2021年中考数学综合题冲刺22 因动点产生的直角三角形问题（拔高）（含答案及解析）.pdf

专题2 2 因动点产生的直角三角形问题(提优)1.如图，抛物线y=-2+2%+3与x轴交于点A,点8,与y轴交于点C,点。与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点.(1)求直线B Q的解析式；(2)当点尸在第一象限时，求四边形B O CP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；B Q(3)在点尸的运动过程中，是否存在点P,使 8 D P是以8。为直角边的直角三角形？若存在，呆出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)对玉y=-/+2 +3，令x=0,则y=3.令y=-/+入+3 W 0,解得元=一1或3,进而求解 v ,1 1 11(2)由四边形 B O CP 面积=%OBC+S/H C+S PHB=/O 8 O C+XP H X O 8=/X3 X 3+/X3X(-/+2 x+3+x -3)=-|JT+|X+晟，即可求解；(3)分NP 3 Z)为直角、/P C 8为直角两种j青况，利用数形结合的方法，分别求解即可.【解答】解：(1广对于y=-+2 x+3，令x=0,则y=3,令y=-/+2 x+3=0,解得x=-l或3,故点4、B、C的坐标分别为(-1,0?、_(3,0 X (0,3),点。与点C关于x轴对称，故点Q (0,-3),设 直 线 的 表 达 式 为 =依+4则 二+出 解 置C l、故直线B D的表达式为y=x -3：，口，口 ，口，(2)连接B C,过点A作y轴的平行线交8c于点H,由点8、C 的坐标，同理可得，直线8 c 的表达式为y=-x+3,设点 P（x,-3+2 计3）,则点”G,-x+3）,则四边形 BOCP 面糠=SA O B C+S XP H C+SA P，B=x O B-O C+1 x P H X OB=1*x3X3+1x3X(-x2+2.r+3+x9 一2，X+9-Z-3 22A3 XIX=-V-|0,故四边形BOCP面积存在最大值，当x=5a 时，四边形BOCP面积最大值为6百3，此时点3 15）；，4 8 2.4“M ，.vjJ j ，A 一 J ，t J 4 7E/1，存 在,M：当 NP8。为直角陟如上图所示，此时点P 与煮C 重合，过点.尸的坐标为（0,3）；当 NPOB为直角时，,.由8。的表达式削，荐 线 B。与 9 轴的倾斜角为45,当NPCB为直角时，即尸。_L8,则直线PD与 x 轴负半轴的夹角为45,故我直线PD的表达式为y=x+t,将点。的坐标代入上次得,-3=0+r,，解得f=1 3,故直线PD的表达式为y=-x-3，-联立并解得：X=w.故点/,的坐标为（号1 -与玛或-匕 湾），综工，点 P 的 坐 标 为 八 巴 星，一 安 至）或（上 适 一上、至）或（0,，3）.2 4 2 Z r【点评】本题考壹的是二次函数综合运用，段及到一次函数的性质、直第三角形的性质、面积的计算等，茨 中(3),要区蛋分类求解，避免遗漏.,2.如图，抛物线y=a/+bx+c与坐标轴旁于点A(0,-3)、8(-1,0)、E(3,0),点 P 为抛物线上动点，设点P 的横坐标为人(1)若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，求 C 点的坐标及抛物线的解析式；(2)若点尸在第四家限，连接 以、PE及 AE,“当 为何值时，的面积最大？最大面积是多少？(3)是否存在点P,使以E 为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点尸的坐标；若不存【分析】(I)抛 物 线 卞=/+法+。经过点B(7,0)?(3,0),则函数的对称而为：x=,即可求解:72)!：的面积k=xPHXO：=|(?-3-r+2/+J)；=|(-rM?片的可求解；(3)分ZPEA=90A Z P A E=9(r两种情况，分别求解即可.【解答】解：(1)：抛物线y=/+bx+c经过点8(-1,0)、E(3,0),二辨(物线的对称轴为x=l,.点C 与点A 关于抛物域的对称轴对称，点 A 0,-3),：.C(2,-3)?A*抛 物 线 表 达 式 为)=%-3)(犬+1)=(/-4-3),.故-3a=-3,解得：a 1,抛物线的套法式为y=7 -2 x-3；(2)如图,过点P 作 y 轴的平行线交AE干点.”，.设点P(/,2 二2 f-3),则点-3),.出 的面积5=基 尸/0E=,(z -3-r+2r+3).=1*(-产+3、设直线P E的表达式为y=-x+b,将点E的坐标代入并解得。=3,直线PE的 表 达 式 由 尸-x+3,联 立 得 尸 二，3，解彳益=-2或3.(七合题意，着去)2 -、:，：，、,、.一故点P的坐标为X ;2,5),.当/必 :=90。时，同理可得，点P(l；-4),综上，点P的坐标为(-2,5)或(1,-4).【点评】本题考查的是二次函数综合总用，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，.直角三角形的性质，三角形的面积，二次函数的性质篝知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.253.如图，开口向下的抛物线y=a (x-2)(x+3)与x轴交于A、B两点,y有最大值二，在抛物线上是否8存在点尸，使A P 8为直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由.X【分析】先求出抛物线与X 轴的交点坐标，进而由其交点坐标求得抛物线的对称轴，再根据V 的最大值，求得“得出抛物线的解析式，设 出 P 点的横坐标为如 根据直角三角形的勾股定理列出，的方程，解方程便可得答案.【解答】解：令 y=0,则 y=a(x-2)(x+3)=0,解得，x=2 或-3,A(-3,0),B(2,0),.抛物线的对称轴为:产 二 弃 =-1.-:有 最 大 值 费，.皿 一1 2)(一1 升 3)=导25，a=一于工阚物线的解析式为：y=2 lx -2)G+3),即)=一亲+3,.若B48为直谕三色形时，则乙4P8=90,.，z .AF+BPAB2,设 P(，”，-i?n2 lm +3),z z*,(?+3)，+(J J.+3)2+(/n-2)一+(1ZTI?亍 m+3)?(2+3)；JL.j化筒整理得，毋42/-7m2-8/+12=0,(/7 7 -2)(A T?-1 )(仔 2)(?+3)=0,.加=2(舍)，或?=1,或m=-2,或m=-3(舍).t h f.、*j .1 .-1：.P(1,2)或 V-2,2).【看评】本题主要考查了二版函数的图象与性质。求抛血线与x轴的交点坐标，直 角三角形存在性质的t探究，：次函数的最值的应用，勾股定理，方程思想，关键是根据勾股定理列出方.程 ,4.已知抛物线)，=7-(F+5)x+2后+6.(1)求证：无论A 为何值，抛物线与x轴必有祗f个交点，且一个交点为A (2,0)；(2)设抛物线的与x轴的另一个交点为B(x/0)(x 2),且交点4、8之间的长为1 0,求抛物线的解析式，并在给出的坐标系内画出抛物线的草图；，(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P,使A8 P为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)令抛物线中y 1 0,即可用十字相乘法求写两根的值，由此可得证.，(2)根据A,8两点的坐标,.即可表示出4 8的距离，解方程求出“值则得出答案;.(3)以A 8为直径作仙，圆与抛物线有交点，响抛物线上存在符合条件MP点，可根据抛物线的解称式设出P点 标(设 横 坐 标，根据抛物线的解析式表示出纵坐标在直角三角形A B P中，ZAPR=90,过P作P Q L x轴 于Q,证明R Q PS/X P Q B,可得出P A Q Q B,由此可求出P点坐标.【解答】解：(1)令y=0,得/-(F+5)：x+2 d+6=0,，/w，,if 即 C v-2)(x-Jr-3)=0,*”解得 xi=2,X 2=F+3 1 .；一定有交点 A(2,0),B(F+3,0).(2)V A(2,0),B(F+3,Q),：.d=AB=k2+=()7:.k=3 或，3.：.yjc-1 4 x+2 4.f f t.(2,0),B(1 2,0),则 Z4PB=90,.存在这样的点P,役点P 坐 标 为%;0-14x+24),作 PQ Lx轴呈Q,则点Q(x,0)：.V ZAQPZPQB,NAPQ=4PBQ,：4 Q PSXPQB,一.丝 _ 丝.r .1 一 ，QP QB：.PQ1=AQBQ=(x-2)(12-x)=(x2-14x+24)2*tg|J(x-2)(12-x)=(x-2)2(x-12)2,(x-2)Cx-1 2)声0/.,解得 x=7 2 C，.，点 P 为(7+2后,1)晟(7-2 乃，-f).【点评】本题是二次函数缘衿题，考查了二次函数与7 冗:次方程的关素、,直角三角形的判定等知菠、熟,练掌握三次函数的性质是解题的关键.,5.如图，一次函数），=履+6 （k W O）的图象与反比例函数）=三（仅W 0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（-2,3）,点8的坐标为（4,n）.（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P,使AP C是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】将 点A的坐标代入产手（心0）得 力=-2 X 3=-6,则反比例函数的表达式为：尸 一%,将点2的坐标性入上式并解律=|,耿 点8 （4,二去，即可求蚪分N A P C为直角、Z.P （P ）A C为直角两种情况，分别求解即可.【解答】解；C 1）将点A的坐标代入产g.W W O）得：?=-2 X 3=：-6,则反比例函数的表达式为，V F/将点8的坐标代入上式并解得：，片一看 故点8 （4,-1）,.（一2七+6 =3 f/c=将或4 8的坐标代入一次函薮表达式尸H+b得：彳一八 3,解得：，*（4 f c+b =，i.故1次函数的表达式为：=-1 v+f;（2）y=一甲4分，令 y=O,则 x=2,故点1c （2,0）当N A P C为直角时,当 NP(P )4 c 为直角时，由点4、C 的坐标知，PC=4,4尸=3,则 AC=5,cosZACP=奈=三三器=焉 解得：C P，=苧，-.一贝 IJ。P=竽-2=学，故点子的坐标为：(,2,0)或(学,，0).，1【点评】本题超直的是反比例函数综谷运用，涉及到一次函数的神庙、缜 角三角形的性质等,.其史(2),.罗注意分类求解，避 免 遗 强.，6.如图，直角坐标系中，直线y=fcc+b分别与x 轴、y 轴交于点A(3,0),点 8(0,-4),过。(0,8)作平行x 轴的直线C。，交 A 8于点C,点 E(0,m)在线段OD上，延长CE交 x 轴 于 点 凡 点 G 在 x(2)当点E 恰好是。中点时，求4CG的面积.(3)是否存在?，使得aFC G 是直角三角形？若存在，直接写出?的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将点A、3 的坐标代入函数表为式：j，=fcr+b,即可求解:,7；.-*jL.*(2)证明EDCg/EOF(A4S),S ACC=g x AG x CH=x 12 x 8=48；(3)当/FGC=90 时，AG=AF,则 AC 是中线，则)F=4C=g+82=1 0,故点 F(=7,0),即可求解；.当2C G F=90时，则点G（9,0）,则A P=A G=6,故点尸（-3,0）,即可求解.【解答】解：（：户将点A、8 的坐标代入由破表达式：y=fcr+b并解春广4k=可 b-4,故直线的裹达式为：y=扛 4：,（2）方），=8 时,；/一 4=8解得x=9,.之点。的坐标为（9,8）,:C D=9,.E 是 O。中点，：.DE=OEf.工、则。且足。/（A4S）,OF=CD=9,：.AG=AF=OF+OA=2,.过,&C 作 C”J_x轴于点”，（3）当 N尸 C G=90时，A G=A F,则 AC 是中线，则=A C=依 +8?=10,故点尸（-7,0）,由点C、尸的坐标可得直线C尸的表达式为：产4（x+7）；,r -、,t.*v.故点厂(-3,0)；，n，-同理直线C F的表达式为：v=o (x+3)”故 m=2：.综上一,?=算2.【点评】本题综食考查了1次函数与几何知识的应用”题中运用直线颦捅三角形等知识求出线理的长是解题的关键.：.：7.在平面直角坐标系xO y中，对于任意两点M(xi,y i),N(X 2,”)，若点P(x,y)满足x=3 (xi+x2),y=3(y i+y 2),则称点P为点M,N的衍生点.求 点M(2,1),N (-1,-第 的衍生点,；D(2)如图，己知8是直线y i=3+|上的一点，A (4,0),点 尸(x,y)是A,8的衍生点.求y与x的函数关系式；若直线B P与 x轴交于点Q,是否存在以A Q为直角边的R tA/l P S，若存在，求出所有满足条件的B点坐标；若不存在，说明理由.【分析】/3：(2-1)=3；y=3 X b-h =1,点M、N的桁生点是(3,-1)；工 q it(2)由题意设：点8 (n,+号)，点P (x,y)是点A、B的衍生点，x=3 (4+t),y=3 (0+!r+1)o-1 2 1 i=亍+5；则 t=可 工-4,y=(-1 ；分N A Q P=9(T、/布。=9 0 两种情疫，分别求解即可.【解答】解：x W x%-1)=3；)，=3 X“(1 一 勺=1；.点M、N的衍生点是(3,7)；,(2)由题意设：点8 (/,2 o 8.如图，A,8 是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+b过点B,与冗轴交于点C.；点 尸(X；)好 点 A、B 的衍生点，.-*I B-*,*i?1.x=3(4+7),y=3(0+3+务=孑+5；则 t=-%3 1 1.4 2 (不-4)=g-1；,当Z 4Q P=90。仔，如 图 1 所示，414-4U图1设/(/?,-m-1 ),则点 3(Tn,.山点P 是点A、8 的衍生点得：片3(4+M 或37=3 (-排+?解 彳 导：?=-6,即点5(-6,4)，当NB4Q=90.时，如图2 所示，-J r 7$J ,厂什餐图2则:点 P(4,1),O 1 11由点。是点A、8 的衍生点得：点 B -1,-)或(4,)(舍去)：A O 1.综上所述，满足条化的点8 坐 标 是(，6,-江 或(-*-).3J 3【点评】本题考查的是一次函数综合运用.，艳及到一次函数的性质、.，要注意分类求解，避免遗漏.*TC 1 j f ,J L ，4-1.“4 9,*/u f4-0）,y*4irf t X r*j*/.*Q *-r r jK富角三角形的性质等，其.中;（2）*,-4(1)求A,B,C三点的坐标；(2)当点。是A B的中点时，在x轴匕找-二：点E,使E Z5+E3的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标.(3)若点。是折线A-B-C上一动点，是否存在点。，使A C。为直角三角形，若存在，直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.备用图 备用图【分析】(1)在+4中”令x=0,得)三3，令y=。，得x=-4,泊 卜-4,0)B(0,4),即可求解(2)如图点E为 所 求.点。是A 8的 中 底A (-4,0),B(0,4)：则。(-2,2).即可求解：，,，f-，(3)分点。在A2上、点。在B C上两种情况，分别求解即可.【解答】解：(1)在y=x+4中，令 x=0,得 y=4,.-令y=0,得x=-.4,(-4,0),B(0,.4).,把 3 (0,4)代入，y=-2 x+b,/,/,f f,得b=4直线y=-2 i+4.在)仁-2 r+4中，令y=0,得 x=2，；.c点的坐标为？2,0)；.,.(2)如图点E为所求点是 A B 的中点，A (-4,Q),B(0,4).：.D(-2,.2).点8关于x轴的 对 晓 8 的坐标为(0,4)设 直 线 的 解 析 式 为y=1x+b.把7)(-2,2),飞9 0,-4)代入一次函数表注式并解得：故该直线方程为：y=-3 x-4.(3)存 在,。点的坐标为X -1,3)或弓，等).当 点。在A8上时，由。4 =。8=4得到：Z B A C=4 5 ,.d -i f .由等腰直角三角形求得力点的坐标为(-1,3)；在4。尸与8 0 C 中，ZFAO=Z.CBO,A O F=Z B O D,AO=BO,：.-/AOF/BOC(AS A).：,O F=O C=2,，点厂的坐标为(0,2),易僵直线A D的解析式为y =1+2,与y=-2 x+4组成方程组并解得：4 _ A 1?-广 中.交 点。的坐标为冬，).【点评】本题.矗 是 一次函数综合运用，做 到 点的对称性、三角形 石、解直%三角形等，其中1 3),要注意分类求解，避免遗漏.9.如图，抛物线y=o?+6 x+c经过点A (0,-3)、8(-1,0)、C(2,-3),抛物线与，轴的另一交点为点E,点尸为抛物线上一动点，设点P的横坐标为L(I)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形M 8“恰好是平行四边形时，求点P的坐标：(3)若点尸在第四象限，连结以、P E及A E,当f为何值时，A R A E的面积最大？最大面积是多少亍(4)是否存在点P,使以E为以A E为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点尸的坐标；若不存【分析】(1)抛物线$=族2+法+,.经过点A(0.-3)；C(2,-3),则因数的对称轴为：x=l,故点E“3,0),即 礴 解：(2)四边形MB 尊好是平行四边形时，则 咐=8 E=3,故f=4,则点(4,5 J：(3)%E的面积 S=ax P”X O E=|(r-3 -?+2 r+3)=|(-P+3 r),即可求解；(4)分NP EA=9 0、NB4殳=9 0 两种情况，分别求解，即可.【解答】解：(,1)抛物线i，=a/+A r+c经过点4(0,3)、C(2,-3)；顶 函数的对称轴为：x=1,(4)直线4 E表达式中的左值为1,则与之垂直的直线表达式中的为-L 当NP E4=9 0 时，.直磋席的表达式为工 厂-x+Z,经点E的坐标代入并解幻：_ -直线P E的表达式&=-x+3，.：,联立并解得：x=-2或3 (舍去3),故点 P (-2,5)；当N F E=9Q 时，.同理可得：於P G,-4)；综上，点P的坐标为：(-2,5)或(1,-4).【点评】本题*音的是二次函数综合运用,或及到一次函数的性质、域存四边形的性质、面积的M谈等，其4(4),要注意分类求解，避免遗漏.(.1 0.如图，直线A B经过x轴上一点A (3,0),口与抛物线y=a/+l相交于8、C两点，点B的坐标为(1,2).(1)求抛物线和直攻A B的解析式；(2)若点。是抛物线上一点，且。在直线B C下方，若SABCD=3,求点。的坐标；(3)设抛物线顶点为M,问在抛物线上是否存在点P使AP M C是以MC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）将点A、B 的坐标代入次函数表达，即可求解；1（2）贝 ij SABCD=3=xQ”又 -冗。）即可求解；分NPCM=90、Z C M P y P ）=9 0 防种情况，分别求解即可.【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二决函数表4 式：丫=筋+。得；解得：*x 12=k+b%*3 =3故直线A B的表达式 为:尸-x+3，.同理将点8 的坐钵代入抛物线表达式笄解僵：抛物线的表达式为：.y=7.+.l；,.、.联 立 我 得：1或-2,故舌C 1-2,5）,则,SA8a)=3=*x D H X CXB-xc)=(-x+3-7 -1)X(1+2),解得：x=-1或 0,故点 (0,1)田(-1,2)；(3)如图2,.点 M 的坐标为：(0,1)；点 C(-2,5),则直线CM函数袤达式中的上值为：-2,；，(.1)当/PCM=90 时，.：t f 4 ,*A ”3 i f则直线CP的函数表达式为：y=g+m,将 点。的坐标代入上式并解得：m=6,.1故直线PC的表达式为：丁=24+6，JL*1.、:，；.w .,B ”TJ Bc联立并解得：x=-2 或I (舍去-2),4 5 29故点尸的坐标为：(5，)；(I I)当/CM P(P )=90 时，,-1 5 同理可得：.点尸(P”)(3 1),-5 29 1 5；综上，点尸的坐标为：(二，)或(二，二).工.：2 4 2 4【:点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次卤数、直角三角形的性质、图形的面积计算等/.1 、其 中(3),要注意分类求解，避免遗漏.1 1.如图，抛物线y=#+公+，与 x 轴交于点A(-1,0),B(4,0)与 y 轴交于点C,点D 与点C 关于x轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(?，0),过点P 作 x 轴的垂线1,交抛物线与点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在线段0 8 上运动时，直 线/交 8。于点M,试探究胴为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在点尸运动的过程中，坐标平面内是否存在点。，使8CQ是以8。为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)直接将1A(-1,0),B(4,0)代 入 抛 物 线 产#+Ax+c.方程即可：,-2)由中的解析式得出点C 的坐标C()J 2),从而得出点(0,2),求出耳线BD-.y=+2,设点M(m,-+2),Q(m,m2-2)可得MQ=-+m+4,根据平行四边形的性质可得。M=C=4,即-2巾2+血+4=4可解得,”=2；(3)由。是以8。为直角边面直角三角形，阮以分两种信况讨论，当/8 0=9 0 时，则 B i/+也 2=8 Q 2,列出方程可以求出 QI(8,18),=/+2.L丁点/5的坐标为C m,0),过点尸作；轴的垂线1,交 BD于点M,交抛物线与点。,1 1 4 3，可设点 MM(m,-?m +2)；Q(m,-m2-m-2).V V .一1MQ=-7)ni2+m+4z,四边形C QMD是平行四边形 1 c ，*QM=CD=4f 即-2 血2+7 n+4=4解得：/“I=2,/W2=O(舍去)4 m=2 时，四边形C QMD%平行四边形-,(3)由题意，.可+殳点 Q(啊 方 m2 一 加 7 2)且 8(4,.0)、D(0,2)、*BQ (rn 4)2+ni2 zn 2)2 c 1 7DQ=m2+(2 m2 4)2BD2 20 1 当 N8Q=90 时，则 s J+O d n B。2，1 .,a*1 a20+m2+(m2 4)2=(m-4)2+(2 ni2 2)2解得：ii=8,，”2=-l,此时 0i(8,，18),0(-1,0)当/。8。=90 时，则 8+8。2=。2,20+(m 4)2+(1m2 2)2=m2+(m2 1m 4)2解得：73=3,“74=4(舍 声)此 时。3(3，,2),懑足条件的点。的坐标有二个，分别为：。1 (8,18)、。2(7,0)、03(3,-2).【点评】此题考查了卷定系数法求解析式，还考去了平行四边形及直角形的定义，要注意第3 问3两种情形求解.-1 2.如图，已知-次函数)=-Jx+5 与坐标轴交于点A、&点P 在线段4 8 上，点 C(5,0)(1)设点尸的横坐标为x,写出COP的面积S 和 x 的关系式及定义域；(2)在COP中，P O=P C,求点尸的坐标；(3)是否存在点尸，使COP为以点尸为直角顶点的等腰三角形？若存在.写出P 的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）利用r 次函数图象上点的坐标特征可求出点4,8 的 坐 标,由点P 的横坐标可得出肉A 的纵坐标/再利用三角形的面积公式即可找出.点 8 的坐标为（10,0）.”.点P 的横坐标为X,.点P 的纵坐标为一：x+5,.*.5=O C9yp=x5X（一$+5）=%+学（OWxWlO）.（2）过点尸IPLU轴于:点E,如图所 示,:P O=P C,:.OE=CE,又；点。的坐标为（5,0）,.5O E=|.W Jh*.*_当x=怖 时，y=-4+5=芋.J，一 .*z 1*.A .Tff.5 15当PO=PC时，点P的坐标为（一，）.2 4(3)不存在，理由如下：_ 5 15由(2)可知，点 P 的坐标为(二，一),2 45 15 rV-0一，即 OE R P E,2 4/:./POEW4OPE,：N P O E=N P C E工45。,：.ZOP C90,：!.【煮评】本题考查了k次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰示角形的性质、三角形内角和，4定理以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是：(1)利用三角形的面积公式，找 出 S 和 x 的关系式;(2)利用等腰三角形的性质及，-次函数图象上点的坐标便征，找出 7 的坐标；(3),利用三角形内角和,急理找出/OPC#9(T.1 3.如图，在平面直角坐标系中，过点A(0,6)的直线A 8与直线OC相交于点C(2,4)动点P 沿路线OCB 运动.(1)求直线AB的解析式；1(2)当OPB的面积是O3C的面积的二时，求出这时点尸的坐标；4(3)是 否 存 在 点 使 4 0 8 尸是直角三角形？若存在，直接写出点尸的坐标，若不存在，请说明理由二【分析】(1)利用待定系数法即可得出结论；.:(2)先求出OBC的面积，,进而求出4 08 月的孤积，进而求出点P 的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论；(3)分点P 在 0 C 和 8 c 上两种情况,先求出宜线B P 的解析式，再联当成方程组，解得即可得出或论.【解答】解：(l)；点4 的坐标为(0,6)/.i殳直线A B 的解析式为产fcc+6,.点 C(2,4)在直线 A 8 上,*24+6=4,R-./*.f 9 J ,b r:.k=-1,直线A B 的解析式为j=-x+6；A J j|v *_,A，:，xaE t 4 r /w1.SOPB=7 XI2 尸 3,J，A，/设 P 的纵坐标为m,/，4、1，SAOPB=2。3m=3加=3,V C 2,4),.V 1.一.直线O C 的解析式为y=p,S *.j rAt AJ i ,、*j:i ,.当点尸在O C 上时，x=.，乙 F;J 1:.p (-,1),2:当点P 在 3。上时，尤=6-1=5，：.P (5,1),1 I 即：点 尸(-,1)或(5,.l)；2 一,(3),O8P是直角三角形，*V .，d r ，、-9r.NOPB=900.，当:点尸在OC上时，由(2)加 直 线 0 c 的解析式为 2x，/.直线8P 拓解析式的比例系数为-i，,VB*(6,0),.;直 线 8P的解呼 为 尸:方+3，r*1(=6，联土，解得，：(y=T6 12 .尸(-,),5 5,当点尸在BC上时，唯1 ()知，直线A 8的解析式为了=-x+6，.-二直线OP的解凉式为y=44).联立解得，；：；，/：A(3,3),.9 ；,.6 12即：点了的坐标为(二，)或(3,3).5 5【点评】此题是7 次函数.合题，主要考查了待定卷数海三角形的面积的计算方法，两直线的交点坐标的求法，用分类论的思想解决问题是解本意的关键.14.如图，在 RtzMBC中，ZB=90,BC工6炳cm,NC=30,点。从点C 出发沿C4方向以每秒2c，/s速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB方向以每秒/tro/s速度向点8 匀速运动，设点。、E运动的时间是/秒(0 /FJ_BC 知。FA 2,若四边形 BEDE 是平*K,、z,jk*!V 3-.T(2)由题意知 CD=2f、AEt,则 BE=6-t,：RtZCCF 中，NC=30,*1：.DF=C D=tf.二 -一 一.：DFLBC,工 ，二、；.NDFC=/后=90,士 :,:.士，1,，1 /,I f .：.DF/AB,.四边形BFDE是平行四边形，.DF=BE,B P t=6-t,i解得 r=3,二当r=3时，四边形BFDE是平行四边形1/jKg(3)当/EF=9 0 时，四边形E D为矩形，在 RtZAE 中，NADEsNC30 AO=2AE,即 n-2 t=2 t,.解得：f=3；当NDE尸=90。时，u：Df=AE=t,JI D F/A E,.四边形AEFD是也亍四边形，：.EF/AD.:：.ZADE=ZDEF=9fi,.,.V ZA=90-ZC=60,/MD=AEXcos60c,*b *xB 11 1 ,XB P 12-2/=2小解得：U?:.,；当NEFD=9。时，此种情况不存在：.jptjb *步.*16直 线 何 的 解 析 式 为 尸 白+1，令 x=。，r.6,产 引,*/.M（0,-）,、二 .，5 .上、a（3）如图2,A 3 M 是以AB为直角边的直角三角形1,人口,设直线A B的解析式为y=-x+6,殳直线A M的解析式为y=x+，(4.2)J 4十 O=2,.：.b=-2,v -7当NM8A=90 时，M B1.AH,.：.设直线B M的解析式为产x+*VB(6,0),.三.6+1=0,.-一 二 .n=-6,.：、工用(o,-6).*.x j f 、.人 3即：满足条件的点M(0,-2)或(0,-6).【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，求出直线4 M 和的 解林才是解本题的夫舞 .一1 6.如图，抛物线=0?+法+6 与 x 轴交于点A(6,0),8(-1,0),与 y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为该抛物线上一个动点；动点尸作y 轴的垂线交直线AC于点。，点 P 的坐标是多少时，以。为圆心，0。的长为半径的。与 AC相切？是否存在点P,使4CP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P 的坐标：若不存在，说明理由.【分析】(1)先确定C(0,6),设交点式y=a(x+1)(x-6),然后把C 点坐标代入求出。的值即可:(2)设 P 点坐标为(x,-f+5 x+6),作 OOJ_AC于 O,过。作 轴 交 抛 物 线 于 P 点，如 图 1.先 判 断 多 等 腰 直 角 三 角 形 得 到C D=A D,则D(3,3),然后计算一次函数值为3对应的日变量.、r ,.：一-,w ,的值即可得到自坐标；.根据两点间的距离公式得到PC2=x+(-/+5 x)2,PA2=(x；6)2+C-7+5 x+6)2,A C2=7 2,讨论：当N B 4 c=90 ,利用为股定理得到(x-6)2+(-/+5户6”+72=/+(-f+5 x)2；当/P C A=90.,利用勾股定理得到 7 2+.*+(-?+5 x)2=(x-6)2#(-/+5 x+6)2：当/A P C=9 0.，利用勾股定理得到(x-6)2；(-3+5X+6)2+?+(，邑5 x)1=7 2；然后分别解牖 即 日 得到对应的P点坐嬴【解答】解：C 1.当x=0时，4=。$+法$6=6；则C(0,6),设抛物线的解析式为y=(4 1)C v-6),.常 .力把C (0,6)代入得-6)=6,解得a=-1,抛物线的解柠式为尸-(.r+1)(x -6),即y=-f+5 x+6；.、.(2)设尸点坐标为Yx,，/+5 x+6),作O J_ A C J二D,过。作P O_ L y轴交抛物线于尸点，如 图1,/0 4 =0 0=6,OA C为等腰直角三角形，C D=A Df：.D(3，3)，_ .当 y=3 时，-+5彳+6=3,.?、？、整理得/-5 x-3 =0,解得*1=殳 亘，1 2=5产7,此时P点坐标 为(巴 在Z,3)或(5 3)；/，2 2 存 在 4 个点P,使 为 直 角 三 角 形.PC2=x2+(-/&-)2,*=.(x-6)2+d f+5 x+6)2,AC2=62+62=72,/.当 Nfi4C=90,PA2+AC2=PC2,b ft.一(x-6)2+(-X2+5X+6)-+72=X2+(-?+5x)2,整理得/-4丁 -1 2=0,解得xi=6 (舍去)，X2=-2,此时P 点坐标为(-2,-8%当/尸CA=90。，VPC2+/1C2=M2,.:72+/+.(-=(x-6)2+.(-x1+5x+62,J (,整理得了-4 x=0,解得xi=0(舍去)，2=4,j此时尸煎坐标为 4,10)；,.f.当/APC=90。，,：PA2+AC2=PC2,：.(x-6)2+*-X2+5A+6)2+X2+(-X2+5X)2=12,-地理得？7 0,+2 0/2 4 与，:：x,：一,：；)x3-10 x2+24.r-.441-24=0,x(7 -lOx+24)-4(x-6).=0,x Cx-4)(x-6)-4 (x-6)=0,(x-6)(x2-4x-4)=0,.x-60,w w.所以/-4 x-4=0,解得xi=2+2&,X2=2-2 V 2,此时 P 点坐标为(2+2返，4+2混)或(2-2 2,4$*r ,-2V2)；综上所述，符合条件由点P 的坐标为 -2,-&)或(4,1 0)或 2+272,4+2V 2)或(2 2或,4-2V2).【点评】本题考查了二次甬数的综合题：熟练掌握三次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、.等腰直角三角形的性质和切线的判定：会利廊寺定系数法求函数解析式，会运用勾股定理解方程，委解-兀二次方程；施牖坐标与图形性质；会运话务类讨论的思想解决数学问.1 7.如 图 1,0A8C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，。为原点，A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y轴 的 正 半 轴 匕。为 AB边上一动点，将C8。沿 CZ)翻折，记点8 的对应点为E.(1)如图2,当点。与点A 重合时，设。E 与 OC交于点F,试判断C4F的形状，并说明理由：(2)若 04=6,0。=8,是否存在点。，使入。E 为直角三角形？如果荐在，请求出点。的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)若 OA=5,O C=1,当点E 落在NAOC的角平分线上时，求点。的坐标.【分析】（1）,如 图 2,尸是等腰三角形，因为翻折得：Z B A C C A E,再由平行内错角相等得：,-,Z O C A Z B A C,则/0cA=N C A E,从而得结论：（2）巷在，因为ZD 4E=9 0 时不符合题意，所以分两种情况讨诲当AE=90时，抑 图 3,直接写出点。的坐标；当 ZEO=9 0 时，如图4,根据勾股定理计符4）和 8。长即可；（3）作辅助线构建直角三角形，设 训=x,在 RtZiCME中利用勾股定理列方程求出x 的值，,再证明C M E s/E N D,列I;一例式可得点。的坐标【解答】解：J 血图2,入。尸是等腰三角眩，理由是：四边形O48C为矩形，O*C/AB.二 N0CA=N6AC,.：.Z 0 C A=Z C A E,C4F是等腰三角熟 f（2）存在，:分两种情况：当 NAOE=90时、ZVIOE为直角三角形，如图38四边形CEDB是正方形，.：OA=6,0 C=8,：.OE=OC-EC=S-6=2,：.D(6,2)；,当2AEZ)=90。nt,ADE为直角三角形，而 图 4,VZCD=ZAED=90o,AC.E、A 在同一直线上，由勾股定理得：AC=76?+82=io,由阚折得：CE=BC=6,.E=1 0-6=4,一;BC-DEta n Z C A B=AB=AE.6 DE 一=,8 4 DE=DB=3,.4力=8-3=5,：.D(6,5)；:(3)如图5,过 E 作 M M LO C,垂 足 为 交 AB于 M 则 MN_LA8,7*4：.ZCOE=45,:.丛EMO是等腰直角三角形，设 E M=x,则 OM=x,C M=1-x,由翻折得：BC=C E=5由勾股定理得：52-(7-x)2+?,解得：X I=3,X24,当x=3 时；EM=3,EN=2,NCEQ=90 Z:./CEM+/D EN=90,V ZCEM+ZM CE-900,:NDEN=NMCE,:/CM E=/E N D,，丛CMEsQEND,.C M ME EN-DN.4 3.一 =,2 DN：.DN=1,5,：.