2021年陕西省西安中学高考数学七模试卷（文科）.pdf

2021年陕西省西安中学高考数学七模试卷（文科）一、选 择 题（本大题包括12小题，每小题5 分，共 60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.（5 分）已知集合 A=x|x2+x-20,3=-1,0,2,则（4）|8=（）A.2 B.-1,0 C.0,2 D.-1,0,22.（5 分）复数z 满足z-（l+i）=2 i,则|z-2 i|=（）A.y/2 B.-C.回 D.2+/223.（5 分）据 乾陵百迷记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年 3 月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位.乾陵气势雄伟，规模宏大.登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级 台 阶（各台阶高度相同）和 18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成.右阶有许多象征意义.比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年,第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”.现 已 知 这 108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）A.86.2 米 B.83.6 米 C.84.8 米 D.85.8 米4.(5 分)已知 b$,c=,则()2 72 ln2A.a b c B.c b a C.c a b D.a c b5.(5 分)向量 M =(2,l),b=(-3,4),c=(3/n-l,l-2/n),若匕+25)_L d,则实数加等于()A.1B.?-47C.?-4D.26.（5 分）在等比数列 中，4%=%=4,则4=（）A.6 B.8 C.-8 D.87.（5 分）刘 徽（约公元225年-295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之 一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正口边形等分成 个等腰三角形（如图所示），当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin4。的值为（）B.0.0628C.0.0785D.0.06988.（5 分）设直线x-y-a =0 与 圆/+丁=4 相交于A,3 两点，O 为坐标原点，若AAO8为等边三角形，则实数a 的值为（）A./3 B.5/6 C.39.（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的。值为（）D.9A.-B.-3 C.-3 210.(5 分)已知函数f(x)=/g，贝 式 )4-xA.f(x)在(0,4)单调递减D.2B./（x）在（0,2）单调递减，在（2,4）单调递增C.y=/（x）的图象关于点（2,0）对称D.y=/（x）的图象关于直线x=2对称11.（5 分）如图，从双曲线r-=l（a0,60）的左焦点F 引 圆/+尸=”2的切线，切a b点为7,延 长 口 交 双 曲 线 右 支 于 P 点，若“为 线 段 0的中点，O 为坐标原点，则与人 一”的大小关系为（）A.M O-M T b-aC.M O-M T=b-aB.M O-M T b 0)的离心率为且，E的左顶点为A、a b 2上顶点为3,点 P 在椭圆上，且的周长为4+2 6.(I )求椭圆的方程；(II)设 C,O是椭圆E上两不同点，C D/A B,直线CD与x 轴、y 轴 分 别 交 于 N两点，且 祝=2 两，诙 5 =丽，求2+的取值范围.20.(1 2 分)如 图，在三棱锥尸-A B C 中，PA=PB=2,A C =B C =PC=-/5,A B=2,点 ,E分别为A B,P C的中点.(1)证明：/。_ 1 _ 平面4?。；(2)设点F在线段3 c上，且 B户=4 户 C,若三棱锥P-AEF的体积为2,求实数彳的值.921.(1 2分)已 知 函 数=X(1)若函数f(x)的图象在x =l 处的切线为y =l,求/(x)的极值；(2)若/(x),e+2_ l 恒成立，求实数。的取值范围.X(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.1选修4-4：坐标系与参数方程|x=t2+2,22.(1 0 分)在平面直角坐标系x O y 中，曲线G的参数方程为 J”为参数)，以t坐 标 原 点。为 极 点，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 Q 的极坐标方程为p c os(0 +)=2.4(1)求曲线a的普通方程和G的直角坐标方程;(2)设点P 是曲线G与 C?的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点P 的圆的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=|x-a|(1)若/(x)m的解集为-1 ,5 ,求实数a，机的值(2)当a =2 且 0,f 0,8=-1,0,2,则(a 4)n 8 =()A.2B.-1,0 C.0,2 D.-1,0,2【解答】解：.A=x|xl,B=-,0,2),.dKA=x|-2ijt 1,(dwA)p|B=-l,0).故选：B.2.(5 分)复 数 z 满足z-(l+i)=2 i,则|z-2升=()A.近 B.巫2【解答】解：.z（l+i）=2i,c.MD.2+小,Z上加一)”,1 +Z (1+z)(l-z)Z_ 2i 1=11 _ j|=+(_)2=0,故选：A.3.（5 分）据 乾陵百迷记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年 3 月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位.乾陵气势雄伟，规模宏大.登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级 台 阶（各台阶高度相同）和 18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成.右阶有许多象征意义.比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年,第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，第九道平台的108级台阶，象 征有108个“吉祥”.现 已 知 这 108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）A.86.2 米B.83.6 米C.84.8 米D.85.8 米【解答】解：由题意可知所求的高度为17.69+108X526 B86.2,所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，故选：A.4.(5 分)已知”b=,c=,则()2 及 M2A.a h c B.c b a C.c a bD.a c b【解答】解:=-,b=*=&,则a 人，2 0 2a因为。一。=一2蛆7H23ln2-2ln32ln2lr&/?92ln2 0,故 a =2 乂(3加-7)+(9 2加)=4 一 5=0,解可得：m =J4故选：B.6.(5 分)在等比数列 中，4 4=4=4，则。6=()A.6 B.8 C.-8 D.8【解答】解：设等比数列 为 的 公 比 为 小 .9%=%=4,%2=%/=4,解得 q=q=5/2，则 a6=a d=8.故选：D.7.（5 分）刘 徽（约公元225年-295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正“边形等分成个等腰三角形（如图所示），当“变得很大时，这 w个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin4。的值为（）A.0.0524 B.0.0628 C.0.0785 D.0.0698【解答】解:将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为360。+90=4。,因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，xlxlxsin40=45sin4,2sin 40 0.0698.45故选：D.8.（5 分）设直线x-y-a =0 与 圆+=4 相交于A,8 两点，O 为坐标原点，若 AAO3为等边三角形，则实数”的值为（）A./3B./6C.3D.+9【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0,0）,半径r=2,由A4O8为等边三角形,得圆心到直线x-y-a =0 的 距 离 =詈=逐,解得：a=5/6.故选：B.9.（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的。值为（）【解答】解：a=2 f i =9c-4D.2第1次执行循环体后，=-3,i=2,不满足退出循环的条件;第2次执行循环体后，a=-,i=3,不满足退出循环的条件;2第3次执行循环体后，a=-,i=4,不满足退出循环的条件；3第4次执行循环体后，=2,i=5,不满足退出循环的条件；第2020次执行循环体后，a=2,i=2O 21,不满足退出循环的条件;第2021次执行循环体后，。=-3,i=2O 22,满足退出循环的条件；故输出值为-3,故选：B.10.(5分)己知函数f(x)=/g 一，贝“)4-xA.f(x)在(0,4)单调递减B./(x)在(0,2)单调递减，在(2,4)单调递增C.y=/(x)的图象关于点(2,0)对称D.y=/(x)的图象关于直线x=2对称【解答】解：由 上0得：xe(0,4),4-x人 x 1 4 t=-=-1-,4-x x-4故f=在(0,4)上为增函数,4-x故函数/(x)=/g 一 在(0,4)单调递增，故排除A,B,D,4-xv-由 y(x)=/g：)故 f(4-x)=-/(x)，4-x即y=/(x)的图象关于点(2,0)对称故选：C.2 21 1.(5分)如 图，从 双 曲 线=-二=l(a0,b 0)的左焦点F引 圆/+2=笳的切线，切a b点为T,延 长 口 交 双 曲 线 右 支 于 尸 点，若 为 线 段 EP的中点，O为坐标原点，则|0|-|M T|与6 。的大小关系为()A.MO-MTh-aC.MO-MT=b-aB.MO-MTb-aD.以上三种可能都有【解答】解：将点尸置于第一象限.设 6 是双曲线的右焦点，连接P K：M.O分别为P、尸耳的中点，:MO=PF.又由双曲线定义得，PF-PFt=2a,|F T|=一|O T|2=b.故|M O|-|M T|=PFI-MF+FT=(PFl-PF)+FT=b-a 故选：C.12.（5 分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x w R,用 幻表示不超过x 的最大整数，则 y=称为高斯函数，也称取整函数，例如：J3.7=Y,2.3=2.已知/。）=?夫 二 3，则函数y=（x）的值域为（）A.0 B.-1,0 C.-2,1,0 D.-1,0,1【解答】解：/（x）=l!-=-,ex+2 2 ex+f(x)0,0,/(x)g,.(创=-1或 0，=/a)的值域为-i,0.故选：B.二.填空题（本大题包括4 小题，每小题5 分，共 20分，把答案填在答题卡的相应位置上.）13.（5 分）设等差数列q的前项和为5，若4+%+为=2 4,则 S、=7 2.【解答】解：a 为等差数列，设首项为“，公差为二./+/+%=3%+12d=2 4,即 a1+4d=8,9x8S9=9q H d=9x(q+4d)=9x8=72,故答案为72.14.(5 分)曲 线 y=在 彳=1处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 则$皿。+马=_ _x 2 10【解答】解：由y a 一 2,得？，=4+2,X X xy l,r=i=3,由题意，tana=3，sina/j-r又a c 0,冗),联立 解得 r=3.3 2球 O 的表面积为：4万产=36万.故答案为：36万.s三.解答题（共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,2 3 题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共 60分.17.（12分）在 AABC中，内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知b=acosC+c.2（1）求角A；（2）若 A乩A =3,求a 的最小值.【解答】解：（1）,AABC中，b-acosC =,2由正弦定理知，sin-sin AcosC=sinC,2A+B+C=7V，sin B=sin（A+C）=sin Acos C+cosAsin C,sin A cos C+cos 4 sin C-sin A cos C=sin C，2/.cos 4 sin C=sin C,2,1 4几cos A=,/.A,2 3（2）由（1）R AB-AC=3,得2c=6,ci=b+c cos A=b+c 6.2bc 6=6,当且仅当b=c 时取等号，的最小值为布.18.（12分）甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于9 0 为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标85,90)90,95)95,100)100,105)105,110)机床甲8124 03 28机床乙7184 02 96(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；(2)甲机床生产一件零件，若是优品可盈利16 0 元，合格品可盈利10 0 元，次品则亏损2 0元；假设甲机床某天生产5 0 件零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；(3)从甲、乙机床生产的零件指标在 9 0 ,9 5)内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5 件中任选2 件进行质量分析，求这2 件都是乙机床生产的概率.【解答】解：(1)因为甲机床为优品的频率为必型=2,10 0 5乙机床为优品的频率约为 2=工，10 0 2 0所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为2,2；5 2 0(2)甲机床被抽产品每1件的平均数利润为：(4 0 x 16 0 +5 2 x 10 0 -8 x 2 0)=114.4 元所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4 元所以甲机床某天生产5 0 件零件的利润为5 0 x 114.4 =5 7 2 0 元(3)由题意知，甲机床应抽取5 x 丝=2,3 0乙机床应抽取5 x 更=3,3 0记甲机床的2 个零件为A ,B,乙机床的3个零件为a,b,c,若从5件中选取2件分别为A 3 ,Aa Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,b e 共 10 种取法满足条件的共有3 种，分别为，ac，be,所以，这 2 件都是乙机床生产的概率P1019.(1 2 分)如 图，已 知 椭 圆:=+与=1(。6 0)的离心率为且，E的左顶点为A、a-b-2上顶点为8,点 P在椭圆上，且 耳 耳 的 周 长 为 4 +2 石.(I )求椭圆的方程；(I I)设C,。是椭圆E上两不同点，C D/A B,直线CD与x 轴、y 轴 分 别 交 于 N两点，且=两，法方=。月，求彳+的取值范围.2 +2。=4 +2*7 3【解答】解：(/)由题意知：c邪e=-a 2d f2=4,tr=9椭圆方程为E +V=l.4().A(-2 ,0),8(0,1),IC AB 卷由C Z J/A 3,设直线CD的方程为y =g x +%,由已知，得 M(-2 m,0),N(0,m),设 C(X，乂)，D(X2,y2),得x2+2rwc+2 m2 2 =0 ,y=x+m2=(2m)2-4(2 m 2 -2)0 ,/n2 2 ,Xy+x2=-2 m,=2m2-2,由 MC=4CN,得a+2加，y)=4一%，m-y)，f+2m Axj f B p=-1-,玉2/77同理，由而D=40N,得=一1x2今 C c /1 1、c 八%+%-2m2 24 +=一2 2皿一H )=-2 2 mx -=2 d-=-xx x2 xtx2 m 1 I TT 1由加2 2,得2e(-,E分别为4 3,PC的中点.(1)证明：/_!_ 平面AB C;(2)设点厂在线段BC 上，且 8户=2%,若三棱锥P-小 厂 的体积为2 ,求实数彳的值.PA=PB=,A B=2 ,。为 AB 的中点,；.PDLAB,P D =1,同理可得CDJLAB,CD=2,.P C2 P D2+C D2=5,:.PDYCD,ABCD=D,且 A 3、S u 平面4 8C,.P D_ L 平面 A B C；(2)解：v BF=A F C ,E 为 P C 的中点，又三棱锥P-A E F的体积为2 ,9 Vp-AEF=C-AEF=VE-ACF=5 Vp_ACF=1 x-1-v1 Z 10nAi 2p ARr=-S、f PD =-=一2 1 +A c 6(1 +2)c 3(1 +2)92 1.(1 2 分)已知函数f(x)=&q.X(1)若函数f(x)的图象在x =l处的切线为y =l,求/(x)的极值；(2)若/(x),e*+2-l恒成立，求实数。的取值范围.X【解答】解：(l)/(x)=a-f V C,/Z(l)=0,67=1 ,此时函数/(1)=a =l,函数/*)的图象在x =l处的切线为y =l,成立，所以尸(x)=Wg,此时/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,抬0)上单调递减,X所以/(X)的极大值为/(1)=1,不存在极小值；2(2)由/*),/+1 ,x化简可得 4,x(ex-1)-I nx+2(x 0),令 F(x)=x(ex I nx+2(x 0),贝i j F(x)=(x +l)(ev-),x 0,x令h(x)=ex-,x 0,则/z(x)=+二 0 ,所以h(x)在(0,+o o)上单调递增，又/2(g)=五一 2 v 0,(l)=e l 0,存在唯一的小 e (,1)，使得力(Xo)=e -=0 ,2面故尸(幻在(0,%)上单调递减，在(天，芦)上单调递增，尸（幻而“=%）（e 一 1）-I 叫）+2 =-x0-lnx y+2 ,由力（不）=e =0 ,得/e%=1,/+lnxQ=0 ,%尸（）而“二x（）e/_/移。+2 =3 ,所以6 3,即实数的取值范围是(f o,3 .(二)选考题：共 10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程x=t2+1-2,2 2.(1 0分)在平面直角坐标系x O y中，曲线G的参数方程为 J 。为参数)，以y=t-,t坐 标 原 点O为 极 点，X轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线。2的极坐标方程为/?c o s(0 +)=.(l)求曲线G 的普通方程和C2 的直角坐标方程；(2)设点P是曲线G 与 Cz的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的极坐标方程.x人 一 t+2,4 2 4，【解答】解：(1)将 J 的参数/消去得曲线G 的普通方程为丁=工，/7COS(e +()=0,/.p c o s0-/7sin 0-2 =0，由 x =c o s,可得曲线C 的直角坐标方程为x-),-2 =0；y=p sin。,(2)将曲线G与G的方程联立得P的直角坐标为(1,-1)或(4,2)；设所求圆的圆心坐标为(,0)(。0),则其方程为f-2 o r+y 2 =0,当P的坐标为(4,2)时，5 c i=一，2则所求圆的极坐标方程为夕=5c o s6；当户的坐标为(1,-1)时，则所求圆的极坐标方程为夕=2 c o s。.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数f(x)=|x-“|(1)若/(戏,m的解集为-1 ,5J,求实数a,m的值(2)当a =2 且(),f 2 时，解关于x的不等式/(x)+f.J(x+2)【解答】解：(I),/(%)m ,:x-a m,即a /溪 山a+m，v/(x)m的解集为 九|一1领k 5),解得 a =2,m=3 .a+m =5(2)当a =2时，函数/(x)=U 2,则不等式f(x)+2)等价为|x-2 1+Jx|.当 x.2 时，x 2+t.x,即/.2与条件0,/2矛盾.当0,x 2时，2-x+t.x,即噫!k,成立.2当 X V 0 时，2 X+Z.X 9 即 f.2 i*旦 AL.综上不等式的解集为(TO,詈 .