2021年陕西省西安中学高考数学七模试卷（理科）（解析版）.pdf

2021年陕西省西安中学高考数学七模试卷（理科）一、选 择 题（共12小题）.1.已知集合/=疣 则 1;(3 ,0=xeR|%2N4,则 PU(CRQ)=()A.2,3 B.（-2,3C.1,2）D.（-8,-2U1,+oo）2.设复数Zl,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z l=2+i,则 ZlZ2=（）A.-5 B.5 C.-4+z D.-4-z3.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.系统抽样B.分层抽样C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法4.记 S”为等差数列 斯 的前项和.若3s3=S2+S4,0=2,则 4 5=（）A.-12 B.-10 C.105.在（乂 2 2）6的展开式中，常数项为（）XA.-240 B.-60 C.606.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）D.12D.240D.17.设、。都是不等于1 的 正 数,则“3。3。3 是 loga3Vlog 3”的（)A.充要条件C.必要不充分条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.设有下列四个命题：p i：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.pi：若直线/u 平面a,直线m_ L 平面a,则 m0：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P 4：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.则下述命题中为假命题的是()A.p i A p 2 B.pt c.-p 3 V p 4 D.p i A p 49 .将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有()种.A.1 5 B.1 8 C.2 1 D.2 4TT1 0 .函数/(x)=A s i n (2 x+8)(|0|0)的部分图象如图所示，且/()=f(b)=0,对不同的x i,X2Ea,h9 若/(xi)=f(X 2),有 f(X +X 2)f/，则()A./(x)在(一 沿，*)上是递减的B./(%)在(工，/)上是递减的3 6C./(%)在(一 詈，)上是递增的D.f(x)在(W-,小)上 是 递 增 的3 611.已知椭圆C的焦点为H(-1,0),B (1,0),过 点Fz的直线与椭圆C交于4,B两 点.若|AB|=2|BB|,A B=B Fs,则 C 的方程为()2 2 2A.+)2=1 B.2+卫一=12 3 22 2 2 2C.2L_+_ Z _=1 D.A_+_ Z _=14 3 5 42-|x|,x4212.已 知 函 数f(x)=4 o，函 数g (x)=%-/(2-x),其 中 旄R,若函(x-2)2,x2数y=f (x)-g(x)恰有4个零点，则6的取值范围是()7 7 7 7A.(,+8)B.(-8,C.(0,)D.(,2)4 4 4 4二、填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知平面向量五，百 五1=晨 下1 =2，五，(五-2下*),贝 力2五+百 的 值是.14.若x,y满足|x|W 1-y,且y 2-l,则3x+y的 最 大 值 为.15 .甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则甲、乙、丙、丁四位同学中知 道 自 己 成 绩 的 是.16 .已知三棱锥P-A 8 C的四个顶点在球。的球面上，PA=P B=P C,ABC是边长为2正三角 形,分 别 是 的 中 点，N C E F=90 ,则球O的体积为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，在四棱锥 P-A B C D 中，P A_ L底面 A B C D,A D 1 A B,A B/D C,A D D C A P=2,A 8=l,点E为棱P C的中点.(I )证明：B E L D C；(I I )求直线B E与平面P 8O所成角的正弦值.18.如图所示，在ABC中，点。在边B C上，且N D 4 c=90 ,c o s/D AB=-巨，研二在3(1)若s i n C=，求 BC 的值；3(2)若B C边上的中线A E=2,求A C的值.K!)19.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：每 分 钟 跳 绳 145,15 5）15 5,16 5）16 5,175）175,185）185,+）个数得分 16 17 18 19 20年级组为了解学生的体质，随机抽取了 10 0 名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的10 0 名学生跳绳个数中，任意抽取2 人的跳绳个数，求两人得分之和小于 35 分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有20 0 0 名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布 N（H，。2）,其中。2225,n为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（/）估计每分钟跳绳1 6 4 个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（2 若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在1 7 9 个以上的人数为亭求随机变量的分布列和数学期望与方差.附：若随机变量X 服从正态分布N （小。2）,则 P卬-o X n+o ）=0.6 82 6,P-2o X n+2 o ）=0.9 5 5 4,P（y -3。X 0).(1)证 明:fc -(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 祚+丽 丽=服 证 明：I记I，I而I，I fB l成等差数列，并求该数列的公差.2 1 .已知函数f(x)=-y+al n x(a R).(1)讨论/(x)的单调性：(2)若Xi,X 2(J C 1 X2)是/(x)的两个零点，求证：2 al n(Xo-X +-)+l 0.z 1 a请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2 B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程L.、以 公 皿-卜=2+百cos a,一2 2 .在直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为 厂(a为 参 数)，直线/的y=V3sinCl方程为y=依，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)曲线C与直线/交于A,B两 点,若|0川+|。8|=2 ,求k的值.选修4 5 不等式选讲2 3 .已知函数/(x)=|x-/|+|x+寺，M为不等式/(x)2的解集.(1)求 M；(2)证明：当。，反M时,a+b l+ab.参考答案一、选择题(本大题共1 2 小题，共 6()分)1 .己知集合尸=xeR|l W xW 3,Q=xeR|N 2 4,则 PU(CR2)=()A.2,3 B.(-2,3 C.1,2)D.(-8,-2 U 1,+o o)解：Q=xeR|f2 4 =xeR|x2 2 或 x W -2,即有CRQ=X6 R|-2 V x 2,贝 PU(CR 3 3”是 log“3Vkg心”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解：。、b 都是不等于1 的正数，V3a3*3,.ab 1,V log3log*3,Iga lgb即lg b-lg a0,lgalgblgb-lga 0lgalgb。lgal gb b l 或 或 b l,0 a 33”是“log“3 2、-p3 V _ 7是真命题，pi 八P 4 是假命题；故选：D.9 .将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（）种.A.1 5 B.1 8 C.21 D.24解：把 4个小球 分 成（2,1,1）组，其中2 个小球分给同一个小朋友的有4种 方 法（红红，红黄，红白，白黄），若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给2 个小朋友，共有3X 3 X/h 2=1 8 种，若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故 有 3X l=3 种，根据分类计数原理可得，共 有 1 8+3=21 种.故选：C.TT1 0.函数/（x）=A si n （2r+0）（|0|0）的部分图象如图所示，且/（）=f（）=0,对不同的羽，xiEa,hf 若 f（xi）=f（X 2）,有 f（X +2）则（）A./（x）在（-詈，*）上是递减的B./（x）在 g,器）上是递减的3 6C./（%）在（一 詈，上是递增的D./(x)在(=，目)上 是 递 增 的3 6解：由图象知A =2,函数的周期7=1 1,T 兀 )=f 3=0,：.b-a=,2 2;对不同的xi，X2Ea,b9若/(汨)=/(%2),有/(如+工2)=“，则 2si n 2(xi+x2)+。=，即 si n 2(xi+x2)+切=零，2si n (2xi+0)=2si n (2及+。),在一个周期内 2XI+0=2X2+9 或 2xi+0+2Y 2+0=Tt,得 X|=X 2 舍或 2(X 1+X 2)=71 -20,即 si n 2(xi+%2)+0=si n (n-26+e=si n (n-0)=si n 6=-,I T则 9=4-r h|2KTT-兀-WV2Ox+4-兀-.-兀-,be-rj 俎,5 兀 V V 兀KGZ 得 泣-,依Z,2 3 2 1 2 1 2当=0时，函数的递增区间为-辛，*,当A=1时，函数的递增区间为 呆，墨 力TT TT QTT IT 77r由 2Z n r+-W2x+-2,-x -2,2-x0,则 h(x)=f (x)4/(2-x)=(x-2)2+2-|2-x|=x2-5x+8.J+x+2,x0即 h(x)=2,0 x 2作出函数人(x)的图象如图：1 7 7当 xWO 时h(x)=2+x+x2=(x+)2+2,2 4 4R 7 7当 x2 时，h(x)=N-5X+8=(X-)2+,2 4 4故当6=工 时，h(x)=b,有两个交点，当 8=2 时，h(x)=b,有无数个交点，由图象知要使函数y=f(x)-g(x)恰有4 个零点，即(x)h 恰有4 个根，则满足4 匕C,且 E M=/C，又由已知，可得EM4 8,且 EM=AB,故四边形A8EM为平行四边形，所以BE4 W.因为 PAJ_底面 ABCD,故 P4J_C。，而 CZ）J_OA,从而 8,平面尸A,因为4M u平面P A D,于是C D L A M,X B E/A M,所以 BE_LCO.（II）解：连接 B M,由（I）有 CO _L平面 P A D,得 CD_LP,而 EMC,故 PQJ_EM.又因为AO=AP,M 为 的 中 点，故尸OLAM,可得尸_LBE,所以PO _L平面8EM,故 平 面 平 面PBD.所以直线BE在平面P B D内的射影为直线BM,而 BE_LEM,可得NE8M 为锐角，故NE8M 为直线BE与平面尸 8。所成的角.依题意，有 P D=2 脱,而 M 为 PO中点，可得A M=J ,进而5E=加.故 在 直 角 三 角 形 中，tanNE5M=段亭=蟀，B E B E V 2 2所以直线BE与平面P3O所成的角的正切值为返.218.如图所示，在48C 中，点。在边 BC 上，且/ZM C=90,c o s/D A B*，AB=V6.3(1)若 sinC=，；,求 B C 的值；(2)若 5 c 边上的中线A E=2,求 AC的值.解：(1)ND4C=90,cosNDAB乌 之 处二娓.，.s i n/B 4 C=s i n (9 0 0 +ZD A B)c o s Z D A B=.在ABC中，由 正 弦 定 理 一 匕=叱，可得：2方=飞，可得：BC=4.sinA sinC-3 3(2);由(1)可得 sinN B A C=2/0,3/.cos Z BAC=,3vA E=y(靛+菽)，可得近(AB+AC)2又 AE=2,可得 4=生 6+4。+2乂 加 XACX(-1)，可得 34。-2倔C-30=0,T C O解得4C=包 叵 或-捉(舍 去).31 9.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：每 分 钟 跳 绳 145,155)155,165)165,175)175,185)185,+8)个数得分 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0年级组为了解学生的体质，随机抽取了 1 0 0 名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的1 0 0 名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于 3 5 分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2 0 0 0 名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布 N（n，。2），其中。2 心2 2 5,“为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（/）估计每分钟跳绳1 6 4 个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在1 7 9 个以上的人数为F，求随机变量*的分布列和数学期望与方差.附：若随机变量X服从正态分布N （4。2）,则 2（口-o X n+o ）=0.6 8 2 6,P（p-2 o X|i+2 o ）=0.9 5 5 4,P （林-3。X 1 6 4)=1-8 2-=0.8 4 1 3-故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为2000X0.8413=1682.6心1683(人);()由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为微，B(3,/),J的所有可能的取值为0,1,2,3.=o)=c1813-2XOJZXO33-8-1221-213P(&=2)=C：X (1)2x (1-1)1 =1,p(&=3)=因 X (y)3X (l-y)-1-故8的分布列为:0123p3.3.京京京)=3 X y-|,D()=3 X y X(l-)=1.2 22 0.已知斜率为的直线/与椭圆C：三一+?_=1交于A,8两点，线段A 3的中点为M(l,4 3?)(/n 0).(1)证明：k 0)，4 3解得0根与2-J.4 m 2(2)由题意得尸(1,0),设尸(制，),则X i -1+X 2 -1+X 3 -1=0,尹+丁2+g=0,由(1)及题设得1 3=3 -(X 1+X 2)=1,”=-(y i+j 2)=-2/H故I丽+丽=2丽,即 而,I而,I同成等差数列.设改数列的公差为d,则2d=|FB|-|FA|=-降尸木/(XI+X 2)2-4 X 1 X 2将机=当弋入得=-1.4所以/的方程为y=-x+(,代 入C的方程，并整理得7x 2-1 4 x 0=0.故X|+X 2 =2,X|X 2 =,代入解得同=2返I.2 8 2 8所以该数列的公差为盟近或-3运工.2 8 2 82 1.已知函数/(x)=y+a l n x(a E R).(1)讨论/(x)的单调性;(2)若 xi,X 2(xiX2)是f (x)的两个零点，求证：2aln(x9-x 1 4)+l0 时，由/(x)0 得 x故/(x)的单调递增区间为9 ),单调递减区间为S,(2)证明：/(x)有两个零点，由(1)知 心 0 且2 2ef1 _ L要证原不等式成立，只需证明ln(x 9-x 1 +且)只需证明v e -y =y 0,A ff(e 2 a)且一(X)在 0)单调递增,1x 2a2 e另一方面，令g(x)=ln x 4-L(x 0),则g(x)=x exex_e x Tex2.当0 x 2 时，g(x)工时，g(x)0；ee故 式 x)m in=g d)=T+l=O,故 g(x)2 0 即l n x)-时(0，+8)恒成立,ex令 x-a22 2则 1吟 与，于是f (且)/另+aln且 里 亍-%=0,a ac a*a He Je e而2_e2-2aa2 4 ea故 f 仔)谓且/0)在 S 椁)单 调 递 减 故综合上述，且X i F X 2 0,=1 6 c o s0 i2-4 0.|O 4|+|QB|=|p i|+|p 2|=|p i+p 2|=2 ,.,.c o s&=满足(),.,.&=E 或 5兀.2 6 6的 倾 斜 角 为 二 或 器，6 6则 Z;=t a n 0 i=返 或 一 区 3 3 选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=b-寺+吗，M 为不等式“X)2的解集.(1)求 M；(2)证明：当 a,时，|a+b|V|l+a b|.解：(1)当时，不等式/(x)2可化为：-x-x-,：.-1 x -,2当 工时，不等式/(x)V2可化为：-x+x+=1 2,2 2 2 2此时不等式恒成立，；W x W 工，2 2当时，不等式(X)V2可化为：-LX+X+L2,2 2 2解得：X 0,即 a2b2+1 a1+b2,即 a2h2+2ah a+k+lab,即(ab+1)2 (a+b)2,即|a+b|l+a Z?.