2021四川考研数学二真题【含答案】.pdf

2021四川考研数学二真题试卷一、选择题：I10小题，每小题5 分，共 50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当 x-0,（/-1）山是 f 的A.低 阶 无 穷 小.B.等 价 无 穷 小.C.高 阶 无 穷 小.D.同阶但非等价无穷小.2(e？-1)l i m-=lim,2x6 x x-o 俅-=lim-11 72.函数/(x)=x 在 x=0 处1,x=。,故 选 C.A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零Dev-le x 1 -i因为lim=1 =/(0),故连续；又因为 ev-l-x2 1,故可今 o丫lim-=-z-=%-0 x X2 2导，所 以 选 D.3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2CM/S,-3 cm/5,当底面半径为10cm,高 为 5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为A.1257rm3 /s,407rm2/sB.125?m3 Is-407rm2 IsC.-1 00zr,m3/s,40/722/sD.-1 OOm3/s-40,m2/sC.dr dh,2=2，=3；V=R广h，S=2nrh+2兀/.dt dtd Vd rd r dh211rh _+兀 广 _=-IOOTI.dt dtd S d r dh d r=2nh+2 +4 兀 =40TI.d z d r d r d r4 .设函数/(幻=以一切1 1 双。0)有 2个零点,aA.(e,+oo)B.(0,e)C,(0,)eh则的取值范围D.(I +oo)eA.f(x)=ax-brvc,b0,不满足条件，舍去；若b 0,令/(x)=。一 =0,得x=.在()0.lim f (x)-+oo,Z z m/(x)=-F oo,x-0+x-+oo令/)4-例电”=/l-叱 幻 1 ,踮 e .故选A.W 一 I )5.设函数/(x)=s e c x 在 x =0处 的 2次泰勒多项式为1+以+亦，则A.a =l,8 =2,1B.a =1,人=2C ,1C.a=O,b=-2D.C ,1D.a=0,b=2加 炉+。2/(x)=s e c x=/(O)+/z(O)x+D=1 +,+0(尤 2).2所以可得。=0,b=l26.设函数/(x,y)可微，且/(x+l,e)=x(x +l)2 j(x,x 2)=2 x 2 nx,则q i/)=A.dx+d yB.dx-d?C.dyD.-d y选C由于/(x+1,e*)=x(x+l)2,两边同时对X求导得/1,(x+l,ex)+力(x+l,e*)ex=(x+1)2+2x(x+l).令 工=0得/(1)+/(1/)=1+0,/z(x,x)+/r(x,x2)2x=4x In x+2x2-;12 12-令 X =1 得/(1,1)+2 (1,1)=2 .因此力(1,1)=0 ；力(U)=1.所以4 l,l)=d y ,故 选C.7.设函数/(X)在区间 0,1 上连续，则)(x)d x =(2k-1 1A.l i m%-|_-*%=(2 )2nB.l i m Z/i-|_T 8*=l2(k-1C.|_ f 8 *=i 12 J (k y 2D.l i m Z/|一|_f*=i 2 n)n(b 1 A|将 0 的区间等分，每一份取区间中点的函数值/-|B.、/z 2n)8.二次 型f(x,x,x)=(x +x)2 +O+x)2-(x x)2的正惯性指数与负惯性指数依1 2 3 1 2 2 3 3 1A.2,0D.L 2fX,X ,X)=(x +x+(X +x )2-(1 -X )123，、1 2/、2 3，、3 1 7=X2+2X X+x2+x2 4-2 x x +x2-x2+2x x-x21 1 2 2 2 233 3 I 3 12 x2+2 x x+2 x x+2 x x .0二次型对应矩阵为1、1AE-A=-l-11?2 1 L1-1-12-2-1 1 Z2+1 0-2-1-12-2-1-1-1 A1 0 0=(2+l)-l-1A 2 2-1 2-1=(2+l)(/l-2)(2-l)-2=2(2+1)(2-3)则 p=1 q=1 .9.设3阶矩阵A=（四,az,a.：）,5=（4，4,A）,若向量组a3可以由向量组4,夕2,43线性表出，则（）A.Ax=0的解均为Bx=0的解.B.4Tx=（）的解均为加工=0的解.C.Bx=0的解均为A x=0的解.D.BTx=0的解均为ATx=0的解.D由题意，可 知A=5C,*x=0的解均为的解，即的解，D选项正确.f 1 of10.已知矩阵A=2-1 1 ，若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使得PAQ为1 2 5,对角矩阵，则 尸、。分别 取（）.C0 0H 1 o1 0 0 10 4 o 0o OV1-1 0:02”100 11 30 1,f 1 o 0U 1 0B.2-1 0 I 0 1、-3 2”1o 0fl 0 0V 1 2D.0 1 O,0-1J 3”o 0001通过代入验证0-125 10 0 J 0 0A选c二、填 空 题(11-16小题，每 小 题5分，共30分)lLx3*dx=g.1ln3“叼 J2 a+8 N r 1 )I原式=2 x3dLr=f 3.4-=-L=J。J。In3”In 3x=2e，+/+l,212.设函数y=y(x)由参数方程4 确定，则。?_ _ _ _ _ _ _ _ _.y=4(I)e，+产 d.23dy/(/)4e+4(l)e+2f=为dr x(t)2/+1-5d2y=3 g=2J一=2声 dr dx 2e+l 3dz13.设函数 z=z(x,y)由方程(%+l)z+ylnz-arctan(2xy)=l 确定，则 丁 二&(0,2)1将x=0,y=2代 入 得z=l,又对(x+l)z+y In z-arctan(2xy)=1两边同时求x的导数得,dz 1 dz 2vz+(x+l)+y-=0dx z dx 1+(2x)2Qz将X=0,y=2,Z=1代入上式得=1.dx 14.已知函数 f(t)=P dx sin，则y(2厂兀 2cos.2 兀r f-X t/X1 呵J 丫 =町 si 芦“)=%产，所 以d#仍小及=-215.微分方程y y=0的通解y=_.Cer+e 2 1 C s in 费x+J c o s ,I 2 2 2)设其特征方程为尸1 =0,则r=l；r=121 x 2-116.多项式/(x)=c,中x3项的系数为2 1 x 12-1 1 x1(y2 x、=I 1 sin dr|dy,则Ji j y j2一兀 2x4 兀 2 cos=cos.2 兀1 2 兀其中C,C,C为任意常数.1 2 3-1+z;r 故其通解为2 2 3 2 2-5/项为(1 Z d +L 1)/=5 1,因此/项系数为 5三、解答题：17 22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.曝极限!?”)ex-1 sin 尤 1+产 出 、lim 0-一 l=limDI e-1 sinx 1 A-sinx+xtz-ev+1sin x e drTO(ev-Ijsinx1 7.（本 题 满 分10分）I J sin-e+l”-sin xf e d/.sinx-e+l i m-h-=hm,1 0 X XT。xX-X3+O(X3j-l-X-x2+o(x2)p=lim-b lim _2.v-0XK TO18.(本题满分12分)已知/(x)=W U,求/(X)的凹凸区间及渐近线.1+Xf-x2,-x0,x -1f(x)=0l+xX2 _ 0f (O)=lim 山一=0X T X-X2-0/(0)=lim J 2 =0D X所以i sinx|e dr+lim与-%-0 xx,2e dr1 1_=-4-1=-x 2 21x 0,x w 1。十 小=0(l +x)3_L-o/(0)=l i m (l +x)-=2Z X-1+1-0/(0)=l i m (l +x)2 =-2X TO x一ixo时，r o时，r o因此，凹区间（一 8,-1）,（0,+8）,凸区间（一1,0）l i m-=+o o,l i m-=+o o ,因此没有水平渐近线；5 8 1 +X X T F 1 4-Xx =-l,x +l =0 ,且l i m x =-8.l i m =+o o ,因此存在铅直渐近线x =-l ；XT-l+l+X XT-11+X人2l i m 1+x =l,l i m A-x=i,因此存在斜渐近线y =xT；A-+OCXX f+8 1 +Xl i m X 1殉m _ _ _ _ x 1 ，因此存在斜渐近线y=-x+1 ；1+x =_ _ +=X+B X I B 1+X1 9.(本题满分1 2分)/(X)满足J 学 公=；f x+C，L为 曲 线y=/(x)(4W x 9),L的弧长为S,轴旋转一周所形成的曲面面积为A,求S和A ./(x)1解：I-二 一九一 1yjX 3/(x)=l2-i29 I f l l-V2s=+1 -X7-_ xr dx4V I 2 2 J,=1 9(xi+,2 小、2M=2 2-TL 绕 x2 0.(本题满分1 2分)y=y(x)微分方程xy-6 y =-6,满 足/)=1 0(i)求y(x)(2)P为曲线y =y(x)上的一点，曲 线y =y(九)在点P的法线在y轴上截距为I。,为使Ip最小，求P的坐标。,6 6解(1)y-y =-x xJ 6-J6*、y=e x|-_ e、+C=x，-xdx+c=1+Cx6.根据由初始条件得C=L所 以y=1+J x6.3 3(2)设在x,l+I f 的法线为 y-11+1/3J 1 I 3J0在y轴上的截距为I=1+1 x6+1=%(x),p 至 一 3 0 0(x)=2/+2/=0,得*=1,得 p 点坐标为。,4 1 一 1,410 0 0 0 I J I o I【3八3)21.（本题满分12分）曲线（7+炉彳二月一丁。4 N。）与X轴围成的区域D,求JJ巧.4=r2 co s 2=cos 2。1 M/=jj xydxdy=入 了 办i 1 2 1 2 2=X,2 M d x=4Lfx=rcosQ x2=r 2cos2 3=cos 23-cos2 0y=rsin y 2=r2sin 2&=cos 29 sin 2 0=/2(x)/=1 cos 20 sin2 Q I(cos 20 cos2t 4J p(sin4sin2cos2ft-2cos22sin3ftos6i9411 n 9 s.二2sin 46sin-2劭%cos?2Osin 2戊 1 -cos 20)d016Jo 8Jo1 z 1 1 a f 2(sin A0-sin 8)dO-f 2(cos 210-cos 32)d cos 1632，2 16Jo1 1 1 1 1 1 ,1 ”-_ cos 4+-cos S02-(cos 326-COS 4 20)2324 寸 64 8 0 16 3 41一242 2.(本题满分12分)2设矩阵A=111 02 0仅有两不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求 的 值，并求可逆a b矩 阵P，使P TAP为对角矩阵.A-2-1 02E-A=-1 4 2 0=(2加(/1-2)2 1-1-a 今 b=(份(4一4 a 3)=(2-)(2-1)(2-3)=0.n i o I I当Z?=l时，a A=3,A A 1,P=1 1 0.1 2 31 1 0 4当b=3时，a=-1,A=A=3,Z=1,P=1I 0 1 -1 I 2