实数和向量积 (2)课件.ppt

1.1.向量的加法法则与减法法则？向量的加法法则与减法法则？复习回顾复习回顾(1)(1)加法的三角形法则加法的三角形法则特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连 (2)(2)加法的平行四边形法则加法的平行四边形法则特点特点：共起点，对角线：共起点，对角线(3)(3)减法的三角形法则减法的三角形法则特点特点：共起点，连终点，箭头指向被减向量：共起点，连终点，箭头指向被减向量2.2.向量模的不等式：向量模的不等式：（等号成立的条件？）（等号成立的条件？）（等号成立的条件？）（等号成立的条件？）分析：OBaAaCaPNaMaQa 已知非零向量 ,请作出:a+a+a 和(a)+(a)+(a).aOC=OA+AB+BC=a+a+a=3a-3a-3aPN=PQ+QM+MN=(a)+(a)+(a)=a（2）当）当 0时，时，的的方向方向与与 的方向相同；当的方向相同；当0时，时，的方向与的方向与 的方向相反；的方向相反；=0时，时，=aaaa0aa一般地，实数一般地，实数与向量与向量 a a 的的积积是一个是一个向量向量，这种运算叫做向量的这种运算叫做向量的数乘数乘运算，记作运算，记作a a，它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：aa （1）=aAaaaaaMaNaa3CaaB比较：2（3 a3 a）与（与（2323）a aAC=2(3 a)(3 a)MN=（2323）a a 2（3 a3 a）=（2323）a a运算律：运算律：a设设、为为实数，实数，、为向量，那么为向量，那么（1）（）=（）；（2）（）（+）=+；（3）（+）=+bbbaaaaaaa思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？量与原向量之间的位置关系吗？对于向量对于向量a(a0)a(a0)、b,b,如果有一个如果有一个实数实数，使使 b=ab=a，那么那么a a与与b b共线。共线。长度是长度是a a的长度的的长度的倍，那么当倍，那么当a a与与b b同方同方反过来，若反过来，若 a(a0)a(a0)与与b b共线，且共线，且b b的的向时，有向时，有b=a;b=a;当当a a与与b b反方向时，有反方向时，有b=-a.b=-a.有且只有一个实数有且只有一个实数，使使 b=ab=a即，若即，若a(a0)a(a0)与与b b共线，则共线，则实数实数,使得使得 b=a b=a 当且仅当当且仅当有唯一一个有唯一一个 定理：向量定理：向量b b与与非零非零向量向量a a共线，共线，(2)若 b=0 情况会怎样？思考：(1)为什么规定 a 0?作用：判断两个向量是否平行，实判断两个向量是否平行，实 际上就是找出一个实数，使际上就是找出一个实数，使 这个实数能够和其中的一个这个实数能够和其中的一个 向量把另一个向量把另一个 向量表示出来向量表示出来实数实数,使得使得 b=a b=a 当且仅当当且仅当有唯一一个有唯一一个 定理：向量定理：向量b b与与非零非零向量向量a a共线，共线，共线向量例1、练习练习:如图，已知如图，已知AD=3AB DE=3BC，试试判断判断AC与与AE是否共线是否共线思考:试用向量的方法证明三角形 中位线定理?向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量对于任意的向量 以及任意实数以及任意实数 恒有恒有 例2、如图，如图，评：三角形三条中线的交点评：三角形三条中线的交点GG叫做三角形的重心。叫做三角形的重心。小结小结 a a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 定理的应用定理的应用 证明这些运算律成立的关键，是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同。为了证明这些运算律在任何情况下都成立，还需对各种可能的情况，做较全面的讨论。下面针对第（1）条运算律进行证明求证求证:(a)=()a:(a)=()a有一个成立，则求证显然成立有一个成立，则求证显然成立.如果、均不为均不为0,0,且且a a0,有有证明：若=0=0，=0=0，a=0 a=0 中至少中至少|(a)|=|a|=|a|(a)|=|a|=|a|()a|=|a|=|a|()a|=|a|=|a|所以：|(a)|=|()a|.|(a)|=|()a|.有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等.综上，向量综上，向量()()与（与（）aa 如果、异号，则求证式子两边向量的方向都与 反向.a 如果、同号，则求证式子两边向量的方向都与 同向;a