2021年中考数学压轴题15锐角三角函数的应用.pdf

专题15锐角三角函数的应用【例1】（2020苏 州）典例剖析【考 点 1锐角三角函数的应用选择题型【例 1】（2020苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作:（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角/A C E=a；（2）量得测角仪的高度CD=a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离OB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A.（z+btana B.a+bsina C.a-V-D.a+tana sina【变 式 1-1（2019无锡）已知，在 RtZABC中，NC=90,若 siM=务 B C=4,则 AB长 为（）,4V5 8,A.6 B.-C.-D.2-/1 35 3【变 式 1-2（2 01 9 苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼A8的高度，将测角仪8 竖直放置在与教学楼水平距离为1 8 次机的地面上，若测角仪的高度是1.5 也测得教学楼的顶部A处的仰角为3 0 .则教学楼的高度是（）A.55.5mB.5 4 mC.1 9.5/MD.1 8/n【变 式 1-3（2 02 0张家港市模拟）如图，已知A,3两点的坐标分别为（8,0）,（0,8）,点 C,F分别是直线x=-5和 x轴上的动点，C F=1 0,点。是线段C 尸的中点，连 接 交），轴于点E,当 A B E 面积取4V2C.1372D.26【考点2】锐角三角函数的应用填空题型【例 2】（2 02 0南通）如图，测角仪C。竖直放在距建筑物A B 底部5”?的位置，在。处测得建筑物顶端A的仰角为5 0 .若测角仪的高度是1.5?，则建筑物AB的高度约为m.（结果保留小数点后一位，参考数据：si n 5 0 弋0.7 7,c o s5 0 七0.6 4,l an 5 0 =1.1 9）【变式2.1（2 01 9 徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部8处的仰角为4 5 ,测得该建筑底部C处的俯角为1 7 .若无人机的飞行高度AO为 6 2 机，则该建筑的高度B C为 m.（参考数据：si n l 7 0.2 9,c o s!7 七0.9 6,tan l 7 弋0.3 1）B【变 式 2.2（2 01 9 宿迁）如图，NM A N=60 ,若a ABC的顶点B在射线4W 上，且 A 8=2,点 C在射线 AN上运动，当 A B C 是锐角三角形时，BC的取值范围是【变式2.3】（2 01 9 盐城）如图，在 A B C 中，BC=V6 +V2,ZC=4 5 ,A B 近AC,则A C的长为【考点3】锐角三角函数的应用解答题型【例 3】（2 02 0宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A,8两个观测站，A在 B的正西方向，A B=2 k m,从观测站A测得船C在北偏东4 5 的方向，从观测站8测得船C在北偏西3 0。的方向.求船C离观测站A的距离.东【变式3-1（2 02 0徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼.如图，在矩形广场4 B C Z）边 AB的中点M 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东4 5 方向，爸爸在小红的北偏东6 0方向，若小红到雕塑的距离P M=3 0 m,求小红与爸爸的距离尸Q.（结果精确到 m,参考数据：7 1=1.4 1,V3 1.7 3,拈=2.4 5）【变式3-2（2 02 0南京）如图，在港口 A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26方向航行至力处，在 B、C 处分别测得N A B=45、N C=37.求轮船航行的距离 A Z）.（参考数据：s i n 26 g0.44,c o s 26 g0.90,t a n 26 g0.49,s i n 37 g0.60,c o s 37 g0.80,t a n 37 0.75.）【变 式 3-3 （20 20 泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面1 5机的A处测得在C处的龙舟俯角为23 ；他登高6 m到正上方的B处测得驶至。处的龙舟俯角为50 ,问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1 根，参考数据：t a n 23 弋0.42,t a n 40 0.84,t a n 50 0 -1.1 9,t a n 670 弋2.36）压轴精练一.选 择 题（共 5 小题）1.（20 20 宿迁模拟）如图，A 8C的顶点都是正方形网格中的格点，贝 I j t a n/8A C等 于（）2.（20 20 盐池县模拟）如图，在 R t Z i A BC中，Z A C B=90 ,C D 是 AB 边上的中线，A C=8,BC=6,3.（20 20 清江浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过 点（3,1）,贝 h a n a 的 值 是（）4.（20 20 如皋市二模）如图，为了测量某建筑物A3 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A的仰角为30 ,沿 C B 方向前进1 2机到达。处，在。处测得建筑物顶端A的仰角为45 ,则建筑物AB 的高度等 于（）A.1 2（V 3+1）m B.1 2（V 3-1）m C.6（V 3+1）m D.6（V 3-1）m5.（20 20 高新区一模）如图，某海监船以20 海里J、时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿尸恰好在其正北方向，继续向东航行1 小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西 3 0 方向，保持航向不变，又航行2 小时到达C 处，止匕时海监船与岛屿P 之间的距离（即尸C 的长）A.40海里 B.60海里 C.4 0 6 海里 D.20国海里二.填 空 题（共 5 小题）6.（2020惠山区校级一模）如 图 1,AB=EG=5,FG=10,A C=4,小红想用EFG包裹矩形ABC。，她包裹的方法如图2 所示，则矩形ABCD未 包 裹 住 的 面 积 为.7.（2020海门市一模）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆A 8的高度，站在教学楼的。处测得旗杆底端2 的俯角为30,测得旗杆顶端A 的仰角为45,若旗杆与教学楼的距离为12?，则旗杆 的 高 度 是 m.（结果保留根号）8.（2020徐州模拟）2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A 处，测得起点拱门C。的顶部C 的俯角为35,底部。的俯角为45,如果A 处离地面的高度A 8=20米，求起点拱门8 的高度 九（结果精确到 1 米;参考数据：sin35-0.57,cos35 0.82,tan35*=0.70）.9.（2020靖江市一模）刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6 R,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时;如果按照上述方法计算，可得圆周率为.（参考数据:sin/50=0.26)热、10.（2020张家港市模拟）如图，在ABC中，AB A C,8 c=1 2,。为AC边的中点，线 段8。的垂直平分线分别与边BC,A B交于点、E,F,连 接。尸，E F.设3E=x,tanN A C 8=y.给出以下结论：。尸 3B C；B/）E的面积为5盯；COE的周长为12+x；x2-/=9；2 x -y2=9.其中正确结论有（把你认为正确结论的序号都填上）.D三.解 答 题（共10小题）1 1.（2 0 2 0 盐城）如图，在 4 B C 中，N C=9 0 ,t a M=孚，NABC的平分线8。交 AC于点。，C =a,求 AB的长？1 2.（2 0 2 0 淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得N C A 8=3 0 ,Z A B C=45 ,AC=8千米，求 A、2两点间的距离.（参考数据：鱼=1.4,V 3 1.7,结果精确到1 千米）.1 3.（2 0 1 9 南京）如图，山顶有一塔A B,塔高3 3?.计划在塔的正下方沿直线CC开通穿山隧道E F.从与 E点相距8 0 机的 C处测得A、8的仰角分别为2 7、2 2 ,从与尸点相距5 0 初 的。处测得A的仰角为4 5 .求隧道E F的长度.（参考数据：t a n 2 2 -0.4 0,t a n 2 7 -0.5 1.）1 4.（2 0 2 0 鼓楼区校级模拟）如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡QE=4米，坡角N D E B=4 1 ,小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为6 0。，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为4 5 ,其中点8,C,E在同一直线上求大楼AC的高度.（结果精确到整数.参考数据：国 1.7 3,s i n 4 1 0.6,c o s 4 1 七0.7 5,t a n 4 l 0.8 7)15.（2 0 2 0 徐州模拟）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树。E的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D的仰角为3 0 ,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端。的仰角为6 0 ,已知A 点的高度4B为 2米，台阶A C的坡度i=l：2,且 B,C,E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树OE的高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）16.（2 0 2 0 镇江）如图，点 E与树A 8的根部点A、建 筑 物 的 底 部 点 C在一条直线上，AC=10,.小明站在点E处观测树顶B的仰角为3 0 ,他从点E出发沿E C方向前进6n到点G时，观测树顶B的仰角为4 5 ,此 时 恰 好 看 不 到 建 筑 物 的 顶 部。B、。三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地 面 1.6?，求建筑物CD的 高 度（结果精确到0.1?）.（参考数据：V 2 遮=1.7 3.）17.（2 0 19 泰州）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区A C的坡度，.为 1：2,顶端C离水平地面AB的高度为10，从顶棚的。处看E处的仰角a=18 3 0 ,竖直的立杆上C、。两点间的距离为4 m，E处到观众区底端A 处的水平距离A 尸为3 根.求：（1）观众区的水平宽度A 3；（2）顶棚的E处离地面的高度E F.（s i n l 8 3 0 0.3 2,t a n/8 3 0 弋0.3 3,结果精确到0.1M18.（2 0 19 绍兴）如 图 1 为放置在水平桌面/上的台灯，底座的高A 8为 5 c 7 ，长度均为2 0 c m 的连杆B C,C D与A B始终在同一平面上.（1）转动连杆BC,C D,使N B C D成平角，N AB C=15 0 ,如 图 2,求连杆端点D离桌面I的高度DE.（2）将（1）中的连杆C。再绕点C逆时针旋转，使/B C =16 5 ,如图3,问此时连杆端点。离桌面/的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到O.l c r o,参考数据：e=1.4 1,V 3 1.7 3）19.（2 0 19 连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A 正北方向，距离为2 5 海里.在某时刻，哨所A 与哨所8同时发现一走私船，其位置C位于哨所A 北偏东5 3 的方向上，位于哨所8南偏东3 7 的方向上.（1）求观察哨所4与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C处 以 16 海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 7 6 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在。处成功 拦 截.（结果保留根号）（参考数据：s i n 3 7 =c o s 5 3 c o s 3 7 =s i n 5 3 美,3一420.(2020连云港)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在 水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如 图，半径为3？的筒车。按逆时针方向每分钟转$圈，筒车与水面分别交于点4B,筒车的轴心。距离水面的高度。C 长为2.2见 筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.(1)经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距离水面多高？(3)若 接 水 槽 所 在 直 线 是 的 切 线，且与直线AB交于点M,M O=S m.求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.(参考数据：cos43。=sin47。sinl6=cos74。七 焉 sin22=cos68。*专题15锐角三角函数的应用【例1】（2020苏 州）典例剖析【考 点 1锐角三角函数的应用选择题型【例 1】（2020苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作:（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角/A C E=a；（2）量得测角仪的高度CD=a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离OB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A.a+/?tana B.a+bsina C.a+-D.a+tana【分析】过 C 作 C凡LAB于凡 则四边形8尸 CO是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论.【解析】过 C作C F L A B于尸，则四边形B F C D是矩形,/.B F=C D=a1 CF=B D=b,/Z A C F=a,.AF AF.ta n a=万，.*.A F=f e*ta n a,：.AB=AF+BF=a+b tana.故选：A.【变 式 1-1（2 0 1 9 无锡）已知，在 R tZ V L B C 中，Z C=9 0 ,若 s i a 4=第B C=4,则 AB长 为（）8-3C6A.B.D.2 V 1 3【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案.7【解析】如图所示：8 c=4,.BC 2 4S i n A=AB=3=AB解得：AB=6.故选：A.【变 式 1-2（2 0 1 9 苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CO竖直放置在与教学楼水平距离为1 8 次 加的地面上，若测角仪的高度是1.5 相.测得教学楼的顶部A处的仰角为3 0.则教学楼的高度是（）A.55.5m B.54m C.9.5m【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.【解析】过。作。.在D处测得教学楼的顶部A的仰角为3 0 ,./A E=30 ,：BC=D E=%y 3m,.A E=D t a n 30 =1 8，%：.AB=AE+BE=AE+CD S+.59.5m,故选：C.D.1 8 i【变 式1-3（2 0 2 0张家港市模拟）如图，已知A,8两点的坐标分别为（8,0）,（0,8）,点C,尸分别是直线x=-5和x轴上的动点，C F=1 0,点。是线段C尸的中点，连接AO交y轴于点E,当 A B E面积取得最小值时，s i n N B A O的 值 是（）【分析】如图，设直线x=-5交x轴于K.由题意K0=gF=5,推出点。的运动轨迹是以K为圆心,5为半径的圆，推出当直线AD与0K相切时，A 8E的面积最小，作于H,求 出E”，即可解决问题.【解析】如图，设直线x=-5交x轴 于K.由题意（。=上 尸=5,点。的运动轨迹是以K 为圆心，5 为半径的圆,当直线A。与O K 相切时，ABE的面积最小，AD是切线，点。是切点，:.ADKD9a：AK=1 3,D K=5,AO=12,+0 E DK n Z E A O=O A =A Df.O E 5 ,8 12：.AE=VOF2+O A2=詈，作 EH1.AB 于 H.1SMBE=ABEH=SMOB-SMOE,.7/Z ELH-3,：.a m Z B A D=绪=孟=嘿.T故选：D.【考点2】锐角三角函数的应用填空题型【例 2】（2020南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物4 8 底部5机的位置，在。处测得建筑物顶端A的仰角为50.若测角仪的高度是1.5机，则建筑物A 8 的 高 度 约 为 7.5 m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50 0.77,cos50=0.64,tan50 1.19）【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可.【解析】如图，过点。作垂足为点E,则 D E=3C=5,DC=BE=15,在 RtZMDE 中,：tan ZADE=彘，：.AE=tan A ADE-DE=tan50 X 5 1.19X 5=5.95（:米），：.AB=AE+BE=5.95+1.51.5（米），故答案为：7.5.【变 式 2.1（2019徐州）如图，无人机于空中4 处测得某建筑顶部8 处的仰角为45,测得该建筑底部C 处的俯角为17.若无人机的飞行高度4。为 62机，则该建筑的高度8 c 为2 6 2 利.（参考数据:sinl7 0.29,cosl7 0.96,tan 170-0.3 1）BD C【分析】作 AEJ_8CE,根据正切的定义求出4 E,根据等腰直角三角形的性质求出8 E,结合图形计算即可.【解析】作 AEL 8 c 于 E,则四边形AOCE为矩形，EC=A=62,在 R t Z A E C 中，t a n N E 4 C=器m.i a 匚 EC 6 2则 AE=-t-a-nZA-rE AQC 0.3=12 0 0,在 R t Z Sj l E B 中，/BAE=45,：.BE=AE=200,：.C=2 0 0+6 2 =2 6 2 (m),则该建筑的高度B C为 2 6 2 n?,故答案为:2 6 2.BD C【变式2.2 （2 0 1 9宿迁）如图，N M A N=6 0：若 A 8C 的顶点B在射线AM上，且 4 8=2,点 C在射线 AN上运动，当 4 B C 是锐角三角形时，8 c的取值范围是_ MV B C 2遍.【分析】当点C在射线AN上运动，A 8C 的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的8 c的值.【解析】如图，过点B作 B C i _ L A N,垂足为C i,BC2 AM,交 AN于点C 2在 R t Z XA B C i 中，A8=2,乙4=6 0 ,乙4 8c l =30：.A C =A B ,由勾股定理得：BC=V 3,在 R t 8 C 2 中，AB=2,Z A=6 0，ZAC2B=30：.A C 2=4,由勾股定理得：B C 2 =2 V 3,当 A B C 是锐角三角形时，点 C在 C 1 C 2 上移动，此时V 5 V 8 C V 2 V 1故答案为：V 3 B C JAB2-A D2=警：.BC=BD+CD=容+*=V6+V2,x=2.故答案为：2.【考点3】锐角三角函数的应用解答题型【例3】（2020宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A,8两个观测站，A在B的正西方向，A B=2km,从观测站4测得船C在北偏东4 5 的方向，从观测站8测得船C在北偏西3 0 的方向.求船C离观测站A的距离.【分析】如图，过 点 C作 C DJ _ A 8 于点力，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.【解析】如图，过点C作于点Q,：.AD=CD,设 A Z)=x,则 AC=&Z.B D=A B-A D 2-x,Z C B D=6 0 ,rn在 R t Z i B C Q 中，：tanZCBD=j解得x=3-遮.经检验，x=3 g是原方程的根.：.AC=2x=2(3-V 3)=(3V 2-A/6)km.答：船 C离观测站A的距离为(3V 2-V 6)km.【变式3-1 (2 0 2 0 徐州)小红和爸爸绕着小区广场锻炼.如图，在矩形广场A B C。边 A8的中点M 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点。处，此时雕塑在小红的南偏东4 5 方向，爸爸在小红的北偏东6 0 方向，若小红到雕塑的距离P M=3 0%,求小红与爸爸的距离尸。(结果精确到 m,参考数据：V 2 1.4 1,V 3 1.7 3,遥 2.4 5)【分析】作 PMLBC于 N,则四边形ABN尸是矩形，得 P N=A 8,证 出 是 等 腰 直 角 三 角 形，得A M=?M=15&m,则 PN=A8=2AM=30近 ，在 RtPN。中，由含3 0 角的直角三角形的性质得 NQ=等 呐=10倔 n,PQ=2NQQ49，即可.【解析】过点P 作 PNJ_BC于 M如图，则四边形A8N尸是矩形，P N=AB,.四边形ABC。是矩形，-90 ,：ZAP M=45 ,二 是 等 腰 直 角 三 角 形，：.AM=PM=x30=15V2（加），是 AB的中点,P N=A B=2 A M=3 Q&m,在 RtZPNQ 中，N N P Q=90 -ZD P Q=90 -60=30,：.N Q=-P N=l（h/6in,P Q=2N Q=20/6 49（，”）；答：小红与爸爸的距离PQ约为49?.【变式3-2（2020南京）如图，在港口 A 处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A 处出发，沿北偏东2 6 方向航行至。处，在 8、C 处分别测得NA8=45、NC=37.求轮船航行的距离 AD（参考数据：sin26-0.44,co距60 40.90,tan26 0.49,sin37 40,60,cos37-0.80,tan37 0.7 5.)【分析】过点。作于点”，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD【解析】如图，过点。作于点从在 RlZOCH 中,ZC=37,：.CH=DHtan37f在 中,NDBH=45,:BH=,tan450:BC=CH-BH,DH _D_H_ 69 tan370 tan450 解得在 RtZDAH 中,乙 MH=26,答：轮船航行的距离A D约为20km.【变 式 3-3（2020泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的 A 处测得在C 处的龙舟俯角为23；他登高6 m到正上方的B处测得驶至力处的龙舟俯角为50,问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1,，参考数据：tan23 七0.42,tan40 0.84,tan50 弋1.19,tan670 弋2.36)【分析】如图，根据题意得，Z C=23,NB DE=50 ,A E=1 5m,B E=2 l m,解直角三角形即可得到结论.【解析】如图，根据题意得，N C=23,NB D E=50 ,AE=15 i,BE=2lm,A p 1 q在 R t AACE 中,t a n C=t a n 23=卷=品 皿 42,解得：CE=35.7,D C 21在 R t Z X BDE 中，t a n N BO E=t a n 5 0=注=法七1.19,解得：D E到7.6,：.C D=CE-D E=35.7-17.6=18.1 -18”?,答：两次观测期间龙舟前进了 18/n.压轴精练选 择 题（共 5 小题）1.（2020宿迁模拟）如图，A A B C 的顶点都是正方形网格中的格点，则 t a n/A4c 等 于（）【分析】设小正方形的边长为1,根据勾股定理可求出C尸 和 的 长 度，然后根据锐角三角函数的值即可求出答案.【解析】设小正方形的边长为1,过 C 作CF AB于F,由勾股定理得：A 8=2 ,AC=2VL BC=2,由三角形面积公式得：A B X C F=B C X A E,2V5 xC尸=2X2,解得：C F=号,在 RtZiAFC中，由勾股定理得：AF=皑，r F275tanN8AC=A-r-Fp =6V5=53.S故选：B.2.（2020盐池县模拟）如图，在 RtZiABC中，ZACB=90,C。是 AB边上的中线，AC=8,BC=6,则NACZ）的正切值是（）【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CC=AQ,再根据等边对等角的性质可得/A=Z A C D,然后根据正切函数的定义列式求出N A 的正切值，即为tanNACO的值.【解析】：CO是 4 8 边上的中线,：.CD=AD,：./A =/ACO,V Z/lCB=90o,BC=6,4 c=8,3-4=6-8=c-cFtanZA=T3：.tanZACD 的值一.4故选：D.3.（2020清江浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过 点（3,1）,贝 I J t a n a 的 值 是（）【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案.【解析】如图：过点4 做 x轴的垂线，交 x 轴于点8（3,1）,.08=3,A8=l,.,AB 1.t a n a=砺=可4.（2020如皋市二模）如图，为了测量某建筑物A B 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30 ,沿 C B 方向前进12机到达。处，在。处测得建筑物顶端A 的仰角为45 ,则建筑物A B 的高度等 于（）A.1 2（V 3+1）m B.1 2（V 3-1）m C.6（V 3+1）m D.6（,C B；根据B C-）8=CZ）即可求出建筑物A 8的高度.【解析】.在 RtZXABC 中，ZACB=30,tan Z.ACBtan30 =近，在 RtZXABO 中，tan/AOB=tan45=第，AP:.BD=*=A8.tan450：CD=BC-B D=A B（V 3-1）=12,.8=6（V 3+1）m.故选：C.5.（2020高新区一模）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1 小时到达8 处，测得岛屿P 在其北偏西 3 0 方向，保持航向不变，又航行2 小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即 PC 的长）A.40海里 B.60海里 C.406海里 D.20遮海里【分析】首先证明P 8=8 C,推出NC=30,可得尸C=2雨，求出B4即可解决问题.【解析】在 RtZkRIB 中，.,NAPB=30,：.PB=2AB,由题意得BC=2AB,：.PB=BC,:.NC=NCPB,V ZABP=ZC+ZCPB=60,A Z C=30 ,PC=2M:%=48ran60,A PC=2X20 x V3=40V3（海里），故选：C.二.填 空 题（共 5 小题）6.（2020惠山区校级一模）如 图 1,AB=EG=5,FG=10,A O=4,小红想用EFG包裹矩形ABC。，她包裹的方法如图2 所示，则矩形ABCD未包裹住的面积为16.【分析】利用相似三角形的判定，证 明 RtAFz HNRt/XF E G,利用相似三角形的性质，求 得 HM利用三角形的面积公式得结果.【解析】如图2,将矩形ABCO和 RtZEC尸以AO为轴翻折，VRtAGBERtAGB,C ,GB EB 5-4-=-,即-=-,GBf BfCf GBf 4解得：GB=8,i iC G吨c G=1x4X8=16,7.（2020海门市一模）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的。处测得旗杆底端5 的俯角为30,测得旗杆顶端A 的仰角为45,若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆 AB的局度是 _024百）.（结果保留根号）B【分析】作 0C_LA8于 点 C,根据题意可得，ZAOC=45,NBOC=30,0 C=1 2,再根据特殊角三角函数即可求出AC和 BC的值，进而可得AB的值.【解析】如图，作 OCLAB于点C,.NACO=NBCO=90,根据题意可知：ZAOC=45,N3OC=30,0C=12,.C=0 C=1 2,F58C=0C tan30=1 2 x =4 7 5.：.AB=AC+BC=I2+4V3 Cm）.所以旗杆4 8 的高度是（12+46）m.故答案为：（12+48）.8.（2020徐州模拟）2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A 处，测得起点拱门C。的顶部C 的俯角为35,底部力的俯角为45,如果4 处离地面的高度AB=20米，求起点拱门C）的 高 度 6%（结果精确到 1 米；参考数据:sin35 M）.57,cos35 g 0.82,tan35-0.7 0）.【分析】作 CEJ_A8于 E,根据矩形的性质得到CE=OB=20,CD=BE,根据正切的定义求出A E,结合图形计算即可.【解析】作 CELAB于 E,则 四 边 形 为 矩 形，；.CE=DB,CD=BE,在 中，乙408=45,：.AB=DB=20,.,.CE=20,AR在 RtZACE 中，tanNACE=第，；.AE=CEtan/A C E-20X 0.70=14,：.CD=BE=AB-AE=6m,故答案为：6.9.（2020靖江市一模）刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为67？,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆 周 率 为 3.12.（参考数据：sin/5=0.26）【分析】连接。4、0 4 2,根据正十二边形的性质得到N4O A2=30。，4 0 4 2是等腰三角形，作OM,4 4 2于M,根据等腰三角形三线合一的性质得出N 4 O M=15,AAz=2AM.设圆的半径上 解直角4 0 M,求出4 M,进而得到正十二边形的周长L,那么圆周率n右右.【解析】如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L.连接 0 4、042,十二边形A1A24 2是正十二边形，N 4O A 2=300.作 0M_L4A2 于 M,又。4 =042,/.ZAOM=15,AA2=2AM.在直角4O M 中，AiM=O AsinN4OM=0.26R,A1A2=24M=O.52R,AL=12AIA2=6.24/?,圆周率g克=6器R=3.12.故答案为3.12.10.（2020张家港市模拟）如图，在A B C中，AB=AC,B C=12,。为A C边的中点，线段8。的垂直平分线分别与边3C,A B交于点E,F,连接DF,E F.设B E=x,ta n/A C 8=y.给出以下结论：F3BC-,8 O E的面积为a x y；C D E的周长为12+x；/-廿=%然-=9.其中正确结论有（把你认为正确结论的序号都填上）.【分析】过A作A Q _L 8 c于Q,过。作D M,8 c于连接O E,根据线段垂直平分线求出O E=2 Ex,根据等腰三角形求出B Q CQ=C）,求出C M Q M 3,解直角三角形求出E M 3y,A Q 6 y,在O EM中，根据勾股定理求出即可.由此可以判断正确.【解析】过A作AQ _LBC于Q,过。作。用_LB C于M,连接 ,BQ E M,.5。的垂直平分线交3 C 于 BD Ex,*BE=D E=x,aAB=AC,8C=12,tanZACB=yfE M AQ-=y,B Q=C Q=6,M C CQ).AQ=6y,9：AQBC,EMBC,J.AQ/EM,。为 AC中点,：.C M=Q M=；CQ=3,，EM=3y,SAEBD=上BE*D M=xy,故正确,：.EM=1 2-3-x=9-x,在 RtZXEDW中，由勾股定理得：，=(3y)2+(9-x)2,即 -丁=9,故正确.不妨设成立，则可以推出8。平分/A 8 C,推出ABC是等边三角形，这个显然不可能，故不成立.不妨设成立，则推出C O=8E=Z)E=x,推出OEA 8,这个显然不可能，故错误，不妨设成立，则由可知f=2 x,推出x=2,这个显然不可能，故错误，故答案为.三.解 答 题(共 10小题)11.(2020盐城)如图，在ABC中，ZC=90,tanA=善，NABC的平分线3 0 交 AC于点。，CD=8,求 A 8的长?BF5【分析】根据/C=9 0 ，ta n A=/，可求出NA=30,/A 8 C=6 0 ,再根据8。是NABC的平分线,求出/a?D=N A 8 O=3 0,在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可.【解析】在 RlZXABC中，NC=90,tanA=孚,.NA=30,A ZABC=60,/BD是NABC的平分线，：.ZCBD=ZABD=30,又,S=V3,在 RtZVIBC 中，ZC=90,ZA=30,AD-ono-6.sin30答：A 8的长为6.12.（2020淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为4、B、C,测得/C 4B=30,ZABC=45,A C=8千米，求 4、8 两点间的距离.（参考数据：V21.4,V3 1.7,结果精确到1 千米）.【分析】过点C 作 COLAB于点O,在 RtzXACO中，通过解直角三角形可求出A）,C O 的长，在 RtA8CZ）中，由NBZ）C=90,/C 8Z）=4 5 可得出8O=C D 再结合AB=AZ+8即可求出A、8 两点间的距离.【解析】过点C 作 CD_L48于点。，如图所示.在 RtZAC。中，AC=8（千米），ZCAD=30,NCD4=90,.C=ACsin/C4=4（千米），AO=ACcos/CA D=46（千米）-6.8 （千米）.在 RtZXBCD 中，CD=4（千米），ZBDC=90,ZCBD=45,：.ZBCD=45,：.BD=CD=4（千米），.*.AB=AO+8C=6.8+4F1（千米）.13.（2019南京）如图，山顶有一塔A B,塔高33?.计划在塔的正下方沿直线CO开通穿山隧道E E 从与 E 点相距80机 的 C 处测得A、8 的仰角分别为2 7 、22,从与F 点相距50”?的。处测得A 的仰角为45.求隧道E F 的长度.（参考数据：tan22=0.40,tan27 0.51.）【分析】延长AB交 CD于从 利用正切的定义用C”表示出A”、B H,根据题意列式求出“，计算即可.【解析】延长A 8交 C力于从则 Aa_LCQ,在 RtZAH)中，/。=45,：.AH=DH,AU在 Rt2A”C 中，tan/AC”=爆，：.AH=CH-tanZACH0.5CH,D U在 中，tanZBCH=BH=CH,tan ZBCHOACH,由题意得，0.51 CH-0.4cH=33,解得，CH=3(X),：.EH=CH-CE=220,BH=120,：.AH=AB+BH=153,：.DH=AH=53,：.HF=DH-D F=m.：.EF=EH+FH=323,答：隧道E F 的长度为323m.14.（2020鼓楼区校级模拟）如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡D E=4米，坡角NDEB=41,小红在斜坡下的点七处测得楼顶4 的仰角为60。，在斜坡上的点。处测得楼顶A 的仰角为45,其中点8,C,E 在同一直线上求大楼AC的高度.（结果精确到整数.参考数据：6*1.73,sin41弋0.6,cos410 弋0.75,tan41 0.87）【分析】设C E=x,根据正弦的定义求出B D,根据余弦的定义求出B E,根据正切的定义用x 表示出A C,根据等腰直角三角形的性质列方程，解方程得到答案.【解析】作。尸，AC于 F,设 CE=x,n D在 中，sin/D EB=瓦,/.O8=OE sinNOEB4X0.6=2.4,R Fc os NDE B=翡B E=D E,cos Z D EB 心 4 X 0.75=3,Ar在 RtZAEC 匚 口,tanNAEC=器,：.A C=C E a n Z A E C=遮x,V ZADF=45,：.F A=F D.*.V3x-2.4=x+3,解得，x=27（*+l）,.AC=V3x=13,答：大楼AC的高度约为13米.15.（2020徐州模拟）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树O E的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为3 0 ,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端。的仰角为6 0 ,已知A点的高度A 8为2米，台阶A C的坡度i=l：2,且8