2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (三).pdf

2021年中考数学模拟试卷一.选 择 题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列各对数中，互为相反数的是（）A.-2 与 3 B.-（+3）与+（-3）C.4 与-4 D.5 与工52.如图是从上面看到的由5 个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（）3.如 图 1 是 AQBC的一张纸条，按 图 I f 图 2图 3,把这一纸条先沿E F折叠并压平,再 沿B F折叠并压平，若 图 3中N C F E=24 ,则 图 2 中N A E F的 度 数 为（）DA.120 B.108 C.112 D.1144.如图，平面直角坐标系xOy中，阴影部分（射线了=，x 0 与y 正半轴之间，不含边界）A.x0,y0 B.x y 05.下列运算中正确的是（）A.C.y x 0D.y=x 0B.37%3=1 2?C.(-5?)2=-2 5 x6 D.1 0 x6-?(-2 x4)=-5，6 .如图，A B C 中，N C=9 0 ,A C=B C,A O 平分N C 4 8 交 B C 于 ,D E L A B T E,且A.7 B.6 C.5 D.47 .直线y=平x+卢x轴，)，轴分别交于A,B两点，把A A O B绕着A点旋转1 8 0 得到3A O ),则 点 的 坐 标 为()A.(4,2)B.(4,-2)C.(4 /3-2)D.(-2)8 .如图，矩形A B C C中，对角线AC的垂直平分线E F分别交B C,A。于点,F,若 BEC.1 0D.89 .如图，射线BM与 相 切 于 点B,若N M B 4=1 4 0 ,则N A C B的度数为()C.6 0 D.7 0 1 0 .如图，抛 物 线 丫=/+公+。交x轴 于(-1,0),(3,0)两点：则下列判断中正确的是()图象的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线 当x l时，y随x的增大而减小 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1和3C.D.二.填 空 题（共 4 小题，满 分 12分，每小题3 分）1 1.分解因式：-9+4/=1 2 .正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为.1 3 .如图，在平面直角坐标系中菱形A B C。的顶点A、8在反比例函数），=K（Q O,x 0）x的图象上，点A、B横坐标分别为1,4,对角线8 O x轴.若 菱 形A B C D的面积为1 0,则k的值为1 4 .如图，Z V I B C是 圆。的内接三角形，连 接。4、O C,若N 4 0 C=/A B C,弦A C=5,则圆0的半径为三.解 答 题（共 11小题，满分78分）1 5 .（5 分）V 1 2+A/1 8+ta n3 0 0 +-c os23 0 -2 si n24 5 0 ta n4 5 1 6 .（5分）解方程:（1）-J-+1=x+1x-2 2x-4（2）止L-4 _=x-1 1-x217.(5 分)下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程.求作：正方形ABC。，使正方形A8C。内接于0 0.作法：如图2,过 点 0 作直线A C,交于点A 和 C-,作线段AC的垂直平分线M N,交。于点8 和。;顺次连接A8,BC,C 和 D4；则正方形ABCD就是所求作的图形.根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图2 中的图形；(2)完成下面的证明：证明：AC是。的直径，Z A B C=Z A D C=,又.点B 在线段A C 的垂直平分线上，：.AB=BC,：B A C=ZBCA=.同理ND4C=45.A ZBAD=ZBAC+ZDAC=45+45=90.ND4B=NA8C=ZADC=90,四边形ABC。是 矩 形（）（填依据），又；AB=BC,.四边形A8CZ）是正方形.18.(5 分)如 图，A8C中，A。是 BC边上的中线，E,F 为直线A。上的点，连接8E,CF,.BE/CF.求证：DE=DF.1 9.（7分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为 2本的人数占抽查总人数的2 0%,根据所给出信息，解答下列问题：（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；（2）将条形统计图补充完整；（3）若规定：假期阅读4本及4本以上课外书者为“优秀阅读者”，据此估计该校2 5 0 02 0.（7分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面。处测得楼房顶部A的仰角为3 0 ,沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走1 0 米到达E处，测得楼房顶部4的仰角为6 0 .已知坡面C L =1 0 米，山坡的坡度i=l：M（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）.（1）求点。离地面高度（即点O到直线BC的距离）；（2）求楼房A8高 度.（结果保留根式）2 1.（7分）某项工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用.已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送3 7吨水泥，1辆甲种货车和4辆乙种货车一次可运送3 6吨水泥.（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？（2）已知甲种货车每辆租金为5 0 0元，乙种货车每辆租金为4 5 0元，该企业共租用8辆货车.请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量（辆）之间的函数关系式.（3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于4辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？2 2.（7分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.（1）小红从4张牌中抽取一张，这 张 牌 的 数 字 为 偶 数 的 概 率 是；（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率.2 3.（8分）如图，A B是 的 直 径，直线M C与 相 切 于 点C.过点A作M C的垂线,垂足为。，线段4。与 相 交 于 点E.（1）求证：A C是/D 4 B的平分线；（2）若 A B=1 0,A C=4泥，求 4 E 的长.DE,七f24.(10分)如 图，已知抛物线y=-W+fcv+c经过点4(3,0),点3(0,3).点M Cm,0)在线段OA上(与 点A,。不重合)，过点作x轴的垂线与线段AB交于点P,与抛物线交于点Q,联结BQ.(1)求抛物线表达式；(2)联结O P,当N B O P=N P B Q时,求PQ的长度；(3)当PBQ为等腰三角形时，求机的值.25.(12 分)如 图，四边形 A5CD 中，ZABD=ZBCD=90,平分乙4DC,BM/CD.(1)求证：B D ADCD；(2)求证：点M是A的中点；(3)若 C)=6,4 0=8,求 MN 的长.2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析选 择 题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列各对数中，互为相反数的是（）A.-2 与 3 B.-（+3）与+（-3）C.4 与-4 D.5 与5【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故 A 错误；B、都是-3,故 8 错误；C、只有符号不同的两个数互为相反数，故 C 正确；D、互为倒数，故。错误；故选：C.2.如图是从上面看到的由5 个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（）A.口 B.4 C邛 D.&【分析】根据左视图的画法画出相应的图形即可.【解答】解：从左面看，是两列两层，其中第一列高为2,第二列高为1,因此选项。的图形符合要求，故选：D.3.如 图 1 是 的 一 张 纸 条，按 图 图 2图 3,把这一纸条先沿E F折叠并压平，再 沿B F折叠并压平，若 图 3 中/C FE=24,则 图 2 中N A E F的 度 数 为（）【分析】根据各角的关系可求出N 2 F E 的度数，由 A E/B F,利 用“两直线平行，同旁内角互补”可求出/4 E F 的度数.【解答】解：V2ZBFE+ZBFC=180,NBFE-NBFC=NCFE=24,A Z B F=A （180+24）=68.3：AE/BF,：.ZAEF=180-/B F E=112.故选：C.4.如图，平面直角坐标系x。），中，阴影部分（射线y=x,x 0 与 y 正半轴之间，不含边界）A.x0,y0 B.x y 0 C.j x 0 D.y=x 0【分析】观察阴影部分的位置确定x、），的取值范围即可.【解答】解：当x=y 0 时在射线产x 上，故当y x 0 时 点（x,y）在阴影部分内，故选：C.5.下列运算中正确的是（）A.2+46X5 B.3X2*4X3 2X6C.（-5?）2=-25x6 D.10 x6+（_ 2 r4）=-5/【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.【解答】解：2，+4 4 不能合并，故选项A 错误:3 7 4 4=1 2/,故选项B 错误；(-5?)2=2 5?,故选项C 错误；10X64-(-2X4)=-5),故选项 D 正确；故选：D.6.如图，ZkABC 中，ZC=90,AC=BC,AO 平分NC4B 交 8 c 于。，DELAB于E,且A.7 B.6 C.5 D.4【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得C=OE,然后求出DE+BD=AC.【解答】解：/C=9 0 ,4。平分/C 4 B 交 BC于。，DELAB,：.CD=DE,：.DE+BD=CD+BD=BC,；AC=BC,:.DE+BD=AC=1.故选：A.7.直线y=X lx+2 与 X轴，y 轴分别交于A,8 两点，把AAOB绕着A 点旋转180得到3A O，则 点 的 坐 标 为()A.(4,2)B.(4,-2)C.(4A/3-2)D.(-2)【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征求出A 点和B 点坐标，则可得到OA=2。O B=2,再根据旋转的性质得到 AO=A O=2 ,O B=OB=2,ZAO B=NAOB=90,然后根据第二象限点的坐标特征写出点B 的坐标.【解答】解：当y=0 时，-返 叶2=0,解得x=2相，则 A(2 ,0),所以。4=2加,3当 x=0 时，y=A巨X+2=2，则 8(0，2),所以 OB=2,3因为aA O B绕着A 点旋转180得到AO B ,所以 A。=A O=2 ,O B=OB=2,ZAO B=ZAOB=90,所以点8 的坐标为(4匾，-2).故选：8.如图，矩形ABC。中，对角线AC的垂直平分线E F分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,A F=5,则AC的长为()A.4泥 B.473 C.10 D.8【分析】连接A E,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明AOF gACOE得出AF=C E=5,得 出 AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB=JAE?-BE 2=4,再由勾股定理求出AC即可.【解答】解：连接A E,如图：是AC的垂直平分线，：.OA=OC,AE=CE,.四边形ABC。是矩形，；.NB=90,AD/BC,：.ZOAFZOCE,fZA0F=ZC0E在AOf和COE 中，OA=OC，Z0AF=Z0CE:.AOF空XCOE CASA),：.AF=CE=5,；.AE=C E=5,BC=BE+CE=3+5=8,AB=VAE2-BE2=V52-32=4,/M C=VAB2+B C2=V42+82=4;故选：A.9.如图，射线B M与。相切于点B,若NMBA=140,则NAC B的度数为（）A.40 B.50 C.60 D.70【分析】利用切线的性质得NO8M=90,则可计算出NA2O=50,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到/AO 2=80,然后根据圆周角定理可计算出/A C 8的度数.【解答】解：射 线 与。相切于点B,OBVBM,：.ZOBM=90,/.ZABO ZABM-ZOBM=140-90=50,：OA=OB,：.ZOAB=ZABO=50,./AOB=180-50-50=80,NAC B=L/AOB=40.2故选：A.1 0.如图，抛物线y=/+fe r+c 交 x 轴 于（-1,0）,（3,0）两点：则下列判断中正确的是（）图象的对称轴是过点（1,0）且平行于），轴的直线 当 x l时，y 随X 的增大而减小 一元二次方程a+bx+c=Q的两个根是-1和 3 当-l x3 时，y 1时，)，随 x 的增大而减小，故正确；二次函数的图象与x 轴的交点为(-1,0),(3,0),一元二次方程的两个根是-1,3,故正确；.当-l x 3 时，抛物线在x 轴的上方，.当-l x 0,故错误.综上，正确的选项有.故选：C.二.填 空 题(共4小题，满 分12分，每小题3分)11.分解因式：-9+4/=(2 x+3)(2 x-3).【分析】原式利用平方差公式分解即可.【解答】解：原式=(2r+3)(2x-3),故答案为：(2x+3)(2x-3)12.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为二_.【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形i 可.【解答】解：设正六边形的半径是r,则外接圆的半径r,内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是亚人2因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：故答案为：2：1 3.如图，在平面直角坐标系中菱形A B C Q的顶点A、8在反比例函数y=K (%0,x 0)x的图象上，点A、8横坐标分别为1,4,对角线8 D x轴.若 菱 形A 8 C D的面积为1 0,则%的 值 为2 0 .【分析】连接A C交8 0于E,如图，利用菱形的性质得A C _ L 3 O,AECE,DE=BE,设A (1,k),B(4,K),则8 E=3,A E=k-区=当，根据菱形的面积公式得到4 X工4 4 4 2X 3 X k=1 0,然后解关于左的方程即可.4【解答】解：如图，连接A C交B Z)于E,.四边形A B C。为菱形，J.ACLBD,AE=CE,DE=BE,轴，设 A (1,k),B(4,K),4/.BE=3,AE=k-4 4:菱 形A 8 C 的面积为1 0,.,.4SAABE=10,即 4x J _ X 3 X当=1 0,解得 4=2 2.2 4 9故答案为空.91 4.如图，A B C是 圆。的内接三角形，连 接OA、0 C,若N A O C=N A B C,弦AC=5,则圆。的半 径 为 刍 返.3【分析】可以作O O L A C于点。，根据垂径定理，得A Q=2 A C=8,由/A O C=/A B C,2 2可得NAOC=120,再根据三角函数即可求得半径的长.【解答】解：如图，作OOJ_AC于点 ,根据垂径定理，得AO=LC=$,2 2N A O C=/A B C,圆心角4 0 c所对弧的度数等于圆周角A B C所对弧的度数的一半,血 的 度 数=上 乂360=1203A ZAO C=120,：OA=OC,.NO4O=30,在 R tZ X A。中，c o s 3 0 =坦，_ AO.-.OA=Ax 2=2 V3 3故答案为_ 返.3三.解 答 题（共 11小题，满分78分）1 5.（5 分）2J i 2+A J i 8+ta n 3 0o+-c o s23 0 -2 s i n245 ta n 45 3 3 3【分析】原式利用二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.【解答】解：原式=2返+折返+9X2-2X2Xl=M+&.3 3 3 4 2 31 6.（5分）解方程：(1)(2)1.x+1+1=x-2-2x-4x+1 4,X 1 1-x2【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：（1）去分母得：2+2x-4=x+,解得：x=3,经检验x=3 是原方程的解；（2）去分母得：/+2%+1 -4=7-1,解得：x,经检验x=l 是原方程的增根，原方程无解.1 7.（5分）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程.求作：正方形A 8 C。，使正方形A B C D 内接于。.作法：如图2,过 点 0 作直线A C,交0 0 于点A 和 C；作线段AC的 垂 直 平 分 线 交。于点8 和。；顺次连接AB,BC,CO和。A；则正方形ABC。就是所求作的图形.根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2 中的图形；（2）完成下面的证明：证明：AC是。的直径，Z A B C=Z A D C=90 ,又,:点B在线段AC的垂直平分线上，：.AB=BC,：.Z B A C=Z B C A=45 .同理ND4C=45.NBAO=/BAC+NOAC=45+45=90.N D 48=N 4BC=N 4O C=90,四边形ABC。是 矩 形（有.3 个直角的四边形为矩形）（填依据），又:，AB=BC,四边形A B C D是正方形.【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；（2）先利用圆周角得到NABC=N4DC=90,再利用线段垂直平分线的性质得到AB=B C,则NBAC=NBCA=45.同理N D 4c=45.则可得到NBA=90.于是根据 有 3 个直角的四边形为矩形可判断四边形A B C D是矩形，再加上A B=B C,则可判断四边形A8CO是正方形.【解答】解：（1）如图2,四边形4BCO为所作；（2）完成下面的证明：证明：；AC 是。0 的直径，Z A B C Z A D C=9 0Q,又；点B在线段A C的垂直平分线上，：.AB=BC,，NBAC=NBC 4=45.同理/D4C=45.A Z B A D=ZMC+ZDAC=450+45=90.Z D A B=Z A B C=ZADC=90 ,四边形A8CQ是 矩 形（有 3 个直角的四边形为矩形），又；AB=BC,四边形ABC。是正方形.故答案为90,4 5,有 3 个直角的四边形为矩形.18.（5 分）如图，ABC 中，A。是 BC边上的中线，E,F 为直线AQ上的点，连接8E,CF,K B E/C F.求证：DE=DF.【分析】由 A O 是a A B C 的中线就可以得出8 O=C D,再由平行线的性质就可以得出4C D F 2 B D E就可以得出D E=DF.【解答】证明：AO是ABC的中线，：.BD=CD.：BE/CF,：.N F C D=ZEBD,4 D F C=ZDEB.在和B。尸中rZFCD=ZEBDCD=BD.C DF AB DE (A4S),：.DE=DF.19.（7 分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为 2 本的人数占抽查总人数的2 0%,根据所给出信息，解答下列问题：（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；（2）将条形统计图补充完整；（3）若规定：假期阅读4 本及4 本以上课外书者为“优秀阅读者”，据此估计该校2500【分析】（1）根据读两本的人数除以读两本人数所占的百分比，可得抽测人数，根据中位数的定义，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得读4 本的人数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案.【解答】解：（D 1020%=50,.被调查的人数为5 0,被抽查学生课外阅读量的中位数 3；(2)5 0-4-10-15-6=15,（4）25001050（A）,50答：估计该校2 5 0 0 名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约 有 1 0 5 0 人.2 0.（7分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面。处测得楼房顶部A的仰角为30 ,沿坡面向下走到坡脚C 处，然后在地面上沿C B向楼房方向继续行走1 0 米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为6 0 .已知坡面C D=1 0 米，山坡的坡度i=l：M（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）.（1）求点。离地面高度（即点O到直线B C的距离）；（2）求楼房A 8高 度.（结果保留根式）【分析】（1）根据坡比度i=l：及 CO的长，可求出点。离地面的高度;（2）在两个直角三角形中，分别用A B表示B E、D G,建立方程求解即可.【解答】解：（1）过。作。R L BC,垂足为尸，V z=l：a，：.DF：尸 C=l：M，C D=W,；.DF=5,即点力离地面的高度为5米.（2）由（1）得，C F=5 ,过点。作。G,A B,垂足为G,设 A3=x,P I O A G=x-5,在 R 5 B E 中，B E=tan600 3在 RtZ AOG 中，D G=&(%-5),tan30由 D G=F C+C E+B E 得,5)=5 扬1 0+2,3解得，x=1 5+5 ,答：A B的高度为（1 5+5 米.2 1.（7分）某项工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用.已知 2 辆甲种货车和3 辆乙种货车一次可运送3 7 吨水泥，1 辆甲种货车和4 辆乙种货车一次可运送3 6 吨水泥.（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？（2）已知甲种货车每辆租金为5 0 0 元，乙种货车每辆租金为45 0 元，该企业共租用8 辆货车.请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量（辆）之间的函数关系式.（3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于4 辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；（2）将两车的费用相加即可求得总费用的函数解析式；（3）根据一次函数的性质解答即可.【解答】解：（1）设每辆甲种货车装。吨，每辆乙种货车装。吨，根据题意得2a+3b=37,1a+4b=36解 得 卜=8.lb=7答：每辆甲种货车装8吨，每辆乙种货车装7吨.（2）设租用甲种货车的数量为x,则乙种货车的数量为8-x.5 0 0 x+45 0 (8 -x)=5 0 x+3 6 0 0.（3）根据题意得x 2 4,Vw=5 0 x+3 6 0 0 （4x W 8 的整数），=5 0 0,）随 x的增大而增大.,.当x=4 时，卬 最 小=3 8 0 0 元.答：租用4 辆甲种货车，租用4 辆乙种货车费用最少，最少费用是3 8 0 0 元.2 2.（7分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4 张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.（1）小红从4 张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是 3；一且一（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率.【分析】（1）根据概率公式计算即可.（2）画树状图展示所有1 2 种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）4 张牌中有.3张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是旦.4故答案为之.4(2)解：画树状图为:3 6/T /No 8 10 3 8 108Z 3 6 1010小3 6 8共 有 1 2 种等可能的结果数,其中小红获胜的结果数为6,所以小红获胜的概率=g=2.1 2 22 3.(8分)如 图，A B是。的直径，直线MC与。相切于点C.过点A作MC的垂线,垂足为D,线段A。与。0相交于点E.(1)求证：A C是/D 4 B的平分线；(2)若 4 8=1 0,AC=4泥，求 AE 的长.【分析 1 (1)连 接O C,根据切线的性质得到N O CM=9 0,得 到O C AQ,根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；(2)连 接B C,连 接B E交OC于 点F,根据勾股定理求出B C,证明根据相似三角形的性质求出C凡 得到。尸的长，根据三角形中位线定理解答即可.【解答】(1)证明：连 接。C，；直线M C与0 0相切于点C,；.NOCM=90 ,：A D L C D,：.Z A D M=9 0Q,：.Z O C M=Z A D M,：.0C/AD,：./O A C=ZACO,：0A=0C,：.Z A C 0=ZCAO,：.N D 4 C=A C A B,即 AC 是/D 4 B 的平分线；(2)解：连接B C,连接B E交。C于点尸，是。的直径，A ZACB=ZAEB=9 0 ,；AB=1 0,AC=4遥，A S C=VAB2-AC2=71 02-（4X/5）2=2 5）,?OC/AD,.N B F O=N AEB=9 0,：.ZCFB=90,F为线段B E中点，ZCBE=ZEAC=ZCAB,NCFB=ZACB,:.CFBsBCA.CF=B C 叩 CF =2疾B C A B、2 75 I O-，解得，CF=2,：.OF=OC-CF=3.：。为直径A B中点，尸为线段B E中点，：.AE=2OF=6.2 4.（1 0分）如图，已知抛物线y=-+f c v+c经过点4 （3,0）,点3 （0,3）.点M（?,0）在线段O A上（与点A,。不重合），过点M作x轴的垂线与线段4 3交于点P,与抛物线交于点。，联结8。.(1)求抛物线表达式;(2)联结O P,当N 8 0 P=N P B Q时，求P Q的长度;(3)当 P B Q为等腰三角形时，求机的值.【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可;(2)根据点A、8的坐标得到直线A8解析式：y=-x+3.设P(m,-?+3),Q(m,-W2+2/；7+3).根据相似三角形 POBS/X Q B尸 的性质列出比例式，通过比例式求得m的值，然后由两点间的距离公式求得PQ的长度；(3)利用两点间的距离公式求得8/、PQ2,BQ?的值.需要分三种情况解答：BP=BQ；BP=PQ；P Q=8 Q,代入相关数值，列出方程,通过解方程求得，的值.【解答】解：(1)将A(3,0),B(0,3)分别代入抛物线解析式，得f-9+3b+c=0I c=3解得(b=2I c=3故该抛物线解析式是：)，=-/+2尤+3；(2)设直线AB的解析式是：ykx+t(k0),把A(3,0),B(0,3)分别代入，得(3k+t=0I t=3解得%=-1,f=3.则该直线方程为：y=-x+3.故设 P(777,-机+3),Q(m，-/?2+2/W+3).则 BP=yJ2m9 PQ=-，/+3加.:08=04=3,：.ZBAO=45.QM_LO4,：.ZPMA=90.N4MP=45.A ZBPQ=ZAMP=ZBAO=45.又：/BOP=/QBP,:.POBSAQBP.于 是 史=丝，即3BQ BP-m2+3m V2m解得?i=a,m 2=0(舍去).5/.PQ=-m 2+3相=区；2 5(3)由两点间的距离公式知，8 P 2=2川，尸。2=(-机2+3加)2,8。2=渥+(-m2+2m)2若 BP=BQ,2m2=m2+(-m2+2m)2,解得2 1 =1,m 2 =3 (舍去).即加=1符合题意.若 BP=PQ,2加2=(-/n2+3 n?)2,解得加1=3-，,“2=3+。(舍去).B P m=3-&符合题意.若 PQ=BQ,(-/n2+3/n)2=tn2+(-Jtr+2m)2,解得m=2.综上所述，m 的值为1或3 -b或2.2 5.(1 2 分)如图，四边形 AB C。中，ZABD=ZBCD=90,。8 平分N AO C,BM/CD.(1)求证：B0=ADCD；(2)求证：点M是A D的中点；(3)若。0=6,A O=8,求 MN 的长.【分析】(1)证明 AS Q sa B CQ 即可解决问题.(2)证明和 A8 M 分别是等腰三角形即可解决问题(3)利用勾股定理求出MC,再利用相似三角形的性质解决问题即可.【解答】(1)证明：平分/AD C,:.NADB=NCDB,且/A B O=N B C =9 0,XABDsABCD,AD =B DB D C D，：.BD2=ADCD.(2)证明：BM/CD,：.ZMBD=ZBDC,：NADB=NCDB,:.NADB=NMBD,且 N 4 8 =9 0,：.BM=MD,NMAB=NMBA,：.BM=MD=AM.(3)解：BM=AM=MD=4,BD2=AD CD,且 CD=6,AO=8,AB D2=4 8,：.BC2=BD2-CD212,.M C2=M B2+B C2=2 8,JBM/CD,:.AMNBsCND,；.超=翅=2,且 M C=2A/7，CD CN 3：.M N=P.5D