2021年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学新课结束试卷 （解析版）.pdf

2021年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学新课结束试卷一、选 择 题（共 8 小题）1.，的相反数是（)A.3B.-3C.13D-42.下列计算正确的是（)3.2 6A.(-J)2a6 DB.a*a=aC.(2tz)2=2a2 D.a-a aA.主视图该几何体三视图中为轴对称图形的是（)B.左视图C.俯视图D.主视图和俯视图4.要使亚羡在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（)A.xW-3B.x3C.x23D.x=35.如 果。6,c V O,那么下列不等式中不成立的是（)A.a+cbcC.bc+1D.a(bc2B.h 0D.k-h 0)的图象经过点E,则x1 8 .如图，在矩形纸片A B C O中，7 1 0=1 0,4 8=8,将A B沿A E翻折，使点B落在后处，A E为折痕；再将E C沿E F翻折，使点C恰好落在线段E B，上的点。处，E F为折痕，连接 AC.若 C F=3,贝l J ta n/8 A C =.三、解 答 题(共10小题，共84分)1 9 .先化简，再求值：(。+3)2 -(f l+l)(a-1)-2(2a+4),其中。=工.2 0 .解方程和不等式组:等7=专f2(l-x)3平=-与 与 反 比 例 函 数y=K的图象交于A,B2x两 点（点A在点8左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根 据 图 象 直 接 写 出 的 解 集；2 x（3）将直线/,：y=一春沿y向上平移后的直线/2与反比例函数），=4在第二象限内交于2x点C,如果ABC的面积为3 0,求平移后的直线/2的函数表达式.2 6 .将一副直角三角尺按图1摆放，其中N C=9 0 ,Z E D F=9 0 ,Z B=6 0 ,ZF=4 5 ,等腰直角三角尺的直角边力/恰好垂直平分AB，与A C相交于点G,B C=4 g m.(1)求OG的长：(2)如 图2.将绕点。按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C,另一直角边O E与A C相交于点4,分别过点H,。作A8,8 c的垂线，垂足分别为点M,N.猜想与C N之间的数量关系，并证明；(3)如 图3,在旋转的过程中，若A D E F 两 边 D E,。尸与 AB C两边AC,B C分别交于K、T两点，则K T的最小值为_ _ _ _ _ _ _.2 7.【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点.如图，A8、C。是 的 弦，ABCD,AB L C D,垂足为E,贝I AB、C D是等垂弦，E为等垂弦AB、C D的分割点.图图图【数学理解】(1)如图，A B是。的弦，作O C _ L O A、O D A.O B,分别交。于 点C、D,连接CD.求证：A3、C Z)是。的等垂弦.(2)在。中，。的半径为5,E为等垂弦AB、C D的分割点，空=5.求A 8的长AE 3度;【问题解决】(3)AB,8 是OO的两条弦，CO=?B,且C O L A B,垂足为F.在图中，利用直尺和圆规作弦C。(保留作图痕迹，不写作法)；若O。的半径为r，A8=/m(加为常数)，垂足尸与。的位置关系随?的值变化而变化，直接写出点F与。O的位置关系及对应的根的取值范围.2 8.如 图1,在平面直角坐标系中，A(-2,-1),B (3,-1),以。为圆心，O A的长为半径的半圆。交A O延长线于C,连接4 8,BC,过。作E 8 c分别交A B和半圆O于 E,D,连接。8,CD.(1)求证：8 c是半圆。的切线；(2)试判断四边形028的形状，并说明理由；(3)如图2,若抛物线经过点。且顶点为E.求此抛物线的解析式；点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E,D,P为顶点的三角形与 0 A8相似，问抛物线上是否存在一点Q.使SAEPQ=SAOAB?若存在，请直接写出。点的横坐标；若不存在，说明理由.图1图2参考答案一、选 择 题（共 8 小题）.1.1 的相反数是（）A.3 B.-3 C.D.3 3解：高的相反数为3 3故选：D.2.下列计算正确的是（）A.（-3C.x23D.x=3【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可.解：亚彘 在实数范围内有意义，2 x-6 2 0,解得：工 23,故选：C.5.如果c V O,那么下列不等式中不成立的是（）A.a+cbc C.ac+bc+D.ac1bc解：A、由。力，cVO得到：a+c b+c9原变形正确，故此选项不符合题意；B、由c bc,原变形正确，故此选项不符合题意；C、由。V 从 cVO得到：ac+lbc+,原变形正确，故此选项不符合题意；D、由。仇 CV0得到：2Vbe2,原变形错误，故此选项符合题意.故选：D.6.在平面直角坐标系中，函数=丘+的图象如图所示，则下列判断正确的是（)A.k0B.b0D.H b。解：一次函数了=+力的图象经过一、二、四象限,：.k0.:kbA B C=S2AEG SABCE，：.XABXBC=XACX EH+X BCX BE,2 2 2 3X4=5XE”+4XE”，4：.EH=BE,3R：.AE=AB-BE=t3丁厂是线段CE的中点，AO=COf1 5A OF=AE=f OF/AB,2 6故正确；:OF/AB,5 _,0。J N工=5 西 漏 一 寸 京，35，ON=BN,85V O N+B N=B O=f2N O=,1 3 26故正确；SBOC=S 矩形ABCD，*SBOC=3 X 4=3,45：ON=BN,8金2卷X 5=1|，故正确；BC=4,E C=VBE2+BC2=J号+1 6=_ 4 .sinZAC=-E C 4 V 1 0 1 03故错误,故选：C.8.在平面直角坐标系中，长为2的线段CO(点。在 点C右 侧)在x轴上移动，A(0,2),B(0,4),连接AC,8。，则4C+BD的最小值为()C.6&D.3依【分析】设C(m,0),则有4C+8C=/1n2+2外JG+2 )2+4 2,推出要求AC+B。的最小值，相当于在X轴上找一点尸(小0),使得点尸到M(0,2)和 N (-2,4)的距离和最小，如 图 1 中，作点M关于x 轴的对称点Q,连接N Q交x轴于P,连接MP,此时P M+P N 的值最小，求出N 0即可解决问题.解：设 C 解,0),:CD=2,：.D(m+2,0),V A (0,2),B(0,4),4 C+B O=Vm2+221-7(m+2)2+42)要求A C+B Q 的最小值，相当于在x轴上找一点P(，0),使得点P 到“(0,2)和N (-2,4)的距离和最小，如 图 1 中，作点M关于x轴的对称点Q,连接N Q交x轴 于 夕，连接MP,此时PM+P N 的值最小，图1：N(-2,4),。(0,-2)P M+P N 的 最 小 值=?N+P 。=%。=亚 可=2 氏，J.AC+BD的最小值为2百 5.故选：B.二、填 空 题(共 10小题).9.计 算：(-)i+|2-=4.【分析】分别化简每一项可得(-a)”+|2-亚=-2+2-料.解：(-1+|2-A/3=-2+2-y2=-2；故答案为-2-1 0 .分式2二 L的值为0,则 X的 值 是 I .X解：.分式主工的值为0,X/.%-1=0 且 0,x 1 .故答案为1.1 1.习近平总书记指出，善于学习，就是善于进步.“学习强国”平台上线后的某天，全国大约 有 1.2 亿人在平台上学习.1.2 亿这个数用科学记数法表示为1.2 X 1 0 8 .【分析】科学记数法就是将一个数字表示成QX 1 0 的次幕的形式)，其中表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以1 0 的次幕.解:1.2 亿=1.2 义1。8故答案为：1.2 X 1 0 8.1 2 .分解因式：x y2-2 x y+x=x (y -1).【分析】先提公因式x,再对剩余项利用完全平方公式分解因式.解：xy;2-2xy+x,=x(y2-2y+),x(j-1)2.1 3 .若关于x的一元二次方程o?-8 尤+4=0 有两个不相等的实数根，则“的取值范围是 0,：.a 4,.a 4 且 a#0,故答案为：V 4 且 a W O1 4 .如图，将矩形纸条A B C。折叠，折痕为EF折叠后点C,力分别落在点C ,D 处,D E与BF交于点G.已知/BGD =3 0 ,则N a的 度 数 是 7 5 .解：,矩形纸条ABC。中，AD/BC,：.ZAEG=ZBGD=30-）或（-4,3）.5 5国 11 7.如图，RtAAOBRtACOD,直角边分别落在x 轴和），轴上，斜边相交于点E,且 tanZO AB=2.若四边形OAEC的面积为6,反比例函数），=上（x 0）的图象经过点E,则k的 值 为 4J：cLOAS【分析】连 接O E,过 点E分别作EM LO B于 点M,ENLOD于点N,证明AD E,再证明点C 为 8。的中点，点 A 为。的中点，设EM=EN=x,根据四边形OAEC的面积为6,列出x 的方程，便可求得最后结果.解：连接0 E,过点E 分别作EMLOB于点M,ENLOD于点N,：Rt/AOBRt/COD,：.NO BA=/O D C,OA=OC,OB=OD,：.OB-0C=0-O A,即 BC=AD,又；NCEB=NAED,：./C BE/AD E(AAS),：.CE=AE,X V OC=OA,OE=OE,.COE丝AOE(S S S),；./E O C=N E O A=45 ,又；EM工 OB,ENOD,:.EM=EN,：tanNOAB=2,OA-2,08=204,：OA=OC,：.OB=2OC,点 C 为 8。的中点，同理可得点A 为。的中点，S&AOE=S4ADE，在 RtZEND 中，tanZC)O=ND 0 D 2 E N=ND，设 EM=EN=x,；.ND=2EN=2x,ON=EN=x,，00=3心 S四边形O A E C =2=SA OE D 卷X 3x x=6,/.x=2,：.E(2,2),：.k=2X2=4.故答案为4.1 8.如图，在矩形纸片ABC。中，AO=10,A B=8,将AB沿4E翻折，使点B落在在处，4E为折痕；再将EC沿E尸翻折，使点C恰 好 落 在 线 段 上 的 点C处，E尸为折痕，连接 A C.若 CF=3,则 tan/8/C【分析】连接A F,设C E=x,用x表示AE、E F,再证明NAEF=90,由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x,再进一步求出B C,便可求得结果.解：连接 A F,设 C E=x,贝iJC E=CE=x,BE=B E=lO-x,;四边形48C。是矩形，：.AB=CD=S,AZ)=BC=10,NB=/C=ND=90,.AE2=AB2+BE2=82+(10-x)2=164-20 x+x2,EF2=CE1+CF2=x+32=x+9,由折叠知，NAEB=NAEB，NCEF=NC EF,V ZAEB+ZAEB+NCEF+NC EF=180,:.NAEF=NAEB+NC EF=90,：.AF2=AE2+EF2=164-20X+X2+X2+9=2X2-20 x+173,：AF2=AD2+DF2=102+(8-3)2=125,.2X2-20X+173=125,解得，x4或6,当 x=6 时，EC=EC=6,BE=B=10-6=4,EC B E,不合题意，应舍去,：.CE=C E=4,:*B C=B E-C E=(10-4)-4=2,：ZB=NB=90,AB=A8=8,故答案为：4-4另一解法：由折叠知，NAEB=NAEB，ZCEF=ZC EF,V ZAEB+ZAEB1+ZCEF+ZC,EF=180,A ZAEF=ZAEB,+NC E/=90,.NAEB+/CEF=90,四边形A3c。是矩形，：.ZB=ZC=90,BC=AD=0f ./BAE+NAEB=90,：.ZBAE=ZCEFf：.XABESMECF,.AB _BE ,EC CF设 8 E=x,则 B E=B/=x,CE=CE=10-x,.8 x*,10-x 3解得，x=4 或 6,.BE=BE=4,CE=CE=6,或 3E=8E=6,CE=CE=4,；BECE,BE=BE=6,CE=CE=4,：.BC=BE-C E=6-4=2,由折叠知，AB=AB=8,NB=NB=90，解法三：设 8E=m E C=b,则 o+b=10.由于1 EOF,所以 AS：EC=EB C F,即 8：a=b：3,ab=24.BC=a-b,因 为(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-96=4.所以8C=2.所以 ta n/B Z C=.4故答案为二.4三、解答题(本大题共10小题，共 84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.先化简，再求值：(4+3)2 -(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中。=工.2【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将。的值代入即可求出答案.解：原式=/+6a+9-(a?-1)-4-8=2+2,_ 12，原式=1+2=3.20.解方程和不等式组：(1)7 二 旦：X-1X-1f2(l-x)3(2)x+1【分析】（1）方程两边都乘以（%-1）得出方程，求出方程的解，再进行检验即可;（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.解：（1）方程两边都乘以（x-1）得：4 x-1-x+l=8,解得:检验：把 x=2，代 入（x -1）得：x-1 W 0,3所以*=卷原方程的解,即原方程的解是：x=yf2（l-x）3 x+1 1(2)解不等式得：X 卷，解不等式得：X 3,.不等式组的解集是：-/W x 3.2 1.为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：笔画数 12 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5字数 4 8 1 0 1 6 1 4 2 0 2 4 3 6 1 6 1 4 1 1 9 1 0 7 1请解答下列问题：（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：分组笔画数X （画）字 数（个）A组2 2B 组4 上的解集；2 x(3)将直线小=2 沿 y 向上平移后的直线b 与反比例函数=区在第二象限内交于2x点 C,如果ABC的面积为3 0,求平移后的直线/2的函数表达式.【分析】(1)直线人经过点A,且 A 点的纵坐标是2,可得A(-4,2),代入反比例函数解析式可得 的值；(2)依据直线/|：尸-当与反比例函数尸上的图象交于A,B两点，即可得到不等2x式-的 解 集 为-4 或 0 x 4 8,即可得出AABC的面积与AB。的面积相等，求得。(15,0),即可得出平移后的直线6 的函数表达式.解：(1)I直线/y=-点 经 过 点 4,4 点的纵坐标是2,当 y=2 时，x=-4,4(-4,2),反比例函数y=K 的图象经过点A,X：.k=-4 X 2=-8,.反比例函数的表达式为y=-；X(2).直线小)，=-占与反比例函数y=K的图象交于A,2两点,2x：.B(4,-2),不等式-的解集为x -4或0 t a n3 0 计算即可解决问题.(2)利用相似三角形的性质解决问题即可.(3)证明K,D,T,C四点共圆，推出K T是该圆的直径，易知当C O是该圆的直径时,K T的长最短.图1在 Rt Zk 4 BC 中，V ZC=9 0 ,BC=4愿，Z C A B=3 0Q；.4 B=2 8C=8 西；。尸垂直平分线段A8,愿，在 Rt Z AZ)G 中，Z)G=ADt a n3 0 0 =4愿X返=4.(2)结论：C N=-M.理由：如图2中，EH图2V ZACB=90，AD=DB,:CD=DA=DB,VZB=60，.E X:是等边三角形,:NDCB=NCDB=60Q,V ZACB=ZCDH=90,A ZMDH=ZHCD=30,：.CD=y/2PHf:/D HM=/D CN=60，/D MH=/D NC=9S,:.DMHSADNC,.NC CD 石“H M DH：CN=pM.(3)如图3 中，连接CD图3:/KCT=/KD T=9C,：.ZKCT+ZKDT=ISO,.K,D,T,。四点共圆,K7是该圆的直径，:K T,CD,.当 KT=C 时，KT 的长最短，此时 K 7=C O=/A B=4 y.2 7.【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点.如图，AB、C Q是。的弦，AB=CD,AB LC D,垂足为E,贝U AB、C D是等垂弦，E为等垂弦A&C。的分割点.【数学理解】（1）如图，A B是。的弦，作OC_LOA、O D 1 O B,分别交。于 点C、D,连接CD.求证：AB、C。是。的等垂弦.（2）在。0中，。的半径为5,E为等垂弦AB、C O的分割点，器=求A 8的长AE 3度；【问题解决】（3）AB、8是。的两条弦，C D=A B,且C O L A 8,垂足为在图中，利用直尺和圆规作弦C。（保留作图痕迹，不写作法）；若0。的半径为匕（机为常数），垂足F与。0的位置关系随，”的值变化而变化，直接写出点F与。0的位置关系及对应的m的取值范围.【分析】（1）连 接B C,由圆心角相等可得A B=C D,由圆周角定理可得/A 8 C=2/4 0 c=4 5,NBCD=NBOD=45,可证 ABC D,可得结论；2（2）分两种情况讨论，过 点。作作O G L C D,可证矩形O H E G为正方形，利用勾股定理可求解；（3）如图所示；先求出点尸在。0上时，”的值，即可求解.【解答】证明：（1）如图，连接8C,：OH AB,OGLCD,.OC_LO4、ODLOB,：.ZAOC=ZBOD=90,/AOB=/COD,：.AB=CD,V ZABC=ZAOC=45,ZBCD=ZBOD=452 2A ZAEC=ZABC+ZBCD=90,即 AB LCD f:AB=CD,ABLCD,AB、C是O。的等垂弦;(2)如图，若点E在。内，过点。作O_LA5,图-1 AB、C。是。的等垂弦，J.ABCD,AB CD,.四边形。E G是矩形，O垂足为“，作0 G l.c。，垂足为G,：.A H=AB,D G=2：.A H=D Gf又OA=OQ,:A。之OGO(H L),：.O H=O G,矩形O/EG为正方形，：.OH=HE.型=工，AH=BH,A E 3:.AH=2BE=2OH,在 RtZA。”中，A(f=A H2+OH2.即(2OH)2+O H2=A O2=25,解 得 o”=V,；.AB=4HE=4 诟若点在。0 外，如图，过 点。作垂足为“，作 OGLCZ),垂足为G,图-2同理，A H=F 则 A8=2A”=2代；(3)如图，作直径A E,作 AE的垂直平分线交AB的延长线于凡 过点F 作 EFLAF交O O 于 E,作 EF的 四 等 份 线 交 于 C,。，则弦CD即为所求；如图，当点尸在。上时，过点。作 0 4 L 4 B,垂足为H,作 O G L C Q,垂足为G,图同理可证四边形OHBG是矩形，OH-=BG=,24：OB2=BH2+OH2,2 2 2 2./_ m r,I.m r4 16-当机=小寸，点尸在。上；54-当 0小卷泥时，点尸在。外；54 l当百网用2时，点尸在。内.D2 8如 图 1,在平面直角坐标系中，A(-2,-1),8(3,-1),以 0 为圆心，0 4 的长为半径的半圆。交A。延长线于C,连接A8,BC,过。作 EO 8C分别交A B 和半圆0于 E，D,连接 08,CD.(1)求证：3 c 是半圆。的切线；(2)试判断四边形0 8 C C 的形状，并说明理由；(3)如图2,若抛物线经过点。且顶点为求此抛物线的解析式；点尸是此抛物线对称轴上的一个动点，以 E,D,P为顶点的三角形与 O A B 相似，问抛物线上是否存在一点。.使若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）如 图 1,设 AB与 y轴交于M,先证明0E是AABC 的中位线，得 BC=2OE,E-1）,利用勾股定理计算0E的长，可得BC 的长，根据勾股定理的逆定理计算A d+B C A B2,所以AABC 是直角三角形，且N A CB=9 0 ,可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证 明。与 8C 平行且相等，可得四边形O B C D是平行四边形；（3）作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得。的坐标,利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2-1,把点。的坐标代入可得结论；以 E,D,P为顶点的三角形与 0 A 8 相似，存在两种情况，过。作。GLEP于 G,设。的横坐标为x,根据SA E P2=SO A B，列方程可得x的值.【解答】（1）证明：如 图 1,设 A B与），轴交于历，轴，且 4M=2,0M=1,A B=5,*OA-JDE/BC,。是 AC 的中点,；.0 E 是ABC的中位线，：.AE=AB,BC=20E,2：.E（,-1）,22*,OE=YOM+M E2=J12 +W）2=喙,:.B C=2 0 E=在ABC 中，.飞，2+8,2=（2函）2+（而 产=25,AB2=52=25,：.AC2+BC1=A B2,.ABC是直角三角形，且NAC8=90,J.BCLAC,；AC为半圆。的直径，.BC是半圆。的切线；（2）解：四边形0 8 8 是平行四边形，理由是：如图 1,由（1）得：B C=0 D=0 A=遥,J0D/BC,四边形OBCO是平行四边形；（3）解：如 图 2,由（1）知：。=。4=遥，E 是 A B的中点，且 E（,-1）,0E=返，2图 2：./0D NSX0EM,CM nw cn N DN V5.型 MM,即丁赤，O M EM OE 2 2，ON=2,DN=1,：.D（-1,2）,设此抛物线的解析式为：y=。（工-5）2-1,2把。（-1,2）代入得：2=。（-1 -1,解得：。=告O二.此抛物线的解析式为：a -1）-1，即丁=今乂2-存在，过。作 O G LEP于 G,设。的横坐标为x,1 3VDG=1+=,EG=2+1=3,2 2D=VDG2+E G2=(-1)2+32=-itan ZD G=DG 2=?，-=2EG 3；tan/O A M=3*，且/D E G 和NOAM都是锐角,A M 2；.NDEG=NOAM,RD DE如图 3,当E P DS/X A O B 时，尤，即 E P 2AO AB-7=r：.E P=f21 1 5AB*OM=-X 5X 1=,:SA EPQ=SAOAB,1iEP lx-4-1=,乙 乙 乙即X日X2 2 1 2 1 2解得：x=骂 或-与；6 6AB 0A.-=如图4,当O A BS/X O EP时，黑笔，即E P-3西，EP DE -：.EP=,2同理得：.与 x-4-15，2 2 1 2 1 2解得：x=1或-，；6 6综上，存在符合条件的点。，。点的横坐标为丝或-孝或（或-6 6 6 6