2021年山东省济南市高考数学模拟试卷（一模）.pdf

2021年山东省济南市高考数学模拟试卷（一模）一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知。（0,乃），若 cosa=-；,贝！J ta n a 的值为（）A.B.-C.V3 D.Y3 32.（5 分）设集合N=x|土 口 0 ,则”是”的（）XA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.（5 分）已知单位向量2,b,3 满足a+B+d=0,则a 与B 的夹角为（）A.-B.-C.D.6 3 3 64.（5 分）环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择工、3、C、。、E、尸中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）2 25.（5 分）已知双曲线一二一-匚=1（?0）的渐近线方程为x 6 y =0,则加=（）tn+1 mA.-B.V3-1 C.D.22 26.（5 分）函数y=/（x）在-2，2句上的图象如图所示，则/（x）的解析式可能是（）A./(x)=sinx+cosxC.f (x)=sin|x|4-cosxB./(x)=|sinx|+cosxD./(x)=sin|x|+1 cosx|7.（5 分）已知菱形Z8C。，AB=BD=2,将沿8。折起，使二面角/-8 O-C 的大小为60。，则三棱锥N-8C。的体积为（）A 6 R 2 6A -tS.-V 空D.2&2 38.（5 分）设。=2022加2020,6=2021M2021,c=2020ln2022,则（）A.a c b B.c b a C.b a cD.ab二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.（5 分）在（Z-x）6的展开式中，下列说法正确的是（）XA.常数项为160 B.第 4 项的二项式系数最大C.第 3 项的系数最大 D.所有项的系数和为6410.（5 分）已知函数/（x）=x3-办+1的图象在x=2 处切线的斜率为9,则下列说法正确的是（）A.a=3B.“X）在x=-l 处取得极大值C.当x e（-2,1时，/（x）e（-l,3D./（x）的图象关于点（0,1）中心对称11.（5 分）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为1 的正三角形，在每个边上以中间的!为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的！擦掉，3 3得到第2 个图形，重复上面的步骤，得到第3 个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫 分形几何学下列说法正确的是（）A.第 4 个图形的边长为工81B.记第 个图形的边数为%,则 =4%C.记第个图形的周长为，则6“=3 D.记第个图形的面积为S“，则对任意的 eN+，存在正实数以，使得S“M12.（5 分）画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：，+，=l（a60）的离心率为弓，耳，E 分别为椭圆的左、右焦点，A,8 为椭圆 上 两 个 动 点.直 线/的 方 程 为 法+社-/-=0下列说法正确的是（）A.C 的蒙日圆的方程为/+=3 必B.对直线/上任意点尸，万 丽 0C.记点/到直线/的距离为，则d-|/玛|的最小值为竽 人D.若矩形MMGH的四条边均与C 相切，则矩形仞VG面积的最大值为6/三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5 分）已知复数z=（其中i 为虚数单位），则|z|的 值 为 一.-i14.（5 分）设等差数列 4 的前项和为S,若 其=2 8,则%+%+%的 值 为-15.（5 分）能够说明 若。6,则一尸 一 ”是假命题的一组非零实数a,b 的值a+yja b+yjb依次为、.16.（5 分）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-A B C D.并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步过点力作一个平面分别交PB,P C,尸。于点E,F,G,得到四棱锥P-/E F G；第二步，将剩下的几何体沿平面Z C F切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表而画出截面四边形/E F G,若 生=3,则 生 的PB 5 PC 2 PD值 为 一，H四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.1 7.(1 0 分)在 A 4 8 c 中，已知角力，B,C所对的边分别是a,b,c ,a=下，b=3,s i n A+/5 s i n B=2&.(1)求角A的值；(2)求A 4 8 c 的面积.a(x+l)ex x 4 0,1 8.(1 2 分)已知函数/(r)=,1x2-ax+Q x 0.(1)若。=2,求/(x)的最小值；(2)若/(x)恰好有三个零点，求实数a的取值范围.1 9.(1 2 分)已知正方体力8CD-48CQ和平面a，直线4G平面a,直线8。/平面a.(1)证明：平面a，平面8 c 0；(2)点尸为线段4G上的动点，求直线8 尸与平面a所成角的最大值.2 0.(12 分)如图，A,B,M,N为抛物线_/=2 x 上四个不同的点，直线45与直线相交于点(1,0)，直线/N过点(2,0).(1)记 4 ,8的纵坐标分别为均，yB,求 丹 的 值；(2)记直线4 N,的斜率分别为勺，k2,是否存在实数2,使得他=2 占？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.2 1.（12 分）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表:数学成绩X4 6657 98 99 910911011612 313 414 0物理成绩y5 05 46063666807 07 37 68 0（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的10000名 考 生 的 物 理 成 绩 服 从 正 态 分 布 用 剔 除 异 常 数据后的样本平均值作为b的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为。的估计值，估计物理成绩不低于7 5 分的人数丫的期望.附：参考数据:1 1/=111z%1=1ii/=1ii以2=1ii(y,-y)21=12 5 8 68 3 2 6111066068 5 8 612 04 2 64 7 7 00.3 1上表中的占表示样本中第i名考生的数学成绩，乂示样本中第i名考生的物理成绩,1 1参考公式：对于一组数据：%,小，I小 其 方 差：S?=-万）2 一7 2.n对于一组数据（%,匕），（的,v2）,.（，匕）,其回归直线f =&+的的斜率和截距Z%匕-nuv的最小二乘估计分别为：3=弋-，a=v-b u.乙；2-nu2i=随机变量g 服从 N(,cr2),则尸(一crg +b)B 0.683,尸(一2。g +2。)2 0.955,尸(-3cr g +3cr)a 0.997.22.(12 分)已知正项数列%,q=1,q,+i=；/(%+1),n w N.证明：a+i a;(2)a-2a+1a-a+l;g 1 1(3)册，西2021年山东省济南市高考数学模拟试卷（一模）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）已知。（0,万），若 c o sa =-g,则ta n c r的值为（）A.B.-C.V 3 D.一 63 3【解答】解：因为。（0,万），C O S 6Z =-1,所以。=红3则 ta n a-一 .故选：D.2.（5 分）设集合 A=x-0,则 x Z 是 x 8 ”的（）xA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件Y-1【解答解：A=x-0 =x|x（x-1）0 =x 1 0 x 0 =x|x -1 X所以/U 8 ,“xwZ”可以推出“xw8”，但“x e B”不能推出“xe/”，所 以“xe/”是“xe B”的充分不必要条件.故选：B.3.（5分）已知单位向量7，b,5 满足万+在+3 =0,则。与石的夹角为（）A.-B.-C.D.6 3 3 6【解答】解：根据题意，设万与B 的夹角为。,a +b+c =0,a +b=-c ,则有（1 +彳虫一牙,变形可得：a2+b2+2a-b=c2,则有co s =-L2又由o.a,，则 空，3故选：C .4.（5分）环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择N、5、C、。、E、厂中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）【解答】解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择5,E两点开始驶入，若 从 B 点 驶 入，则 有 BTATFTETDTCTBTE 或B C D E F A B E，同理E点也是如图，若选择除8,E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6 个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为P =2 =1.6 3故选：B.5.（5分）已知双曲线一二一-匕=1（0）的渐近线方程为x 士 与=0,则机=（）m +mA.-B.V 3-1 C.D.22 2【解答】解：双曲线上 匕=1（机 0）的渐近线方程为X 岛=0,m+1 m可得、户=百，V m解得m =.2故选：A.6.（5分）函数y =/（x）在-2 万，2 乃 上的图象如图所示，则/（x）的解析式可能是（）A./(x)=sinx+cosx B./(x)=|sinx|+cosxC./(x)=sin|x|4-cosx D./(x)=sin|x|+|cosx|【解答】解：由函数图像可得，函数图像关于y 轴对称，可得=/(%)是偶函数，由于/(x)=sinx+cosx=Vasina+?),故 A 错误；又因为y=f(x)经过(肛-1),所以/(万)=一1,与。选项/(九)=1矛盾，故。错误；若/(x)=sin|x|4-cosx,当 光 乃，2TV,sin|x|=sinx,所以 f(x)=sin x+cos x=y/2 sin(x+).-5/2,故当x+=红 时，即=时，取得最小值-应，4 2 4与图中的最小值-1 互相矛盾，故 C 错误.故选：B.7.(5 分)已知菱形/8 C。，AB=BD=2,将 A43D沿 8。折起，使二面角/-8。-C 的大小为60。，则三棱锥Z-8 C。的体积为()A.3 B.述 C.空 D.2加2 3 2【解答】解：如图，取 8。的中点记为。，连接。C,O A,菱形/BCD,AB=BD=2,所以AJ8。与A8CD是正三角形，A O L BD,C O V B D ,.44OC就是二面角4-8。-C 的平面角，A O =D O =2x=y/3,平面/O C _L 平面CD8,A O =),2棱锥的高为：是 x拒,2所以三棱锥的体积为：-x 222、旦痒也.3 4 2 2故选：A.A8.(5 分)设 Q=2022/2020,6=2021/2021,c=2020M2022,贝 ij()A.a cb B.cb a C.b a c D.a b c【解答】解：设x)=螭，.(。)=匕 ，令r(x)0,.0 xe,X X./(X)在(0,e)递增，在(e,+8)递减,/(2022)/(2020),即,2022 /2020,2020/n2022 2022/2020,:.cX+1 x+l g(x)在 0,+00)上单调递增,.g(x).g(0)=0,加(x+(),(X.0),：b-a =2021(历202 l-/n2020)-ln2020=202 1/H(1+-岳20202021 x/2020 0,:.b a,20201 2020同理：c-6 =2020/?(1+-)-/n202L-2 0 2 1 0,:.c h c 9故选：D.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.(5 分)在(2-x)6 的展开式中，下列说法正确的是()XA.常数项为160 B.第 4 项的二项式系数最大C.第 3 项的系数最大 D.所有项的系数和为64【解答】解：在(2-X)，的展开式中，通项公式为人=禺-26。(-17.针-6,X令2 r-6 =0,求得/=3,可得展开式的常数项为-1 6 0,故/错 误；显然，当r=3 时，二项式系数最大，即第4 项的二项式系数最大，故8 正确；由于第厂+1项的系数为G-2 6-.(_ i y,要使该项系数最大，需厂为偶数，检验可得，当r =2 时，该项的系数最大为2 4 0,故C正确；令 x =l,可得各项系数和为1,故。错误，故选：BC.1 0.(5分)已知函数/(x)=x 3-o x +l的图象在x =2 处切线的斜率为9,则下列说法正确的是()A.a=3B./(x)在x =-l处取得极大值C.当 x e(-2,1 时，/(%)e (-1 ,3 D./(X)的图象关于点(0,1)中心对称【解答】解：f(x)=x3-ax+,贝 1 J 厂(外=3*2-。，因为函数/(x)的图象在x =2 处切线的斜率为9,所以/(2)=9 ,即1 2-a =9,解得 =3,故 4正确；贝 U /(x)=1 _ 3 x +1,则/(x)=-3 =3(x -l)(x +1),令/(x)0，可得x l,令/，(x)A.第 4个图形的边长为工8 1B.记第个图形的边数为4,则%M=4%C.记第个图形的周长为，则=3 尸D.记第个图形的面积为S“，则对任意的 e N+，存 在 正 实 数使得S“8 时，s,4 1.6E，即 S“6 0）的离心率为巫，耳，心分别为椭圆的左、右焦点，A,8为椭圆上两个动点.直线/的方程为云+砂-/=（）.下列说法正确的是（）A.C的蒙日圆的方程为 2+/=3 从B.对直线/上任意点P,P A P B 0C.记点4到直线/的距离为d,则“-|/心|的最小值为华 方D.若矩形M V G”的四条边均与C相切，则矩形M V G/7 面积的最大值为6/【解答】解：对于4：因为点0（力）在蒙日圆上，所以方程为/+2=/+/,又e=J l-1 =包,所以/=2/,故/正 确；a a2 2对于8：因为/过顶点P（6,0）,而又。满足蒙日圆方程，所以点尸在圆f+V=3/j 2 上，当力,8恰为切点时，P A P B =-l -2 0,故C不正确；对于。：当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形,对角线为蒙日圆的直径,设边长为工，y,则x 2+y 2 =（2 4=4/=2 从,2,2所以S 矩 形=邛.冶 匕=6 b 故。正确；故选：AD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。1 3.（5 分）已知复数2=出（其中，为虚数单位），则|z|的值为【解答】解：复数2=拉=如2=-1 +2，-z -z-Z则|z|=J(-l +22=有,故答案为：下.1 4.（5 分）设等差数列%的前“项和为S ，若&=2 8,则j+d+G的 值 为 1 2【解答】解：因为等差数列 4 中，4=7（卬；%）=7%=2 数。4=4,则“2+3+%=3+4 +=3。4=1 2 故答案为：1 2.1 5.（5 分）能够说明“若。6,则 一 L产 L 尸”是假命题的一组非零实数“，b 的值a+la b+yJb依 次 为 1 、【解答】解：因为=x +也 在 R上单调递增，y=-,在（-oo,0）和（0,+X）上单调递减,U于是y ：=L=的单调递减区间为（-8,0）和（0,+8）.x+06 0 时，或者当a 0,6 6,则一是真a+&b+班命题,当 a 0,6 0 ,f=f=,所以命a+y/a b+yjb a+Ja b+y/b题 若a b,贝 I 是假命题，a+Ja b+i/b于是取一组特值满足a 0,b 所以苣+2=2 g,解得g=3,2 10 10 4所r-r-以K|一PG二 一3.PD 4故答案为：.4四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.17.(10分)在 A/8C中，已知角Z,B,C 所对的边分别是a,h,c,a=y5,b=3,smA+y/5 sin B=2近.(1)求角/的 值；(2)求&4 8 c 的面积.【解答】解：(1)因为。=6，6=3,由正弦定理得，一=-=2R,sin A sin B所以 sin4=好，sinB=,2R 2R因为 sin4+Jsin8=2 0,所 以 亚+拽=2五,2R 2R劫n M.V5_V2故 R=-,sin A=,2 2R 2因为,所以/为锐角，A=J4(2)由余弦定理得cos/=Y Z=+L-=9+-5 ,2 2 be 6c整理得 c2 3、/1c+4=0,解得 c=2V2 或 c=/2当c=2 0 时，S BC=；bcstnA=；x 3 x 2&x 今=3,当 c=V 2 时，SMRC=s in J=x 3 x y/2x -=.M BC 2 2 2 2a(x+l)ex,x=CO,1 8.(1 2分)己知函数/(r)=o 1x2-a x+y，乂。(1)若=2,求/(x)的最小值；(2)若/(X)恰好有三个零点，求实数。的取值范围.2(x+l)ex,x0当 X0 时，f(X)=(X-1)2-JL,则/(x)mi n f(1)=，2 2当 x WO 时，/(x)=2 G +),则，(X)=2(x+2)令 f(x)=0,解得：x=-2,当 x V -2 时，f(x)0,f(x)递增，此时/(x)mi n=f(-2)=-2e2 -1,2故/a)的最小值是-/；(2)x 0且/(0)0,：.xe -2,0 时，函数有唯一零点，0且不断趋近于0,无零点，x 0时，f(x)=*2-以+工，对称轴是x=0时至多1个零点，不合题意，；.a W0不合题意，舍；a 0时，同/X x)在(-8,0 上 有1个零点，只需/(x)在(0,+8)上有2个零点，.,.x 0 时，f(x)x2-ax+,a2-20,2解得：或 a(0,1,0),C,(l,1,1),所 以 元=(1,1,1),丽=(-1,1,0),设平面a的法向量为n=(x,y,z),则 上 受 二 ，即卜、+z =,n-BD=0 -x +y =0令x =l,则 y =l,z=2,t en =(1,1,2),设 方=西(0,1),则/=a，f,f),因 为 或=(-1,0,0),所 以 丽=0+万=0-1,f J),设直线B P与平面a所成的角为0,则 s in”坦 丝 UJ=一rJ=,同明百FT辰 业 _发+|所以当/=!时，s in。取到最大值为,，此时。的最大值为生.3 2 620.(1 2分)如图，A,B,M,N 为 抛 物 线=2 x 上四个不同的点，直线48与直线相交于点(1,0),直线ZN 过点(2,0).(1)记 Z,8的纵坐标分别为，几，求力，丹的值；(2)记直线NN,的斜率分别为尢，k2,是否存在实数力,使得k?=瓯?若存在，求出力的值；若不存在，说明理由.【解 答】解：(1)设 直 线 的 方 程 为*=叩+1 ,代 入/=2 x得/2叼-2=0,则K T 几=-2，(2)由 同 理 得 加 外,=-2,设直线4N 的方程为=+2,代入V=2 x 得y2-2y-4 =0 ,则 为 yv=-4,又k、Xv-y.A _ yN-y,i2XN-XA 或 K%+H2 2，同理后22yM+%则;l 居 二为+Wki 歹 s+Yw二为+Kv-2-2-1-丫 必 _2-2 一 yA yN.存在实数4=2,使得e=2勺成立.21.（12分）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：数学成绩X4665798999109110116123134140物理成绩y505460636668070737680（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y 与数学成绩x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y 关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（,4）,用剔除异常数据后的样本平均值作为b的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为b的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数丫的期望.附：参考数据：上表中的士表示样本中第，.名考生的数学成绩，入示样本中第，.名考生的物理成绩,113J=111E.v./=1it3片1=1II%/=1II之（必-歹A/=12586832611106606858612042647700.31参考公式：对于一组数据：%，w2,U ,其方差：S2=-M）2=XM,2-W2.,=l ,=l 对于一组数据（%,V,）,（u2,%），.，（%，V,）,其回归直线 =G+茄 的斜率和截距Z%匕-nuv的最小二乘估计分别为：3=弋-，a=v-bu.乙；2-nu2i=随机变量J服从N(Q2),则 p(M b 兴 +4 0.6 8 3 ,P(-2。彳 +2。)。0.9 5 5 ,?(4 一 3。4 +3。卜 0.9 9 7 .【解答】解：(1)设根据剔除后数据建立的歹关于x的回归直线方程为？=湿+&,剔 除 异 常 数 据 后 的 数 学 平 均 分 为=1 0 0 ,1 0剔除异常数据后的物理平均分 为 纲 於=6 6,1 0m i Ip 6 8 5 8 6-1 1 0 x 0-1 0 x 6 6 x 1 0 0 2 5 8 6 八 一贝 ij b=-z-z -0.3 1 ,1 2 0 4 2 6-1 1 02-lO x lO O2 8 3 2 6则 4 =6 6-0.3 1 x 1 0 0 =3 5 ,所以所求回归直线方程为J =0.3 1 x +3 5,又物理缺考考生的数学成绩为1 0 0,所以估计其可能取得的物理成绩为5)=0.3 1 x 1 1 0 +3 5 =6 9.1 ；11 11 6 6 n(2)由题意可知，=66,因为 力 短=2(%-刃2+U歹 2 =4 7 7 0 +1 1 x(理 =4 4 3 7 0 ,=1/=1 1 1所以 c r =J L 4 4 3 7 0 -6 6 2 =底=9,V 1 0所以参加该次考试的1 0 0 0 0 名考生的物理成绩服从正态分布N(6 6 ,92),则物理成绩不低于7 5 分的概率为匕 竺 邑=0.1 5 8 5 ,2由题意可知，7-5(1 0 0 0 0,0.1 5 8 5),所以物理成绩不低于7 5 分的人数Y的期望为E(Y)=1 0 0 0 0 x 0.1 5 8 5 =1 5 8 5 .2 2.(1 2 分)已知正项数列。“,4 =1 ,=；/(”“+1),n w N+.证明：(1)4；(2)a-2 a+l a -+1；羡 a,”击【解答】证明：令 f(x)=2 x-加(x +1),x 0,小)=2-=突 0,x+x-1则/(x)在x0递增，则/(幻/(0)=0,令 x =4，则 2%-ln(at l+!)(),即有 a“g/(a“+l)=a“M，即。7%；(2)a-2an+l 0，可设 g(x)=xln(x+1)4-2/z(x +1)-2 x ,x 0 ,x 2 vgf(x)=ln(x+)+-+-2=ln(x+)-,x+1 x+1 x+1Y设 m(x)=ln(x+1)-x +1 xtnx)-7 =-彳 0 ,x +l (x +1)2(x +1)2可得m(x)在(0,+o o)递 增,即 有m(x)拓(0)=0 ,贝ij g(x)在(0,+o o)递增，即有 g(x)g(0)=0 ,令 x =a“，则 alnan+1)+2ln(an+1)-2an 0，所以 4,-2%0 ,h x)-1-=-0,x+1 x+1力(x)在(0,+8)递增，令 x=a”,贝 lj%-加(。“+1)0,即有见2%,即当=1 时，q=1 ;当 .2 时，yn l Q n ii?由。“一 24”+1%Q+1,两 边 除 以%见+,可得-一+1,%+1%贝|J-+1 2(L 1),%+1 a 可 得 +1?,2 -1 2 则-a-2n 2 i