2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（二模）（解析版）.pdf

2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（二模）)C.D.近2 2一、单项选择题（共8小题）.1.sin20 sin10-cos20 cos10=（A.-遮 B.-2 22.在复数范围内，已知小 令 为实数，1-i 是关于x 的方程x2+px+q=0的一个根，则 p+q=（）A.2 B.1 C.0 D.-13.已知集合人=0,8=x|xW a,若则实数4 的取值范围是（）A.（，0）B.（，0 C.（0,+8）D.0,+8）4.2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲 展 演.现 从 歌唱祖国 英雄赞歌 唱支山歌给党听 毛主席派人来4 首独唱歌曲和 没有共产党就没有新中国 我和我的祖国2 首合唱歌曲中共选出4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A.14 B.48 C.72 D.1205.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为/gE=4.8+1.5历.2011年 3月 1 1 日，日本东北部海域发生里氏9。级地震，它所释放出来的能量大约是2008年 5月 12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？（参考数值:百5七3.162,知而%2.154）（）A.31.6 B.15.8 C.4.6 D.1.56.关于函数/（x）=Z,其中a,A R,给出下列四个结论：b-x,x2甲：6 是该函数的零点；乙：4 是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0;T：方程f （x）得有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲B.乙C.丙D.1j r q j r7.已知函数/(%)=s i n (2 x+),若函数 g (x)=f(x)-a(W R)在 x 0,恰有三个零点X I,X 2,X 3(X 1 X 2 中，A 8=6,N A=6 0 ,连结B。，沿 8。把 A B O 折起，使得二面角A-8。-。的大小为6 0,连结AC,则四面体A 3 C D 的外接球的表面积为()A.1 3 1 1 B.2 4 n C.3 6 7 T D.5 2 n二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.在 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分.9 .定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)=/(2-x),且在 0,2 上是增函数，下面判断正确的是()A.f(x)的周期是4B./(2)是函数的最大值C./(%)的图象关于点(-2,0)对称D./a)在 2,6 上是减函数1 0.已知a 0,b0,a+2 b=1,下列结论正确的是()A.的最小值为9a bB.“2+按的最小值为立5C,I o g 2+l o g 2 b 的最小值为-3D.2 0+4。的最小值为2 加1 1 .已知双曲线C：尤 2-之：=1,其左、右 焦 点 分 别 为 危，过点尸2 作一直线与双曲线3C的右支交于点P,Q,且 呵 同=0,则下列结论正确的是()A.PF i。的周长为4B.P Q 3 的面积为3C.|呷=忏 1D.PF i。的内切圆半径为收-11 2 .连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则)A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为1B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为1C.乙选择的三个点构成正三角形的概率为季D.甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为圣三、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .设（x+l）4=ao+ax+a2X2+aiX3+a4,则。|+政+4 3+4 4=.1 4 .数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数，小 若根是奇数，就将该数乘3再加上1；若，”是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1.按照上述猜想可得到一个以山为首项的无穷数列记作 “,an 为偈数 小 满足的递推关系为0=加，2 如取m=6,根据上述运算Saj i，a/D奇数.法则得出“9=1,0 0=4,，若“7=1,则 满 足 条 件 的 一 个 根 的 值 为.1 5 .已知一张纸上画有半径为2的圆。，在圆0 内有一个定点A,且 O A=1,折叠纸片，使圆上某一点A 刚好与4点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当 4取遍圆上所有点时，所有折痕与0 4的交点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆。上的点的最大距离为.1 6,已知向量2，彳满足1；+向=3,值=1 且H+l=（Z+E）则i ZK的取值范围是.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了 1 00名学生进行调查，其中男生有 6 0人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在 6 0,8 0 内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生.(1)若该校共有2000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；(2)根据样本数据完成下面的2 X 2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？是否达标 锻炼时间达标性别锻炼时间未达标合计男女合计附：联=n(a d-b c).,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(烂2人)0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82818.如图，。为aA B C中BC边上一点，ZB=60,AB=4,AC=4、/.给出如下三种数值方案：AO=A D=15；A O=2 j.判断上述三种方案所对应的AB。的个数，并求aAB。唯一时，8。的长.19.如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABCD为矩形，2。_1 _平面48。4，P D=C D=l,PA与平面ABC。所成角为30,M为PB上一点且C M LP 4(1)证明：PA1DM；(2)设平面P A O与平面P 8 C的交线为/,在/上取点N使 曲=五，Q为线段P N上一动点，求平面A C Q与平面P D C所成二面角的余弦值的最大值.2 0.已知函数/(x)=且 工 上 也2的单调递增区间是 0,1 ,极大值是反.ex e(1)求曲线y=/(x)在 点(-1,/(-1)处的切线方程；(2)若存在非零实数xo,使得f(xo)=1,相0,求/(x)在 区 间(-8,刈上的最小值.2 1 .已知一个半径为 I的圆的圆心在抛物线C：y2=2px(p 0)上，该圆经过坐标原点且与C的准线/相切.过抛物线C的焦点F的直线A B交C于4,B两 点,过弦A B的中点例作平行于x轴的直线与直线0 4 0 B,/分别相交于P,Q,N三点.(1)求C的方程；(2)当|P Q|=1W|时，求直线A 8的方程.2 2 .设 斯=炉,bn=9 S为数列 /?的前项和，令(x)=Sn-1,其中xW R,W N+.n(1)当x=2时，数列 飙 中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；(2)证明：对V E N+,关于工的方程%(x)=0在 工 日1 上有且仅有一个根而；(3)证明：对V p E N+,由(2)中xo构成的数列 用 满足0 V x-%+.参考答案一、单项选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.sin20 sin 100-cos20 cos 100=()A.-遮 B.-C.D.遮2 2 2 2解：sin200 sinlO0-cos20 coslO=-(cos20 cos10-sin20 sinlO)=-cos(200+10)=-cos30。=2故选：A.2.在复数范围内，已知p,“为实数，1 -i是关于x的方程N+px+q=0的一个根，则p+g=()A.2 B.1 C.0 D.-1解：因 为1-i是关于x的方程N+p q=0的一个根，则1+i是方程昌冲+夕=0的另一个根，由韦达定理可得 l+i+(1-z)=-p,(1+z)(1 _ i)=q,解得p=-2,q=2,所以+q=0.故选：C,3.已知集合4=0,8=x|xW,若 则 实 数 的 取 值 范 围 是()A.(-8,0)B.(-8,0 C.(0,+8)D.0,+8)解：t：AQ B=A,A G B,且4=0,8=小,心0,二 的取值范围是 0,+).故选：D,4.2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲 展 演.现 从 歌唱祖国 英雄赞歌 唱支山歌给党听 毛主席派人来4首独唱歌曲和 没有共产党就没有新中国 我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A.14 B.48 C.72 D.120解：根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有 2 种安排方法，在其他5 首歌曲中任选3 首，作为前3 首歌曲，有 A53=60种安排方法，则有2 X 60=120种不同的安排方法，故选：D.5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为/gE=4.8+1.5M.2Ol 1 年 3月 1 1 日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年 5月 12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？（参 考 数 值:后 心 3.162,比2.154）（）A.31.6 B.15.8 C.4.6 D.1.5解：设日本地震释放的能量为昂，汶川地震释放的能量为历，则由已知可得/gEi=4.8+1.5X9=18.3,骸 2=4.8+1.5义8=16.8,E 1 1 18.3所 以 用=10电 3,%=则1.=当 =1015=10而 於 10X3.162=31.62,1E2 10lb-U所以日本地震释放的能量约为汶川地震释放的能量的31.6倍，故选：A.6.关于函数/（x）=Z,其中a,b e R,给出下列四个结论：b-x,x32甲：6 是该函数的零点；乙：4 是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；T：方程外幻=趣有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解：当在 0,2 时，f（x）=2,-a 为增函数，当X02,+8）时，f（x）为减函数，故 6 和 4 只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确.由两零点之积为0，则必有一个零点为0,则f(0)=2。-4=0,得a若甲正确，则/(6)=0,即匕-6=0,b=6,可得/(x)=2 T,0 x 2,由f(X)=旦6-x,x2 2可得4f0 x25,解得X=log21 或96 H 5 2 2x i W或2-1-2X=,方程/(x)=5有两个根，故丁正确.故甲正确，乙错误.故选：B.j r q j r7.已知函数/(x)=s i n (2 x+),若函数 g (x)=f(x)-a(E R)在 x 0,-上3 2恰有三个零点X l，X 2，X 3(X 1 X 2 X 3),则 为-为的值是()A.4解：.当工 日0,B.2T3冗，2。x工冗日 冗+e)C.J TD.2 n函数 g(x)=/(x)-d(a eR)在 x 0,1071I-3冗2)上恰有三个零点X|,X 2,X 3(X|X 2 .,PC=R=JP E2K E2 T l 2+（2愿）2=5,o则四面体ABC的外接球的表面积为4 7tx 尸=52兀.故选：D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.定义在R上的奇函数/(x)满足/G+2)=2 -x),且在 0,2上是增函数，下面判断正确的是()A.f(%)的周期是4B.f(2)是函数的最大值C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称D./(x)在 2,6上是减函数解：定义在 R 上的奇函数f (x)满足/(x+2)=f(2-x),得/(x+2+2)=/(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即 f(x+4)=-f(x),则/(x+8)=-f(x+4)=-/(x)=/(x).：.f(x)的周期为8.函数/(x)的图形如下：由图可得，正确答案为：B,D.故选：BD.A.的最小值为9a bB.“2+/的最小值为立5C.I og2+l og2b的最小值为-3D.2“+#的最小值为2丁，解：因为。0,&0,a+2b=1,所 以 工 二=(工 工)(4+26)=5+型+5+2i 但 区=9,a b a b a b V a b当且仅当a=b时取等号，工工取得最小值9,A正确；a b9 1a2+b2=h2+(1 -2b)2=5 h2-4+l=5(b-)2+,5 5根据二次函数的性质可知，当人=看时，上式取得最小值4，B错误；因 为l=a+2 8 2 j说，当且仅当。=2力=*,即。=/,时取等号，所以abl og2a+l og2b=l og2b-3,即最大值-3,C错误;2 +#2标痂=2&，当且仅当a=2 b=,即a=,时取等号，此 时2“+取得最小值2&,。正确.故选：AD.1 1.已知双曲线C：其左、右焦点分别为吊，F 1,过点尸2作一直线与双曲线3C的右支交于点P,Q,且 呵 同=0,则下列结论正确的是（）A.PF iQ的周长为4B.尸2的面积为3C.|PF i|=V7+D.PQQ的内切圆半径为。7-1解：如图，可得 c=a?+b 2=2,则 1人五2|=4,由双曲线定义可得：I PF il TP尸2|=|QFI|-|。同=2,:呵 而=0，：.ZF iPQ=90,贝II|PF i|2+|PF 2|2=恒 遇2 产=1 6,1 1 1+1 21=2(iPF i|2+|PF2 l-d PF j l-l PF s|)2=42X1 6-4=27 7从而 Rt Z F iPQ 的内切圆半径：r=/(|pF|+|PQ|-|F Q|)=y(|PF1|+|PF2|)-(|QF1|-|QF2|)=y X 2 V 7 4*X 2=V7-1-故尸BQ的内切圆半径为4-1，故。正确；|PF|-|PF 2l=2|PF/+|PF 2l=2V7联立，解得|PQ|=J?+1,|PF 2|=J 7-1,故 C正确;Sg一 卷明|.明|得(有+D (仟1)=3,故 B 正确；由F QI -尸川=|。臼-|。危|=2,iPF j|2+|PQ|2=|QFI|2,且 1呷=有+1，危|=祈-1,解得：|QF2I=9+3V7.iQF i l=l l+3V7.PF iQ的周长为1 8+8 J 7，故4错误.故选：BCD.1 2.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为!B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为C.乙选择的三个点构成正三角形的概率为目D.甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为七解：甲随机选择的情况有C?=20种，乙随机选择的情况有C?=56种，对于A,甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有C：C：=8种，故甲选择的三个点构成正三角形的概率为吴皓，故选项A正确；对于B,甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：上下两点都选，中间四个点中选一个，共有C：=4种；上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有C：C；=4种；中间四个点中选三个点，共有=4种，故共有4+4+4=12种，所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为恶故选项B正确；对 于C,乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有c ：C ；=8种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为乌力，故选项C错误；56 7对于D,选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24 和，概 率 为 空 旧,甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为3+，故选项。正确.5 7 5 7 35故选：ABD.三、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.13.设 0+1)4 =4 0+逮+4 2%2+。.3+。4 A4,则 0+4 2+。3+。4=15 .解：(x+l)4=ao+ax+a2X2+a3X3+a4X4f令 X=1 得：24=16 =如+。1+。2+。3+。4,令 1=0 得：1=4 0,:.。1 +。2+。3+以=16 -1 =15,故答案为：15.14 .数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数如 若根是奇数，就将该数乘3再加上1；若根是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 一4 一2-1.按照上述猜想可得到一个以根为首项的无穷数列记作。,an 为偶数 为 满足的递推关系为0=小，“田=(2 如取机=6,根据上述运算B a j l，a/D奇数.法则得出4 9=1,00=4,，若 0 7=1,则满足条件的一个 1的 值 为 1 .解：若“7=1,则 4 6 =2,as 4,4 4 =8 或 I,当 4=8 时，。3=16,s=3 2 或 5,若 4 2=3 2,则 0=64;若 4 2=5,则 4 1=10,若 4 4=1 时，03 =2,4/2 =4,4 1=8 或 1,综上所述，m的值为1或 8 或 10或 6 4,故答案为：1或 8 或 10或 6 4(只需填一个).15 .已知一张纸上画有半径为2 的圆O,在圆0 内有一个定点A,且 O A=1,折叠纸片，使圆上某一点A 刚好与4点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A 取遍圆上所有点时，所有折痕与O A 的交点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆。上的点的 最 大 距 离 为 1 .2 解：以 0 A 中点为G坐标原点，0 4所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.，可知。(4，0),A(y,0),设折痕与OA 和 A A 分别交于M,N两点,则 MN垂直平分 A4 ,：.MA=MA,又O=MO+A M，：.MO+MA=2,.M 的轨迹是以。，A 为焦点，2 为长轴的椭圆.a 2：.M的轨迹方程C为*2+=1，3曲线C上的点到点O距离的最大值为d=1+5=三，2 2.曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为+=*.故答案为:-T.16.已知向量；,芯，满足|；+卞=3,G 1=1 且7 芯+1=(7+百则心-甘的取值范围是“，5.解：,.弓+与=3,二|a-7f2=1+b2-4a b=9-4a b V|a-b+U=l(a+b -c l l a+b)卜口1=3,.1W 9-W f W 25,|；_ 诃 2忘2 5,即故答案为 1,5.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了 10 0 名学生进行调查，其中男生有 60 人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间(单位：分钟)的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在 60,80 内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5 名女生.(1)若该校共有20 0 0 名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；(2)根据样本数据完成下面的2 X2 列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？是否达标 锻炼时间达标 锻炼时间未达标 合计性别男女合计附：群=n(a d-b c).,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(烂2人)0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828在日均校内体育锻炼时间在 60,80 内“锻炼时间达标”的学生概率为：0.010X10+0.005X 10=0.15,其人数为：100X0.015=15人，己知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5 名女生，所以男生有10人.未达标人数中男生：60-1 0=5 0 人，女生：100-60-5=3 5 人；若该校共有2000名学生，该 校“锻炼时间达标”的学生人数为：2000X0.15=300人;(2)根据样本数据完成下面的2X 2 列联表，n(ad-b c)2 100X(10X 35-50X 5)2/0 3 2 7 6 6 3 5(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60X 40X 15X 85 是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男105060女53540合计1585100故答案为：没有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.1 8.如图，。为ABC中 BC边上一点，ZB=60,AB=4,A C=4 .给出如下三种数值方案：A D=J 15；AD=2-fy.判断上述三种方案所对应的ABO的个数，并求aAB。唯一时，8。的长.解：/B=6 0 ,A B=4,过 A 作 BC的垂线A 0,垂足为0,则 AO=4sin60=4又 4)=泥,尸 )=8=1,PA与平面ABC。所成角为30,M 为 PB上一点且CMLPA.(1)证明：PAL D M-,(2)设 平 面 与 平 面 P8C 的交线为/,在/上取点N 使 际=五，Q 为线段PN 上一动点，求平面4C Q 与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值.解：（1）证明：.四边形ABCQ为矩形，.ACCZ）,:POJ_ 平面 ABCD,：.P D L CD,：A D Q P D=D,AD,PDu平面尸40,；.CD_L平面 PAD,PAD,：.PAL CD,J CML PA,CMHCD=C,CM,C u平面 C M。，；.P A _ L平面 CMD,平面 C M。，A P A I DA/.(2)；P DJ _平面A B CD,为P A与平面A B C。所成角，；P A 与平面 A B C。所成角为 30 ,.N P A =30 ,：P O=1,:.A D=,以。为原点，D 4为x轴，Q C为y轴，。户为z轴，建立空间直角坐标系，PD CD=1,PN=DA，PN=J,令 PQ=K(0 入 ),则 D(0,0,0),A(如,0,0),C(0,1,0),。(A,0,1),A C=(-,1，o)，而=(入，-1,1),设 局=(x,y,z)是平面A C Q的一个法向量，则二回y=0,取x=i,斫=(1,向.入)，n WCQ=入 x-y+z=0平面尸O C的一个法向量为7=(1，0,0),f T 1一 m*n .m，面瓦T而济下0的最大值a，平面A C Q与平面P O C所成二面角的余弦值的最大值为a.2 0.己知函数/(x)=反 二 也 的 单 调 递 增 区 间 是 0,1 ,极大值是旦.ex e(1)求曲线y=f(x)在 点(-1,/(-1)处的切线方程：(2)若存在非零实数x o,使得/(x o)=1,机 0,求/(x)在 区 间(-8,力上的最小值.解：(1)V/(x)a x2+b x+cXe(x)a x&a-b)x+b-cXeV/(x)的递增区间是 0,1 ,：-a v2+(2 a -b)x+b-c=0 的根是 0 和 1,故(b c 0 ,故 a=/?=c,I-a+2 a_b+b-c=0又一c o的极大值是3,故/(i)=竺=2e e e故 a=b=c=l,4故4r/，(/x)、=-X-2-+x-+-l1 ,/,(/x、)=-X-2-上-+-x,e e故/(-I)=e,f(-1)=-2 e,则f(x)在 点(-1,/(-1)处的切线方程是：y=-lex-e.(2)f (x)在(-8,o)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,且/(0)=1,当(-8,0 时，/(x)min=f(0)=1,若存在非零实数x o,使得/(x o)=1,则X 0 0,O V m这x o时，/(x)在(-8,0 递减，在(0,力 递增，故/(工)在区间(-8,加 上的最小值是/(0)=1,加双时，/(%)在(-8,0 递减，在(0,1)递增，在(1,M递减,故 f(x)min=f(7)=口 +1.me2 1.己知一个半径为微的圆的圆心在抛物线C：y 2=2 p x (p 0)上，该圆经过坐标原点且与C的准线/相切.过抛物线C的焦点F的直线A 8交C于A,3两点，过弦A 8的中点M作平行于x轴的直线与直线OA,0B,/分别相交于P,Q,N三点.(1)求C的方程；(2)当|PQ|=WM时，求直线A B的方程.O解：(1)设一个半径为弓的圆的圆心的坐标为(X 0,”)，可 得 而=2*0,由抛物线的焦点为（M，0）,准线方程为x=-M，2 2可得 X o 2+y o 2=x o 2+2 p x o=（x o+5）2=-解得p=2,则抛物线的方程为），2=4X；（2）由 F （1,0）,准线方程为x=-1,设直线A 8 的方程为彳=m），+1,与抛物线的方程V=4x联立，可 得 尸-痴），-4=0,设 A（x i,y i）,B（X 2,y 2），贝 l j y i+y 2=4，w,）i）2=-4,xy+xim（y i+y 2）+2=2+4 落 则 AB 的中点 M 的坐标为（1+2 疗，2 m）,由N （-1,2 m）,可得叫川=2+2 加 2,y,4 y9 4O A的方程为y-.x即y x,O B的方程为y-.x,即y x,X i yl -2 y2代入 y=2，可得 P（如2 m）,Q（吧2,2 m）,2 2PQ=m（y i-y 2）|-|A/V|=（2+2/n2）,2 3 3即为 1 於（1 6病+1 6）=（2+2 相 2）2,4 9解得加=土 返，4_所以直线A B的方程为x=*），+1,即为 y=2&r-2 近 或 y=-2&r+2&.2 2.设 =炉，b=,S 为数列 ,产 d 的前项和，令（x）=Sn-1,其中x W R,n 6N+.n（1）当x=2 时，数列 ”中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；（2）证明：对VCN+,关于X的 方 程（X）=0在1 上有且仅有一个根X”；（3）证明：对Vp e N+,由（2）中期构成的数列盘“满足0 x“-x“+p V/.解：（1）当 x=2 时，an=2,若存在三项2,2,2,成等差数列（机 0 恒成立，(x)单调递增,0 时，fn+l(X)=fn(X)+-/：(X),(n+1)2：f+(%)fn(X)=fn+(X+1)=0,+1(X)在 正(0,+8)单调递增,:.Xn0,X2(x)n又 力(X/7)=-1+x+2-+-=0,x An 2o 2 n2(X)2(x)n-tpfn+P(x,+p)=-i+x+、2+.+*_=0,西 22(n+p)2两式相减，得，x,=(Xn*)2-(x Q 2-J Xn忤)(x Q n J Xn直)n+_ (x1 H p)1141322 n2(n+1)2(n+p)2(n+1)2(n+p)22 1.1 1 1F+同 g 1 )-.x-xn+p-市+-:/八+8-后一73(n+1 尸(n+p)n(n+l)(n+p-1)(n+p)1 1 上1 1 1 1 Jn n+1 n+p-1 n+p n n+p n即数列%满足OVx-工 +1-,n 得证.