2021年中考数学二轮复习 16 反比例函数中的特殊四边形问题(解析版).pdf

专题1 6反比例函数中的特殊四边形问题41、如图，在直角坐标系宜乃中，一直线歹=壮人经过点4(-3,0)与歹轴正半轴交于5 点，在 x 轴正4k半轴上有一点。，且 01=0。，过。点作。口 方轴交直线y=-x+6于 C 点，反比例函数y=(x 0)经3x过点C.(1)求这条直线和反比例函数的解析式；(2)反比例函数图象上是否存在点P,使四边形3cp。为菱形？如果存在，求出产的点坐标；如果不存在，说明理由.4(1)直线歹经过%(-3,0),-4+6=0,ft=4,4直线的解析式为y=x+4,04=0 0=3,D(3,0),4才巴犬=3 代入y=冗+4=8,C (3,8),反比例函数y=2经过点C,x,4=3 x8=2 4,2 4反比例函数解析式为y=；x（2）当四边形B C PZ）是菱形时，D C （3,8）,D（3,0）,Si x 轴，L点尸和点8关于8 对称，点尸的坐标为（6,4）,4 x6=2 4=左，点P在反比例函数图象上，反比例函数图象上存在点P,使四边形8 c p。为菱形，此时点尸（6,4）.2、知：如图，直线y =+b与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,线段OA的长是方程/-7 x-8 =O的一个根，请解答下列问题：（1）求点B的坐标；（2）双曲线y =：（k w O,x O）与直线43交于点C,且A C =5逐，求上的值；（3）在（2）的条件下，点E在 线 段 上，A E=5后,直 线/轴，垂足为尸（0,7）,点M在直线I上，在直线A8上的坐标平面内是否存在点N,使以点C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在,请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。(1)8(0,4)；(2)1 0；(3)(T,1 1)或(一7,3)(2)在 Rt A O 3 中，OA=8,OB=4,AB=4 亚.如图，过点C作C”_ L x轴于点H,则OB,A O B s AHCOB AB OA 4 4 7 5 8CH AC OH CH 575 AH解得 C”=5,A”=1 0，0/7 =1 0-8 =2,C(2,5).k匚双曲线(y =、(A w 0,x 0)经过点C,%=2 x5 =1 0(3)存在当C E为以点C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过点作EGJ _ x轴于点G,作E M _ L A C交直线1于点M，如图所示，E G OB ,A G E s A O BE G A G _ AE _ V5 _ 1O B -A O -A 6-4 7 5-4E G =-O B =,A G =-AO =24 4O G=8-2=6,（-6,1）.E M L A C,设直线E M的函数表达式为y =-2 x+c ,把 E（-6,1）代入，得 1 2 +c =l,解得c =1 1,口直线E M的函数表达式为y =-2 x-l l当 y =7 时，y=-2x-H,x-9 0）的图象交于点P,作 P B I x 轴于点B,且 A C=B C.（1）求点P 的坐标和反比例函数Y2的解析式；（2）请直接写出y i y 2 时，x 的取值范围；（3）反比例函数y 2 图象上是否存在点D,使四边形B C P D 为菱形？如果存在，求出点D的坐标：如果不存在，说明理由.(1)反比例函数的解析式为y 2=；(2)当 x 4 时，y,y 2；(3)反比例函数的图象上存在点D使四边形B C PD是菱形，此时D的坐标是(8,1).(3)连接D C与P B交于点E,若四边形B C PD是菱形时，C E=D E,则CD的长即可求得，从而求得D的坐标，判断D是否在反比例函数的图象上即可.试题解析：(1)一次 函 数 的 图 象 与x轴交于点A,与y轴交于点C,A (-4,0),C (0,1),XD A C=B C,C O匚A B,。是 A B 的中点，即 O A=O B=4,且 B P=2 O C=2,P的坐标是(4,2),或w将P(4,2)代入y 2=；得m=8,即反比例函数的解析式为y 2=；;(2)当 x 4 时，y i y z；(3)假设存在这样的点D,使四边形B C PD为菱形，如图所示，连接DC与P B交于点E.四边形B C PD是菱形，C E=D E=4,口C D=8,将x=8代入反比例函数解析式y=得y=l,D的坐标是(8,1),即反比例函数的图象上存在点D使四边形B C PD是菱形，此时D的坐标是(8,1).4、如 图I,在平面直角坐标系xO y中，函数、=旦(，为常数，m 1,x 0)的图象经过点P(w,1)和xQ(1,m),直线P Q与x轴，y轴分别交于C,。两点.(1)求N O C C的度数;(2)如图2,连接O Q、0 P,当N Q O Q=N O C -N P O C时，求此时?的值;(3)如图3,点A,点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以0 A、0 8为邻边作矩形O 4 M B.若点M恰好在函数y=&(胆为常数，m,x 0)的图象上，且四边形B A PQ为平行四边形，求此时X。3的长度.解：(I)设直线P Q的解析式为y=kx+b,则有k m+b=lk+b=m解得，lb=m+l.y=-4+？+l,令 无=0,得到=?+1,：.D(0,m+1),令 y=0,得到工=加+1,C(m+1,0),：.OC=OD,VZCOD=90,NOCD=45。.(2)如图2,过 Q 作 QMJ_y轴于M,过 P 作尸N1.OC于 M 过。作 0H l.c7)于”,图2,:P O,1)和。(I,m),:.MQ=PN=1,OM=ON=m,：/O M Q=/O N P=90,:.AOMQ乌/ONP(SA S),：OQ=OP,ZDOQ=ZPOC,:ZDOQ=AO CD-/P O C,ZOCD=45,/D O Q=NPOC=/Q O H=/P O H=225。,：.MQ=QH=PH=PN=1,；NOCD=NODC=45。,:A D M Q 和 CNP都是等腰直角三角形，:D Q=PC=&,*/OC=OD=m+,。=亚 0。=料 加+1)，,:CD=DQ+PQ+PC,V(m+1)=2&+2,.相=a+1；(3)如图3,图3 四边形B A P Q为平行四边形，：.AB/PQf A B=P Qf：.ZOAB=45f:/A O 8=9 0。，：.OA=O Bf 矩形O A M 8是正方形，点/恰 好 在函数丁=蚂(川为常数，x 0)的图象上，xAM(4，4)，即 0 A =05=4，:AB=PQ,解得：7 =2 5或 三 遮(舍)，2 2.=吁石=2/=竽0 L-5、如图，直 线 尸-为+6与 反 比 例函数尸三(x 0)的图象交于A (2,6),B(a,3)两点，BC/x2 x轴(点C在点B的右侧)，且B C=m,连接0C,过点C作C C x轴于点D,交反比例函数图象于点E.(1)求人的值和反比例函数的解析式；(2)填空：不等式的解为_ _ _ _ _ _ _；2 x(3)当0 C平分N 8 0 D时，求 段 的 值；(4)如图，取B C中点F,连接。B AF,B D,当四边形A B。尸为平行四边形时，求点F的坐标.2(1)将 A(2,6)代入y=-x+Z?得,-3+0=6,解得：6=9,k将 A(2,6)代入 y=一得，&=12,x反比例函数的解析式为：;X19(2)当 y=3 时，3=,x解得：x=4,：.B(4,3),由 图 象 可 知 不 等 式 的 解 为：2Vx4,2 x故答案为：2x4；19 19(3)将 8(m 3)代入y=得，=3,x a解得：。=4,0。平 分/8。，：4BOC=ZCOD,BCx 轴,：.ZBCO=ZCOD,:./BOC=/BCO,：.OB=BC,，：B(4,3),：.0B=BC=5,：.C(9,3),4：.E(9,多),D(9,0),44 5:.D E=j CE=3-W=三,3 3 35 _.CE_3_5丽一占T(4)作 A”_L8C 于 H,则”(2,3),，4”=3,BH=2,四边形ABDF为平行四边形，：.AB/DFt AB=DF,；.NCFD=NCBQ,V ZAHB=ZDCF=90f NABH=NCBQ,:/CFD=/ABH,A/ABHADFC(AAS),:.CF=BH=2,b是BC中点,：.BF=CF=BC=2f2VB(4,3),：.F(6,3).6、如图，直线1交 y 轴于点8,交 x 轴于点C,以8 c 为边的正方形ABC。的顶点A(-1,。)在双曲线y=-上(x 0)上，则 攵 的 值 为.x x9解：TA(-1,)在双曲线了=-工(x 0),X，=2,(-1,2),:点B 在直线y=mx-1上，：.B(0,-1),(-1-0)2+(-1-2)2=V10:四 边 形 A 8 C Z）是正方形,，8 C=A8=0）上，X ,.=2 x3=6,故答案为：6.7、如图，正方形A B C。的边长为5,点 A的坐标为（-4,0）,点 8在 y 轴上，若反比例函数 =区（原0）x的图象过点C,则 该 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为；解：如图，过点C作 CELy轴于E,在正方形A B C Q中，A B=B C,NA B C=9 0。,.NABO+NCBE=90。,.NOA8+NA8O=90。，：.ZO AB=ZC BE9点A的 坐 标 为（-4,0）,，OA=4,AB=5,OB4 5 2.4 2=3,在 AABO 和3CE44,rZ0AB=ZCBE 0)的图象经过点力,求人的值；x(2)菱形/8CZ)向右平移，个 单 位 得 到 菱 形 如 图 2.口请直接写出点3、d 的坐标(用含f 的代数式表示)：Bi、Dy；r 是否存在反比例函数y=2 (x 0),使得点5、。同时落在y=2 (x 0)的图象上？若存在，求力X X的值：若不存在，请说明理由.解：(1)如图，作。F 5 轴于点尸，点力的坐标为(4,3),0=4,D F=3,JD O=5,3A D=5.J A点坐标为(4,8),盯=4 x 8=32,Jk=32；(2)1平移后8 1、。的坐标分别为：G,5),(t+4,3),故答案为:(6 5),(1+4,3)；口存在，理由如下：点S、。同时落在产R(x 0)的图象上历(6 5),D (f+4,3),5/=H,3(f+4)=，解得：r=6,/z=30所以，存在，此时=30.9、正方形/B C D的顶点N (1,1),点C(3,3),反比例函数了=区(x 0).X(1)如 图1,双曲线经过点。时求反比例函数y=K (x 0)的关系式；X(2)如图2,正方形N88向下平移得到正方形NEC。，边4夕在x轴上，反比例函数y=K(x0)X的图象分别交正方形49的边C。、边9 C于点尸、E,求口4所的面积;口如图3,x轴上一点P,是否存在口尸 尸是等腰三角形,若存在直接写出点尸坐标，若不存在明理由.解：(1)口点 4 (1,1),点 C(3,3),1点。(I,3),将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3,故反比例函数表达式为：y=3;x(2)平移后点后、B、C。的坐标分别为：(1,0)、(3,0),(3,2)、(1,2),则平移后点E纵坐标为3,则点E(3,1),同理点F(旦,2),2A Ef7 的面积=S n-jiKA B C D S,4,BE S ADF S EFC2X2 X2X-X 2X1-xX1 ；2 2 2 2 2 4(3)点E、F的坐标分别为：(3,1)、(旦，2),2设点 P C m,0),则 上=（3-旦）2+（2-1）2=1 1,EP2=Cm-3）2+1,2 4叩=（机-3）2+4,2当E F=E P时,即 工 =(m-3)2+1,解得：加=2或3；4 2 2当E F=P尸时，同理可得：加=-3退(舍去负值)；2当E P=P F时,同理可得：m=,4故点P的坐标为(且,0)或(旦，0)或(虫 返，0)或(上，0).2 2 2 41 0、如 图(1),正方形4 8 CD顶点4 8在函数y=K (k0)的图象上,点C、。分别在x轴、沙轴的正半轴上，当A的值改变时，正方形N 8 C D的大小也随之改变.(1)若点/的横坐标为5,求点。的纵坐标;(2)如 图(2),当=8时，分别求出正方形4 8 77。的顶点4、*两点的坐标;(3)当变化的正方形Z88与(2)中的正方形49 C O有重叠部分时，求人的取值范围.解：(I)如图，过 点/作4 E 轴于点E,贝I J AED=90.国四边形月8。为正方形,JAD=DC,ADC=90,ODC+7M=90.ODC+0 8=9 0,7X4=o o m在和OOC中，Z A E D=Z D O CA D=D CU3AEDUDDOC(AAS),0D=EA=5,二点。的纵坐标为5；(2)作轴于M,夕Mx轴于点N,图设 CZ D =a,OC=b,同理可得 B C N C D O A D E,nC N=OD=A M=a,B N=C O=D M=b,JA (a,a+b),B (a+b,b),点4、9在反比例函数、=旦的图象上，x a (+b)=8,b(a+b)=8,口解得 a=b=2 或 a=Z=-2 (舍去)，、*两点的坐标分别为(2,4),(4,2)；(3)设直线4 8 的解析式为y=mx+，把4(2,4),(4,2)代入得(2m+n=41 4m+n=2解得I n=6直线49解析式为y=-x+6,同样可求得直线C77解析式为、=-x+2,由（2）可知:0C。是等腰直角三角形,设点4的坐标为（阳，2加），点。坐 标 为（0,小）,当A点在直线CD 上时，则2加=-m+2,解得m=,3此时点力的坐标为（2,9），3 3当点。在直线4 夕上时，有m=6,此时点力的坐标为（6,1 2）,2;4=6 x 1 2 =72；综上可知：当变化的正方形N 8 CZ）与（2）中的正方形，Q有重叠部分时，上的取值范围为3烂72.91 1、如图，已知直线y=2 x+2与x轴交于点4与y轴交于点C,矩形月C8 E的顶点8在第一象限的反比例函数y=蚂图象上，过点8作8斤 口。，垂足为尸，设。尸=人x（1）求口/。的正切值；（2）求点8的 坐 标（用含，的式子表示）；（3）已知直线y=2 x+2与反比例函数尸典图象都经过第一象限的点。，联结。E,如果。口 轴，求机如图，在平面直角坐标系中，菱形4 8 C C的对角线A C与8。交于点尸（-2,3）,轴于点E,正比例函数y=(m-1)x 的图象与反比例函数丫=匚生的图象相交于A,尸两点.X(1)求 m，的值与点A 的坐标：(2)求 cosNASP 的值.VAk12、正方形A8CC的顶点A(1,1)，点 C(3,3),反比例函数 =三(x 0).x(1)如 图 1,双曲线经过点。时求反比例函数y=(x 0)的关系式；Xk(2)如图2,正方形A8CD向下平移得到正方形A E C O,边 A b 在 x 轴上，反比例函数丫=主(x0)x的图象分别交正方形A b C O 的边C D、边B，C于点F、E,求A A E F的面积；如图3,x 轴上一点P,是否存在APEF是等腰三角形，若存在直接写出点尸坐标，若不存在明理由.解：(1)1,点 A(1,1),点 C(3,3),.点。（1,3）,将点。的坐标代入反比例函数表达式得：k=3,故反比例函数表达式为：y=亘；x(2)平移后点 4、夕、C。的坐标分别为：(1,0)、(3,0),(3,2)、(1,2),则平移后点E纵坐标为3,则点E(3,1),同理点F唠，2),1 11 1 Q Q A,EF 的面积=S 正 方 柩B O-SA A,B E SA A,DT SA EFC=2X2 X2X-X 2X1 -x x l =；2 2 2 2 2 4Q(3)点E、尸的坐标分别为：(3,1)、(-1,2),设点/,(相，0),则 产=(3 -)2+(2 -1)EP-(w -3)2+1,尸 产=(w -)2+4,2 4 2当 E F=P 时，即 *=(w -3)2+1,解得：，(舍去)或4 2 2当时，同理可得：m=3 土 遮(舍去负值)；25当E P=P尸时，同理可得：m=4，4故点尸的坐标为；(盘，0)或(虫 返，0)或&0).2 2 41 3、菱形A8 C。的顶点C与原点O重合，点8落在y轴正半轴上，点A、。落在第一象限内，且。点坐标为（4,3）.(i)如 图 i,若反比例函数y=K a o)的图象经过点A,求女的值；x(2)菱形A B CD向右平移，个单位得到菱形ABCQ i,如图2.请直接写出点5、9 的坐标(用含f 的代数式表示)：By、5；是否存在反比例函数y=Z (x 0),使得点&、5 同时落在(x 0)的图象上？若存在，求”X X的值；若不存在，请说明理由.解：(1)如图，作。尸，X轴于点R二点。的坐标为(4,3),工/0=4,DF=3f，。0=5,：.AD=5.A 点坐标为(4,8),.孙=4 x8=3 2,；.=3 2；(2)平移后以、A的坐标分别为：5 5),(f+4,3),故答案为：(f,5),(f+4,3)；存在，理由如下：点8、Q同时落在y 3(x 0)的图象上B i(6 5),D,(7+4,3),X.5 f=，3 (f+4)=，解得：t=6,n=3 0所以，存在，此时=3 0.