2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-02 三角形中的数量和位置关系（教师版）.pdf

专 练02三角形中的数量和位置关系1.如图1,A C 1C H 于点C,点 B 是射线CH上一动点，将 ABC绕点A 逆时针旋转60。得到 ADE(点D 对应点C).L F B A L图1 图2(1)延长ED 交 C H 于点F,求证：FA平分/C F E；(2)如图2,当/C A B 60。时，点 M 为 A B的中点，连接DM情判断DM 月 DA D E的数量关系,.ACD为等边三角形,并证明.【答案】(1)如 图 1 中，c F B图1VA A D E由4 ABC旋转得到，AC=AD,/A C F=/A D E=N A D F=90。A C FAADF(HL),ZAFC=ZAFD,FA 平分NCFE；(2)结论：2DM+V5AD=D E，理由如下：如图2 中，延长AD交 B C于 F,c F B n图2V AC=AD,ZCAD=60,AF=AF连接CD,，AD=CD=A C,VZA CF=90,ZCAF=60,.ZAFC=30,AD=A C=-AF,2.AD=DF,，D 为 A F 的中点，又：M 为 A B 的中点，/.DM=i F B,即 FB=2DM在 RtA AFC 中，FC=V3 A C=炳 AD,v DE=CB=FB+FC,FB+FC=2DM+V3AD2DM+V3AD=DE.2.在 AABC中，ZACB=45,D(与 点 B,C 不 重 合)为 B C 边上一动点，连 接 AD,以 A D 为直角边，在 A D 的右侧作等腰直角三角形A D E，直 线 D E 与 A C 相交于点F,连 接 CE.(1)如 图 1,如 果 AB=AC.直 线 C E 与 B D 之 间 的 位 置 关 系 是；线 段 AF,CF,DF,E F 的 数 量 关 系 是.(2)如图2,如 果 AB4AC,(1)中的结论是否还成立，为什么？(3)若 AC=4,AD=3或，求 AF 的长.【答案】(1)解：C E 与 B D 位置关系是垂直；证明如下：；AB=AC,/ACB=45。，ZABC=45.山等腰直角三角形A D E 得 AD=AE,/AED=45。VZDAE=ZBAC=90,AZDAB=ZEAC,AADABAEAC（SAS）,.*.ZACE=ZABC=45.，ZBCE=ZACB+ZACE=90.即 CE_LBD,线段 AF,CF,DF,EF理由：VZAED=ZACB=45,ZAFE=ZDFCAAAFEADFC AF EF *DF FC AF FC=EF-DF（2）解：（1）中的结论还成立，理由：过点A 作 AGLAC交 BC于点G,的数量关系是AF-FC=EF-DFAAC=AG,ZAGC=45,即 ACG是等腰直角三角形，V ZGAD+Z D AC=90=ZCAE+ZD AC,:.ZGAD=ZCAE,XVDA=EA,AAGADACAE,:.ZACE=ZAGD=45,ZBCE=Z ACB+Z ACE=90,即 CE1BD.V ZAED=ZACB=45,ZAFE=ZDFC.AFEADFC.AF _ EFr DF-FC:AF-FC=EF-DF(3)解：过 A 作 AM_LBC 于 M,ZACB=45,A M C是等腰直角三角形，,AM=CM=AC=2/22DM=VAD2-AM2=J(3V2)2-(2V2)2=V10CM=VAC2-AM2=J42-(2V2)2=2V2CD=CM-DM=V10 V2V A A FE A D FC AE _ AFDC-FC 3y/2 AF/lQy/2 4 AF二 FA=12V5-24;3.回答下列问题.(1)(问题提出)如 图 1,AABC与 AADE均是顶角为4 0 的等腰三角形，BC，D E 分别是底边，求证：BD=CE；B图 1(2)(类比延伸)如图2,AACB与 ADCE均为等边三角形，点 A,D,E 在同一直线上，连 接 BE填空：ZA E B 的度数为,线 段 E B 与 A D 之 间 的 数 量 关 系 为.8图 2(3)(拓展研究)如图3,AACB与 ADCE均为等腰直角三角形，C B =NDCE=90。，点 A,D,E 在同一直线上，CM 1 DE于点M,连 接 BE.请 求 出 ZA E B 的度数及线段CM,AE,B E 之间的数量关系，并说明理由.图 3【答案】(1)解：v ZBAC=ZDAE=40,:.Z.BAC-Z.DAC=Z.DAE Z.DAC,即 Z.BAD=ZCAE在 ABAD和 ACAE中，AB=AC 乙 BAD=ZCAEAD=AE.ABAD 三 ACAE(SAS),:.BD=CE.(2)60,EB=AD；v AACB和 ADCE均为等边三角形，:，AC=BC,CD=CE,zACB=zDCE=60,zCDE=zCED=60，:.Z.ACB-Z.DCB=Z.DCE-Z.DCBBP zACD=ZBCE,在 AACD和 ABCE中，AC=BCzACD=ZBCE,CD=CE AACD 三 ABCE(SAS),:.BE=AD,ZADC=ZBEC,点 A,D,E 在同一直线上，4ADC=18 0-60=120 ZBEC=120,ZAEB=ZBEC-ZCED=120-60=60；(3)解：v AACB和 ADCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90,zCDE=zCED=45,*Z.ACB-Z.DCB=Z.DCE-Z.DCB,BP zACD=zBCE,在 AACD和 ABCE中，AC=BCzACD=ZBCE，CD=CE AACD 三 ABCE(SAS),:.BE=AD,ZBEC=ZADC,点 A,D,E 在同一直线上，ZADC=18 0-4 5 =135 ZBEC=135,ZAEB=ZBEC-ZCED=135-45=90v ZDCE=90,CD=CE,CM 1 DE,CM=DM=EM,DE=DM+EM=2CM,AE=AD+DE=BE+2cM ,即 线 段 CM,AE,B E 之间的数量关系为AE=BE+2CM.4.八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目.小明讨论后，进行了如下解答（1）特殊情况入手探索：当点E为 AB的中点时，如 图 1,确定线段AE与 DB的大小关系.请你直接写出结论：A ED B （填“D “”或 =）（2）一般情况进行论证：对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与A E B D 全等来证明.以下是他们的部分证明过程：证明：如图2,过点E作 E F/B C ,交 AC于点F.（请完成余下的证明过程）图2（3）应用结论解决问题：在边长为3 的等边三角形ABC中，点 E在 直 线 AB上，且 A E =1 ,点 D在 直 线 BC上，E D =E C .则 C D=（直接写出结果）【答案】(1)当点E 为 A B 的中点时，如 图 1,结论：AE=DB,却理由：:ABC是等边三角形，点 E 为 A B的中点，ZBCE=30,VED=EC,ZD=ZBCE=30,ZABC=60,:.ZD=ZBED=30,ABD=BE,VAE=BE,/.AE=DB；(2)解：题目中，AE与 D B的大小关系是：AE=DB,理由如下：如图2,过点E 作 EFB C,交 A C于点F.图2AZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,ZBCE=ZCEF,VZABC=ZACB=60,J ZAEF=ZAFE=60,AEF是等边三角形，AAE=EF,:DE=CE,，ZD=ZBCE,:.ZD=ZCEF,VZABC=ZAFE=60,.,.ZDBE=ZEFC=120,在D B E A EFC中,ND=E FUDBE=zEFC,DE=CE.DBE=EFC(A A S),；.EF=DB,.AE=DB；(3)rAE=l,AABC 的边长为 3,E 点可能在线段A B 上，也可 能 在 B A 的延长线上，当点 E 在 AB 时，由(2)可知 BD=AE=1,贝 U CD=BC+BD=1+3=4,在 ABDE和 AFEC中,当点E 在 B A 的延长线上时,B D 0图 3v AABC是等边三角形，v ED=EC,:.zEDC=zECD,EF/BC,NF=ZFCB=ZB=60,A Z.EDB=Z.FEC,AAEF是等边三角形，AE=EF.如图3,过点E 作 EF/BC,交 C A 的延长线于点F,4ABC=ZACB=ZBAC=60ZFEC+ZECD=ZEDC+ZEDB=18 0Z.F=zBZFEC=ZEDBEC=DE ABDE=AFEC(AAS).EF=BD BD=EF=AE=1,CD=BC-BD=3 1=25.如图，在四边形ABCD 中，ZB A D 的角平分线与边B C 交于点E,ZA D C 的角平分线交直线A E 于点0.(1)若点。在四边形ABCD的内部，如图，若 AD/BC,4B=40,ZC=70,则 ZDOE=()；如图，试 探 索 N B、N C、ZD O E之间的数量关系，并将你的探索过程写下来.(2)如图，若点O 是四边形ABCD 的外部，请你直接写出N B、4 C、ZD O E之间的数量关系.【答案】(1)：ADBC,ZB=40,ZC=70,.NBAD=140。，ZADC=110,：AE、DO 分别平分NBAD、ZCD A,A ZBAE=70,ZODC=55,.,.ZAEC=110,ZDOE=360-110-70o-55o=125；故答案为125；v A E 平 分 ZBADZDAE=izBAD2 DO 平分 ZADCv ZADO=二 ADC21 1ZDAE+ZADO=-zBA D +-ADC=i(zBAD+Z.ADC)v ZB+ZC+ZBAD+ZADC=360zBAD+zADC=360-zB-zC ZDAE+ZADO=1(360-Z.B-ZC)=1 8 0 -z B-i z C2 2ZAOD=18 0-(ZDAE+zADO)=-AB+-AC2 2 ZDOE=18 0-ZAOD=18 0-2(2)zD OE=iz B+izC6.如图1,在四边形ABCD 中，AB1AD,BC1CD,AB=BC,zABC=2zEBF,它的两边分别交AD、DC 点 E,F.且 AE K CF.(1)求证：EF=AE+CF.（2）如图2,当 zM B N 的两边分别交AD,DC 的延长线于点E,F,其余条件均不变时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明.如果不成立，线 段 AE.CF.EF又有怎样的数量关系？并证明你的结论.【答案】（1）证明：延 长 F C 到 H,使 CH=AE,连 接 BH,如图所示：图1,AB 1 AD,BC 1 CD,ZA=zBCH=90,在 ABCH和 ABAE中BC=BAzBCH=ZA,CH=AE ABCH 三 ABAE(SAS),A BH=BE,zCBH=zABE,ZABC=2ZEBF,A Z.ABE+Z.CBF=Z.EBF,/.zHBC+ZCBF=ZEBF,4HBF=ZEBF在 AHBF和 AEBF中BH=BEZHBF=ZEBF，BF=BF AHBF 三 AEBF(SAS)HF=EFv HF=HC+CF=AE+CF EF=AE 4-CF；(2)解：不成立，AE=CF+EF,理由如下：在 A E 上截取A H=C F,连接B H,如图所示:AB 1 AD,BC 1 CD,/.zA=zBCF=90,VAB=CB,/.ABHACBF(S A S),ABH=BF,ZABH=ZCBF,/ZABC=2ZEBF,ZEBF=ZCBF+ZCBE,ZABC=ZCBE+ZEBH+ZABH,/.ZEBF=ZEBH,EB=EB,/.AEBFAEBH(S A S),ACF=AH,EF=EH,VAE=AH+HE,，AE=CF+EF.7.如图，已知 ABC中，NBAO90。,AB=ACJ A E是过A 的一条直线，且 B、C 在 A E的异侧,BDAE于 D,CE1AE 于 E.(1)求证:BD=DE+CE.(2)若直线AE绕 A 点旋转到图位置时(BDCE),其余条件不变，问 BD 与 DE、C E 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明.(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达BD与 DE,CE的数量关系.【答案】(1)证明：VBD1AE,CE1AE ZADB=ZCEA=90/.ZABD+ZBAD=90XVZBAC=90，ZEAC+ZBAD=90AZABD=ZCAEZADB=ZCEA在 ABD 与 ACE zABD=4CAEAB=AC ABD t ACE BD=AE,AD=EC:.BD=DE+CE(2)解：VBDAE,CE1AE，ZADB=ZCEA=90AZABD+ZBAD=90又 NBAC=90。:.ZEAC+ZBAD=90A ZABD=ZCAEZADB=ZCEA在 ABD 与 ACE zABD=zCAEAB=AC/.ABDAACE BD=AE,AD二 EC BD:DE-CE(3)解：同理：BD=DE-CE(4)解：归纳：由(1)(2)(3)可知：当 B C 在 A E的同侧时，BD=DE-CE；当 B,C在 A E的异侧时，.BD=DE+CE8.综合与实践如 图 1所示，已知A、B 为直线1上两点，点 C 为直线1上方一动点，连接AC、B C,分别以AC、BC为边向 ABC外部作等腰直角ACAD和等腰直角ACBE,ZCAD=Z C B E=90,过点D 作 DFL1于点F,过点 E 作 E G L 于点G.(1)如图2,当点E 恰好在直线1上 时(此 时 G 与 E 重 合)，试证明：DF=AB；(2)在 图 1 中，当 D、E 两点都在直线1的上方时，试探求三条线段DF、EG、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3,当点E 在直线1的下方时，请直接写出三条线段DF、EG、AB之间的数量关系.(不需要证明)【答案】(1)证明：VZDAC=ZCBE=90,A Z ABC=180-/C B E=90,A ZDAF+ZCAB=1800-NDAC=90,ZACB+ZCA B=90,.NDAF=NACB,VDFAB,；./D FA=N A B C=90。，VAD=AC,AADFAAABC,，DF=AB；(2)解：AB=DF+EG；证明：过 C 作 CM，AB于 M,A MRVDFAB,./D F A=N A M C=90,又/CA D=90/.ZADF+ZDAF=90,ZCAM+ZDA F=90,AZADF=ZCAM,.AD=AC,NDFA=NAM C=90。，AADFAAAM C,A DF=AM,同理：aCM B丝Z B G E,可得 BM=EG,AB=AM+BM=DF+EG；(3)AB=DF-EG理由为：如图3,过点C 作 CH_L直线1于 H,A Z D FA=Z A H C=90,又NCAD=90。.ZADF+ZDAF=90,ZCAH+ZDAF=90,；NADF=NCAH,A AD=AC,ZDFA=ZAHC=90,AADFAAAHC,DF=AH,同理：BH=EG,A AB=AH-BH=DF+EG.9.请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD中，M 是 BC边的中点，且NAMD=90。(1)如 图 1,若 A B与 CD 不平行，试判断AB+CD与 AD之间的数量关系;小雪同学的思路是：延长DM至 E使 DM=ME,连接A E,BE,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在 图 1 中把图形补充完整，并直接写出上面问题A B+C D 与 AD之间的数量关系：(2)如图2,若在原条件的基础上，增加AM平分N B A D,(1)中结论还成立吗？若不成立，写出A B+C D与 AD之间的数量关系，并证明.【答案】(1)解：rAB与 CD不平行根据题意，延长DM使 DM=EM,连接B E,A E,E C,B D由于M 是 BC的中点，故 B M=M C二四边形B E C E 是平行四边形A C D=B E又 v EM=DM,且/A M D=9 0.AAED是等腰三角形，A D=A B在 Z kA B E 中，A B +B E A EA B +C D A D(2)解：若在原条件的基础上，增加AM平分N B A D则(1)的结论不成立关系为：A B +C D =A D证明：由于M 是 BC的中点，故 B M=M C.四边形B E C E 是平行四边形；.C D=B E又 E M=D M,且/A M D=9 0.AAED是等腰三角形:.AD=AE又 AM 平分/BA D.点A.B.E必然共线AB+CD=AD10.已知四边形 ABCD 中，ABXAD,BCCD,AB=BC,ZABC=120,ZMBN=60,NMBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于 E,F.（图2.）（图给（图箝（1）当/M B N 绕 B 点旋转到AE=CF时（如 图 1）,试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为.（不需要证明）；（2）当NMBN绕 B 点旋转到AE#CF时，在图2 和图3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1）如 图 1,AE+CF=EF,理由如下：(图50VAB1AD,BC1CD,NA=NC=90,VAB=BC,AE=CF,/.ABEACBF(S A S),二 NABE=/CBF,BE=BF,VZABC=120,ZMBN=60,.ZABE=ZCBF=30,J AE=BE,CF=BF,VZMBN=60,BE=BF,BEF是等边三角形，AE+CF=-BE+iBF=BE=EF,2 2故答案为AE+CF=EF；(2)解：如图2,(1)中结论成立；理由如下:延长FC到 H,使 CH=A E,连接BH,(图 DVABAD,BCCD,/.ZA=ZBCH=90,AABCHABAE(S A S),ABH=BE,ZCBH=ZABE,VZABC=120,ZMBN=60,Z ABE+ZCBF=120-60=60,AZHBC+ZCBF=60,/.ZHBF=ZMBN=60,AZHBF=ZEBF,/.HBFAEBF(S A S),HF=EF,VHF=HC+CF=AE+CF,，EF二 AE+CF,如图3,(1)中的结论不成立，为 AE=EF+CF,理由如下:在在A E上截取A Q=CF,连接BQ,ZA=ZBCF=90,VAB=BC,AABCFABAQ(S A S),ABF=BQ,ZCBF=ZABQ,Z MBN=60=ZCBF+ZCBE,ZCBE+ZABQ=60,V ZABC=120,J ZQBE=120-60=60=ZMBN,AZFBE=ZQBE,AAFBEAQBE(S A S),EF=QE,TAE=QE+AQ=EF+CE,AE二 EF+CF.11.在 ABC中，AB=A C,点 D 是射线CB上的一动点(不与点B、C 重 合)，以AD为一边在AD 的右侧A D E,使 AD二 AE,ZD A E=ZB A C,连接 CE.图3(1)如 图 1,当点D 在线段CB上，且NBAO90。时，那么NDCE二 度;（2）设NBAC=a,NDCE邛.如 图 2,当点D 在线段CB上，/BAC#90。时，请你探究a 与。之间的数量关系，并证明你的结论；如 图 3,当点D 在线段C B 的延长线上，NBAC和0。时，请将图3 补充完整，并宣接写出此时a 与 0 之间的数量关系（不需证明）.【答案】（1）解：V ZBAC=ZDAE,A ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即/BAD=NCAE,又 AB=AC,AD=AE,A ABADACAE,A ZABD=ZACE,ZDCE=ZDCA+ZACE=ZDCA+ZABD=180-ZBAC=180-90=90,故答案为90；（2）解：a 与 p 之间的数量关系是。=180。4,证明如下：与（1）类似有 BAD出ZCAE,/.ZABD=ZACE,二 p=ZDCE=ZDCA+N ACE=ZDCA+ZABD=180。-/B AC=180-a；由已知，可把图3 补充如下：则此时有P=a.由已知，可把图3 补充如下:A则此时有忏明理由如下：与(1)类似仍有 BAD丝Z iC A E,，NABD=NACE,./D C E=/A C E-N D C A=/A B D-/D C A=/B A C,即 p=a.12.如图1所示，在 RS ABC中，NC=90。，D 是线段C A延长线上一点，且 AD=AB,F 是线段A B 上一点，连结D F,以DF为斜边作等腰直角三角形D F E,连结EA,EA满足条件EALAB.(1)若/A E F=20。，ZADE=50,BC=2,求 AB 的长度.(2)求证:AE=AF+BC.(3)如图2 所示，F 是线段BA延长线上一点，其他条件不变，探究AE,AF,BC之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)解：如答图1所示，在等腰直角三角形DEF中,NDEF=90。,VZ1=2O Z2=ZDEF-Z1=7O.VZEDA+Z2+Z3=180,AZ3=60.VEAAB,:.ZEAB=90.V Z 3+ZEAB+ZL4=180,Z4=30.ZC=90,AAB=2BC=4.(2)证明：如答图1所示，过点D 作 DM_LAE于点M厕在ADEM 中,N2+N5=90。.VZ2+Z1=9O,A Z1=Z5ZDME=ZEAF在ADEM 和 E F A 中，乙 5=4 1DE=EF DEM 会 EFAAAF=EM.V Z 4+ZB=90,Z3+ZEAB+Z4=180 N 3 十N4=90。AZ3=ZB.z3=zB在 DAM 和 ABC 中,：ZDMA=zCAD=ABAADAM 三 ABC:.BC=AM:.AE=EM+AM=AF+BC.解：AE十 AF=BC.证明:如答图2 所示BF图 2过点D 作 DM AE交 A E的延长线于点M./ZC=9o,/.Zl+ZB=90.V Z2+ZM A B +Z1=18O,ZMAB=90,AZ2+Z1=9O/.Z 2=Z B.zM=zC在 ADM 和 ABAC 中，*.*z2=ZBAD=AB ADM 三 BAC BC=AM.VEF=DE,ZDEF=90,Z3+ZDEF+Z4=180tA Z 3+Z 4=90o.V Z3+Z5=90,Z4=Z5.zM=zEAF在4 MED 和 AFE 中，:Z5=z4DE=EF.MED=AFE.ME=AF:.AE 十 AF=AE 十 ME=AM=BC,即 AE 十 AF=BC.