2021年中考数学压轴题专项训练《四边形》（含解析）.pdf

2021年中考数学压轴题专项训练 四边形1.如图，在 矩 形 中，己知比=8CR,点G为a I边上一点，满足BG=AB=6CM,动 点 以1。物5的速 度 沿 线 段/从 点6移动到点G,连接A E,作E F VA E,交线段切于点F.设点 移动的时间为 s),夕的长度为y (cm),y与/的函数关系如图所示.(1)图中，CG=2 c m,图中，m=2 ；(2)点厂能否为线段力的中点？若可能，求出此时r的值，若不可能，请说明理由；(3)在图中，连接/尸，A G,设 A G 与 E F 交于点、H,若4 G平分4力郎的面积，求此时t的值.CG=2c m,:E F L A E,:.NA E/NF E C=9Q ,且/微/胡6=9 0 ,:./B A E=/F E C,且NB=NC=90 ,:.X A B E s XECF、.AB _ BE*EC=CF=6,B E 6c m,CE 2c m,.6 _ 6*7=CFCF=2c m,.*./=2,故答案为：2,2；(2)若点尸是切中点，:.CF=D F=3c m,：l A B E s E CF,.AB BE ,EC CF.6 =8-EC而二3_ 8 g 8=0.,=6 4 -7 2=-8 Oa,：.B D/G E,(3)如图3,过点尸作加丝，交/于点,图39,/秋的面积等于矩形力腼的面积的叁504/291 9.,.X 1 2 X =X 12 X 102 5：.A E=8,作点力关于用的对称点4 ,连接49交 我、于点R此时4分 周长最小,/E=A E=89：.A A=16,M VA7 A1 2+A B 2 V 2 5 6+14 4 2 0,，/以周长的最小值=A R A 冰PB=A P PB+A B=2 0+12=3 2.3.(1)方法感悟：如图，在正方形四切中，点反尸分别为G 6 c边上的点，且满足N必产=4 5 ,连接用将血应绕 点 4顺时针旋转9 0 得到?1比,易 证 厘 从 而 得 到 结 论：D E+B F=E F.根据这个结论，若 G9=6,D E=2,求用 的长.(2)方法迁移：如图，若在四边形被力中，A B=A D,Z B+Z P=180,E、b 分别是及7、5 上的点，且/瓦/=/B A D,试 猜 想 如B F,之间有何数量关系，证明你的结论.(3)问题拓展：如图，在四边形4 a中，A B=A D,/屏/4%=1 8 0 ,E、尸分别是边比；必延长线上的点，且/4 尸=1/历仞，试探究线段跖、B E、外之间的数量关系，请直接写出你的猜想(不必说明理由).解：(1)方法感悟:将/应 绕 点 4顺时针旋转9 0 得到H 6 G,:.G A D E=2,：G A 3 X E A F：.G F=E F,；36,D E=2:.CE=4,.第=虚+公，.,.靖=(8-跖)，1 6,:.E F=5；(2)方法迁移:D E+B F=E F,理由如下：如图，将/应、绕点/I顺时针旋转9 0 得到力做A D图由旋转可得，AH=AE,BH=DE,/1 =/2,ND=/ABH,：/EAF=X/DAB,2Z./W=/1+/3 =N 2+/3=/胡。，2ZHAF=AEAF,:NAB小NABF=N济NABF=180,点 队 B、尸三点共线，在45F和/5 中，A H=A E Z H A F=Z E A FA F=A F:.MAE阳4AHF(SAS),:.EF=HF,:.EF=DE+BF.(3)问题拓展：EF=BF-FD,理由如下：在 比 上 截 取 加 加，班N/C=180,ZADC+ZADF=180,06/29:/B=/A D F,&AB=AD,BH=DF,:.XAB的 XADF QSAS):/BAH=/DAF,A/f=AD,/AEAF=ABAD,2ADAEABAH=ABAD,2AHAE=ZBAD=A E A F,且/=4 ,AH=AD,2 为 国 刈(必S):.HE=EF,：.EF=HE=BE-BH=BE-DF.4.如 图1,在?ABCD中，AB=3cm,BC=cm,AC LAB,切 沿47的方向匀速平移得到外瓶速度为1C R/S；同时，点。从 点C出发，沿龙方向匀速移动，速 度 为 1C R/S,当 财 停 止 平 移 时，点。也停止移动,如 图2,设移动时间为C (s)(0 ：MN/AB,PQ/MN,：.PQ/AB,.史C Q ,C A C B.4-t t ,4 5“2 0=s9(2)如图 2,过点 0作 QEX.AC,则 QEAB,.C Q _ C E _ Q E旗a而.t 二 C E 二 Q E亏 TT，4 3：.CE=QE=t,5 5U：ZCPQ=45,3：.PE=QE=t,5/+z+r=4,5 5t=s3(3)如图2,过点P作PRLBC于F点,过点 作物/_ L 8 G交加延长线于点从四边形月即是矩形，:.PM=FH=3,/月=N 4=9 0 ,4ACB=4PCF,:ABCsXFPC,.P F _ C F _ P C，A B =A C.P F _ C F 二 4-t-一厂 5:PF 1 2-3 1,Cp 1 6-4 t5 59+9+:,QH=3-FQ=3-qCF-C6=3 _,5:PQLMQ,：.APQF+ZMQH=Q,且NPQF+NFPQ=9Q,：.AFPQ=ZMQH,且/%=/=9 0 ,.P F Q H而而08/291 2-3 t 9+9 t5 =516-4t=1 2-3 t-?-t 5.问题背景：如 图1,在正方形4%力的内部，作/D A E=A B F=/B CG=4 C D H,根据三角形全等的条件,易得的比 仍 吗8 C侬C X”,从而得四边形 7物是正方形.类比探究：如图2,在正a 1的内部，作N l=N 2 =/3,A D,B E,两两相交于，E,厂三点(。，E,厂三点不重合).(1)/X A B D,/B CE,是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)龙尸是否为正三角形？请说明理由；(3)如图3,进一步探究发现，力 刃的三边存在一定的等量关系，设 劭=a,A D=b,A B=c,请探索图1 图2 图3(1)I X A B I运X B C酌X CA F：理由如下：.4 9 C是正三角形，：.NCA B=NA B C=NB CA=6Q ,A B=B C=A C,又 1=/2=/3,/A B g/B C E=Z CA F,rZ A B D=Z B C E=Z C A F在A A B D、位和。尸中，A B=B C=C A ，Z 1=Z 2=Z 3/A B D /B CE /CA F CA S A)；(2)叱是正三角形；理由如下：X A B的 X B C曜 X CA F,：.NA D B=4B E C=/CF A,：.4 F D E=A D E F=NE F D,.娇 是正三角形；(3)1=才+&加 氏 作4 1加 于6,如图所示：尸是正三角形，49c=60,在 Rt4 中，DG=b,A G=b,2 2在 RtZU8G 中，c=(a+Z?)2+(返8)2,2 2/./=才+瑟 2.6.如图，在四边形力发力中，然是对角线，/ABC=/CDA=90,BC=CD,延长及?交力的延长线于点日(1)求证：AB=AD；(2)若AE=B计D E,求/员1C的值；(3)过 点 作 眦、力8,交力。的延长线于点机 过点材作M H L0G交。的延长线于点R连 接 必 设加=小 点。是直线四上的动点，当以产。的值最小时，点。与点“是否可能重合？若可能，请说明理由 并 求 此 时 机 的 值(用 含a的式子表示)；若不可能，请说明理由.Y BC=CD,AC=ACf RtZkAKRt1%(/企).：.AB=AD.(2)解：*：AE=BE+DE,又：AE=ADDE,：.AD=BE.：AB=AD,：.AB=BE.：.ZBAD=ZBEA.NA5C=90,10/29A A B A D=.由（1）得第荏49C,：.ZBAC=ZDAC.N为22.5.（3）解：当航如的值最小时，点。与点可以重合，理由如下:ME AB,N 4?C=N掰%=90,NMAB=/EMA.:MPIDC,:/M PC=9G .：.ZMPC=ZADC=900.J.PM/AD.:/EAM=/PM A.由（1）得，RtAJCRtAJZ?a:/EAC=/M AB,N%=/A M P.即加1平分4PME.又.：MP_LCP,MELCE,:PC=EC.设N 必#=a,则/物 a.在Rl力跖中，N 跖4=90-2 a .在 Rt砸中，ZECD=90-/应4=2 Q.：PC=EC,：./P E B=/E P C=/EC D=a.:Z PED=/BEAQPEB=9G-a.:MEH AB,:./Q E D=/B A D=2G.当 N/7=NQ 时，*：4PDE=/QDE,DE=DE,：./PDEjQ DE CASA).：.PD=DQ.即点户与点0关于直线月夕成轴对称，也即点、点、点户关于直线力夕的对称点。，这三点共线,也即,歌。的值最小时，点。与点重合.因为当/a 2HNQ物时，90-a=2 a ,也即a=30.所以，当N 4切=6 0 时，例外内取最小值时的点0与点片重合.此时航的最小值即为ME+PE.Y PC=EC,4PCB=4ECD,CB=CD,：.lPC B/EC D (SAS).：.ZCBP=ZCDE=90.:./C B R/A B C=1 8 C .：.A,B,尸三点共线.当/力 做=6 0 时:在网为中，NPAE=/PEA=6G.：.ZEPA=60.加为等边三角形.:EB工 AP,:.AP=2AB=2a.：.EP=AE=2a.N%=N4Q30,:EM=AE=2a.比。的最小值为4 a7.已知：如图，在正方形/以力中，点6在 边 上 运 动，从点力出发向点运动，到达点停止运动.作12/29射线5并将射线*绕着点C逆时针旋转4 5 ,旋转后的射线与/边交于点凡连接跖(1)依题意补全图形；(2)猜想线段区E F,加的数量关系并证明；(3)过点。作C G JL砂，垂足为点C,若正方形力强的边长是4,请直接写出点C运动的路线长.解：(1)补全图形如图1所示：(2)，熨段DE,E F,跖的数量关系为：E F=D/B F.理由如下:延长/到点耳 慢D H=B F,连接烈 如图2所示：四边形/题是正方形，ABCD=Z.ADC=ZB=90,BC=DC,：.ZCDH=90=Z B,4 BCF=蜴 .:E C H=/E C F=450.rC H=C F在和 a F 中，Z E C H=Z E C F，C E=C E 欧修(夕 I S).：.EH=EF.:E4DE+DH,:EF=DE+BR(3)由(2)得：XEC的XECF QSAS),:/CEH=/CEF,:CDIAD,CG工EF,:.CD=CG=4,.点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧D B,图18.如图，在正方形力版中，户是边附上的一动点(不与点6,C重合)，点6关于直线力夕的对称点为反连接力 连接膜并延长交射线/P于点R连接杯1.(1)若N B A P=a,直接写出N45F的 大 小(用 含a的式子表示)；(2)求证：B F 1D F；(3)连 接 5用等式表示线段加；B F,。,之间的数量关系，并证明.14/29(1)解：由轴对称的性质得：ZEAP=ZBAP=a ,AE=AB,四边形力颇是正方形，：.ZBAD=90,AB=AD,：.ZDAE=90-2 a ,AD=AE,：.AADF=Z.AED=(1 8 00-4 DAE)=(9 0 +2 a )=4 5 +a ；2 2(2)证明：四边形力物是正方形，：.ZBAD=0,AB=AD,点 E与点、8关于直线对称，:/AEF=/ABF,AE=AB.：.AE=AD.：.ZADE=ZAED.：ZAE/AZAEF=180,在四边形4?/“中，NADE+/ABF=180,:/BFNBAD=18G,:./BFD=90:BFLDF，、(3)解：线段；B F,之间的数量关系为/尸=叱 例 理 由 如 下:过 点8作 BMLBF交正 于点M,如图所示：,四边形4?是正方形，：.AB=CB,ZABC=90,:/ABM=/CBF,.点 与点关于直线0p对称，/BFD=90,:./MFB=/MFE=45。,、是等腰直角三角形，:B代 BF,FM=y2 A B=C B在?1,监和中，Z A B M=Z C B F，B M=B F:.AMBXCFB(弘S),:.助f=*：4F=E附加,:.AF=MBF+CF.9.如 图1,已知等腰口/园中，E为边AC上 一 点,过 点作牙工儿?于尸点，以为边作正方形，且4 C=3,EF=g.（1）如 图1,连接阴求线段的长;（2）将等腰Rt Z U加 绕点旋转至如图2的位置，连 接 质 材点为R?的中点，连接轨；，监；求MC与 版关系解：（1）如 图1,是等腰直角三角形，AC=3,:.AB=3M，过 点C作a八 四 于M,连 接CF,Z.CM=AM=AB=冬 巨,2 2四边形4 7仔 是正方形,:.AF=EF=M，：.MF=AM-A F=2在 Rt Z X C监1中，CF=(2)CM=FM,CMLFM,理由：如图2,16/29过点2?作 阴 绪 交 融/的 延 长 线 于 连 接 CE CH,四边形4G即是正方形,：.EF=AF 点M是缈的中点，:.BM=EM,在 明 和 笈 妒 中，Z BH M=Z E F M,N BM H=N E M F，BM=E M笈仍上/以0(4 4 5),：.MH=MF,BH=EF=AF ,四边形HG旗是正方形，：.ZFAG=90,EF/AG,:BH EF,:,BH AG,：.ZBA(ZABH=180,：.ZCB/ZASaZBA&ZCAG=180.,/死是等腰直角三角形，：.BC=AC,N47O=N的0=45,：.ZCB/fi-ZCAG=90,9：ZCAG+ZCAF=90,：.2CBH=/CAF,在方和中，BH=A F,Z CBH=Z CA F，BC=A C:A B C gAACF(SAS),：.CH=CF,ABCHAACF,：.NHCF=NBCm NBCF=NACNBCF=9G,.凡7/是等腰直角三角形，,:MH=MF,：.CM=FM,CMVFM-,1 0.如图将正方形/版绕点1 顺时针旋转角度a(00 a 90)得 到 正 方 形 C D.(1)如 图 1,B C与4 c交于点M,C D 与力。所在直线交于点M若MN B D,求 a；(2)如图2,交于点Q,延 长 与 及 7交 于 点 只 当 a=3 0 时.求/40的度数；若 4 8=6,求的长度.图1图2解：(1)如 图 1 中，,JMN/B D,：.A C MN=4C B D=45,A C NM=4 C D B=45,:.乙 C MN=4C NM,:.C M=C N,：C B=C ，:.MB=N,：AB=AD,ZAB NAD A=90,.A B，侬N(SAS),：.AB AM=AD AN,V AB AD=90,ZMV=45,AB AM=AD 4 2 2 2.5 ,胡C=45,A BAB=22.5,18/29a=22.5./.R tA W 丝Rt/初(血)，C.ZQAB=NQAD,:NBAB=30,/以 A 9 0 ,：.AB 49=30,：.AQAD=AB 42=30.2如图2 中，连接4只 在力8 上取一点，使得4=跖 连 接 品 设 阳=a.,:NAB/A B -9 0 ,APAP,AB=AB,；.Rt 初陷 R tZ W (HL),：.ABAP=PAB=15,：EA=EP,:.NEA NEPA=15,即 三/劭 n/9 4=3 0 ,.PE=AE=2a,BE=ya,：AB=6,；.2 a+a=6,；.a=6 (2-V3).：.PB=&(2-5/3),：.PC=BC-PB=6-6(2-V3)=6 7 3-6,：ACPQABPB=180,/BAB+/BPB=180,：.ACPQ=ABAB=30,P C返=*4 西21 1.已知，如 图 1,在边长为2 的 正 方 形/腼 中，是边四的中点，点?在 边 也 上，过点4 作在让品分别交线段CD、切 于 点G、(点G不与线段切的端点重合).(1)如图2,当 G是边切中点时，求 4尸的长；(2)设/Q=x,四 边 形 愀 的 面 积 是 y,求 y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；解：（1）是 4?的中点，A 4 2,：.A E A B=.,2同理可得D G=,:A G L E F,:/A H F=/H A R/A F H=90,四边形4?必是正方形，N%=90=ND A G+NA G D,:./A F H=/A G D,:/E A F=/A D G=9 ,:、XEAFSMADG,AAE=AD 即 上 上AF DG AF 1尸 得；（2）如图 1,由（1）知：X E A F s X A D G、1A _ DB图120/29AA E =A D 即上上A F DG x DG:.DG=2x,:/HAF=/DAG,NAHF=NADG=90,/AHFs XADG,.A H A F JHA D-A G一 皿:x 典-2 V22+(2X)2 2X;2x x 2x2 x2 y=SAOG-SANt，=/，2x-2一 工 x 2，3C x图2：.ZAHB=90,NE1仁 45,：.ZAEH=45,，”=4E=1,：.0 x l；3关于x 的函数关系式为：尸 2xJ (O V x V l)；2()(3)如图3,过作加_1力 交BC于M,连接右队延长4至 此 使 郴=。力，连接V；ND匚B C图3设 C M=a,则 AN=a,:AD=CD,4NAD=DCM=9Q,:.XNAD/XMCD(SAS),：.ZADN=ZCDMf DN=DM,:EFLAG,DMA.AG,：.EF/DM,EDM=/FED=45。,A D E CDM=/EDM=蜴 ,/NDA+/ADE=ZNDE=/EDM,：ED=ED,：./NDE/MDE(必S),:,E N=E M=8I,、：BM=2-a,在Rt原V中，由勾股定理得：城+)/=林,，1+(2-a)2=(54-1)_2a3)ZAEIZEAG=ZEAGZDAG,：.AAEF=4DAG=ZCDM,tan Z AEF=tanZ CDM,.AF _CM ,AE CD2_ 空 3 21 2.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.22/29(1)概念理解:如图2,在四边形4?口 中，A B=A D,问四边形四切是垂美四边形吗？请说明理由;(2)性质探究:(3)解决问题:如图1,四边形/6 笫的对角线点、6 交于点。，A C V B D.试证明：姐+)=9+初;如图 3,中，Z 6 S=9 0,/C L 且 =4；,4 n四 且 熊=48,连结龙、B G、G E.己知40=4,16=5,求而1的长.图3图1图2解：(1)四边形/a 是垂美四边形,理由如下：连接力G B D,图2：A B=A D,：.点A在线段被的垂直平分线上，:C4CD,.点。在线段如的垂直平分线上，是线段切的垂直平分线，/四边形 及力是垂美四边形；(2):A C1B D,：.Z A OD=A A OB=A B OC=C O D=a,由勾股定理得，A6+BC=AG+DG+BG+C。,A E+Of f=A G+B G+CG+D G,：.A f f+B C=A S-+Cf f 故答案为：A E+C廿=A 4+B C；(3)：/。6=/胡=9 0 ,:.NCAG/BAC=NBAE+/B A C,即/GAB=ZCAE,在窈6和1中，A G=A C NG A B=NCA E，A B=A E：./G AB/CAE(必S),ZABG=Z.AEC,又 N 4 m N 4%=9 0 ,：.NABMNAWE=90,即龙_ L 6 G,.四边形府是垂美四边形，由(2)得，8+就=%+*,：AC=,4?=5,:.BC=3,C G=4,8 =5料，.蜃=C d+M 您=73,V 73-13.如图 1,四 边 形 连 接 力7,NACB=NBEC=90,在四上，连接切，NACD=NABC,BE=CD.(1)求证：四边形以为矩形；(2)如图2,连 接 然 丝 交 优 于 点0,若t a n/月=2,在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与旄的长度相等的线段.:.NBDC=18Q-9 0 =9 0=ABEC,E(图1)(1)证明：/空=9 0 ,/力+/力 吸=9 0,:/AC D=/ABC,：.ZAZACD=90,A ZADC=90,E(图2)24/29在R t 腼 和R t 鹿 中，i ，l C D=BE:.R S B CD R t A CB E(瓶)，：.B D CE,：CD=B E,.四边形。监是平行四边形，又庞C=9 0 ,.四边形侬 为矩形：(2)解：图中所有长度与舟的长度相等的线段为 二优三加=切=庞三泥4 理由如下:由。1)得：四边形麻为矩形，NA D C=90,：.B C=D E,OD=OE,OB=OC,0C=0B=0D=OE=B C,2：A A D C=A A CB=,：.CD=2A D,B C=2A C,VAD2+AC2:VAD2+(2AD)娓m：.D E=B C=2A C,：.0C=0B=0D=0E=费B C=A C=倔 ，：.A C=0C=0B=0D=0E=yf A D.1 4.如图在直角坐标系中，四边形力5(力为正方形，力点的坐标为(a,0),点的坐标为(0,b),且a,6满 足(a-3)2+-|=o.(1)求力点和点的坐标；(2)若N D A E=N O A B,请猜想施，必 和 的 数 量 关 系，说明理由.(3)若/以4 3 0 ,以力为三角形的一边，坐标轴上是否存在点月使得必。为等腰三角形，若存-在，直接写出有多少个点只并写出。点的坐标，选择一种情况证明.解：(1)V(a-3)?+%-遍|=0,，a=3,b=J,：.D(0,5/3),A(3,0)；如 图1,在C 0的延长线上找一点F,使OF=B E,连接A F,在和 中，A0=AB(-3,0),R(0,3),R(0,-)；当 月 勺=如时，如图3,图3：.N4DR=N/MPa=3Q,:O P g 6 0 ,R t龙汉中，NODR=3Q,0D=M，：.OR=,：.P,(1,0)；当14时，如图4,汽=2,（3+2 次，0）,a（3 -2 V3-0）,综上，点户的坐标为：.尸（-3,0）或（0,3）或（0,-或（1,0）或（3+2,0）或（3-2 ,0）.证明：只（3+2,0）,.,/宏2?=3 0 且/%是直角三角形，又.3 g 3,DO=M，:.DA=2 瓜而 PiA 3+2 -3 1=2,：.PiA=DA,.月 4 是等腰三角形.1 5.已知，在 四 边 形 口 中，点 以 N、P、。分别为边4 8、AD、C D、6 c 的中点，连 接 腑,便、PQ、M Q.图2(1)如 图 1,求证：四边形极阳为平行四边形;(2)如图2,连接4 C,“分别交助V、PQ于点、E、F,连接切，BD分跳交M Q、NP千点、G、H,AC与BD交于点0,且被，若 t a n N 力 加 1，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于办的线段.(1)证明：如 图 1,连接劭.28/29,:Q,P分别是比；切的中点，所以 PQBD,PQ=BD.A分别是仍，的中点.：.MN/BD,MN=BD.：.PQ/MN,且 PQ=MN.四边形,MM%是平行四边形.(2)解：.四功形物却是平行四边形，AC1BD,.四边形助肥。是矩形，四边形A%和 四 边 形 都 是 矩 形，：.NH=OE=MG=AE=,*t an ADB=,/.NH=OE=MG=AE=.即长度等于勿的线段有A OE,M G,AE.