2022年高考全国乙卷理科数学试卷.pdf

2022年全国高考乙卷理科数学试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2022 全国乙X 设全集1,2,3,4,5 ,集合 M 满足g M=l,3 ,则（）A.B.3 eA/C.4/M D.5 史M【答案】A【解析】分析：先写出集合M,然后逐项验证即可.由题知M=2,4,5,对比选项知，A 正确,BCD错误，故选A.O2.（2022 全国乙）已知z=l-2 i,且Z+龙+人=0,其中a 为实数，则（）A.a=,b=2B.a=-1,Z?=2C.a=1,/?=2D.a=-1,/?=2【答案】A【解析】分析：先算出z，再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可.z=l+2i,z+az+Z7=l-2 i+a(l+2i)+=(1+Q+力)+(2a-2)i_,l+6 F +/?=0由 Z+QZ+Z?=0,得4 ，即2。2=0a=b=-2故选A.3.R2022 全国乙已知 向 量 满足昨 百,|-2昨3,则a b =()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】分析：根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.a-2b|2=R|2-4万3 +4同，又6,|万 251=3,9=1-4无 5+4x3=13-4无 5,：.a b=,故选 C.O4.K2022 全国乙嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列也,:=1+,a1a =1+-4 十a24 =i+-L j依此类推,.+-p%-%其中aeN*伏=1,2,)贝！J()A.瓦 b5B.by bsC.b6 b2【答案】D【解析】D.b4 by法一：特殊化令%=1,则7 c 7 3.5.84=2，Z=5，4=3，2=5,人 生b广生,3处,人 竺5 8 6 13 21 8 34含斐波那契数列了，比较知选。.法 二（z/i/）：注意到ak eN*（左=1,2,），因为 必 所以-%囚 名+工a2即1+-1+一 二 一，即白历，同%a1+-a2理有b2 k-b2 k（奇 临偶）；因为。1 1+-1,即 2瓦，t z2 H-3同理有打1仇 川（奇 临奇）；同理+-1 +-1，a+a+.-%-.a,4-%即 久，进而方”6”+1 （偶 临奇）;.1 ,11+F1+-1-Clf|H-%H-%+CCy H-4即刈b4,进而 b3 b5 b.j,b2 b4 b6 b5）；B.4 仇 错（因伪 4 4）C.4 仇 错（因打 4）D.4%对（因优%0.0 1；4执行第二次循环,力=b +2 a =3+4 =7,。=一。=7 2 =5,=/+1 =3,斗72 0.0 1 ；2 5执行第三次循环,。“+2。=7 +1 0 =1 7,Q=Z?。=1 7 5 =1 2,=+1 =4,4-2a172透-2 =,又 BDCDDI=D,所以E E L平面BDD,又E E u平面片瑁所以平面与E E _L平面80,故A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,则B,(2,2,2),石(2,1,0),尸(1,2,0),5(2,2,0),A(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),(0,2,2),则 而=(-1,1,0),砒=(0,1,2),丽=(2,2,0),函=(2,0,2),A 4；=(O,O,2),A C =(-2,2,O),=(-2,2,0),设平面4E尸的法向量为m =(X ，M，z J,百 一 m -E F=-x.+y =0 _则有 一 7 1，可取m-EB =y+2 Z =0w=(2,2,-l),同理可得平面AB。的法向量为平面A AC的法向量为后=(1,1,0),平 面 的 法 向 量为卮=(1,1,1),则机勺=22+l =l w 0,所 以 平 面 尸 与 平 面 A B O 不垂直，故B 错误；因为加与2不平行，所以平面B、E F与平面 AC不平行，故C错误；因为，与 供 不平行，所以平面BE F与平面4 G。不平行，故。错误，故选A.O8.K2022 全国乙1 已知等比数列%的前 3 项和为168,4 一%=4 2,则4=（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】分析：设等比数列 4 的 公 比 为k 0,易得q l,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.设等比数列 q 的公比为q,q工0,若4=1,则%-4=。，与题意矛盾，所以4(1-/)则e “+品=-=1682 3 _q，解a2-a5=axq-aq4=42q=96得1 .q=-l 2所以4 =%夕5=3.故选Q.9.K2022 全国乙X已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球0的球面上,则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）C石 D应3 2【答案】C【解析】分析：先证明当四棱锥的顶点。到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面A B C D面积最大值为2产，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.设该四棱锥底面为四边形A8CO,四边形48CZ）所在小圆半径为r,设四边形ABC。对角线夹角为a,则SABCD=L AC B D -sin a1 1,-AC B D/?,/?,0.记该棋手连胜两盘的概率为P，贝！（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，最大【答案】D【解析】分析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为P甲则为=2（1 2）8 3+2 2 8（1 一2 3）=2p1P2+Pj-4Plp2P3记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则4=2（1-0）P2 P3+2 月。2（1 小）=2p 式 Pi+P3）-4PIP2P3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙则P丙=2（1 -P）P3 P2+2 0 P3（l2）=2 3（，|+2）-4/?|2 3则P甲-P乙=2 P|(P2 +3)-4 P|P2 P3-2 A（+A）-4 p,/?2p3=2（四-2）3 。P乙 一 P丙=2p，P+3）-4|2 3-2A（/?,+P2）-4A A A=2（2-3）1 。即P甲 P乙，P乙 P丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项。判断正确；选项8 c判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选。1 1.（2022 全国乙双曲线C的两个焦点为耳，鸟，以C的实轴为直径的圆记为D,过”作。的切线与C交于M,N两3点，且cosNN E=j,则C的离心率为()V?3A.B.-2 2V13 V17C.-D*-2 2【答案】A或C【解析】分析：依题意不妨设双曲线焦点在X轴，设过耳作圆。的切线切点为G,可判断N在双曲线的右支，F N Fa,NFFN=0,即可求出 sina,sin(3,cosP ,在鸟6 N中由sin Z F、FN=sin(a +/7)求出s in N E N,再由正弦定理求出|N|,|桃|,最后根据双曲线的定义得到2 b=3a,即可得解；依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过耳作圆。的切线切点为G,所以。G_LNf；,因为3c o s/F g =j 0,所以N在双曲线的右支，所以|OG|=a,|O6|=c,|GK|=;,设,NRNF2=a,4F5N=/3,3 3由cosN耳N g=g,即cosa=,则sin a=3，sin/?=,cos p=f5 c c在入耳N中，sinZ/7V=sin(-cr-77)=sin(a+/?)=sin a cos/?+cos a sin d4 h 3 a 3。+4人二 x +x =-5 c 5由正弦定理得2 c 叫|_|陷 =5csin a sin(5 sin ZFF2N 2所以|=y sin N g N5c 3a+4 3a+4h x-=-2 5c 2i z厂 i 5c q 5c a 5aNF2 sm/3 x-=又|N4|-|N用=细 誉 T4b 2a21 a所以2A=3 a,即2 =三,a 2所以双曲线的离心率c I b2 V13另一种情况：略选A故选4或C.o12.K2022 全国乙已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若 y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则22/)=()k=lA.21 B.22C.-23 D.-24【答案】D【解析】分析：根据对称性和已知条件得到/(x)+/(x 2)=2,从而得到/(3)+/(5)+.+/(21)=-10,/(4)+/(6)+.+/(22)=-1 0,然后根据条件得到/(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到/的值即可求解.因为y=g(x)的图像关于直线 =2对称，所以 g(2-x)=g(x+2),因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)/(x 2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),因为/(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5，代入得/(x)+7+/(x 2)=5,即f(x)+f(x-2)=-2,所以/(3)+/(5)+.+/(21)=(-2)x5=10,/(4)+/(6)+.+/(22)=(-2)x5=-10.因为/(x)+g(2 x)=5,所以/(0)+g=5,即/(0)=1,所以/(2)=-2-/(0)=-3.因为 g(x)/(x 4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为f(x)+g(2-x)=5,联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g=6因为/(x)+g(x+2)=5,所以/(l)=5-g(3)=-l.所以222/伏)=1)+2)+%=1/(3)+/(5)+.+/(21)+/(4)+/(6)+.+/(22)=-1-3 10-10=-24.故选。【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.O二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分,共 20分.13.K2022 全国乙从甲、乙等5 名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为一.3【答案】记【解析】分析：根据古典概型计算即可从 5 名同学中随机选3 名的方法数为C；=10甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以3甲、乙都入选的概率P=10故答案为三3.10O14.R2022 全国乙】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为一.【答案】(x 2 y+(y 3)2=13或(-2)2+()-1)2=5或【解析】分析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；依题意设圆的方程为X2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(4,0),(-1,1),则F=0 16 +4D+F =0 ,解得1 +1-D +E+F =OF=0 D=-4,E=-6所以圆的方程为f +y 2 4 x -6 y =0,即（x _ 2 y+（y _3）2=13：若过（）,（），（4,0）,（4,2）,则F=0+2 E+F =0尸=0,。4,E=-2所以圆的方程为x 2+y 2-4 x-2y =0,即（_2）2+（k 1）2=5；若过（0,0）,（4,2）,（-1,1）,则F=0 1 +1 Z）+E+F=0,解得16+4+4O+2E+E=0F=03 14E=-3所以圆的方程为x2+y2-x y=0,即-3 3若过（一1,1）,（4,0）,（4,2）,则l+l-D +E+F=0 O,O V 0 V 7 t)的最小正周期为T,若f(T)=*,TT=3为/(X)的零点，则力的最小值为【答案】3【解析】分析：首先表示出T,根据/(7)=5求出7T(P，再根据x =为函数的零点，即可求9出。的取值，从而得解；因为/(x)=c o s(y x+),(ty 0,0 0且的极小值点和极大值点.若玉 ，则a的取值范围是_.【答案】(：)【解析】分析：由 玉 分 别 是 函 数f(x)-2 ax-e x2的极小值点和极大值点，可得X G(-,)U(X,-+)时，/，(X)(),再分。1和0。1两种情况讨论，方程21n a-a 2e x =0的两个根为药,工2，即函数y =与函数y =e x的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=ln aS ,根据导数的结合意义结合图象即可得出答案./(X)=21n a-a*-2e x,因 为 分 别 是 函 数/(%)=2tz -e x2的极小值点和极大值点，所以函数/(%)在(-0 0,%1)和工2，+0)上递减，在(西,%)上递增，所以当 x e (-8,XJD(9,+8)时，/(%)0,当尤 0,2e x o,与前面矛盾，故。1不符合题意，若0 Q 1时，则方程2 na-ax-2 e x =0的两个根为元 ,当，即方程lna-优=ex的两个根为无 ,工2，即函数y=lna优与函数y=ex的图象有两个不同的交点，令g(x)=lna-a”,则g(x)=In2 a,()a Ina1则切线的斜率为h?a叔=eln%,因为函数y=lna-a*与函数y=e尤的图象有两个不同的交点，,所以e h r a e,解得-a e,e又0。1,所以一。1,e综上所述，。的范围为【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.三、解答题：共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.2022 全国乙记AABC的内角的对边分别为a,d c,已知s in C s in(A B)=s in B s in(C-A).证明：2a2=b2+c(2)若 a=5,c o s A=，求 A B C 的周31长.【答案】【解析】分析：(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出be,从而可求得匕+c,即可得解.(1)证明：因为s in Cs in(A-B)=s in Bs in(CA),所以s in C s in Ac o s B-s in C s in 8 c o s A-s in Bs in Ce o s A -s in Bs in Ac o s C,所以-上 士-2儿 上 三2ac2bc,a2+b2-c2-ab-2ab即Y +/2_,2-a22所以 2 4=+。2；25(2)因为 a-5,c o s A=一31由得+c2=50,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,J0U5O-bc=25,31所 以 尻=3乙1，2故(b+c)2=b2+c2+2 =50+31=81,所以力+c=9,所以AABC的周长为a+Z?+c=14.18.K2022 全国乙工如图，四面体ABCD中，AD CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E 为 A C 的中点.(1)证明：平面3EJ_平面AC。；设 A8=BO=2,ZAC8=60。，点尸在 89上，当 Af C的面积最小时，求C E 与 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值.【答案】【解析】分析：(1)根据已知关系证明/X AB D C B D,得到 A B =C B,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；根据勾股定理逆用得到B E上D E,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.(1)因为=E 为 A C 的中点，所以 AC_LOE；在ARD和ACB。中，因为A D =CD,Z A D B =ZCDB,D B =D B,所以ABD四CB。，所以A B =C B,又因为E为A C的中点，所以 A C L B E；又因为DE,B E u平面B E D,O E c BE=E，所以 AC J_ 平面 BE。，因为A C u平面AC。，所以平面平面 ACO.(2)连 接 ，由(1)知，A C _ L平面BE。,因为E/u平面BE。，所以A C L E E,所以S&AFC=3AC.EF 当EFL BD时,EF最 小,即AFC的面积最小.因为ABD四CB。，所以CB=AB=2,又因为NACB=60,所以AABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=6因为AD_LC。，所以。E=AC=1,2在 ADEB 中,DE1+BE1 BD1,所以BE工DE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则 A（1,0,0）,8（0,G,0）,0（0,0,1）,所以而=（一1,0,1）,丽=（一1,6,0）,设平面A5。的一个法向量为n=（x,y,z）,h AD=-x +z=0 厂则_ f-，取y=J3,n A B =一1+J 3y=0则 1=3,百,3),(C又因为C(1,0,0),所以所以_ 4 6-7-设C F与平面A 5 O所成的角的正弦值为所以C F与平面A 3。所成的角的正弦值为J百 .O1 9.(2022 全国乙1某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：H?)和材积量(单位：n?),得到如下数据:样本号i1234567根部横截面积百0.040.060.040.080.080.050.0:材积量y；0.250.400.220.540.510.340 3并计算得10 10=0.0 3 8,/=1.6158,i=l i=l102 甘=0.2474.i=l(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数(七 一 君(一 刃r-i=l、忙a一 元)吃(x一 寸 i=l i=l71.896 1.377.【答案】【解析】分析：(1)计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值.(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值了=竺 =0.0610样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=3=90.3 9-10据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m 2,平均一棵的材积量为0.39n?Zx*-10 取0.2474-10 x0.06x0.397(0.038-10 x 0.062)(1.6158-10 x 0.392)0.0134 S O W ”V 0.0001896 0.01377贝 心0.97(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Yn?,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可 得 理=暨，解之得=12090?.0.39 Y则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3O20.R 2022 全国乙已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),呜两点.(1)求E的方程；(2)设过点P(l,2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段4 8交于点7,点H满足MT =亍百.证明：直线H N过定点.【答案】【解析】设椭圆E的方程为如2 +ny2=,过A(0,一4n=1则 若过点P(l,-2)的直线斜率不存在，将x直线1=1代入一3可得M（l,手）,方程 y=g x-T（#+3,孚）（2 +5，0 2限y=（2 ）%2 y2-+-=1,4,N（l,一 2f）,代入-2,可得,由 7 =77/得到1）.求得H N方程：-2,过点（0,2）.若过点P(l,-2)的直线斜率存在，设k x-y-(k +2)=0,M(0,即/(x)0,所以/(x)在(一1,0)上单调递/U)0所以g(x)在(0,+oo)上单调递增，所以g(x)g(0)=1 +a.0,即 ff(x)0所以/(x)在(0,+oo)上单调递增(x)/(0)=0,故f(x)在(0,+8)上没有零点,不合题意；3 若 a 0，所以 g(x)在(0,+o。)上单调递增，(0)=1 +a 0.所以存在m e (0,1)，使得g(m)=0,即r(M=o,当 x e (0,/),/(x)0,/(X)单调递增，所以当 x e (0,ni),f(x)0,所以g(x)在(1,0)单调递增，g(-l)=1+2a 0,e所以存在n e(1,0),使得g()=0,当 x w (-1,),g(x)0,g(x)单调递胤 g(x)g(0)=1 +a 0,e所以存在t e (-1,ri)，使得g )=0,即r )=o，当单调递增，当x e(f,O),/(x)单调递减，有 X 1,/(X)oo,而7(0)=0,所以当x s(f,O),/(x)0,所以/(x)在(一1,。上有唯一零点,(/,0)上无零点，即/(x)在(一1,0)上有唯一零点，所以。一1,符合题意，所以若/(x)在区间(-1,0),(0,+oo)各恰有一个零点，。的取值范围为(-00,-1).另法：(1)略(2)/(%)=0 o l n(l +x)=-axex -ax=e l n(l +x),令h(x)=-ax,qx=ex l n(l +x)则函数/(x)在区间(-1,0),(0,+oo)各恰有一个零点等价于函数h(x)=-ax,q(x)=ex l n(l +x)的图像在区间(一 1,0),(0,+8)上各恰有一个公共点.显然(x)=一+l n(1 +切，1 +xg(x)=7+3 1 +外，1 +xr,、1 1 x贝=而 了,显然 g (0)=0当X G(-1,0)时，g，(x)0 ,函数 g(x)单调递增.函数g(x)在x =0时，取得极小值也即是最小值 g(0)=l,故 g(x)2 g(0)0所以q (x)=e*g(x)0,即函数q(x)在(一1,+8)上单调递增，且有式0)=0此时/(0)=1,于是函数q(x)=evl n(l +x)的图像在原点处的切线为y =x若直线/7(x)=o x为切线，则一。=1,根据切线的性质可知，当x w(1,0)时，直线y=x在函数图像上方；当x w(0,+o o)时，直线y =x在函数图像下方.又函数在(-1,+OO)上单调递增，故当直线“(X)=-a x的斜率大于1时，即7 +3工+机=0,2 2整理得/的直角坐标方程为V3x+y+2m=0.(2)联立/与。的方程，即将元=G eos2f,y=2sin/代入行冗+丁+2加=0中，可得3cos 2/+2sinf+2机=0,所以 3(1 Zsin?，)+2sin，+2zn=0,化简为一Gsin?，+2sin，+3+2m=0,要使/与。有公共点，则2 2 =6sin-2sinf-3 有解，令sinf=，则。一1,1,令f (a)=6cr 2a 3,(IWaWl),对称轴为。=一，开口向上，6所以/3),四=/(-1)=6+2-3 =5,、_ “I-1 2 1 9f(a)m i n =/(2)=工2 _ 3 =-*6 6 6 01 9所以一二4 2 M W 5,61 9 5m的取值范围为-m.1 2 2优化：由 2 m=6s i n，-2 s i n f 3 ,得为+=3 s i nf -s i n f ,研究2/(x)=3 f -x (IW x W l)简单.O 选修4 5：不等式选讲2 3.R 2 0 2 2 全国乙已知 b,c都是3 3 3正数，且/+庐+/=1,证明：(l)abc 9a b c ,1(2)-1-1-0,Z?0,c 0,3 3 3则 层 0,房0,府 0,3 3 3/J 1 1即所以a反,当且仅3 3 3 R当=匕2=5，即。=。=时取等号.(2)证明：因为 0,b0,c 0,所以b+cN2yj,a+c 2yac,a+h 2ah,3a/a _ a2m 以-K-=-9b+c 2bc lylahc3b b _ b*1b+c a+c a+h3 3 3 3 3h2+c2 _+b2+c2abc 2labc 21abe12abc当且仅当a=h=c时取等号.a+c 2ac 2abc3c c _ c2a+b 2fab lyjabc32yJahcO