2021年山西省太原市高考数学（一模）模拟试卷（理科）（解析版）.pdf

2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（一）（一模）一、选 择 题（每小题5 分）.I.已知集合 A=x|x|l ,8=尤|2，0,若不等式x+m y+l W O恒成立，则实数机的取值范2x-y-540围 是（）A.（0,B.-4,-C.（-8,_A|D.（-8,-49.已知=2 3%b=3ln2,c=2/nn3,则下列结论正确的是（）A.h c a B.c h a C.h a c D.a b 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A.B.3n C.D.近3 3 41 1.已知过抛物线y 2=2*（p 0）的焦点0）的直线与该抛物线相交于A,B 两点,点 M 是线段AB的中点，以 AB为直径的圆与y 轴相交于P,。两点，若 标=2而，则sin/M P Q=（）1 2.已知函数/（x）=si n （i）x+（p）（c o O,|6 0）的左焦点是点F,过原点倾斜角为 j 的直线/a b 3与椭圆C 相交于M,N两点，若N M F N=M ,则椭圆C 的 离 心 率 是.O三、解答题：共 7 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据 要 求 作 答.（一）必考题：共 60分.1 7 .已知a,h,c 分别是 A BC的内角A,B,C 所对的边，3 c s i n A=4%s i n C,再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（I ）证明：AAB C 为等腰三角形；（I I）若 A 8 C的面积为2 加，点。在线段A8上，且求C O的长.条件：c o s C=5；条件：c o s A=21 8 .某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的1 0 0 位游客的满意度调查表.满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游 自助游 报团游自助游满意1 211 8 4 1 56一般216 4 41 2不满意116 2 32(I)已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？(I I)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记 X表示这3人中老年人的人数，求 X的分布列和期望，(I I I)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？1 9 .如图，在三棱锥P-4B C 中，P A 8 是正三角形，G 是 P A 8 的重心，D,E,，分别是 P A,BC,PC 的中点，点尸在B C 上，且 BF=3 FC.(I )求证：平面O F H 平面P G E；(I I )若 P BLA C,A B=A C=2,8 c=2&,求二面角 A-P C-B 的余弦值.20.已知椭圆C：丫=i (a b 0)的左、右焦点分别是Q、尸2,其离心率e=4,a b*2J T点尸是椭圆C上一动点，P F 1B内切圆面积的最大值为-丁.(I)求椭圆C的标准方程；(I I)直线P F”P F 2|PFi I|PF2 I与椭圆C分别相交于点A,B,求证：.二：6 3I F A I F?B|,为定值.21.已知函数/(x)=*+c o s x -ar -2(QE R).(I )设 g (x)=f(x)+cix,求 g (x)在 0,+8)上的最小值；JT(I I)若不等式2 0 在-勺，+8)上恒成立，求实数。的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分,作答时请用2 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系x O y中,曲线c i的参数方程为4(r为参数)以坐标JT原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为c o s (8 T)=0.(I)求曲线C,的普通方程和C 2的直角坐标方程；(I I)已知点尸(3,M),曲线G与C 2相交于A,B两个不同点，求I I P A I TP B I I的值.选修4-5：不等式选讲923.已知函数/(4)=x+x-m(机 0).m(I )当相=1时，求函数/(x)的最小值；(I I)若 存 在 花(0,1),使得不等式/(x)3成立，求实数机的取值范围.参考答案一、选择题(每小题5分).1.己知集合4=刈田1,B=xlx ,则 A n_B=()A.(-1,0)B.(-8,i)C.(-1,1)D.(0,1)解：.集合人=3 国 1=|-1%1,B=x|2y 1=卜 0,.4 0 8=力-l x 0,故排除 8b-sinb故选：A.5.在区间-1,1 上任取一个实数上则使得直线y=履 与 圆（x-2）2+y2=l 有公共点的概 率 是（）A.返 B.返 C.返 D.2232解：圆（X-2）2+y2=的圆心为（2,0）,半径为1 .要 使 直 线 =丘 与 圆（工-2）2+产=1 有公共点，则圆心到直线y=f c v 的距离解得：一 堂仁 堂.在区间-1,1 中随机取一个实数上 则事件“直线y=依 与 圆（x-2）2+炉=1 有公共点”发生的概率为：1-（-1）3故选：c.6 .已知梯形A B C。中，A B/DC,且A B=2 Q C,点P在线段8 c上，若m 正+人标，0则 实 数 入=（）解：如图,-P在 线 段B C上，且A B=2DC,；设 而=k =k（菽-I ）=k（标+庆-族）=.1 .1 k（A D-A B-A B）=k（A D 和 A B），t.i k.*A P =A B+B P=A B+k（A D-A B）=（1 节）A B+kA D，又 研 噎 福+入A D-oJ 上 苴 1：.2 6,解得入耳.、3入=k故选：C.7.已知 a“是各项均为正数的等比数列，其前项和为S”且 S,是等差数列，给出以下结论：斯+S 是等差数列；是 等 比 数 列；3 2）是等差数列；s-1 是等比数列.n则其中正确结论的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1解：由 S,是等差数列，可得：2 （s+a 2）=a+ai+a2+a3,Cl2=3 如 是各项均为正数的等比数列，：.a2=aiq,可得 g=l.ctn ci 0,/.an-Sn=（+l），数列 a +S 是等差数列.a：=a；，斯2 是常数列，为等差数列.s S_2=00,工 是等比数列.n na,iSn=n a；，,不是等比数列.故选：B.x+3y-13 0,若不等式x+冲+1 0恒成立，则实数机的取值范2 x-y-5 4 0围 是（）A.（0,B.-4,二 C.（，_ A|D.（-8,-4 4 2 2解：由约束条件作出可行域如图，直线x+/ny+l =0过 定 点（-1,0）,要使不等式x+m y+l W 0恒成立,则可行域在直线x+,孙+1=0的左上方，则3+/+l W 0,即mW-4.，实数m的取值范围是（-8,-4.故选：D.9.已知。=2/3%b=3ln2,c=2/nn3,则下列结论正确的是（）A.bciaB.cbaC.b a cD.a bb 3兀 l n2 l n8：.ab,设/(x)=1四,贝lj f (x)=1 1 产,令/(x)efX X，：.f (x)在(e,+8)上递减，-：n 3 e,3/nir7r/n3K 3Vir6=(I T3)2,9冗=(3软)2,VTT3 3K,n6 9K,.c2,7T68%：.c hf.a c b.故选：A.10.已知三棱锥4-BCD中，A8=BC=8O=CO=A=4,二面角A-BD-C 的余弦值为上,3点 E 在棱AB上，且 B E=3A E,过 E 作三棱锥A-BCQ外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A.B.3n C.D.瓜3 3 4解：由已知可得，A3。，8 8 都是边长为4 的正三角形，由二面角A-B D-C 的 余 弦 值 为 结 合 余 弦 定 理 可 得 AC=4,则三棱锥4-BCD是棱长为4 的正四面体，放置在棱长为2&的正方体中，则正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为 2R=d(2加)2 +(2加)2 +(2加)2=2A/6-7?=捉，c o sZ O A f i=-4=2 Z E,A M 2 76 3：O A=R=捉，AE=AB=X 4=,4 4*-O E2=(V 6)2+i2-2xVe x 1x=3,o则截面圆的半径r=/R2-0 E2=V6-3=,截面面积的最小值为S=n3=3 TT.故选：B.H.已知过抛物线V=2 px(p 0)的 焦 点 尸 弓，0)的直线与该抛物线相交于A,8两点,点M是线段A 8的中点，以A B为直径的圆与)，轴相交于尸，。两点，若 标=2而，则sin Z M PQ=()A.B.C.D.9 7 17 13解：法1：由抛物线的焦点坐标可得=，所以2=1,2 2所以抛物线的方程为：y2=2 x,设直线A 8的方程为：x=my+-,设A (x”yi),B(X 2,2),设A在x轴上方，联立 2 一 2肛厂1=0,y2=2 x可得：yy2=-1 ，由标=2而，即-X i,-yi)2(%2 -y，”)，可得=-2”，代入可得：y22=y,所以 =&代入抛物线的方程可得：X 2 =1,M =l,4即 A (1,&),B(1,-孚)，所以AB的中点M返)，8 4朋=J(T)2+(亚噜)2=与即圆的直径为曰,所以圆的方程为(x-4)2+(y-返)2=毁，8 4 64令x=0,可得y=Y 1 2+返，所以 p (o,Q(0,-1 4+72),4 4 4 45_所以 t an N M P Q=-7=-7=,幅增加 2 71 44 r5 R所以。=谆际法 2.由法1 可得AB 的中点M 的横坐标为1，半径r=N，8 8_ 5所以以 t an N MP Q=-=-S-1 2.已知函数/(x)=si n (o)x+(p)(u)0,|(p|V-)的图象关于x 丁对称，且/()4 o 0=0,f(x)在 J,焉 口 上 单 调 递 增，则 3的所有取值的个数是()A.3 B.4 C.1 D.2n n解：由于函数/(x)=si n (t i)x+(p)(o)0,I cp l)的图象关于犬=丁对称，兀 7T贝！J：-3+(p=k 兀+2，(4 1 EZ)，j r J T由于/=，所以=0 1)+0 =攵2 71 (&W Z)(2),6 6-得：8 2-)兀所以 0)=2(%2-0)-1 C k-4 2 E Z),故 3为奇数，且/(x)在 三，埸 上单调递增，O 4 3所 以.义2 3 :一：,解 得 0%0)的左焦点是点F,过原点倾斜角为T-的 直 线/a b 3与椭圆C 相交于M,N两点，若N M F N=密,则椭圆C 的离心率是.3-2 解：设右焦点为产，由题意可得直线/的方程为：y=6 x，设 M(xo,yo),N (-初，-yo),O IT连接 N F,因为NMFN=上 ,3IT所以四边形F M 尸N为平行四边形，则/尸加尸=可，而 以 卬/=总 113 =上 户=5)，(焦三角形面积公式S=/?2t a n-,8为焦顶角)，6 3 2 2所以可得),0=返？，代入直线/的方程可得：x o=或，3c 3cb4 3 b 2将 M 的坐标代入椭圆的方程可得：不+不=1，2 rr-a b整理可得：4 a4-14 a2c2+c4=0,即 e4-14 2+4=0,解得：e 2=7 3 j ,由 椭 圆 的 离 心 率(0,1),所以=万丽=色 彗垣，故答案为：帆一板.2三、解答题：共 7 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 6 0分.17.已知a,b,c 分别是 AB C的内角A,B,C 所对的边，3 c s i n A=4 b s i n C,再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：(I )证明：Z V LB C为等腰三角形；(H )若 AB C的面积为2巫，点。在线段4B上，且 B)=2D4,求 C D 的长.o 1条件：c o s C=；条件：c o s A=.3 9解：若选择条件：c o s C=3，(I )证明：因为 3 c s i n A=4 Z?s i n C,所以 3 c=4/?c,所以。=包3由余弦定理 c1=a2+h2-2c o s C=J6b_+Z?2-=/?2,9 3 3所以匕=的可得A A BC 为等腰三角形，得证.(I I )因为 c o s C=g,C(0,二 )，所以 s i n C=J i-c o s 2c2 2 z v j-LU o v 3所以 S MBC=-absinC=X XhX=2 7 5，解得 b=3,2 2 3 3则”=4,所以b=c=3,3又 B D=2 A D,所以 A=1,BD=2,因为 3 c s i n A=4 b s i n C,所以 s i n A=4 X 3 X =理5,所以 cosA=n2 A=!_ _ _ _ _ _ _ _7 Q V 1 11 n Q3 X 3在AC 中，由余弦定理可得 C D-A D+A C1-2A DA C-cosA=1+9 -2X 1 X3X=928可，所以co=2 叵.3若选择条件：c o s A=,9(I )证明：因为3 c s i n A=4 b s i n C,所以3 a c=4%c,所以a=仁旦，3由余弦定理4 2=8 2+3 _ 2/CCOSA=Z 2+C2-2炉c 芯=,1$b_，整理可得 9 U-2hc-7h2=0,9 9解得c=8,或-华(舍 去)，9所以匕=c,所以aA BC 为等腰三角形，得证.(I I )因为c o s A=5，A (0,卫-)，所以s i n A=幺 月,9 2 9所以 S&A BC=-bcsinA=-X囚豆X b2娓,解得b=3,2 2 94 h则。=飞-=4,所以=c=3,又 B D=2 A D,所以 A=1,BD=2,在AC。中，由余弦定理可得 CD AD AC2-2AZ M C-c o s A=l+9 -2 X 1 X 3 X=928所 以C=2叵.318.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的1 0 0位游客的满意度调查表.满意度老年人中年人青年人报团游 自助游报团游自助游报团游自助游满意1 2 11 841 56一般2 16441 2不满意1 16232(I)已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游?(II)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中,随机抽取3人征集整改建议，记X表示这3人中老年人的人数，求X的分布列和期望,(Il l)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：(I )由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为DP l 715 节5 2D 2=画30=3甲 D 3宝22 玄11因为P|P 2 P 3,所以老年人更倾向于选择报团游；(II)由题意可得，X的可能取值为0,1,2,3V 1 q 99所以 p(x=o)3 5v1 5P(X=l)1235P(X=2)=1喘35所以x的分布列为:X01 2P2 23 51 2 12 5 3 5所以E(X);W352 2+1X315 2+22乂31 5-52；(Il l)由上表可知，报团游的满意率为P d I甯黑喀,4 1 5+3 0+2 2 6 7自 助 游 的 满 意 率 为丝八斗5 3+1 0+2 0 3因为巴 尸5,故建议他选择报团游.1 9.如图，在三棱锥P-AB C 中，/X PA B是正三角形，G 是 PAB的重心，D,E,，分别是 PA,BC,PC的中点，点尸在BC上，且 8尸=3尸 C.(I )求证：平面OFH平面PGE-,(II)若 PBLA C,AB=AC=2,B C=2&,求二面角 A -PC-8 的余弦值.【解答】(I )证明：连结B G,因为 PAB是正三角形，G 是 P 4B 的重心，D 为 PA的中点,所以8G 与 G。共线，且 8G=2G,因为E 为 8 c 的中点，B F=3FC,所以尸是CE的中点，所 以 废 典=2，所以GE。凡CD E F又 GEu平面P G E,。/,平 面 P G E,所以。尸 平面PGE,因为”是 PC的中点，所以F4PE,因为FHC平面PGE,PEu平面尸G E,所以FH平面PGE,因为尸0。尸=凡FH,OFu平面DFH,所以平面。尸”平面PGE；(II)解：因为 A B=A C=2,BC=2 7 2 所以 AN+ACuguBG,所以 A B_LA C,因为 P8_LA C,ABHPB=B,AB,PBu平面 P A8,所以 A C_L平面 PA 8,以A为坐标原点，AB,4 c 所在直线为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(l,0,物,设平面P AC的法向量为=(x,y,z)，而右 孟 菽=0 n n/2 y=0则有一，叫 r-，m-AP=0 I x+V 3 z=0令z=-l,则y=0,x=M，所以三=(禽，0,T)，设平面P BC的法向量为=（a,b,c），n il l.f m-P C=0 /a-2 b+V 3 c=0则 有 仁 一，即 ，m-B C=0 12a-2b=0令c=l,则a=b=，所以、=（百，愿，1），所以I c o s d，|聿河=5，I n I I m I （J故二面角A-PC-B的余弦值近.720.已知椭圆C：X I y=1（。6 0）的左、右焦点分别是尸hFz,其离心率e=5,a b22T T点尸是椭圆C上一动点，P F|B内切圆面积的最大值为O（I ）求椭圆C的标准方程;(II)直线P F i,P F 2与椭圆C分别相交于点A,B,求证:|PFt I|PF2I|F1A|1|F2B|为定值.解：(I )设P B F 2内切圆的半径为r,则(IP FII +IP FZI +IFIFZDXSA P F3._ 2 SA P F.F,_SA P F.F,r 一 、,2a+2c a+c当P F 1F 2的面积最大时，出 内切圆的半径r最大,显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，P B B的面积最大，最大值为/x 2 c X b =be,的 最 大 值 为 旦，即 上=返,a+c a+c 3b ea+c 3 (a=2由，_ c _ _ 1_ ,解得：/3,2 2，椭圆C的标准方程为：工 上 二14 3(I I )设 尸(x o,y o),A (x i,y i),B(及，”)，当y oW O时，设直线P F i,P F 2的直线方程分别为x=m i y-1,x=m2y+,x=m1y-l由，x2 了2 得：(S m j2+4)y2-6 m1y_9=0g3 m J+4Vx o=/ni y o-1,._x0+1.y。_ 5+2xo ni l =，=-o1 y。y i&同理，由x=m2y+ln2z y0 5-2 x0w2 可得=5-X iy=1 了24 3.IPFII lp F2 l_ yp 包=改|F1A|l-|F2Br -7一石一至，当)，o=O时，直线IPF.I|PF2I 1 inPF”PF2与 x 轴重合，易得：而：+11r 3=3+)=当I F 1A I I r 2 3综上所述|P寸Fi|I|帚PF2为 I 定 值 学in21.已知函数/(x)=ev+cosx-ax-2(o E R).(I )设 g(x)=f(x)+,求 g(x)在 0,+)上的最小值；jr(I I)若不等式对CO 2 0 在-彳，+8)上恒成立，求实数。的取值范围.解：(/)g(x)=f(x)+a=ev+cosx-2,xN O 时，sin%2-1,则 g(x)-sinx,g(x)=ev+sinx5:0,故 g(x)在 0,+8)上单调递增，所以当x=0 时，g(x)在 0,+8)上的最小值g，(0)=1；(/)f(x)=ex-sinx-a,jr、因为切1 (x)2 0 在+8)上恒成上，当a 时，由(/)知/(x)=ex-sinx-。在 0,+)上单调递增，且f(0)=1 -aVO,f(1+)，一-1 -a0,故存在唯一的X 2W(0,+8)使 得 尸(X2)=0,当 友(0,X2)时，f(x)0,/(x)单调递减，/(%)/(0)=0,此时4(x)0与已知矛盾，当时，(z)若工2 0,由(1)知，f(x)K(0)=1-。20,所以/(x)在 0,+8)上单调递增，f(x)2/(0)=0 恒成立，此时原不等式恒成立，符合题意；(H)若-彳&x 0,/（x）单调递增，JT又/2L=p o,f(o)=o,故存在唯一的X I 日-万，0）,使 得/（X!）=0,故当（X I,0）时，/（X）0,f（x）单调递增,JT又 f/(_ 2 L)=+g 2-0,f(0)=l-a 2 0,故当工日-5，0）时，f（x）20,/（x）单调递增，/（x）0).m(I )当m=l时，求函数/(x)的最小值;(II)若 存 在 在(0,1),使得不等式/(x)卜-利忘3等价于2+/n W 3,解得：l W m W 2；m m(2)当 0 V m V I 时，令 g (x)=x+-x-m,m9 9OVxV历时，g(x)mWxVl 时，g(x)=2x+-m,m m故g (x)而=上+优，故上+m W 3,故1 W机W 2,与OV 2 1矛盾，此时机无解,m m综上：实数机的取值范围是 1,2 .