2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷（解析版）.pdf

2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选 择 题（共 6小题）.1.2 0 2 1 年 3月 1 5 日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有6 1 8 0 0 人前来赏樱，用科学记数法表示6 1 8 0 0 是（）A.0.6 1 8 X 1 05 B.6.1 8 X 1 04 C.6 1.8 X 1 03 D.6 1 8 X 1 022 .下列计算中，结 果 是 的 是（）A.。2+4 B.a2*a3 C.al2-7-a2 D.（a2）33 .实数m 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）-力 A.ab B.ab C.ab D.a 0)的图象上，点 C 在反比例函数y=一(%X X 0)的图象上，连接AC,B C,且 ACx 轴，8C)，轴，A C=B C.若点A 的横坐标为2,则 的 值 为.15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N 分别是BC,DC边上的点，若。经过点A,且与BC,0 c 分别相切于点M,N,则。的半径为.16.如图，在菱形A8CZ)中，E 是 BC的中点，连接AE,D E,将ABE沿直线AE翻折,使得点B 落在OE上的点处，连接AB并延长交CD于点尸，则祟的值为.三、解答题(本大题共11小题，共 88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算:(1)-14+X7 7 2-4COS30；(2)(4/-)+(a-2+).a af5+3x 1318.解不等式组（x+2 X-1上,并写出它的正整数解.,|),Q(X 2,J 2)是该二次函数图象上的点，当1 X 1 X 2时，都有=1.5时，求O O的半径；当点。在B C边上运动时，00半径的最小值为J 收。KB G C B C备用图2 7.八上教材给出了命题“如果 A BCg A bC,A D,A 7 7分别是A BC和 A bC的高，那么A O=A ZT 的证明，由此进一步思考【问题提出】(1)在 A BC和中,A D,分别是 A BC和 A EC的 高,如 果BC=BC,ZB A C=ZB A C,A D=A D,那么A BC 与 A b。全等吗？(i)小红的思考如图，先任意画出一个 A BC,然后按下列作法，作出一个满足条件的 A 8 C,作法如下：作 A BC的外接圆O。；过点A作A A 8 C,与。交于点A，；连接A B(点8 与C重 合)，A,C(点。与B重合)一 美 二 _ _ _ _ _ _ B og-、/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _请说明小红所作的A BC也A BC.(ii)小明的思考得到A 8 C.如图，对于满足条件的A BC,A 8 C和高A O,A D;小明将 A bC通过图形的变换,使边C 8与B C重合，A B,A B相交于点M,连接AA,易证A A 8 C.接 下 来，小 明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.【拓展延伸】（2）小 明 解 决 了 问 题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.如图，在A BC 和 A bC中，A Z）,分别是A 8 C 和 4 8 C的高，（4 Ob B.a b C.ab D.ab,故选：B.4.如图，点 A,B,C 在。上，BC/OA,NA=20,则N 8 的度数为（）解：如图，-：BC/OA,/A=20,.NA=/C=2 0 ,NAOB=NB,*AB=AB-.NAOB=2NC=40.：.ZB=ZAO B=40.故选：C.5.如图，在ABC中，P 是 A 8边上一点，在 AC边上求作一点Q,使得AQPSA BC.甲的作法：过点尸作尸Q8 C,交 AC于点Q,则点。即为所求.乙的作法：经过点尸，B,C 作。0,交 AC于点。，则点。即为所求.对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（）A.甲错误，乙正确C.甲、乙都错误B.甲正确，乙错误D.甲、乙都正确解：乙的作法正确.理由：&C,Q,尸四点共圆，NB+NCQP=180,NAQP+NCQP=180,/AQ P=N B,V NA=NA,4 Q PSA 4 5C甲的作法，无法证明N A Q P=N B,故甲的作法错误.故选：A.6.已知一次函数yi=Aix+/?i（如 为 常 数，幻NO）,（他，岳为常数，faO）的图象如图所示，则函数y=y”的图象可能是（）解：由图象知：kiO,依 0,且-2比+从=0,公+6=0,.,.y=W，.*.y=(,kx+b)(knc+b2),/.当 x=-2,j=0,当 x=l 时，y=0,.,抛物线过(-2,0),(1,0),且 kkz,bi,：.hXb2l二。错误，故选：C.二、填空题(本大题共10小题，每小题2 分，共 20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.)7 .-3的 相 反 数 是3 ,的 倒 数 是3 .O解：-3的相反数是：3,弓的倒数是：3.故答案为:3,3.8 .若 式 子 在 实 数 范 围 内 有 意 义，则x的 取 值 范 围 是x 2 2 .【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.解：由题意，得x-20,解得x 2 2,故答案为：x 2 2.9 .分解因式：2 a 2 -8的 结 果 为2 (“+2)(“-2).【分析】首先提取公因式2,进而利用平方差公式进行分解即可.解：2a2-8=2 (a2-4)=2 (a+2)(a-2).故答案为：2 (a+2)(a-2).10.计算爽义 等的结果是_ 的历【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.解：原 式=叵 箸 返=%=3於.V 2 V 2故答案为：3啦.11.设X”X2是关于x的方程x2+4x+m0的两个根，且xi+X2-xiX22,则m-6.【分析】根据根与系数的关系可得出Xl+X2=-4,笛叮2 =?,将其代入阳+X2-X|X2=2中即可求出结论.解：.设M,X2是关于X的方程/+4x+m =0的两个根，/.Xl+X2=-4,X12=机,/.xi+%2-X9X 2=-4-m=2.zn-6,故答案为：-6.12.圆锥的底面圆的半径是3,其母线长是9,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是1200.【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长X 180 915n计算.解：圆锥底面周长=2 X 3 ir=6 n,扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长X 1 8 0+9 n=1 2 0.故答案为：120.13.如图，在正五边形A8C D E中，M是C O的中点，连接AC,AM,则N C A M的度数是18 .解：连接4拉,D:.A B=B C=C D=D E=A E9N A B C=ZAEQ=(5-2):18。=1 08 f5Z B A C=Z B C A-|x (1 8 0 -1 08 )=3 6。，.在 A B C 与：)中，A B=A E 0)的图象上，点 C在反比例函数丫=三(xX X0)的图象上，连接A C,B C,且 A C x 轴，B C y 轴，A C=B C.若点A的横坐标为轴,，C 点的纵坐标为6,设 C 涔，6),68Cy 轴，.8点的横坐标为工:.B 专，),6 k：C4=CB,.k 726 k整理得产-48k+432=0,解得怎=36,fa=12,经检验心=3 6,比=12都为原方程的解，,k36.故答案为36.1 5.如图，在矩形ABC。中，AB=4,A D=3,M,N 分别是BC,C边上的点，若。经过点A,且与BC,0 c 分别相切于点M,N,则G 0 的 半 径 为 7-2、花.解：连 接。4、O N、0 M,延长NO交 AB于 E,如图，设。的半径为r,；O。与 BC,DC分别相切于点M,N,：.O MLB C,O N LCD,：A B/CD,：.N E LA B,：N B=/C=9 0 ,四边形B M O E、四边形OM C N都为矩形,：.B E=O M=r,O E=B M,C M=O N=r,：.O E=B M=B C -MC=3-r,A E=A B -B E=4 -r,在 RtZXAOE 中，（3-r）2+（4 _ 厂）2=凡整理得产-14r+25=0,解 得ri=7-2加，废=7+2加（舍去），。的半径为7-2捉.故答案为7-2捉.1 6.如图，在菱形ABCD中，E是8 c的中点，连接AE,D E,将AABE沿直线AE翻折,使得点B落在0E上的点处，连接AB，并延长交CD于点F,则学一干的值为3.四边形4 8 c o是菱形，：.AB=CD=AD,AD/BC,AB/CD,由翻折的性质可知，AB1=AB,：.AD=AB,J.ZADB=ZAB D,：ZAB E+NAB 0=180,/4BE+NCE=180,NABE=NAB E,：.ZAB D=NDCE,V ZADB=ZDEC,：.ZDEC=ZDCE,：.C D=D E=B C,:B E=E C=E B ,：.DB =EB,*：A D/E Tf.A D D By A B，E T B，E Bz T：A D=E T=B C,A B =B T：.B E=CT=E C,.AD=A F=2*C T -FT -，：.A F=2FTf设 F T=m,则 4/=2 2,A T=3m,：.A Bf=B T=L5m,：.Bf T=0.5mt.A B 1.5 m QB，F 0.5 m故答案为：3.三、解答题(本大题共11小题，共 88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 7.计算：(1)-N+IX 1 2-4COS30；O(2)(-)4-(a-2+).a a【分析】(1)根据有理数的乘方、负整数指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题；(2)根据分式的加减法和除法可以解答本题.解：(1)-14+(-1)-1X 7 1 2 -4COS30=-1+3X2F-4X苧=_ +6-2y=-1+4 7 3；(2)(a-)+(a-2+-)a a=a2T=a：-2a+la a(a+1)(a-1).aa(a-l 产a+1a-l5+3x1318.解不等式组，x+2 x-142,并写出它的正整数解.3 2【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解.(5+3x13 解：1 x+2等 2由得X，由得入2 5,不等式组的解集为-5卷,则它的正整数解为1,2.19.某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20加 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.解：设骑车学生的速度为成加儿由题意得，也-芈=含x 2x 60解得：X 15.经检验：x=15是原方程的解.答：骑车学生的速度为15kmih.20.随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：）进行了统计，得到下列统计图.小明家5个月的月用水量条形统计图当地当年月平均气温折线统计图(1)小明家这5 个月的月平均用水量为2 0 吨.(2)下列四个推断：当地当年月平均气温的极差为20；当地当年月平均气温的中位数为17.5；当地当年月平均气温的平均数在15c25之间；小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化,温度越高,月用水量越大.所有合理推断的序号是 .(3)如果用小明家5 月、7 月、8 月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由.解：(1)(5+23+30+32+10)4-5=20(吨),故答案为：20；(2)月最高气温是30,月最低气温是5,月平均气温的极差为30-5=25,因此不正确：将 12个月的平均气温从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为坦箸=17.5,因此中位数是17.5,所以正确；通过取近似值计算平均数可得，(5+8+10+15+20+25+28+30+26+20+12+7)+1 2弋 17.2,因此正确；从两个统计图中数量的变化情况可知，小明家这5 个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大，因此正确；故答案为：；(3)不合理，选取的5、7、8 这三个月的当地月平均气温都比较高，这三个月的月平均用水量都比较多，这样选取的样本缺乏代表性.2 1.一个3 X 3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子.(1)如图，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为；一7-(2)如图，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋如图 如图解：(1)棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为右故答案为：-y;(2)把剩余的5个方格记为1、2、3、4、5,画树状图如图：共有2 0个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为2=1.20 52 2.如图，在平行四边形4 B C D中，E,尸是对角线8。上的点，且8 E=O尸，连接A E,CF.(1)求证A O E g Z S C B F；(2)连接4 F,C E,若求证：四边形4 F C E是菱形.B【解答】证明：（1）：四边形A B C D 是平行四边形,：.A D=B C,A D/B C,：.N A D E=N C B F,：B E=DF,:.B F=DE,在和a c B 尸中，AD=CB NADE=NCBF,DE=BF A DE 四A C B F(S A S)；(2)连接AC,交 BD 于点O,：AB=AD,四边形A 2 C 是平行四边形，.四边形A B C。是菱形，：.A C1B D,A O=C O,B O=D O,：B E=DF,：.E O=FO,四边形A E C 尸是平行四边形，又；A C _ L8。，四边形A E C F 是菱形.2 3.如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为 m,垂直高度都为 0.3?.测得在C点的仰角N A C E=42 ,测得在。点的仰角N A O 尸=35 .求银幕4B 的 高 度.（参考数据：s i n 35 -0.5 7,c o s 35 0-0.8 2,t an 35 -0.7,s i n 42 一0.6 7,c o s 42 =0.7 4,t an 42 0 心0.9)解：延长CE、DF交AB于H、G,由题意知，ZAGD=ZAHC=90,在 RtZAG。中，N4DG=35,tan350=-,DG即DG=.*k，tan35在 Rt/XAC”中，NAC”=42。，即CH=丁巧tan42：AH=AG+GH,GH=0.3,.AG+0.3 Ca._ o ,tan42：DG-CH=,.AG AG+0.3 _tan350 tan42-一.AG _ AG+0.3 _ ,*o77-0.74解得：AG4.2,AB=AG+G4+B/=4.2+0.3+0.6=5.1.答：银幕A B的高度约为5.1?.2 4.某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到2 2 0时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140C 时，早餐机又自动启动上述程序,直至关机.已知早餐机的机内初始温度为2 0,降温温度是加热速度的2倍.早餐机的机内温度w ()与开机之后的时间/(s)之间的函数关系部分图象如图所示.(1)早餐机的加热速度为4/s：(2)求线段4 8所表示的w与 r 之间的函数表达式；(3)将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于18 00c 的累计时间不少于45.V,至 少 需 要 115 s.解：(1)早餐机的加热速度为：(2 2 0-2 0)4-5 0=4(C/s),故答案为：4；(2)设线段A B所表示的w与 f 之间的函数表达式为w=kt+b,由降温温度是加热速度的2倍，所以降温速度为8/s,即k=-8,.图象经过(5 0,2 2 0),.2 2 0=-8 X 5 0+%,解得6=6 2 0,/w=-8 1+6 2 0；(3)由题意可知，机内温度由2 2 0降至18 0所需时间为：(2 2 0-18 0)+8=5 (s)；机内温度由140升高到2 2 0所需时间为：(18 0-140)4-4=10(5),V 10+5+10+5+10+5=45 (s),.需升高到2 2 0时再降温3次，自开机之后，要 使 机 内 温 度 不 低 于18 00c的 累 计 时 间 不 少 于45 s,至少需要：5 0+10+2 0+10+2 0+5 =115(5).故答案为：115.2 5.已知二次函数y=-/+2蛆-*-,+2 (m是常数).(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求，的取值范围；(2)求证：不论，为何值，该函数图象的顶点都在函数y=-x+2的图象上；(3)P(x i,y i),Q(及，y 2)是该二次函数图象上的点，当1 也时，都有y 2 c y i 0,即-4?+8 0,解得：，2,.,.m2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点；(2)证明：.,二次函数 y=-2+2如；-加 _ ,”+2=-(x -w)2-m+2,得顶点坐标为(m,-m+2),将 x=m 代入 y=-x+2 得：y=-m+2,.不论机为何值，该函数图象的顶点都在函数y=-x+2的图象上；(3)由(2)可知抛物线的顶点为(加，-m+2),当 1 x i%2 时，都有 y2yt l时，)，随x的增大而减小，又 抛物线开口向下，对称轴为直线x=，w,，得出Z L当x 1 时，y 中，Z G D E=9 0,.,.GD+DSGG,GE J I2+32=-/10：在。上，且 N G Q E=9 0 ,；.G E是。的直径，：.r=G E=-;2 2如图：.DE=2x,D F D F r)F；t a n B=t a n C=2,且BGFSQE凡 有 器=器，B F B G B FBG=x,：.GD=4-2x,Rt Z G O E 中，GA+DEGE2,：.GE?=(4-2 x)2+)2=8x2-18x+16=8 (x-1)2+8,.当x=l时，G E2有最小值，最小值为8,.G E的最小值为2加,半径最小值是加,故答案为：V 2-2 7.八上教材给出了命题“如果 A B C g a A E C,AD,分别是 A B C和A B C的高,那么A Q=4。”的证明，由此进一步思考【问题提出】（1）在ABC 和A B C 中，AD,AZJ分别是ABC 和4BC的高，如果 8 C=5 C,ZBACZBAC,ADAD,那么ABC 与AB，C 全等吗？（i）小红的思考如图，先任意画出一个A 8 C,然后按下列作法，作出一个满足条件的A 5 C,作法如下：作aA B C 的外接圆。0；过点A 作 4V B C,与0。交于点4；连接4 8 （点 8 与 C 重合），4。（点。与 B 重合），得到A bC.请说明小红所作的AbCwAABC.（i i）小明的思考如图，对于满足条件的ABC,A 8 C 和高A。，AZT；小明将ABC通过图形的变换,使边CB与 BC重合，AB,AB相交于点M,连接4 4,易证AABC.请填写其中的空格.BfC)CIB)|zLgJC=2L8：4，C7,f|_ Q|L IK=Z J.正斗-1AK=-BC=BC【拓展延伸】（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.如图，在ABC 和A B C 中，AD,477分别是ABC 和A 8 C 的高，（AQVATJ）,且N B A C=/B A C,彳厂求证A B CSZ V T B C.解:(1)(i)VA4,/BC,.NA AB=/ABC,.N A AB=ZA B C ,B C=A ABC,：ZB 4 C=NBAC,B C1=BC,.A B C 丝ZsABC(AAS).4 MCAAMC；N 4 B C=A ABC.(2)如图，在 A D 上截取4 E=4 O,过点E 作尸G8 C ,分别交A 8 、AC 于 F、G,：A D 是/!B C 的高,.A D LB CD C=9 0 ,B C ,.N A E G=ZA：.A E LFG,:A，尸GS&4.Az E _ FG,N D，笆.A D _B C h D B C .FG _ B C飞，C，=B，C，：.FG=B C,在三角形A B C和三角形A F G中，A D,A1 E分别是A B C和 F C的高,B C=FG,ZB A CZFA G,A D=A E,由（1）知 A A FGSXABC,：.A B C A A,B C .