2021年河北省鸿浩超级高考数学联考试卷（5月份）附答案解析.pdf

2 0 2 1 年河北省鸿浩超级高考数学联考试卷(5 月份)一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.设复数z 的共辗复数为2,且满足z-2 =含，i 为虚数单位，则复数z 的 虚 部 是()A*B,2 C,-i D.-22.已知集合4=丫/?|0乂 0 ,则4。8=()A.(0,1)B.G，l)C.(-o o,-l)u(0,i)D.(-o o,-l)u(p l)3.若G+半产(n e N*)的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =()A.11 B.10 C.9 D.84.下列命题中，正确的命题是()A.存在两条异面直线同时平行于同一个平面B.若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C.底面是矩形的四棱柱是长方体D.棱台的侧面都是等腰梯形5.如图所示，。为 4 B C 的外接圆圆心，AB=10,AC =M是边B C 的点，且 满 足 丽=2 祝，则 祠 而=(A.21B.224,N BAC为钝角,)C.29D.366.如果不等式a/+b x +c 0(a 力0)的解集为R,那么()A.a 0,A 0,4 0C.a 0D.a 0,/07 .关于函数的周期有如下三个命题:甲：已知函数y =f(x)和y =g(x)定义域均为R,最小正周期分别为7 、T2,如 果12则 函 数 y =/(X)+g(x)一定是周期函数;乙：y =f（x）不是周期函数，y =|f（x）|一定不是周期函数；丙：函数y =/（x）在R上是周期函数，则函数y =f（x）在 0,+8）上也是周期函数.其中正确的命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.38.在A4B C中，已知c c o s B=b c o s C,则此三角形的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）9 .若实数a,b,c满足92 =嗖0,贝 式）a b cA.0 a b c C.b 4a10 .已知函数/（x）的定义域为R,其导函数/（x）的图象如图所示，则对于任意修，打6/?。1片必），下列结论正确的是（）A./(x)0恒成立C f+与)f(X l)+f(X z)11.已知点P是双曲线E：式一g=1的右支上一点，&、尸2是双曲线E的左、右焦点，APa F z的面16 9积为20,则下列说法正确的有（）A.点P的横坐标为gB.APF】F 2的周长为gC.4F 1PF 2大于g D.的内切圆半径为|12.数列 a“的前n项和为4，若+。2=2,an+i=S n +l,则（）A.数列 斯 是公比为2的等比数列 B.S6=47c.吃既无最大值也无最小值 D.r+r+-+r 0)的准线与直线x =1的距离为3,则 该 抛 物 线 的 方 程 为 .1 5 .若s i n a =-|,a G (-p 0),则c o s(a +*)=.1 6.若双曲线91渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-7n)2+y2 2 1 6内，则实数机的取值 范 围 是.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)1 7.(1 4分)已知等差数列6.中，公差0其前M项和为S*,且满足。利=45,0+小 二U(I )求数列*的通项公式及其前”,项和$逐；(n)令%若 数 列 满 足G=-二,如 一6 二 姐gwN)求数列。片 的通项公式c中1 8.在AB C中，内角B,C所对的边分别是a,b,c.已知2 a =b +c,s i MA=s i n B s讥C.试判断三角形的形状.1 9.某市 倾市总体规划(2 01 6-2 03 5年”提出到2 03 5年实现“1 5分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“1 5分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6 1)、良好小区(指数为0.4 7).6)、中等小区(指数为0.2 0.4)以及待改进小区(指数为0 0.2)4个等级.下面是三个小区4 个方面指标的调查数据：小区指标值权重4 小区B小区C小区教育与文化(0.20)0.70.90.1医疗与养老(0.20)0.70.60.3交通与购物(0.32)0.50.70.2休闲与健身(0.28)0.50.60.1注：每个小区15分钟社区生活圈”指数T=W171+W272+卬 373+卬 4二，其中必，卬 2，w3W4为该小区四个方面的权重，A，T2,T3,A 为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0 1之间的一个数值).现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组0。2)0.2,0.4)0.4Q.6)0.6,0.8)0.8,1频数1020303010(I)分别判断4,B,C三个小区是否是优质小区，并说明理由；(II)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为。求f 的分布列及数学期望.20.如图，在四棱锥P 中，底面4BCD为正方形，NP4B=90,PB=PD,PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.(1)求证：AE 1 平面P8C；(2)是否存在点尸，使平面4EF与平面PCD所成的锐二面角为30。？若存在，试确定点尸的位置：若不存在，请说明理由.21 .已知函数/(%)=伍%+1 771%2(巾 R),(I)求曲线y =/(%)在(1 J(l)处的切线与直线X+2y -5=0 垂直，求m 的值；(口)若关于的不等式/(%)V 3-1-22.已知双曲线次一”=1 上任一点M(&,y o)，设M 关于%轴对称点为双曲线的左右顶点分别为6 2A ，A2(I)求直线4 1 M 与 直 线 的 交 点 P 的轨迹C 的方程.(口)设点尸(一2,0),T为直线x =-3上任意一点，过F 作直线1 1 T F 交(/)中轨迹C 于P、Q 两点，证明：。7经过线段P Q 中点(。为坐标原点)：当 最 小 时，求点7 的坐标.参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.设2=。+4 色/6/?),z=a-b i,则z-2 =2万，然后利用复数代数形式的乘除运算化简止，再1 1由复数相等的充要条件即可得到b的值，则答案可求.解：设2=Q+bi(Q,b 6 R),z=a bi,贝!J z -5=2bi.吉l+i=码(l+O际2=y2i=1.，即B II2nb,i.=e.,b,=1.则复数z 的虚部是：i故选：A.2.答案：B解析：解：，.集合/=%G /?|0%0 =x|x,或 不 0,解一元二次不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得A n B.本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.3.答案：C解析：解：由题意可得：第=碇，n N+，可得n =4+5=9.故选：C.由题意可得：第=4，n&N+,即可得出.本题考查了二项式定理的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4.答案：A解析：解：存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故 A正确；若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故 8错误；底面是矩形的直四棱柱是长方体，故 C错误；棱台的侧面不一定为等腰梯形，可以是直角梯形，故。错误.故选：A.由线面平行的性质，可判断4由面面平行的判定定理可判断B；由长方体和棱柱的关系可判断C；运用棱台的侧面性质可判断D.本题考查空间线面平行的性质和面面平行的判定定理，以及长方体和棱柱的关系，棱台的侧面性质，考查空间想象能力和判断能力，属于基础题.5.答案：B解析：解：如图所示，取4B、AC的中点。、E,连接。、0E,OD 1AB,0E 1 AC；/又 M是边BC的中点，.初=：荏+|前；I .-.AM-Ad=(AB+|4C)-AO=AB-AO+AC-AO=0/-AD-AO+-AE-AO；/3 3_ _ _ -/由数量积的定义，AD-AO=AD-AO|cos AD.|AO|cos AD|I，：.AD-AO=A D 2=25;同理，AE-AO=AE2=4;祠.而=|x 2 5+g x 4 =22.故选：B.结合图形，取AB、AC的中点D、E,地。D I AB,OE 1 A C,把 求 祠 而 化 为 求 而.而+近.而；再利用数量积的知识求出结果来.本题考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，解题时应结合图形，充分利用平面向量的线性运算与数量积的知识，是中档题.6.答案：A解析：本题考查二次不等式的解法及二次函数，由二次函数与二次不等式之间的关系即可求解.解：因为不等式ax?+法+0(a,0)的解集为R,所以函数y=ax2+bx+c 0(a*0)的图象必须是开口向上的抛物线,所以a 0,2 1 对于任意的x G R,则/(x +7)+g(x+7)=f(x+n7)+g(x+nT2)=f(x)+g(x),故甲说法正确；对乙：f(x)=si n|x|不是周期函数,但|f(x)|=|si n|x|是周期函数，故乙说法错误；对丙：函数y =%)在R 上是周期函数，则存在非零常数7,对任意xeR,都有f(x +7)=),故当x 2 0 时，也有/(x +T)=f(x),即 仍 是 周 期 为 7 的函数，故丙说法正确.故选：C.根据周期的定义，依次判断即可.本题主要考查对周期的定义的应用，解题关键是理解周期性的定义，属于中档题.8 .答案：B解析：解：在A 4 8 C 中，因为c c osB =b c osC,所以：=若，b cosB由正弦定理得：b sinB所以si nC c osB =sinBcosC,即si n(B -C)=0,所以，B=C,故选：B.依题意，利用正弦定理可得s讥C c osB =si nB c osC,逆用两角差的正弦即可求得答案.本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，突出等价转化思想的考查，属于中档题.9 .答案:AC解析：解：根据题意，若实数a,b,c 满 足 幽=处=屿 o，a b c则。2 a 1,0 b 1,0 1,则有0a 0,其导数/(x)=1-lnx在区间(0,1)上，f Q)0，f(x)为增函数,l n(2 a)_ Inb _ 呜 毕 厚，I n；rni i*r l n(2 a),Inb)呜T 01则有一 M(一 丁 一寸，则有/(2 a)f(b)/(|),故有b 2 a,C正确,同时有2 a冷，故有c4a,。错误；不能判断a、b、c的大小关系，B错误；故选：AC.根据题意，由对数的性质可得0 2 a 1,变形有-0a|,可得A正确；设函数久)=?，求出/(x)的导数，分析其单调性，由 皿 型=处=嗖带 摩，结a be 2 a b 2合函数的单调性分析C正确，8。错误，综合可得答案.本题考查函数导数与单调性的关系，涉及函数单调性的性质以及应用，属于中档题.1 0.答案：BD解析：解：由导函数的图象可知，导函数尸(乃的图象在轴下方，即(x)0,故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢.所以的图象如图所示：/(X)0恒成立，没有依据，故A不正确；B表示(与一刀2)与 f Q i)-/(%2)异号，即f(x)为减函数.故B正确；C。左边边的式子意义为与，犯中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点4的纵坐标值，显然有左边小于右边,故 C不正确，D正确,故选：BD.由导函数的图象可知，导函数尸(为的图象在x 轴下方，即尸。)0,n 0,由 PF/2 的面积为2 0,可得；I K.F 2 I 几=c n =5 n =2 0,即九=4,由先一竺=1,可得；=个，故A正确；16 9 3o n由P(,4),且F i(5,0),F2(5,0),可得kpF=H，kpp2=y,1 2 _ 1 则t a n/F i PF?=曙=黑 6 (0,遍)，1 +-J 1 y5X35则4 F 1 P F 2 则A PF i F?的周长为三+10=某 故 B正确；设 PF 1 尸 2 的内切圆半径为r，可 得 如 I P 尸 1 1 +%+|F i F2|)=i|F i F2|-4,可 得 皆=4 0,解得r =|,故。不正确.故选：ABD.设A F 1 PF 2 的内心为/,连接/P,/a,IF2,求得双曲线的a,b,c,不妨设P(m,n),m 0,n 0,运用三角形的面积公式求得P 的坐标，运用两直线的夹角公式可得t a n Z&PF?,由两点的距离公式,可得A PF i F?的周长，设A PF i F 2 的内切圆半径为乙 运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r.本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.12.答案：BD解析：解：数列 a“的前n项和为Sn,若%+。2=2,an+1=Sn+1,令n=1,知a2=S+1=%+1,结合a1+a2=2,知%=a2=|,an+i=Sn+1=an=Sn-i+1.所以cin+1 一 即=an(n 2),但%=p a2=I，=3 H 2,当n 2,5=XU)+J=3*2-2 一 1，n 1-2 2S6=3 x 1 6-1 =4 7,故 A 错误，B 正确；由于=1，心2,时,晟=表 目=成 吞 (帚，故 C 错误；所以记无最小值，有最大值，工+工+工=2+延率 0时，准线方程为x=-：=-2,4 m=8,此时抛物线方程为y2=8%.故答案为：y2=8x.15.答案：-型10解析：本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，属于基础题.由已知中s讥a=-|,a 6（-p 0）,求出cosa值，代入两角和的余弦公式，可得答案.解：v sina=-|,a 6（-p 0）,cosa=V1-sin2a=/,54、57r.5n 742 cosk（a 4）=cosacos-stnasin=-，4 7 4 4 10故答案为：_ 运.1016.答案：伍|1115或1114-5解析：试题分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意画出图形，即可求解他的取值范围.-2 2 4双曲线乙匕=1渐近线为：y=-x,9 16 32 2因为双曲线卷 相=1渐近线上的一个动点P总在平面区域（X-m）2+y2 16内,如图：只需圆心到直线的距离大于半径即可，圆的圆心坐标（犯 0）圆的半径为：4,|4 7|所 以、N4，解得：m5或m 4-5.j3-r4-实数m的取值范围是：m|m5或m 4-5 故答案为：m|m5或m 4-5 19.解：(I)设等差数列 a，的公差为d0,17.答案：因为等差数列 a，是数列，所以a 1 +a s=a：+a *=14.因为d0,4 =14,*,所 以 解 方 程 组,生4=4士 得a:=5,a*=9.所以a i=3,d=2.所以a=2 n+1.因为S*=n a：+2 n(n-1)d,所以 S*=n2+2n.数列 a，的通项公式a*=2n+l,前nJ页和公式=箝+2”g11(II)因为b*=I (n N*),a =2 n+l,所以b*=4期+D.以上各式相加得：4+i c产4(i K T )=._ 1_所 以 J-a+】）_ 1_所 以，=一诟，解析：本题考查数列的综合应用。（I）由等差数列的性质以及。述二4 5 得到的值。进而得到等差数列的通项公式和前n 项和。（口）由（1）得到数列”，%的通项公式。利用裂项求和的方法求出数列。片 的通项公式C片。1 8 .答案：解：在 A B C 中，由s i M A =s i n B s 讥C,利用正弦定理可得a?=b e.又已知2 a =b+c,故有4 a 2 =（b +c）2,化简可得（b c）2 =0,b=c.再由 2 a b+c,可得a =b,从而有a =b=c,故力B C 为等边三角形.解析：由条件利用正弦定理可得a?=b e,再由2 a =b +c 可得b =c =a,可得 A B C 为等边三角形.本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.1 9 .答案：解：（I ）4 小区指数为：1=0,2 x 0.7 +0.2 x 0.7 +0.3 2 x 0.5 +0.2 8 x 0.5 =0.5 8 0.6,B小区是优质小区.C小区指数为：Tc=0.2 x 0.1+0.2 x 0.3+0.32 x 0.2+0.28 x 0.1=0.172 0.6,.C小区不是优质小区.（II）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，抽到优质小区的个数为：10 x 曙=4个，抽到良好小区的个数为：10 x盖=3个，抽到中等小区的个数为：10 X益=2个，抽到待改进小区的个数为：10 x盖=1个，在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为。则f的可能取值为0,1,2,P&=o）=今，P（f =D=管 嗯,f的分布列为:P&=2）=今 屋，012p13815215数学期望党=0 x：+1 x 2+2 x 2=%JX O J L J 解析：（I）分别求出4、B、C三个小区指数，由此能判断4,B,C三个小区是否是优质小区.（口）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，抽到优质小区的个数为4个，抽到良好小区的个数为3个，抽到中等小区的个数为2个，抽到待改进小区的个数为1个，在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为f,则f的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出6的分布列和数学期望Ef.本题考查优质小区的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题.2 0.答案：解：(1)P A D P A B(S S S),二 /.PAD=4PAB=9 0 ,J：.-.PAI AB,PH L A D,又 TAB n 4。=4,/P 4 1 平面 A B C。，B C 回平面/B C D,A PA IBC,/*v A B C D为正方形，.4 B 1 B C,又 P A C A B =4 PA,4 8 回平面 P 4 B,二 B C 1 平面 P 4 B,A E 团平面P A B .-M E 1 B C,v PA=AB,E 为线段P B 的中点，.?!_ L P B,又 PB C B C =B,PB,B C 团平面 P B C,二 4 E 1 平面 P B C,(2)存在定点产，使平面4 E F 与平面P C O 所成的锐二面角为3 0。以4 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系4 -盯z,不妨设正方形4 B C D 的边长为2,则4(0,0,0),C(0,2,2),D(0,0,2),P(2,0,0),(1,1,0),AE=(1,1,0),P C =(-2,2,2),P D =(-2,0,2),设F(0,2,；l)(0 W4W2),则 存=(0,2,4),设平向A E F 的一个法向量为元=Q i，y i，Z i),则 伊,亚=2%+M i =0,(n -AE=/+y =0令Z =2,i?!=(A,A,2),设平面P C O 的一个法向量为记=(x2,y2,z2)(2 x2+2 y 2 +2Z2=0 1-2X2+2Z=0，令%2 1，则沆=(1,0,1),平 面 4 E F 与平面P C D 所成的锐二面角为3 0。，当解得 1，当点F 为B C 中点时，平面4 E F 与平面P C D 所成的锐二面角为3 0。.解析：(1)只需证明4 E 1 B C,AE 1 P B,即可证明4 E 平面P B C,(2)以4 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-x y z,利用空间向量求解，本题考查线面垂直的判定、二面的计算，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.21.答案：解：(I)/(x)=5+mx,切线的斜率k=f(l)=1+m,1+m=2,m=1,(II)由题意，Inx|m x2+(1 m)x+1 0,所以G(X)0所以GQ)在(0,+8)上是单调递增函数，G(l)=Ini m x l2 4-(1 m)4-1=|m +2 0,所以关于的不等式G(%)0 时，G(X)=-mM+d-nQx+l=i，x x令G(x)=0,因为 0,得 =、，所以当工 (0,)时，G(x)0；当(,+8)时，G 0,h(2)=：伍2 V 0,所以当m N 2时，h(m)0,由尸(%T)=-F(%2)，得F QI)+尸(%2)=0,即 +lnx2+1%2+%2=，整理得，“Xi+x2)2+01+x2)=X1X2-ln(XiX2)令t=xX 2。，则由0(t)=t-Int得，“(t)=等,可知0(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增.所以0(t)0(1)=1,所以(X +x2)2+0 1 +x2)1,解得X i +x2/3-lr因为X 1,刀 2 为正数，所以勺+工 2 26 一 1 成立.解析：本题考查了切线的斜率、考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题.(I)求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；(H)构造函数GQ)=Z n x -?7 1 久 2 +(1 -7 n)久+1,求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出?n 的最小值即可；(HI)求出尸(X)的表达 式,得F(X 1)+尸(%2)=0,令t =X X2。，得到。(t)=t 一比3 根据函数的单调性，证出结论即可.2 2.答案：解：(1)双曲线的左右顶点分别为4 式一花0),&(遍,0)，点(&,%),设M关于x 轴对称点为“式劭,-yo)直 线 方 程 是 丫 =春。+遍)，线的方程是y=去(%一布)，(2)遍一优=1,6 2所以3 个方程化简得交点P 的轨迹C 的方程：立+日=16 2(2)(2)凡(-2,0),T为直线P Q 方程：x=m y -2,x=m y 2x2 I y2 ，6 2 即(n t?+3)y2-4 m y-2 =0,=1 6m2 4-8(m2+3)0,4 m -2.%+丫2=诉,%丫 2=诉,X i +无 2 =血3 1 +丫 2)4 =线段P Q 中点M(一 岛，恶),mkM3V 7(-3,m),k0T=-po r 经过线段P Q 中点M 7 F|=Vm2+1.PQ=7 m 2+1 JCy1+y2/-4 yl y2 =牛 岩 蹈=居 M +1+高+4)冬当且仅当租2 +1=高 7m=4-1,等号成立.此时踹最小，7(一 3,1)或7(-3,-1)解析：求出4 1(-遂 0),人 2(历 0)，点M Q o J o),联 立 直 线 方 程 y=肃 而(X +通)，线&Mi的方程是丫=悬。一 向，?一苧=1,化简即可得出轨迹方程.x=m y 2小 ,yz d,BP(m2+3)y2-4 m y-2 =0,根据韦达定理求出中点坐标的，在求出T+T=1斜率，即可判断：。7 经过线段P Q 中点(。为坐标原点)根据题意得出需 =J,(m 2 +i+高+4),再根据不等式求解得出最小值，判断出等号成立的条件.即可得出7 点的坐标.本题综合考察了直线，抛物线，双曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，结合韦达定理，不等式，难度较大.