2021年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ）（学生版+解析版）.pdf

2021年全国统一高考数学试卷（新高考I）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设集合 A=x|-2x4,B=2,3,4,5 ,则 A C I8=()3.（5 分）已知圆锥的底面半径为鱼，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.2,3)C.3,4 D.2,3,42.(5 分)已知 z=2-i,则 z(z 4-z)=()A.6-2 i B.4-2/C.6+2i D.4+2;4.（5 分）下列区间中，函数/（x）=7sin（x-j）单调递增的区间是（）A.2 B.2V2C.4 D.4V2X V7 T71A.(0,)B.(一,IT)2 237r 37rC.(IT,)D.(,2n)2 25.（5 分）已知尸1，&是椭圆C：+=1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则9 4的最大值为（）7.（5 分）若 过 点（a,b）可以作曲线y=，的两条切线，则（）A.13 B.12C.9 D.6八、.n lsin0(l+sin20)6.(5 分)右 la n 8=-2,则.sind+cosOA B 5 5：()2 6C.一 D.5 5A.eba B.eabC.Qaeb D.0 b 0)的焦点为F,P为 C上一点，PF与 x轴垂直，Q 为 x轴上一点，且P Q O P.若|F Q|=6,则C的准线方程为.1 5.(5 分)函 数/(x)=|2 x-1|-2 加 x的 最 小 值 为.1 6.(5 分)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规 格 为20dmX 12 d m的长方形纸，对 折 1 次共可以得到 0dmX 2dm,20dmX6dm两种规格的图形，它们的面积之和S i =2 4 0加 2,对折2次共可以得到5 d?X12 加，10协X6dm,2(W m X3而?三种规格的图形，它们的面积之和$2=18 04力,以此类推.则对折4次共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为：如果对折n次，那么2 2=1 S k=dm2.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知数列 ”满足m =l,研 =即+1，n为奇子1%+2,n为点数.(1)记尻=4 2”，写出 ，加，并求数列 为 的通项公式；(2)求 厮 的前2 0项和.18.(12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有4,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2 0分，否则得。分；B类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0分.已知小明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.(12分)记 A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知序=*,点。在边A C上，BD sm A A B C=a smC.(1)证明：BD=b-,(2)若 A O=2 O C,求 c os N A B C.2 0.(12分)如 图，在三棱锥A-8 C 中，平面平面B C D,A B A D,。为B O的中点(1)证明：O A 1 C D；(2)若 O C O是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，O E=2 E 4,且二面角E-8C-D的大小为4 5 ,求三棱锥4 -B C O的体积.2 1.(12分)在平面直角坐标系x。)，中，已知点Q(-V 17,0),F2(V 17,0),点M满足I M F 1I T M&I=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程：(2)设 点7在直线x=义 上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|Z 4|T B=T P T Q ,求直线A B的斜率与直线PQ的斜率之和.2 2.(12 分)己知函数 f(x)=x (1 -lnx).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设a,6为两个不相等的正数，且 blna-a lnb=a-b,证明：2 V：+：V e.2021年全国统一高考数学试卷(新高考I)参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设 集 合4=x|-2x4,B=2,3,4,5,则()A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4)【解答】解：A =x|-2x4,B=2,3,4,5),.*.A n 8=M-2x4 n 2,3,4,5 =2,3 .故选：B.2.(5 分)已知 z=2-i,则 z(z+Z)=()A.6-2i B.4-2/C.6+2/D.4+2/【解答】解：；z=2-i,A z(z+z)=(2-/)(2+i+i)=(2-i)(2+2z)=4+4i -2i -2?=6+2i.故选：C.3 .(5分)已知圆锥的底面半径为VL其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2 B.2V 2 C.4 D.4企【解答】解：由题意，设母线长为/,因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2兀 遮=兀，解得，=2式，所以该圆锥的母线长为2夜.故选：B.4.(5分)下列区间中，函数/G)=7 si n (x-的 单调递增的区间是()7 1 7 1 37137rA.(0,-)B.(一,J I)C.(IT,)D.(,2n)2 2 2 2【解答】解：令-t W%A +2/CT T,kWZ.则-4+2/CT T W X W +2krt，kWZ.7 T 27 r当k=0时，依 一泉一I，3 3故选：A.x2 y25.（5 分）已知Q,尸 2是椭圆C：+=1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MFi|M&|9 4的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6x2 y2【解答】解：F1，尸 2是椭圆C +=1 的两个焦点，点 M 在。上，|MI|+|MF2|=6,9 4所以（也 叫 竺 辿）2=9,当且仅当|MF|=|M F2|=3时，取等号，6.所以附尸中|例&|的最大值为9.故选：C.（）八、#,sin0(l+sin26)(5 分)若 ta n e=-2,则-嬴次。短A-fB-l【解答】解：由题意可得：包竽等sinO+cosOsin0(sin2 0+cos2 6+2sin6cos6)sin0+cos02sinOfsinO+cosO).八,八，心、=-n r sin9(sin9+cos0)_ si九 2j+si九 JcosJ _ tan2e+tanesinO+cos2 l+tan204-2 2=l+4=5*故选：C.7.（5 分）若 过 点（a,b）可以作曲线y=d 的两条切线，则（）A.eba B.eab C.0aeb D.0b 0 恒成立，函数的图象如图，y 0,即取得坐标在x 轴上方，如 果（a,b）在 x 轴下方，连线的斜率小于0,不成立.点（a,b）在 x 轴或下方时，只有一条切线.如 果（a,b）在曲线上，只有一条切线；（,b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a,b）在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知061 4Pli=y/c osa l)2 4-sin2a =y/c os2a +sin2a 2c osa+1 =V2 2c osa,AP2=J(c osB-1)2 +(sinB)2=yjc os2p 4-sin2p 2c os+1 =,2 2 co s 夕,|前1 1 刊 成 2 l，故 8 错误；O A-0P3=1 Xco s (a+P)+0 Xs in(a+0)=co s (a+0),_ 0Pr-0P2=co s aco s p -s inas inp=co s (a+0).：.O A*O P3=O P O P2,故 C 正确;O A O P】=1 X co s a+O X s ina=co s a,0P2-0P3=co s p co s (a+p)-s inp s in(a+p)=co s p+(a邛)=co s (a+2 0),*O P2O P3,故D错误.故选：AC.1 1.(5 分)已知点 P 在 圆(x -5)2+(y-5)2=1 6 上，点 A (4,0),B(0,2),则()A.点 P 到直线A8 的距离小于1 0B.点 P 到直线A8 的距离大于2C.当 N P84 最小时，1 PB i=3 近D.当N P B A 最大时，|PB|=3 近【解答】解：A (4,0),B(0,2),X V 过A、8 的直线方程为1 +=1,即x+2 y-4=0,圆(x -5)2+(y-5)2=1 6 的圆心坐标为(5,5),圆心到直线x+2 y -4=0的距离d=|lx 5+2 x 5 4|_ M _ 1 1 后 4J l2+22 店.点P 到直线AB的距离的范围为111A/5 1 1 V5-455+4,1 1 V5-5,51 1 V5:.-4 1,51 1 店5+41处时，取 4 C 的中点E,连结4E,BE,因为 BE_L平面 ACCiA”又 ADiu平面 ACCiAi，所以 ADi_LBE,在正方形ACC1A1中，AD1L41E,又 BECAiE=E,BE,AiEu平面 ABE,故 ADi_L平面 AiBE,又 Ai8u平面 AiBE,所以 48_LADi，在正方体形ABB1A1中，AiBLABi，又 A|A4Bi=A,AD,ABiu 平面 ABi。，所以 4由1_ 平面 ABiOi,因为过定点A与定直线A B垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P,使得A iB,平面4助尸，故选项 正确.故选：BD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5分)已知函数/(x)=/(a-2x-2 x)是偶函数，则a=1 .【解答】解：函数f (x)=/(a-2x-2-x)是偶函数，y=j?为R上的奇函数，故了=。2*-2一、也为R上的奇函数，所以)必=0=。，2-2=a-1=0，所以a.故答案为：1.14.(5分)已 知O为坐标原点，抛物线C：)?=2px(p 0)的焦点为F,P为C上一点,P F与x轴垂直,Q为x轴上一点，且P Q O P.若|尸。|=6,则C的 准 线 方 程 为x=.【解答】解：由题意，不妨设尸在第一象限，则 尸(会p),kop=2,P Q LO P.所以kpQ=-,所以PQ的方程为：-=-2(1-刍)，y=0 时，x=挈，5p vFQ=C,所以-一=6,解得p=3,所以抛物线的准线方程为：x=-4.故答案为：A 15.(5 分)函 数 f(x)=l2x-II-2加X的 最 小 值 为 1 .【解答】解：函数/(x)=|2x-1|-2/nx的定义域为(0,+8).1当 0 x 2时，f (x)=2x-1|-21nx=-2x+l-2lnx,1此时函数f (x)在(0,方上为减函数，所以/(%)2/(鼻)=-2 x 1 +1-2/纭=2优 2；当 时，f (x)=|2x-1|-21nx=2x-1 -2lnx,则/(x)=2 二=2(XT),J X X1当 xe(-,1)时，/(x)o,f (x)单调递增，二当 x=l 时，(x)取得最小值为f (1)=2X1-1 -2/nl=l.2ln2=ln4lne=,二函数/(x)=|2 x-1|-2府的最小值为1.故答案为：1.16.(5 分)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规 格 为 20dmX 12dm的长方形纸，对 折 1 次共可以得到10曲?X 12而2,20clmX 6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240d,R 对折2 次共可以得到5曲?X12d，10曲?X6加，20而 X3而三种规格的图形，它们的面积之和*=180而?2,以此类推.则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折次，那么2 忆1 S=240(3-2广)dm.3 3 5 5【解答】解：易知有20dm x 彳 dm,10dm x-xdm,5dm x 3dm,-dm x 6dm,-dm x4 Z Z 412dm,共 5 种规格；由题可知，对折k 次共有人1种规格，且面积为 等，故Sk=24。卑 1),2K 2则笈=】S k =240%竽记=%察，则 丸=2X12 2 Nk+177，k+2 n+12 九+1)2n+11T _ y n 1 +1 _ y n 1 +1 _ 1.fyn-l 1 +2 _ yn2 1 n 乙A=1 2k 乙k=l 2 忆+1 -J+VZJ/C=I 2 +1 -乙&=1n+1n+31-1-2n+12./o n+3n=J-T T，k1 5九=240(3一 要)故答案为：5；240(3当当.2 九+1 1+32四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列 斯 满足41=1,（cin+1,n为奇数,=1 斯+2,八 为 偶数.（1）记 加=。2，写出历，历,并求数列 瓦 的通项公式;（2）求 斯 的前20项和.【解答】解：（1）因为41=1,斯+1 =Q 九+1,C为奇数an+2,xt为偶数所以 2=41+1=2,03=42+2=4,44=。3+1=5,所以加=42=2,历=04=5,岳-b-1=。2-。2-2=。2-。2-1+。2-1 -。2公2=1+2=3,心 2，所以数列 尻 是以b i=2 为首项，以3 为公差的等差数列，所以与=2+3(n-1)=3n-1.(2)由(1)可得。2=3-1,尤N*,则。2-1=2-2+2=3(-1)-1+2=3-2,几22,当=1时，i=l 也适合上式，所以2-1 =3-2,nGN*,所以数列 即 的奇数项和偶数项分别为等差数列，10 x9则 的前 20 项和为。1+。2+.+20=(1+。3+19)+(。2+4+。20)=101-X3+101 QXQX 2+个=x3=300.18.（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A,3 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；2类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.己知小明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【解答】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100,则 P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32P(X=100)=0.8X0.6=0.48,所以X的分布列为：(2)由(1)可知小明先回答4类问题累计得分的期望为E(X)=0X0.2+20X0.32+100X0.48=54.4,X020100p0.20.320.48若小明先回答8类问题，记 丫 为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,so,loo,P(y=0)=1-0.6=04,P(y=80)=0.6X(1-0.8)=0.12,P(y=100)=0.6X0.8=0.48,则 y 的期望为 E(y)=0X 0.4+80X 0.12+100X 0.48=57.6,因为 E(r)E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答8类问题.19.(1 2分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知序=a c,点。在边AC上，BD sin Z ABC=a sinC.(1)证明：B D=b；(2)若 AO=2Z)C 求 cosN48c.【解答】解：（1）证明：由正弦定理知,bsinz.ABCsinZ.ACB=2R,：.b=2RsnZABC9 c=2RsinN4c8,序=ac,：.b2RsinZABC=2RsinZACB,即 bsin ZABC=asinCf*：BDsinZABC=asnC.:BD=b；(2)由(1)知班=(U：AD=2DC,2 I：.AD=b,DC=b,五八 ADnrh r+13f 工 田 左n BD2+AD2-AB2+(|fc)-c2 13b2-9c2在A8。中，由余弦定理知，cosZBDA=/1n-=-%-=-n28。/。2b 第 12b2在C 3O中，由余弦定理知，cosN3DC=就;产2=:+(*一 次一 io叱9Q2N8D4+N8)C=n,/.cos Z BDA+cos Z BDC=0,13b2-9 c2 10D2-9a2即 FT-+=0,得 1 1 Z?2=3C2+6(72,*.*b2=ac,.3c2-1 l c+6/=0,c 3a liki C 可 a,在ABC中,由余弦定理知,c o s Z C=-M+cZ-ac2ac7当 c=3 时，cosZABC=7；1(舍);o2 7当 c=可 Q时，cosNA8C=豆;7综上所述，cos ZABC=777.20.（12分）如图，在三棱锥A-B C D中，平面ABO _L平面BCD,AB=AD,。为8。的中点.(1)证明：OA_LC；(2)若OCO是边长为1 的等边三角形，点 E 在棱AO 上，D E=2 E A,且二面角E-B C-O 的大小为45,求三棱锥A-B C D 的体积.【解答】解：(1)证明：因为A 8=A O,。为 8。的中点，所以AOLB。，又平面48。_ 1_平面B C D,平面A8OA平面B C D=BD,4 0 u 平面BCD,所以AO_L平面5 C C,又 Cu平面BCD,所以 AO_LC。；(2)方法一：取 0。的中点F,因为OCO为正三角形，所以CFJ_OD,过。作 0M C F与B C交于点M,则 OM_L。，所 以 OM,OD,0A 两两垂直，以点0 为坐标原点，分别以OM,OD,0 A 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 B(0,-1,0),(?(空，0),D(0,1,0),设 4(0,0,f),贝应0,y),因为。4J_平面BC。，故平面BCO的一个法向量为扇=(0,0,t),设平面B C E的法向量为曾=(x,y,z),乂BC (-,0)BE=(0,g,等),所 以 由-t个-=。，得？JN _n(九 BE=0+y z =0令 x=6,则 y=-L z=p故几=(遮，-1,务因为二面角石-3。-。的大小为45,K riU 1j n-O A 2 4 2所以|cos=-q =亍，阿|。川 t 4+解得t1,所以0A ,又5AoeD=*x l x l x =亨，所以SABCD=苧，故匕-BCD=j -SABCD,0i 4=5XTX1=T,方法二：过 E 作 EFLB。，交 B D于点F,过尸作尸G_LBC于点G,连结EG,由题意可知，EF/A0,又 A0_L平面BCQ,所以EF_L平面8 8,又 BCu平面BCD,所以 EFJLBC,又 BCJLFG,F G Q E F=F所以BCJ_平面E F G,又 E尸 u 平面EFG,所以BCEG,则/E G F 为二面角E-8 C-。的平面角，即/E G F=45,又 C D=D 0=0 B=0 C=T,所以N 80C=120,则/O C B=N O 8C=30,故NBCQ=90,所以 FG/CD,DE因 为 而=DF EF 2OD AO 3Q 1 9贝!M 0 =5E尸，0/=与，DF=1,BF GF 1+4所 以 访=而 则G F=U-=9Q所以 E F=G F=(,则4 0=尹 F=l,所以匕-BCD=SABCD A 0=X X y/3 x l x l=.2 1.(1 2 分)在平面直角坐标系x O y 中，已知点F i (-V1 7,0),放(V1 7,0),点 M 满足|MF 1|-|K 尸 2 1=2.记M的轨迹为C.(1)求 C的方程;(2)设 点 7 在直线x=；上，过 T 的两条直线分别交C于 A,8两点和P,。两点，且I m-TB=TP-TQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.%2【解答】解：由双曲线的定义可知，M 的轨迹C是双曲线的右支，设 C的方程为9 一y2=l(a 0/b 0),%1,c=V1 7(a=1根据题意2 a =2 ，解 得 6 =4 ,=0 2 +匕 2l c =V1 7的方程为M 一 哈=1(X 1)；(2)(法一)设m),直线4B的参数方程为1%=2 +tcosdy =m+tsind将其代入 C 的方程并整理可得，(1 6C O S20 -s i n20)尸+(1 6 c o s 0 -2 m s i n 0)t-(m2+1 2)由参数的几何意义可知，|窃|=八，|7 8|=四，则 我2m2+12m2+12sin20-16cos20 l 17cos26,设 直 线P Q的参数方程为x =2 +s ，|TP|=入 ,|T|=入 2，同理可得，AtA2y =m+Asinp都+1 21 1 7 c o s 2 T依题意,m2+1 2i-i7cos2e 1 3 K,则 c o s 2 e=c o s 2 0，又 9W 0,故 C O S0=-c o s p,则 c o s 0+c o s p=O,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为 0.1-2勃)z1t)直线 A B 的方程为丫=%i(x -2)+3 A(x i，y i),B(X2，”)，设将直线A B方程代入C的方程化简并整理可得，(1 6 -七2)/一(k J -2块)%-,比 2+k】t t2 1 6 =0,由韦达定理有，X i +X 2=产tk1 1 6 我J+k 亡 亡 2 1 6%1%2=21 6-f cf又由/(%k1x1 +t)/T(,t)可得|4T|=J l +七2(%1 同理可得|B 7|=J l +k/N；),AT BT =(1 +k J)。一 l)(x2-1)=(1+3)，：1 2),r C i O1 1设直线尸。的方程为y =女 2。-5)+L P(%3，、3)，Q(%4，丫 4)，设42同理可得|P 7|Q7|=(1+3：)(产+1 2),卜 2-1 62 2又H 7|87 =|P 7|Q71，则:Z=匕 二 化简可得比2=七?，1 6 2 1 6又 依&2,则幻=-左2，即幻+依=0,即 直 线 的 斜 率 与 直 线 P。的斜率之和为0.22.(1 2 分)己知函数/(x)=x (1 -Inx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设“，。为两个不相等的正数，且 blna -a lnb=a -b,证明：2 v +：0,f(x)单调递增，xE(1,+8),f(%)1,先证 2 X I+X2，即证即证/(X 2)=f(xi)h(1)=0,故函数力(x)在(0,1)单调递增，：.h Cxi)h(1)=0.：.f(xi)/(2-xi),：.2f Ce-xi),令 cp (x)=f(x)-f(e-x),xE(0,1),则 8 (x)=-lnx(e-%),令 0,(p (x)单调递增，xG(刈，1),pf(x)0,/(x)0,且f (e)=0,故 xf。，5(0)0,0,A(p (x)0恒成立,x+x2 e 得证，i i则 2 V士 +：Ve.C L b