2022-2023学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高二（上）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

2022-2023学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高二（上）期中数学试卷1.直线-V3y-1=0的倾斜角a=（）A.30 B.60 C.120 D.1502.直线/经过两条直线x-y +l=0和2x+3y+2=0的交点，且平行于直线x-2y+4=0,则直线/的方程为（）A.x 2y-1=0 B.x 2y+l=0 C.2%y+2=0 D.2x+y-2=03.如图，在平行六面体ABC。-ABC。中，A C 与 8。的交点为M,设彳才=落D=b,=乙则下列向量中与两相等的向量是（）A.+b+c B.b+cC.a+b+c D.a +c4.若椭圆C:捻+，=l（a b 0）的短轴长是焦距的2倍，则 C 的离心率为（）A.i B.y C.y D.V55.已知O。：乂 2+丫 2 =1与0。：x2+y2-2 x-4 y +l=0,则两圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.外切 D.内切6.P 为椭圆装+哈=1上一点，用./7分别是圆。+3）2 +丫 2 =4和（一3）2+丫 2 =1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是（）A.7,13 B.10,15 C.10,13 D.7,157.已知四棱锥P-ABC。中,AB=（4,-2,3）,AD=（-4,1,0）,AP=（-6,2,-8）,则点尸到底面ABC。的距离为（）8 .设后,尸 2 是椭圆+*=1 的两个焦点，P是椭圆上一点，且C 0 S 4&P F 2 =/则 A P F i F 2 的1 Z Z 4 D面积为()A.6 B.6A/2 C.8 D.8&9 .将一个椭圆绕其对称中心旋转9 0。，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭 圆 为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是()A.+0=l B.+4=1 C.4+q=l D.+4=lo 4 5 5 o D o y1 0 .若%是平面a 的一个法向量，元 2 是平面6 的一个法向量，A,B是直线人上不同的两点，则以下命题正确的是()A.b/a=0B.a J，6 =Z 近=0C.a/p=M e R,使得元=A n；D.设a 与 的夹角为d 则c o s。=|c o s|1 1 .设圆C：(x-3)2+(y-4)2=9,过点P(l,2)的直线/与C交于A,B两点，则下列结论正 确 的 为()A.P 可能为AB中点 B.的最小值为3C.若M B|=2 而，则/的方程为y=2 D.A B C 的面积最大值为?1 2 .在矩形4 8 C。中，AB=2,AD=2 遮，沿对角线A C将矩形折成一个大小为。的二面角B -A C-D,若c o s O=%则()A.四面体A B C。外接球的表面积为1 6 兀 B.点 B与点。之间的距离为2 国C.四面体A B C。的体积为竽 D.异面直线AC与 8。所成的角为4 51 3 .若椭圆+=1 的一个焦点为(0,-1),则p 的值为.1 4 .已知方=(一1,1,2),b=(0,2,3),若k 五+方与2 方 一 3 垂直，则k =.1 5.在正方体A B C D a B 1 C 1 D 1 中，M,N分别为B C,CQ的中点，则直线4 窗 和 MN夹角的余弦值为.1 6 .已知 椭 照+落l(a b 0)的左、右焦点分别为&、F2,关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足|4 B|=因尸2 1，若令“遇8 =。且。6哈 巾，则该椭圆离心率的取值范围为1 7 .求适合下列条件的椭圆标准方程:经过点A(-3,0),8(0,-2)；(2)长轴长等于2 0,焦距等于1 2.18.直线/经过两条直线k x+y-4=0和：x-y +2=0的交点P,且直线/在x轴上的截距为一 行(1)求直线/的方程：(2)求直线/与坐标轴围成的三角形面积.19.已知空间三点4(0,2,3),8(-2,1,6),C(l,-1,5).(1)求以荏，而 为边的平行四边形的面积；(2)若|五|=百，且弓分别与荏，而 垂直，求向量日的坐标.20.已知圆C的圆心在直线y=2x+4上，且经过点”(0,2)和N(2,4).(1)求圆C的标准方程；(2)若过点P(l,0)的直线/与圆C交于A,8两点，且|4B|=2百，求直线/的方程.21.图1是由等边三角形A3。和等腰直角三角形BOC组成的一个平面图形，其中BD=2,乙 BDC=若 AC=2 近,将ABC沿BD折起，连接A C,如图2.(1)求证：平面ZBD JL平面B C D；(2)求二面角C 一 4B-。的余弦值.22.设圆产+丫2一2四 万-21=0的圆心为，点(?(一7 0),点/为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段 P交于点E,设点E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线/与曲线C交于点A,B,与圆O：久2+y2=2切于点小 问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求.本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题.【解答】解：可得直线 何 1=0的斜率为k=冬由斜率和倾斜角a 的关系可得tana=y,又0 a 180a=30故选：42.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求两直线交点坐标，考查了两直线平行的斜率关系，同时考查了直线的点斜式方程，属于基础题.先联立已知两条直线，求出交点坐标，再由两直线平行时的斜率关系求出直线/的斜率，最后由直线的点斜式方程即可求出结果.【解答】解:联立方程 匕苕工鼠，解得.直线/过点(-1,0),又 直线/与直线x-2y+4=0平行，.直线/的斜率为;,.直线/的方程为y=g(x+1),即x-2 y +l=0,故选：B.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.直接利用空间向量的线性运算计算求解即可.【解答】解：由 于 种=五，布=3,ArA=DrD=c,则 两 二 冲+中w行+西=J9+g和，故 西=F5+丽=一 初+；和+=T Q一;豆+二故选：B.4.【答案】B【解析】【分析】先根据题意可知2 c =b,进而求得和c的关系，离心率可得.本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题.【解答】解：依题意可知2 c =b,而&=府 不*=V 5 c,二 椭圆的离心率e =*=ga 5故选：B.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，属于基础题.根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再判断两圆的位置关系.【解答】解：根据题意，O。：x2+y2=1,其圆心为(0,0),半径r =1,O C：x2+y2-2 x-4 y +1 =0,B R(x -l)2+(y -2)2=4,其圆心为(1,2),半径R =2,圆心距|O C|=V 1 +4 =V 5,则有R-r =1 OC R+r =3,则两圆相交，故选：A.6.【答案】A【解析】解：依题意，椭 圆 祗+哈=1的焦点分别是两圆(尢 +3)2+丫 2=4 和(3)2+)/2=1的圆心，所以(|PM|+|PN|)max=2 x 5 +3=13,(|PM|+|PN|)min=2 x 5 -3=7,则|PM|+伊/7|的取值范围是 7,13故选：A.由题设知椭圆卷+=1的焦点分别是两圆圆(+3/+y2=4和(4-3)2+V =1的圆心，由此能求出|PM|+|PN|的最小值、最大值.本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于拔高题.求出平面A 8 8 的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可.【解答】解：四棱锥P-ABCD 中，AB=(4,-2,3)-AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),设平面ABCD的法向量为有=(x,y,z),则 俨.亚=0,(五4。=0(4 x-2 y +3z=0J -4 x +y=0 不妨令=3,则y=12,z=4,可得诺=(3,12,4),则9=(-6,2,-8),设点P 到底面ABCD的高为h,所以Z i=APcos|_ .AP-n.|-18+24-32|=1向1 =-13-=2,所以该四棱锥的高为2.故选：D.8.【答案】B【解析】解：由 椭 圆 各 会 1的方程可得a?=24,b2=12,所以标=a2 b2=12,即 Q =2/6,C=2 V 3,且I P F1 I +PF2 =2 a=4 V 6,但 闻=2 c=4 后7 7 7在 P F1 F2 中，由余弦定理可得COSZ_FIPF2=温鼠:图=(|P%|+|P尸2D22|PF1|PF2HFI尸2,_ 4Q2_4C2_2|PF|P尸2l _ 4d2-2|PF1|PF2l _ 4x 12-21?|PF2I2|P%|PF2l=2PFAPF2=2|PF1|PF2|=-2 PFPF，而 C 0 S 4&P F2 =I，所以 I P F1 I I P F2 I =1 8,因为C 0 S 4 F1P 尸 2 =所以sin“P F2 =竽，所以SA P F M=PFlPF2-sinF1PF2=卜 1 8 x 竽=6&；故选：B.由椭圆的方程可得a，b,c的值,在三角形中由余弦定理及椭圆的定义可得I P F/I P F2 I 的值及N F1 P F2的正弦值，代入三角形的面积公式求出其面积.本题考查椭圆的性质的应用及三角形中余弦定理和面积的公式的应用，属于基础题.9 .【答案】A C【解析】解：椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,2 b=2 c,即2 b=2 c,对于 A,a2=8,b2=对于 8,a2=5,b2=对于 C,a2=6,b2-对于 D,a2=9,b2=4,故2 =a2-62=4,3,故c?=a2 b2=2,3,故c2 =a2 2 =3,6 故0?=a2-b2=3,故匕=。，故 A正确，故b Kc,故 8错误，故6 =c,故 C正确,故b#c,故。错误.故选：AC.由题意可得，b=c,再结合椭圆的性质，即可求解.本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题.1 0 .【答案】BCD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查线面平行、面面垂直、面面平行、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.利用线面平行的性质判断4 利用面面垂直的性质判断B；利用面面平行的性质判断C；利用二面角的余弦值判断D.【解答】解：元 i 是平面a的一个法向量，元 2是平面A的一个法向量，A,B是直线人上不同的两点，对于A,b/a,A B/a,二 乐=0,反之，若运荏=0,则记_L荏，b。或b u a,故 A 错误；对于 8,1 a L P，n7 nJ =0,反之，若而荻=0,则a l/?,故 B正确；对于 C,af/p,.n7/nj,a A e/?,使得元=4 荻，反之，若然/?,使得近=2 五，则苏五，.a 夕，故 C正确；对于 ,设a与0 的夹角为0,则二面角的定义和平面的法向量的性质得cos0=|cos|,故。正确.故选8 CD.11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，以及三角形的面积问题，属于中档题.判断点P 在圆的内部，当CP_L直线/时，P 为 AB的中点，且此时|AB|最小，利用弦长公式可求得A B,据此可判断AB C选项，写出AB C的表达式，然后利用基本不等式可判断。选项.【解答】解：由圆 C：(x-3)2+(y-4)2=9,知圆心(3,4),半径为r=3,对于A：因为(1-3)2+(2-4)2=8 9,即点P在圆的内部，当CP J 直线/时，P 为 A 3的中点，故 A 正确；对于B：当CPJ 直线/时，|AB|最小，因为标=言=1，所以曷=一 1,则直线/的方程为x+y 3=0,圆心(3,4)到直线/的距离d=2近，所以=2 3 d2=2,故 B错误；对于C：当直线/斜率不存在时，即x=l,此时|4B|=2遮 2-22=2展,符合，当直线/斜率存在时，设直线/的方程为kx-y k+2=0,由|AB|=2我=2遍，得d=2,则圆心(3,4)到直线/的距离d=2,解得k=0,即y=2,所以满足题意的直线为y=2或x=l,故 C错误；对于。：SABC=j x AB x d=1 x 2V9rf2 x Vd7/3cos300-4 x 2cos600=8,贝 Uco,温的=霜=&=争得能的=45。，所以异面直线AC与 B。所成的角为45。，故。正确，故 选:ACD.1 3.【答案】3【解析】解：椭圆?+=1 的一个焦点为,4 一 p -1,解得p =3.故答案为：3.利用椭圆的焦点坐标，转化求解即可.本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题.1 4.【答案】,【解析】【分析】本题主要考查空间向量的数量积与空间向量的垂直关系，属于基础题.由题意，(/c a +b)-(2 a-b)=0,计算求得人的值.【解答】V a =(-1,1,2),b=(0,2,3),化五+4与2 五一方垂直,(f c a +K)-(2 a-K)=2 f c a2+(2-k)a-b-b2=2 f c x 6 +(2 -f c)x (0 +2 +6)-(0 +4+9)=0,则 k =-*故答案为-1 5.【答案】|【解析】【分析】本题考查了空间线线关系，考查空间角中的异面直线所成角的计算，属于基础题.连接B C 1，&G，由M N B G，所以N&B C 1 为 异 面 直 线 和 MN的夹角，&B G 为等边三角形，可得N&B C 1 =6 0。，可 得 直 线 和 MN夹角的余弦值.【解答】因为M,N分别为BC,CG的中点，所以MNBC 所以N&BC1为 异 面 直 线 和A/N的夹角,又正方体4BCD-418停1。1中，A S =BCi=4加，所以4/Q为等边三角形，所以乙4$Ci=60,所 以 直 线 和MN夹角的余弦值为今故答案为今16.【答案】除 学【解析】【分析】本题主要考查椭圆离心率取值范围的求解，属于中档题.由题意得四边形4F1BF2为矩形,从而得到田后|=2c-sin。，AF=2c-cos0=BF2,故6=.?结合正弦函数即可求得范围.【解答】解：由 椭 圆*+/=1（180）,网=|&尸2|=2的 且点A、8关于原点对称，则四边形4&BF2为矩形.由-6,所以|BFi|=2c-sin0,AFr=2c cos。=BF2,又因为|B&|+BF2=2 a,所以2c sin。+2c-cos。=2a.2a-2csine+2ccos6 sin0+cos0 V2sin(e+*)因为e E 6,J 所以e +w 可得s i n（e +*）G 塔,i ,从而e G仔，寺.故 答 案 为 停 净1 7.【答案】解：（1）设椭圆方程为：盘+=1，a b 0,依题意所以椭圆标准方程为4+4=1.9 4(2)依 题 意:g a =2 0(a=1 0，所 以c =6 ，力=82 2 2 2所以椭圆标准方程为念+方=1或 方+刍=1.【解析】（1）根据题意，分析可得要求椭圆的焦点在X轴上，且a =3,b=2,将a、匕的值代入椭圆的标准方程即可得答案；（2）根据椭圆长轴长等于2 0,焦距等于1 2,先求出几何量，再求出椭圆的标准方程.本题以椭圆的性质为载体，重点考查椭圆的标准方程，属于基础题.1 8.【答案】解：（I）、直线/经过两条直线小 刀+）/-4 =0和，2：x y +2 =0的交点，然二 解得 1，丫 =3,即P（l,3）,由题意可知直线的斜率存在，设为A且则y -3=k（x 1）过（一;,0）,代入即0-3=4（-;一1）,解得k =2,直线/的方程2 x y +l =0.（2）由（1）可知，直线/：2 x-y+l =0,令 =0,解得y =1,令y =0,解得工=故直线/与坐标轴围成的三角形面积S=|x l x|=i2 2 4【解析】（1）由点斜式求解即可；（2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解本题主要考查直线方程的求解，属于基础题.19.【答案】解:(1)由题意可得：近=(2,-1,3),前=(1,-3,2),T7?、AB AC 2+3+6 7 1.cos=近 两=痂 笆=五=展二 sin福 AC =y-以 南，而 为边的平行四边形的面积：S=2xABACsin=14 x y =7V3(2)设 Z=(%,y,z),(x2 4-y2+z2=3由题意得(2x y+3z=0,(x-3y+2z=0(x=l(x=1解得 y=1，或=1,z=1 lz=-1 a=(1,1,1),或己=(一 1,一1,-1).【解析】由题意可得：AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),cos =p sin =苧，由此能求出以 荏，而 为边的平行四边形的面积.(x2+y2+z2=3(2)设3=(x,y,z),由题意得-2 x-y+3z=0,由此能求出向量苍的坐标.本题考查平行四边形面积的求法，考查向量的坐标的求法，解题时要认真审题，是基础题.20.【答案】解：(1)设圆心C(a,2a+4),由题意得，|CM|=|CN|,(a -0送+(2a+4-2)2=4 a -2乃+(2a+4-4/,解得a=0.圆心坐标为C(0,4),半径r=CM=2.则圆C 的方程为M+(y 4产=4；(2)若直线/的斜率不存在，直线/的方程为x=l,此时|4 8|=2 g，符合题意；若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=k(x l),即kx y k=0,AB=2百，.圆 心 C 到直线/的距离d=14 一 (V3)2=1,即与空g=1,解得卜=一金庖 8得直线/的方程为15x+8y-15=0.综上所述，直线/的方程为15刀+8丫-15=0或 乂 =1.【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力.(1)设圆心C(a,2a+4),由题意得，|CM|=|C N|,结合两点间的距离公式求解。值，则圆心与半径可求，圆的方程可求；(2)若直线/的斜率不存在，直线/的方程为 =1,符合题意；若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=k(x-l),即k x-y-k =O,由圆心到直线的距离等于1求得人,则切线方程可求.21.【答案】(1)证明：如图，取 3。的中点E,连接EA,EC,AB=ADy BD 1 AE,.BD=2,NBOC=A4B。为等边三角形，BDC为等腰直角三角形，4E=g,E C =花,5L-：AC=22,AC2=AE2+EC2,即AE 1 EC,又：BD CEC=E,BD,EC u 平面 BCD,：.AE 1 平面 BCD,X-AE u 平面 ABO,.,.平面ABO，平面BCD.(2)解：由知A E1 平面 BCD,4 E 1 C。,Xv BDQAE=E,BD,AE u 平面 ABO,CD ABD,过点E 作EHCD交 3 c 于点“以点E 为坐标原点，EB,EH,EA所在的直线分别为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系：E(0,0,0),4(0,0,遮),8(1,0,0),C(-l,2,0),(0,1,0),则 有,AB=(1,O,-V3)CX=(1,-2,V3)EH =(0,1,0),设沆=(x,y,z)为平面C 48的一个法向量，则记 AB=G,m-CA=0.即x-V3z=0,x 2y+V3z=0,令z=，(1，1，芬前=(0,1,0)为平面ABD的一个法向量，8 s(沆 初 =豁=方V21由图可知，二面角C-A B-D 为锐角，.二面角C-A B-D 的余弦值为亨.【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.(1)只要证明平面ABD内直线AE垂直于平面BCD即可；(2)由向量的数量积计算二面角的余弦值即可.2 2.【答案】解：由题意可得P(遮,0),半径|HP|=2 遍，又线段H Q 的垂直平分线与线段H P 交于点E,所以|EQ|=EH,则有|EQ|+EP=EH+EP=HP=2 7 6 PQ=2 迎，所以点E 的轨迹是以P,。为焦点，实轴长为2 历的椭圆，故轨迹方程为4+4=1；O D(2)当直线I的斜率不存在时，直线/的方程为x =V 2,根据椭圆的对称性不妨取直线/的方程为x =V2,由椭圆C的方程可知4(夜，夜),8(企,-&)，M(V2,0),则*|MB|=y)OA2-|OM|2 yOB2-|OM|2=4-2 X 0,4km 2m26+X2=-=-7，1+2/1+2/则万？-OB=%1%2+ViV2=(1 +f c2)Xi X2+km(x1+x2)+m2(1 +/).2m2 6 4km-y+km-=+1+2/c2 1+2kz3m 2_6/_6 _ 3(2/+2)-6/-6 _1+2/c2 1+2 必 所以。力 _ LOB,fJjVXRt OAB,MA MB=OM2=2,所以|M*|MB|为定值2【解析】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了椭圆定义的应用、椭圆标准方程的求解以及直线与椭圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、交轨法、消元法等，属于中档题.(1)利用圆的方程求出圆心P 和半径，根据线段垂直平分线的性质以及椭圆的定义，可得点E的轨迹是椭圆，求解方程即可；(2)先考虑斜率不存在的情况，得到为定值2,再考虑斜率存在的情况，将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理进行求解，即可得到答案.