北京电气工程学校电工电子与电机拖动教案：第5讲电阻电路的串、并联等效变换.docx

北京电气工程学校电工电子与电机拖动教案：第 5 讲 电阻电路的串、并联等效变换和星形三角形等效变换 电压源与电流源的等效变换时间：2 学时重点和难点：无源电路的等效化简。目的：让学生把握电阻的连接方式及等效计算、变换；把握电源的等效变换方法和无源电路的等效化简。教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、电阻的串、并联等效变换 1、电阻的串联：1） 串联等效电阻图示为 n 个电阻的串联等效电路，其特点是电路没有分支，通过各电阻的电流一样。依据 KVL 和欧姆定律有u = u+ u+ L + u12n= R i + R12i + L + R in= (R + R12+ L R )inu其中 ： R = i= R + R12+ L + Rn= ånk =1= RiRkR 称为 n 个串联电阻的等效电阻。可见，串联电阻的等效电阻等于各个串联电阻之和，其等效条件是在同一电压作用下电流保持不变。图 a、b两个电路的内部构造虽然不同，但是，它们在a、b 端钮处的u、1i 关系却完全一样，即它们在端钮处对外显示的伏安特性是一样的，所以称图b 为图a的等效电路，这种替代称为等效变换。2） 串联电路分压公式在电阻串联电路中，各电阻上的电压为u= R i =Rk ukkR可见，电路中各个串联电阻的电压与电阻值成正比，上式称为串联电路分压公式。3） 串联电路功率p = ui = R i 2 + R12i 2 + L + Rni 2 = Ri 2上式说明，n 个电阻串联吸取的总功率，等于各个电阻吸取的功率之和，等于等效电阻吸取的功率。2、电阻的并联1） 并联等效电阻图所示电路为 n 个电阻的并联电路，其特点是各并联电阻两端具有一样的电压，即相互并联的各电阻接在同一对节点之间。依据 KCL 和欧姆定律有i = i + i12+ L + in= G u + G12u + L + G un= (G + G12+ L + G )un其中 ： G = iu= G + G12+ L + Gn= Gu= ån Gkk =12或写成：1 = 1 +1 + L + 1= ån1RRR12RRnk =1k上式称为 n 个并联电阻的等效电导，其倒数为等效电阻。可见，并联电阻的等效电导等于各个并联电阻倒数之和，其等效条件也是在同一电压作用下电流保持不变。当用等效电导等效电阻替代这些并联电导电阻后，图 a就简化为图 b。图a、(b)两个电路的内部构造是不同的，但是，它们在 a、b 端钮处的 u、 i 关系却完全一样，即它们在端钮处对外显示的伏安特性是一样的，所以图b 为图 (a)的等效电路。2） 并联电路分流公式在电阻并联电路中，各电阻中的电流为i= G u = Gk ikkG可见，电路中各个并联电阻中的电流与其电导值成正比。上式称为并联电路分流公式。3） 并联电路功率p = ui = G u 2 + G12u 2 + L + Gnu 2 = Gu 2上式说明，n 个电阻并联后吸取的总功率等于各个电阻吸取的功率之和，等于等效电阻吸取的功率。3、电阻的混联假设在电路中，既有电阻的串联，又有电阻的并联，这种联接方式称为电阻的串并联，又称混联。串并联电路形式多样，但经过串联和并联化简，仍可以得到一个等效电阻 R 来替代原电路。在分析计算串、并联及混联电路时，关键在于识别各电阻的串、并联关系。首先应当明确不管是串联还是并联都是针对某两端钮而言的，抽象地谈论串、并联是没有意义的。另外，假设电路中存在无阻导线，可将其缩成一点，这样，并不影响电路的其它局部；而对于等电位点电路中的等电位点是指在不转变电路联接关系的状况下，某两个或两个以上节点相对于任一电位参考点具有一样的电3位的状况。之间的电阻支路，必定无电流流过，所以既可将它看作开路，也可看作短路。经以上处理，就有可能使电路得以简化，并有利于推断电阻的串、并联关系。在电阻的串、并联电路中，假设给定端钮上的总电压或总电流，欲求各电阻上的电压或电流，一般求解步骤如下：（1） 求出串、并联电路对于给定端钮的等效电阻 R 或等效电导 G；（2） 应用欧姆定律求出总电流或总电压；（3） 应用分压公式和分流公式求出各电阻上的电压和电流。二、电阻的 Y-变换1、电阻的星形Y 形、三角形形连接：在电路中，常有三个电阻连接成即非串联又非并联的形式，如下图。图(a) 中的三个电阻 R1、R2、R3 各有一端连接在一起构成电路的一个节点 O，而另一端分别接在三个端钮 1、2、3 上，这样的连接方式称为星形连接；图b中的三个电阻 R12、R23、R31 分别接在三个端钮的每两个之间，这样的连接方式称为。图 电阻的星形和三角形接2、电阻的 Y-变换对于图示星形连接和三角形连接的电阻电路，假设令 3 端钮对外断开，那么图a中 1、2 端钮间的等效电阻等于图b中 1、2 端钮间的等效电阻。即R + RR (R=1223+ R )311 2R12+ R + R2331同理，分别令 1、2 端钮对外断开，则另两端钮间的等效电阻也应有R + RR (R=2312+ R )312 3R12+ R + R2331R + RR (R=3112+ R )233 1R12+ R + R233141） 三角形电阻求等效星形电阻的关系式：RR =311R+ R12RR12+ R2331RR=122R+ R12R23+ R2331RR=23313R+ R+ R1223312） 星形电阻求等效三角形电阻的关系式：R RR=12+ R R23+ R R3112R3R RR=12+ R R23+ R R3123R1R RR=12+ R R23+ R R3131R23） 假设星形电阻连接形式中三个电阻相等，即R = R12= R= R3Y则等效变换后，三角形电阻连接形式中的三个电阻也相等，且：R= R1223= R= R31D= 3RY反之，假设 R12= R= R2331= R ，则有： R = RD12= R= R3Y= 1 R3D3、例题分析：图a所示是测量中常用的一种电桥电路，Us=220V，R1=40，R2=36， R3=50， R4=55， R5=10，试求各支路电流。5解： 电桥电路中的电阻既非串联又非并联，将节点a、b、d 内的连接的R 、R 、R135用U 连接电路替代，原电路变换成图 2-9b所示电路。按式2-14可计算U 连接电阻为R R40 ´ 503R=1aR + R + R135= 20W40 + 50 + 10R R40 ´105R=1bR + R + R135= 4W40 + 50 + 10R R50 ´105R=3dR + R + R135= 5W40 + 50 + 10然后用电阻的串并联化简图b电路，并求得U220sI =(R + R )(R+ R ) = 5A4442R+b aRd+ R + R+ R由分流公式得b2dR+ R45 + 554I=d2R + R+ R+ R´ I =´ 5 = 3A4 + 36 + 5 + 55b2d4于是I= I - I= 5 - 3 = 2A42为了求得 R1、 R 、 R35的电流，可在图 2-9b中先求得U= RabaI + R Ib 2= 20 ´ 5 + 4 ´ 3 = 112 Vab则I= U= 112 = 2.8A在图a中按 KCL 可得1R4016I= I - I= 5 - 2.8 = 2.2A31I= I - I= 2.8 - 3 = -0.2A512另一种方法是用连接电路替代节点 a、b、c 内的U 联结电路节点 d 为U 连接的公共点，亦可化简该电路。三、电源模型的连接及等效变换 1、电源模型的连接1电压源串连的等效：图为n 个电压源串联，可以用一个电压源等效替代,如图b。由 KVL 可知，这个等效电压源的电压等于各串联电压源电压的代数和。即u= u+ u+ u= ån uss1s 2snskk =1假设usk的参考方向与图(b)中us的参考方向全都时，式中usk的前面取“”号，不全都时取“-”号。2电流源并连的等效图 (a)为n 个电流源并联，可以用一个电流源等效替代，如图 (b)。7由 KCL 可知，这个等效电流源的电流等于各并联电流源电流的代数和。即i= i+ i+ i= ån iss1s 2snskk =1假设isk的参考方向与图(b)中is的参考方向全都时，式中isk的前面取“”号，不全都时取“-”号。3说明：a、只有电压值相等的电压源才允许并联，且应同极性相并，否则违反KVL。其等效电压源为一个同值电压源。同理，只有电流值相等的电流源才允许串联， 且应同方向串联，否则违反 KCL。其等效电流源为一个同值的电流源，b、电压源us并联任一元件或支路，可以用一个等效电压源来替代。其电压仍为us，但等效电压源中的电流已不等于替代前的电压源的电流，而等于外部电流i 。同理，与电流源is串联的任一元件或支路，可以用一个等效电流源替代。其电流仍为is，但等效电流源的端电压不等于替代前的电流源的端电压，而等于外部电压u 。4） 例题分析：求图a所示电路的最简等效电路。解： 应用上述电源串、并联等效化简的方法逐步化简，便可得到最简等效电路，如图b、c所示。8二、两种实际电源模型间的等效变换1、等效的概念：实际电压源和实际电流源两种电源模型对外就有完全一样的伏安特性，即对外电路是等效的。2、等效变换的条件：它们的端电压 u 与电流 i 的关系式即端钮 ab 间的伏安特性分别是：电压源： u = u- iRuu或i =s -ssRRss电流源： i = i- uGss比照两式，假设它们的对应项相等，则有si= us； G=1sRRsssu= i； R=1sGsGss这时两种电源模型对外就有完全一样的伏安特性，即对外电路是等效的。这样，实际电压源模型与实际电流源模型之间便可以进展等效变换，其就是。3、例题分析：将图a所示电路等效化简为电压源和电阻的串联组合。解： 利用电源的串并联和等效变换的方法，按挨次逐步化简，便可得到等效电9压源和电阻的串联组合，见图d。 4、留意事项：在对两种电源模型进展等效变换时应留意和理解以下几点：（1） 两种电源模型进展等效变换时，Is 的参考方向应由 Us 的负极指向正极；假设两种电源均以电阻表示内阻，则等效变换时内阻不变。（2） 两种电源模型间的等效变换，保证端钮a、b 外部电路的电压、电流和功率一样，即只是对外等效，而对电源内部是不等效的。例如，当端钮 a、b 开路时，两种电源对外均不发出功率，但此时电压源发出功率为零，而电流源发出i2功率为 s,全部被电导吸取。G（3） 由抱负电压源和抱负电流源的特性知道，它们之间不能进展等效变换。（4） 可将两种电源模型的等效变换，进一步引申为含源支路的等效变换。即一个电压源与电阻的串联组合和一个电流源与电导的并联组合之间可以进展等效变换，这个电阻或电导不局限于是电源的内电阻或内电导。三、有源支路的等效变换 1、方法：利用电源支路的等效变换，可求得电源串并联的等效电路。几个电源串联时， 先将它们分别化为电压源支路，以合并成为一个等效的电压源支路；几个电源并联时，先将它们分别化为电流源支路，以合并成为一个等效的电流源支路。2、例题分析：求图a所示电路中的电流 I 。解： 利用电源模型的等效变换，将图a的电路简化成图d的单回路电路，变换过程见图b、c、d。在简化后的电路中，可求得电流10I =9 - 4= 0.5A1 + 2 + 711