2021年中考数学三轮复习：二次函数 压轴（含答案）.pdf

2021年中考数学第三轮：二次函数压轴题专题复习1、已知二次函数y=a x 2-2a x+c(a 0)的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C,它的顶点为P,直线C P 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D,且C P：P D=2：3(1)求A、B 两点的坐标；(2)若 t a n N P D B=3,求这个二次函数的关系式.4、如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y=x、L与 y 轴相交于点A,点B与4点 0 关于点A 对称(1)填空：点B的 坐 标 是；(2)过点B的直线y=k x+b (其中k 0),当在=1 时，抛物线C与直线/只有一个公共点.(1)求加的值；(2)若直线/与抛物线。交于不同的两点4 B,直线/与直线Z：y=3 x+b交于点尸，且-+_L=_L,求 Z，的值；OA OB 0P(3)在(2)的条件下，设直线乙与y 轴交于点0,问：是否存在实数在使8门=区则，若存在，求 A的值，若不存在，说明理由.yX7、如图，在平面直角坐标系x O y 中，将二次 函 数 y=x 2-1 的 图 象 M沿 x轴翻折，把所得到的图象向右平移2 个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数 图 象 N.（1）求 N的函数表达式；（2）设 点 P（m,n）是 以 点 C（l,4）为圆心、1 为半径的圆上一动点，二次函 数 的 图 象 M与 x轴相交于 两 点 A、B,求 P A2+P B2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则 该 点 称 为 整 点.求 M与 N所 围 成 封 闭 图 形 内（包括边界）整点的个数.8、如图，抛物线y=-*x 2+b x+c与 x 轴交于点A,点B,与 y 轴交于点C,点B坐标为（6,0）,点C 坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E,连接B D.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当N FB A=N B D E 时，求点F 的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M 作 M N x 轴与抛物线交于点N,点P 在 x轴上，点Q 在平面内，以线段M N 为对角线作正方形M P N Q,请直接写出点Q的坐标.9、如图，已知a A B C 的三个顶点坐标分别为A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3),直线B E 交 y 轴正半轴于点E.(1)求经过A、B、C 三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；(2)连接 B D、C D,设N D B 0=a ,ZE B 0=P ,若 t a n (a -p )=1,求点 E 的坐标；(3)如图，在(2)的条件下，动点M 从点C出发以每秒血个单位的速度在直线B C 上移动(不考虑点M与点C、B 重合的情况)，点N为抛物线上一点，设点M 移动的时间为t 秒，在点M 移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t 值及点M 的个数;10、如图，在平面直角坐标系中，二次函数夕=a。mx+c的图像经过点力(-1,0),B(0,-百)、C(2,0),其中对称轴与x 轴交于点。(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)若尸为y 轴上的一个动点，连接PD,则-P B+P D的最小值为2(3)(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。若平面内存在点儿使得人B、M、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；连接物、物，若 监 不 小 于 6 0 ,求 的取值范围。1 1、如图，在平面直角坐标系中，矩形O C DE 的顶点C和E 分别在y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上，0 C=8,0 E=1 7,抛物线丫二卷/？-3 x+m 与 y 轴相交于点A,抛物线的对称轴与x 轴相交于点B,与C D交于点K.（1）将矩形O C DE 沿 A B 折叠，点 0 恰好落在边C D上的点F 处.点B的坐标为（、）,B K 的 长 是,C K 的 长 是；求点F 的坐标；请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形O C DE 沿着经过点E的直线折叠，点0 恰好落在边C D上的点G 处，连接0 G,折痕与0 G相交于点H,点M是线段E H上的一个动点（不与点H 重合），连接M G,M 0,过点G 作 GPL 0 M 于点P,交 E H于点N,连接O N,点M 从点E 开始沿线段E H向点H 运动，至与点N 重合时停止，a M O G和a NO G的面积分别表示为Si 和 S”在点M的运动过程中，S,*S2（即*与S2 的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值.温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.o1 2、如图，抛物线y=-令 M)x+c 经过点A (-3,0),点C (0,4),作 C Dx轴交抛物线于点D,作 DE _ L x轴，垂足为E,动点M从点E出发在线段E A 上以每秒 2 个单位长度的速度向点A 运动，同时动点N 从点A出发在线段A C 上以每秒1 个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)设 的 面 积 为 S,求 S 与 t 的函数关系式；(3)当M NDE 时，直接写出t 的值；在点M 和点N 运动过程中，是否存在某一时刻，使 M NL A D?若存在，直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由.1 3、如 图 1,二 次 函 数 y=a x2+b x 的 图 象 过 点 A (-1,3),顶 点 B的横 坐 标 为 1.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点 P 在该二次函数的图象上，点 Q 在 x 轴 上，若 以 A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求 点 P 的坐标；(3)如 图 3,一次 函 数 y=k x(k0)的图象与该二次函数的图象交于 0、C两点，点 T为该二次函数图象上位于直线0 C 下方的动点，过点 T作 直 线 T M L 0 C,垂 足 为 点 M,且 M在 线 段 0 C 上(不 与 0、C重合)，2过 点 T作 直 线 T N y轴 交 0 C 于 点 N.若 在 点 T运动的过程中，理一为0M常 数，试 确 定 k的值.1 4、如图，抛物线y =以 2+法+。(“#0)与X 轴交于1,6两点，与y 轴交于C(0,3),且此抛物线的顶点坐标为(-1,4).(1)求此抛物线的解析式；(2)设点为已知抛物线对称轴上的任意一点，当 切 与 a T 面积相等时，求点的坐标；(3)点 尸 在 线 段 上，当尸。与y 轴垂直时，过点尸作x轴的垂线，垂足为反将 核 沿 直 线 翻 折，使点。的对应点户 与尸，E,。处在同一平面内，请求出点*坐标，并判断点 是否在该抛物线上.参考答案2021年中考数学第三轮：二次函数压轴题专题复习1、已知二次函数y=ax2-2 ax+c(aV0)的最大值为4,且抛物线过点(看，号),点 P (t,0)是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C,顶点为D.(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；(2)求|P C-P D|的最大值及对应的点P的坐标；(3)设Q (0,2 t)是y轴上的动点，若线段P Q与函数y=a|xr-2 a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值.-9 a【解答】解：(1).y=ax?-2 ax+c的对称轴为；x=-=1,抛物线过(1,4)和(孑，-卷)两点,a-2 a+c=4代入解析式得：4 9 a-7 a+c=44解得：a=-1,c=3,.二次函数的解析式为：y=-x，2 x+3,二顶点D的坐标为,(1,4)；(2)VC,D 两点的坐标为(0,3)、(1,4)；由三角形两边之差小于第三边可知：|P C-P D|W|CD|,.,.P、C、D三点共线时|P C-P D|取得最大值，此时最大值为,|CD|=V2.由于CD所在的直线解析式为y=x+3,将P (t,0)代入得t=-3,.此时对应的点P为(-3,0)；(3)y=a|x|2-2 a|x|+c的解析式可化为：-X2+2X+3(X0)-x2-2 x+3(x 0)x2-2 x+3(x C0)有一个公共点,此时t=-l 当线段P Q过 点(3,0),即点P与 点(3,0)重合时，t=3,此时线段P Q与y=,HU2)有两个公共点所以当03时,-J+2 x+3(x)0).人 八 一线段P Q与0 有一个公共点,-x2-2 x+3(x 0,所以当t时，线段P Q 与 y=x：+2 x+3（A ）也有一个公共点，2 -X2-2 x+3（x 0）当线段P Q 过 点（-3,0）,即点P 与 点（-3,0）重合时，线段P Q 只与y=-x2-2 x+3（x 0）有一个公共点，此时 t=-3,所以当tW-3 时，线段P Q 与 丫/一 x：+2*3（x0）也有一个公共点，-x2 _ 2 x+3（x C0）综上所述，t的取值是或或t W-3.2、如图，抛物线y=x，-3x+2与 x 轴相交于A、B两点，与 y 轴相交于点C,点D4是直线B C下方抛物线上一点，过点D 作 y 轴的平行线，与直线B C相交于点E（1）求直线B C的解析式；（2）当线段D E的长度最大时，求点D的坐标.【解答】解：（1）抛物线y=x?-3x+”与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于4点 3令 y=0,可得x二工或x=,2 2.*.A(1,0),B(，0)；2 2令 x=0,则 y=$,4，C点坐标为(0,”)，4设直线BC的解析式为：y=kx+b,则有,.直线BC的解析式为：y=(2)设点D的横坐标为m,则坐标为(m,；.E点的坐标为(m,设DE的长度为d,点D是直线BC下方抛物线上一点,则 d=-m+-(m2-3m+),2 4 4整理得，d=-m?+2n,21.,a=-l 0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP：PD=2：3(1)求A、B两点的坐标；(2)若tanN PD B=,求这个二次函数的关系式.【解答】解：(1)过点P 作 P EJ _ x轴于点E,y=ax -2 ax+c,.该二次函数的对称轴为：x=l,/.O E=1V0 C/7 B D,，CP：P D=O E：EB,A O E：EB=2：3,，EB=T，2.O B=O E+EB=1,，B (g,0)2.A 与B关于直线x=l 对称，.A (-、，0)；2(2)过点C 作 CF L B D 于点F,交P E于点G,令 x=l 代入 y=ax2-2 ax+c,y c -a,令 x=0 代入 y=axz-2 ax+c,y=c，P G=a,VCF=0 B=-2,2.t anN P D B=篇,；.F D=2,VP G/7 B D.,.CP G A CD F,.P G CP 2-二 一FD CD 5.TT+c,5 5把 A （40）代 入 丫 春-沃,二解得：c=-l,4、如图，在平面直角坐标系xO y中，抛物线y=x?+L 与 y 轴相交于点A,点B与4点 0 关于点A 对称（1）填空：点 B的坐标是（0,工）；-2-（2）过点B的直线y=k x+b（其中k 0）与x 轴相交于点C,过点C 作直线1 平行于y 轴，P是直线1 上一点，且 P B=P C,求线段P B 的长（用含k的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线B P 的对称点C 恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标.（1）：抛物线y=x?+L 与 y 轴相交于点A,4A A （0,1）,4.点B 与点0 关于点A 对称，/.B A=O A=1,4/.0 B=l,即B点坐标为（0,1）,2 2故答案为：(0,1)；2(2)Y B点坐标为(0,1),2.直线解析式为y=k x+L,令 y=0 可得k x+L=0,解得x=-2 2 2 kVP B=P C,.点P只能在X 轴上方，如图1,过 B作B D _ L 1 于点D,设 P B=P C=m,图1则 B D=O C=-L CD=0 B=l,2 k 2/.P D=P C-CD=m -1,2在 Rt A P B D 中，由勾股定理可得P B2=P D2+B D2,即 m2=(m-1)2+(-J-)，解得 m=l+-i-22 k 4 4 k2，P点 坐 标 为(-工2 k工+，4 4 k2当乂=-时，代入抛物线解析式可得y=+工2 k4 4 k2.点P 在抛物线上；(3)如图2,连接CC，轴，Z O B C=Z P CB,又 P B=P C,N P CB=N P B C,/.Z P B C=Z O B C,又C、C 关于B P 对称，且C 在抛物线的对称轴上，即在y 轴上，.Z P B C=Z P B CZ,.,.Z O B C=Z CB P=Z C,B P=60 ,在 Rt Z X O B C 中,O B=1,则 B C=12.0 C=返，即P点的横坐标为返，代入抛物线解析式可得丫=（返）2+1=1,2 2 2 4.P 点坐标为（返，1）.25、如图，抛物线y=-x2+2 x+3与 x 轴相交的于A,B 两点（点A在点B的左侧），与 y 轴相交于点C,顶点为D.（1）直接写出A,B,C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接B C,与抛物线的对称轴交于点E,点P 为线段B C上的一个动点（P不与 C,B 两点重合），过点P 作 P F D E交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段P F 的长，并求出当m 为何值时，四边形P ED F 为平行四边形.设A B CF 的面积为S,求 S 与m的函数关系式；当m 为何值时，S 有最大值.【解答】解：（1）对于抛物线y=-x2+2 x+3,令 x=0,得到y=3；令 y=0,得到-X2+2X+3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得：x=-1 或 x=3,则A (-1,0),B (3,0),C(0,3),抛物线对称轴为直线x=l；(2)设直线B C的函数解析式为丫=1 +13,把 B (3 0),C (0,3)分别代入得:(3 k+b=,I b=3解得：k=-1,b=3,直线B C 的解析式为y=-x+3,当 x=l 时，y=-1+3=2,A E (1,2),当 x=m 时，y=-m+3,；.P (m,-m+3),令 y=-x?+2x+3 中 x=l,得 至 U y=4,A D (1,4),当 x=m 时，y=-m2+2m+3,.F (m,-m2+2m+3),线段 D E M -2=2,V0 m y”，线段 P F=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,连接D F,由P F D E,得到当P F=D E 时，四边形P E D F 为平行四边形，由-m 2+3m=2,得到m=2或m=l (不合题意，舍 去)，则当m=2时，四边形P E D F 为平行四边形；连接B F,设直线P F 与 x 轴交于点M,由B(3,0),0(0,0),可得0B=0M+M B=3,S=SA B P I.+SA CpI.=yP F B M+yP F 0M=-1-P F (B M+O M)=/P F O B,.*.S=*X3(-m2+3m)=-(0 V m V 3),则当m=|时，S 取得最大值.6、已知抛物线C：y=3x+m,直线7：y=kx(A 0),当A=1 时，抛物线C与直线,只有一个公共点.(1)求加的值；(2)若直线/与抛物线C 交于不同的两点儿B,直 线/与 直 线 入y=-3 x+b交于点尸，且-+匚=2,求 8 的值；OA OB OP的条件下，设直线Z 与 y 轴交于点0,问：是否存在实数A 使 五代若存在，求女的值，若不存在，说明理由.(3)在(2)=S2BPQ，解：(1),当4=1 时，抛物线。与直线,只有一个公共点，.,.X=，一3才+力，即 4x+勿=0,/.=16-4/=0,勿=4.二 抛物线 Ci y=x 3x+4.(2)如答图，过 点/作 4 ax轴于，过点6 作废工才轴于其过点尸作杼工才轴于F,则/妙 XBOEs XPOF.ODOEOF0A OBOP1,12+-0AOB0POP,OP=2.04OBOF,OF+2.ODOE1+1_ 21 -ODOEOF OD+OE _ 2OD OE 0F.直线/与抛物线。交于不同的两点A,B,：.x 3 x+=k x,即 x (3+k)x+4=0,：.0及庞1=3+k,OD-0E=,.直线/与直线Z：尸 一3 x+6交于点R:.kx=-3x+b.b.x=-.k+3：.0 F=-.k+3.3+k 2b4k+3：.b=8.(3)不存在，理由：假设存在实数A使五.=五的，则.Oz iFz?.O.D.+.O.E，即nn-8-=-&-+-3,2 k+3 2整理，得+6A 7=0,(4+7)(A-l)=0.,.左=-7(与 A 0 相矛盾，舍去)，k2=l.当在=1 时，点 从B、，三点重合，XAPQ、XBPQ不存在.故不存在实数A 使$4 亚=S&BPO.7、如图，在平面直 角 坐 标 系 x O y 中，将 二 次 函 数 y=x 2-1 的 图 象 M沿 x轴翻折，把所得到的图象向右平移2 个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.(1 )求 N的函数表达式；(2)设 点 P(m,n)是 以 点 C(l,4)为圆心、1 为半径的圆上一动点，二 次函 数 的 图 象 M与 x轴 相 交 于 两 点 A、B,求 P A2+P B2的最大值；(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则 该 点 称 为 整 点.求 M与 N所 围 成 封 闭 图 形 内(包 括 边 界)整 点 的 个 数.【解 答】(1)解：二次 函 数 y=x-1 的 图 象 M沿 x轴翻折得到函数的解 析 式 为 y=-x?+l,此 时 顶 点 坐 标(0,1),将此图象向右平移2 个单位长度后再向上平移8 个单位长度得到二次函 数 图 象 N的 顶 点 为(2,9),故 N 的函数表达式 y=-(x -2)2+9=-X2+4X+5.(2)V A (-1,0),B (1,0),/.P A2+P B2=(m+1)2+n2+(m -1)2+n2=2(m2+n2)+2=2 P 0?+2,.当P 0 最 大 时 P A+P B?最 大.如 图，延 长 0 C 与。0 交 于 点 P,此时0 P 最 大，A O P 的最大值=O C+P O=J F+1,.P A+P B?最大值=2(V17+1)2+2=38+4Vi 7-(3)M与 N所围成封闭图形如图所示，由图象可知，M与 N所 围 成 封 闭 图 形 内（包括边界）整 点 的 个 数 为 25个.8、如图，抛物线y=-2x+b x+c 与 x 轴交于点A,点B,与 y 轴交于点C,点B坐标为（6,0）,点C 坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E,连接B D.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当N F B A=/B D E 时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作M N x 轴与抛物线交于点N,点P 在 x轴上，点Q在平面内，以线段M N 为对角线作正方形M P N Q,请直接写出点Q的坐标.【解答】解：将点B (6,0)、C (0,6)代入y=-3x 2+b x+c中,得:(0=-18+6b+c1 6=c解 得:管,，抛物线的解析式为y=-j-x2+2x+6.*.*y=-x+2x+6=-*(x -2)+8,.点D的坐标为(2,8).(2)设线段B F与y轴交点为点F,设点F的坐标为(0,m),如图1所示.Y N F B 0=ZF B A=ZB D E,N F 0B=ZB E D=9 0,.F B O A B D E,.0Fy _ B EO B =D E .点 B (6,0),点 D (2,8),.点 E (2,0),B E=6-4=4,D E=8-0=8,0B=6,BF.O F -0 B=3,D e.,.点 F (0,3)或(0,-3).设直线B F的解析式为y=k x 3,则有 0=6k+3 或 0=6k -3,解得：k=-或，直线B F的解析式为y=-y x+3或y=*x -3.联立直线B F与抛物线的解析式得：1产一万x+3f 或1 2尸+2x+6悬X-3,1 2y=y x +2x 4-6解方程组得：x=-17或隐 S(舍去)，.点F的坐标为(-1,1)；解方程组得:x=-39 或x=6y=0（舍去）,.点F的坐标为（-3,-1）.综上可知：点 F的坐标为（-1,）或（-3,-1）.（3）设对角线M N、P Q 交于点0,如图2 所示.点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形M P N Q 为正方形，.点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点 Q 在抛物线对称轴上,设点Q的坐标为（2,2n）,则点M的坐标为（2-n,n）.点M 在抛物线y=-y x2+2x+6 的图象上，.n=-y（2-n）2+2（2-n）+6,B P n2+2n -1 6=0,解得：-1,n2=-V 1 7-1.，点 Q的壁标为（2,V 1 7-1）或 -V 1 7-1）.9、如图，已知4 A B C 的三个顶点坐标分别为A （-1,0）、B （3,0）、C （0,3）,直线B E 交 y 轴正半轴于点E.（1）求经过A、B、C 三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；（2）连接 B D、C D,设N D B 0=a ,N E B 0=B ,若 t a n （a -p ）=1,求点 E 的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，动点M 从点C出发以每秒加个单位的速度在直线B C 上移动（不考虑点M与点C、B 重合的情况），点N 为抛物线上一点，设点M 移动的时间为t 秒，在点M 移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t 值及点M 的个数;若不能，请说明理由.【解答】解：(1)经过A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点的抛物线,.设抛物线解析式为y=a (x+1)(x-3),.点C (0,3)在抛物线上，.*.3=-3 a,a=-1.抛物线解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4,二抛物线的顶点坐标为D (1,4),(2)Vt a n (a -B )=1,a -0=4 5 ,Z D B 0=a ,Z E B 0=B ,/.Z D OE=4 5 ,过点E 作 E F 1 B D 于F,；.E F=B F,V B (3,0),D (1,4),直线B D 解析式为y=-2x+6，设点 E (0,b),V E F 1 B D,二直线E F 解析式为y=*x+b，联立解方程组得，x 咯(6-b),y 咯(2b+3),5 5AFb),4/2_ 3+VH-2-cl 或，3+717n=r-.M (-空,2当M (-邛I,.t-3+V 1 7当M(-t号.+3-旧9+S729+V I 7r)或(-)时，C M=&X 驾 亘,子I)时,CM心i),2户 一 旧，n=23-旧 g y i?22即：满足条件的t 的 值 为 处 号 或 上 严 或 1 或 2.点 M共有6个.1 0、如图，在平面直角坐标系中，二次函数尸 a/班x+c 的图像经过点4(-1,0),B(0,-6)、C(2,0),其中对称轴与*轴交于点。(4)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(5)若尸为y 轴上的一个动点,连接外，则 的 最 小 值 为2(6)(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。若平面内存在点M 使得人反以为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个；连接物、，如 若 N 4 如不小于6 0 ,求 X的取值范围。解：(1)方法一：设二次函数的表达式为y =a(x +l)(x-2),B (0,-73 )代入解得a =g2.y=万6-(x+l)(x-2)=55-(龙-万1.2)-9 73.顶点坐标为(3-吵)2 8方 法 二：也可以用三点式设了=公 2+汝+。代 入 三 点 或 者 顶 点 式 设y=a(x-g)+上代入两点求得。(2)如图，过P点作DE_LAB于E点，由题意已知NAB0=30。:.PE=PB2：.-P B+P D=P E+P D2要使P E+P O最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DELAB于E点，与y轴的交点即为P点。由题意易知，ZADE=ZAB0=30,A D =-2i3 n一 PB+PD=PE+PD=DE=24(3)若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2,若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点,AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点。综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个。如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点。由题意知，AB=2,ZBAF=ZAB0=30,ZAFB=120以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M点，则NAMB=NAM B=i Z2AFB=60VZBAF=ZAB0=30,OA=1ZFAO=30,AF=28=FM=FM,0F=,过 F 点作 FG_LMM于 G 点，已知 FG=3 3j_2：.M G =M G=yjFM-F G2=,又6 2 3J V39-2V3,u,1 -V39-2V3,2 6 2 6.-V 3 9-2 7 3 ,a-2 6 s，s66方 法 二 设 吗，M到点F（。,-9 的距离d=A F=竽 也 可 求 得。1 1、如图，在平面直角坐标系中，矩形O C D E 的顶点C和E 分别在y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上，0 C=8,0 E=1 7,抛物线-3 x+m 与 y 轴相交于点A,抛物线的对称轴与x 轴相交于点B,与C D 交于点K.（1）将矩形O C D E 沿 A B 折叠，点 0 恰好落在边C D 上的点F处.点B的坐标为（1 0 、0 ）,B K 的 长 是 8 ,C K 的 长 是 1 0 ；求点F的坐标；请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形0 C D E 沿着经过点E的直线折叠，点0 恰好落在边C D 上的点G处，连接0 G,折痕与0 G 相交于点H,点M是线段E H 上的一个动点（不与点H 重合），连接M G,M 0,过点G作G P J _ O M 于点P,交 E H 于点N,连接0 N,点M 从点E 开始沿线段E H 向点H 运动，至与点N重合时停止，M O G 和a N O G 的面积分别表示为S i 和 在 点 M的运动过程中，S,-S2（即S i 与S 2 的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值.温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.【解答】解：（1）如图1 中，：抛物线y=-xJ-3 x+m 的对称轴x=-=1 0,Z U N a.点 B 坐 标（1 0,0）,.四边形O B K C 是矩形，/.C K=0 B=1 0,K B=0 C=8,故答案分别为1 0,0,8,1 0.在 R T Z F B K 中，V Z F K B=9 0 ,B F=O B=1 0,B K=0 C=8,.,.FK=7BF2-B K2=6/.C F=C K -F K=4,二点F 坐 标(4,8).设 O A=A F=x,在 R T A A C F 中，*?A C2+C F2=A F2,(8-x)2+42=Xx=5,.点A 坐 标(0,5),代入抛物线y=-x2-3 x+m 得m=5,.抛物线为 y=x 2-3 x+5.(2)不变.S,S2=1 8 9.理由：如图 2 中，在 R T Z S E D G 中，V G E=E O=1 7,E D=8,DG-=7GE2-D E2=V 1 72-82=15，/.C G=C D -D G=2,OG=7OC2+CG2=V 82+22=2 V T 7，V C P O M,M H O G,A Z N P N=Z N H G=9 0 ,V Z H N G+Z H G N=9 0 ,Z P N M+Z P M N=9 0 ,Z H N G=Z P N M,，N H G N=N N M P,V Z N M P=Z H M G,Z G H N=Z G H M,G H =m.G H2=H N H M,V G H=O H=V 1 7.H N H M=1 7,?S,S2=-O G H N O G H M=2*1 7=2 8 9.轴交抛物线于点D,作 D E _ L x 轴，垂足为E,动点M从点E出发在线段E A 上以每秒 2 个单位长度的速度向点A 运动，同时动点N从点A出发在线段A C 上以每秒1 个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒.(1)求抛物线的解析式；(2)设D M N 的面积为S,求 S 与 t 的函数关系式；(3)当M N D E 时，直接写出t 的值；在点M 和点N 运动过程中，是否存在某一时刻，使 M N L A D?若存在，直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由.3)2+bX (-3)+c=09c=4解得，3c=4即抛物线的解析式为：y=-1X2+4X+4；y 3(2)作N H L A M 于点H,如由图1所示，y T-X x+4,y j2_ ，对称轴 x=-二 得，2 X(一 卷)2y .点八(-3,0),点 C(0,4),C D x 轴交抛物线于点D,D E _L x 轴，垂足为E,.点 D (3,4),点 E (3,0),0 A=3,0 C=4,/.A C=5,A E=6,C D=3,V N H 1A M,A N=t M E=2t,/.A N H A A C O,A M=6-2t,.A N N H*A C=C O，即理,得 N H=O.8t,5 4 S=S 梯 形 AECD-S/SAMN-SDME-SCDN=l(3+6)X4-X(6-2t)X 0.8t -y X 2t X 4-X 3X(4-0.8t)=0.8t 2 -5.2t+12,即S 与 t 的函数关系式是S=0.8t2-5.2t+12(0 V t W 3)；(3)当M N D E 时，t 的值是鸨，X o理由：如右图2 所示V M N/7D E,A E=6,A C=5,A 0=3,.A M=6-2t,A N=t,A A M N A A O C,.A M A NA O A C j加 6-2t t即而，解得，t=患；存在某一时刻，使 M N L A D,止 匕 时 t 的值是含,理由：如右图3 所示,设过点A (-3,0),C (0,4)的直线的解析式为y=k x+b,则-3k+b=0b=4b=4即直线A C 的解析式为y=*x+4，V N H=0.8t,.点N的纵坐标为0.8t,将 y=0.8t 代入 y=*x+4得 x=0.6t -3,J.点 N (0.6t -3,0.8t).点 E (3,0),M E=2t,.点 M (3-2t,0),.点 A (-3,0),点 D (3,4),点 M (3-2t,0),点 N (0.6t -3,0.8t),A DM N,.4-0 0.8t -0 ,3 (-3)(0.6t -3)-(3-2t)13、如 图 1,二 次 函 数 y=ax?+bx 的 图 象 过 点 A (-1,3),顶 点 B的横 坐 标 为 1.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点 P 在该二次函数的图象上，点 Q 在 x轴 上，若 以 A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求 点 P 的坐标；(3)如 图 3,一次 函 数 y=k x (k0)的图象与该二次函数的图象交于 O、C两点，点 T为该二次函数图象上位于直线0 C 下方的动点，过点 T作 直 线 T M J _O C,垂 足 为 点 M,且 M在 线 段 0 C 上(不 与 O、C重合)，过 点 T作 直 线 T N y 轴 交 0 C 于 点 N.若 在 点 T运动的过程中，到一为O M常 数，试 确 定 k的值.【解 答】解：(1)二 次 函 数 y=ax 2+bx 的 图 象 过 点 A(-l,3),顶点 B的 横 坐 标 为 1,3=a-ba=lb=-2则有上 解 得2a.,.二次函数 y=x2-2x,(2)由(1)得，B (1,-1),VA(-1,3),.直 线AB解 析 式 为y=-2x +l,A B=2逐，设点 Q(m,0),P(n,n2-2n).以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,号 当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有 2 on 一 2n.-2，解得ITF 1-n=l+V 3加 或 严-1+V 3 n=l -V 3A P(1+遮,2)和（1-加，2）n+1 m-1 当AB为边时，根据中点坐标公式得2 2n2-2n-12解得,22ITF3+n=l+，in=3-V 5n=l -V 5：.P(1+遂，4)或(1-巫，4)._ _故 答 案 为P(1+遮，2)或(1-，2)或P(1+旄，4)或(1 -泥,4).(3)设 T (m,m2-2m),V T M 1 0 C,可以设直线 T M 为 y=-x+b,则 m-2m=-m+b,b=m-2m+,k k k.m2k -2mk+m，y=k x x-k2+1由I 1 2 m解得 ,2 、，y=-9 x+m -2n H 4 k(in k -2in k+in)k k y=-z-k +l0M(呼 -2mk+n 0 ,k +l.0 M _ m(k 2+l W k 2+lO N mk _ 2k+l.2 时，尤旭2 0M 42.当 k=工时，点 T 运动的过程中，为常数.20M14、如图，抛物线y=ox2+bx+c(”#0)与x轴交于4 6 两点，与y轴交于C(0,3),且此抛物线的顶点坐标为(一 1,4).(1)求此抛物线的解析式；(2)设点为已知抛物线对称轴上的任意一点，当/切 与 面 积 相 等 时，求点的坐标；(3)点 P 在线段4 上，当 尸。与y轴垂直时，过点尸作x轴的垂线，垂足为E,将尸四沿直线穿翻折，使点尸的对应点与P,E,。处在同一平面内，请求出点尸坐标，并判断点户是否在该抛物线上.解：设抛物线的解析式为y=Mx+)2+%.顶点为(一1，4),*.y=a(.x+I)2+4.抛物线经过点。(0,3),3=(0+4.解得a=-1.，抛物线的解析式为y=-(X +1 尸+4,即y=-2 -2x+3.(2)令y=-/一 2x+3=0,解得 x=3 或 x=l.：.A(-3,0),B(1,0).：.0A=0C=2,力冗为等腰直角三角形.设交对称轴X =-1 于尸(一1，4)易得力=2,故点尸(一1,2).设点坐标为(-1,yD).则 S 械=g)F，A 0=X yD-2 X3.又 5 =-AB*0C=-X4X3=6,2 2由X|y。Z X3=6 得：=4,故丫 0=2 或y0=6.点坐标为(-1,-2)或(-1,6).（3）如图，点P 为点P关于直线的对称点，过点尸 作户轴于设 交卜轴于点儿在和/V 中，ZCNP=ZENO ZCPN=NEON=90,PC=PC=OE：./CP N/E0N.没NC=m,则AE=机.易得直线4 的解析式为y=2x+6.当 y=3 时，x=-.2点尸（-3,3）.2：.P C=PC=-,P N=3-m.2在Rl尸 庶中，由勾股定理，得（3K+（3 一 加）2=,2.解得，=竺.8,?ST VC=-CN*P H=-P A P C,2 2：.P H=.10在 Rt 胡 中，CH=y/cP2-HP2=J（|）2-守=1.：.0 H=3-=-.5 5：.P 的坐标是（2,2）.10 5将 点 户（-,-）的坐标代入抛物线解析式，不成立.10 5 点户不在该抛物线上.