2010数学-辽宁-文科-教师版普通高等学校招生全国统一考试数学文.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（辽宁卷，解析版）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（A）（B） （C） （D）解析：选D. 在集合中，去掉，剩下的元素构成（2）设为实数，若复数，则（A）（B）（C） （D）解析：选A. ，因此.（3）设为等比数列的前项和，已知，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6解析：选B. 两式相减得， ，.（4）已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（A） （B） （C） （D）解析：选C.函数的最小值是等价于，所以命题错误.（5）如果执行右面的程序框图，输入，那么输出的等于（A）720 （B） 360 （C） 240 （D） 120解析：选B.（6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） （B） （C） （D） 3解析：选C.由已知，周期（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（A） （B） 8 （C） （D） 16解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则（8）平面上三点不共线，设,则的面积等于 KS*5U.C#（A） （B） （C） （D）解析：选C. （9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，解得.（10）设，且，则（A） （B）10 （C）20 （D）100解析：选A.又（11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，即，第卷本试卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 。 解析：填 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，概率为：（14）设为等差数列的前项和，若，则 。解析：填15. ,解得，（15）已知且，则的取值范围是 .（答案用区间表示）解析：填. 利用线性规划，画出不等式组表示的平面区域，即可求解（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。（18）（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位：）（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面列联表，并回答能否有99.9的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。 附： 解： （）图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 （）表3疱疹面积小于疱疹面积不小于合计注射药物注射药物合计由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱的侧面是菱形，（）证明：平面平面；（）设是上的点，且平面，求的值. 解：（）因为侧面BCC1B1是菱形，所以又已知所又平面A1BC1，又平面AB1C ，所以平面平面A1BC1 . （）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B/平面B1CD，所以A1B/DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1. （20）（本小题满分12分） 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.（）求椭圆的焦距；（）如果,求椭圆的方程.解：（）设焦距为，由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.（）设直线的方程为联立解得因为即得故椭圆的方程为（21）（本小题满分12分）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设，证明：对任意，.解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4.于是0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点（）证明：;（）若的面积，求的大小.证明：（）由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.（）因为ABEADC，所以，即AB·ACAD·AE.又SAB·ACsinBAC，且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE.则sinBAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC90°.（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知P为半圆C：（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.（）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;（）求直线AM的参数方程.解：()由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为(,)()M点的直角坐标为(),A(l,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数).(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知a,b,c均为正数，证明：a2+b2+c2+6，并确定a,b,c为何值时，等号成立.证明：(证法一)因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得a2+b2+c2所以.故a2+b2+c2+又，所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当时, 式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.(证法二)因为a,b,c均为正数,由基本不等式a2+b22ab,b2+c22bcc2+a22ac.所以a2+b2+c2ab+bc+ac同理故a2+b2+c2+()2ab+bc+ac+3+3+36.所以原不等式成立当且仅当a=b=c时,式和式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.- 10 -