直线I的距离取到最小值竽.【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒 等 变 换 法.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及 y的取值范围的影响.D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分1 0 分）已知a,6,c、,d为实数，且 +序=4,c2+/=1 6,证明a c+加/W8.【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：3 +W）沱0+川X c：+/）,因为 a+b=4.c*+d=1 6.所以（a c +b d）：/3x +3y =0.不妨取 x=3,则 y =y/3,z =2,所以加=(3：J：2)为平面B A yD的一个法向量,从而而加卜三乜=处警.x AE nt 0 x4 4设二面角B-A iD-A的大小为6,则c os =；因为 6 0:7 1,所以si n6=也-cos，。=(因此二面角B-A iD-A的正弦值为 五.4【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.口|2|3|加+n【答案】(1)一(2)见解析m +n(2)随机变量X的概率分布为:X1 _n11171H+1 +2m +nP 一1C：；-y?”+一i1二 一 1n+m-c；+“C：,+HC；11J k c手工（1）!匕k（“一1）所以E(X)(w+n X -l)（m+/?）（/7-l）【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望（名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X 口 8（,。），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）=p）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.