2022届全国新高考数学精准冲刺复习-利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）.pdf

2022届全国新高考数学精准冲刺复习利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）命题变化与趋势i .高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大2.考查内容主要体现在以下方面:考查函数的单调性、极值与最值;由不等式恒成立求参数的范围;函数与不等式综合，考查不等式的证问题3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养本文核心内容:I.利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.试卷第2页，共47页题型分析:一、分类讨论法证明或求解函数的单调区间1.(2021江苏省南菁高级中学高三月考)当函数(/?,b&R,6 0且6*1)的图像经过的象限个数最多时，则”的取值范围为()A.(0,；)B.(0,1)C.(l,+oo)D.(；+8)【答案】A【分析】令 g(x)=log%(&+1-人),h(x)=ax3-x2+4a,讨论 g(x)的取值和(x)的单调性，分a 0、。=0、al,则当x 40 时，g(x)20,x 0 时，g(x)0；若0 6 1,则当xVO时，g(x)0 时,g(x)0,2令A(x)=0,得到1=0或=.3a当a 0 时，函数人(x)在(-8,0)和(二,+8 上单调递增，在1。,二 单调递减.13a)L 3a由于(0)=4a 0,所以要使/(x)的图像经过的象限个数最多(4 个)，就需要卷)0,解得L故0 。/3 3当a=0时，在 R上，僦幻 0 且。时，f(x)的图像至多经过两个象限当。0时，函数(X)在和(0,+8)上单调递减，在|二,o 单调递增，由于I 3a)13a JA(0)=4 a 0,所以在x 0 时，h(x)0,则/(x)的图像至多经过3 个象限综上所述，0 a 0、0 时，-0,由曲勾 。可得x,；由V。可得0c,2所以g(x)在(-?,0)单调递增，在(0,|)单调递减，在 单 调 递 增,2所以g X)的极小值点为x =,a试卷第4页，共47页由题意可得g(2)=q(2)3(2)+1=0,解得a =2,此时a+/?=1 +2=1 ；当a-8时，/(X)_H O,不合题意；所以4+6 =1.故答案为：1.3.(20 21山东日照高三月考)设函数/(X)=x2+ax-3a2 I n x ,其中 I ER.(1)讨论/(X)的单调性;(2)当。0 时，若 y =/(x)的图像与直线)，=5/-3”没有公共点，求”的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(0,1)【分析】(1)先求出函数定义域，然后求出函数的导函数，分类讨论确定尸(x)0 和/(x)5 层-3a 可得结论.(1)f(x)定义域是(。,+8),4 3a2 2x2+ax-3a2(x-a)(2x+3a)f(x)=2x+a-=-=-，X X X若a =o,则/。)0,在(0,e)上是增函数,3 3若 0,则在 0 c x a 时，fx)一 一。时，fx)0 ,2 23 3/(x)的减区间是(。,-G a),增区间是(一 7 名+8)；2 2若 0,则在0 c 工 4 时，r a)o,的减区间是(0 M),增区间是(4E)；(2)由(1)。0 时，f Mmn=/()=2a2-3a2 I n a,x-女 时，/(x)-+o o,因此由题意 f(a)=2a2-3a2na5a2-3a,B|J awa+a-0,设g(a)=a l n a +a-l ,0 a l 时，na 0,a-l 0 f g(a)=o l n a+Q-l 1 时，l n 0,a-l 0,g(a)=a l n a +a-l 0,所以。的取值范围是(0,1).4.(2021山东滕州市第一中学新校高三期中)已知函数/(x)=(V m x m)e(1)求 f(x)的单调区间；(2)当机1 时，求证：对V x e(0,+o o),/(x)+e 0.【答案】(I)答案见解析(2)证明见解析【分析】求导=e (x+2)(x-帆)，分m=-2,m -2,加0,-(x+1)-2 时，由/(x)0,得x/n,所以“村 的增区间是(-?，2),(加,+?)，减区间是(-2,ni),当 加0,得x 2,所 以 的 增 区 间 是(-?，m),(2,+?),减区间是(加，-2)；(2)当m 4 1 时，：x 0,-(x+l)h()=-x-ex+e=gx),g(x)=e*(x 2+x-2)=e*(x+2)(x-l),当 g(x)0 时，x l,当 g(x)0 时，0 x 0.5.(2021山东德州高三期 中)已知函数x)=x e*+a(x+l)2(其中常数e =2.718是自然对数的底数).(1)当0时，讨论函数/(x)的单调性；(2)证明：对任意6,1,当x 0时，-x2+3x+l).【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出导函数(x),令(x)=0,解得x =l,x =l n(-2a),讨论。的取值，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.将不等式转化为 J +2a-3-a r-e 0 ,g(x=+2 a-a x-e,求出X X X Xg，(x)=(x 7)(：-0一 ),再 令/x)=，-q,利用导数求出g(x)的单调区间，从而得出 g(x)2g(l)=。，即证.(1)由 /(x)=(x +l)e +2a(x+l)=(%+1 乂,+2a),令r(x)=0,解得 =T,x =l n(-2a),当0,解得x-l,由/(0,解得l n(-2a)x -l,试卷第8页，共47页故 x)在(Y j n(2a),(1,内)上单调递增；在(l n(-2a),-l)上单调递减，当。=-，r(x)z ，/a)在R上单调递增；当a 0,解得x v 1或x l n(-2a),由/(x)0,解得一l x l n(-2a)故/(x)在(l n(-2a),T8)上单调递增；在(-l n(-2a)上单调递减，综上所述，当时，2e x)在(,l n(-2a),(-1,y)上单调递增；在(l n(-2a),-l)上单调递减,当。=-?,在R上单调递增；当a 0 时，要证f(x)-e f 2 a(d x 2+3x+l),e、a需证，F 2-ax-e N 0 ,x xg(x)=+2a-a x-e,x x则 g，(X)=(x f(：9 同,hx)=ex-a x-a,则(尤)=一。，因为x 0,a0,所以(工)(0)=1 之 0,所以工 0,1)时,，(力0,g(x)单调递增,所以g(x)2g(l)=0,即4 +2 4-3-o r-e 2 0,原不等式成立.X X6.(2021河南三门峡高三月考(文)己知函数 x)=l n-加 X,且0.(1)当4=1时，求函数“X)的单调区间与极大值；(2)当x l 时，g(x)=x)+2x 0 恒成立，求实数”的取值范围.【答案】(1)增区间为(0，g)，减区间为(最+)，极大值/(g =_ q _ l n 2(2)(0,1【分析】(1)当。=1时，求 得 广(工)=-仁 当 竺 ，根据导数的符号求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.(2)由题意g(x)=l nx-o r 2+(2-l)x,x w(l,4 o),求得g(x)=-匕竺工业-1 分-g 0 两种情况讨论，求得函数的单调性和最值，列出不等式，即可求解.(1)解：当。=1 时，函数/(x)=l nx-2 一%,x e(0,+o o)试卷第10页，共4 7页可得/(x)=l-2x-l =_2八1 _ _(x+l)(2 x-l),X X X令/(x)0,解得0 x ；,x)单调递增；令/(万)-r，曰，/、1 c 小 小(2o r+l)(x-l)可得g(x)=2ax+(2a-=-,当一 J 4 0,一 时，/(力 。恒成立，所以g(x)在,-三)上单调递减，在,+8)上是增函数，所以g(x)e(g(-?),+8),不符合题意；当”0 时，x e(l,+o o)时恒有g(x)0,故g(x)在(l,y)上是减函数，所以g(x)0 对任意x w(l,叱)都成立，只需g(l)W 0,即一 a+2a 1 W O,解得“4 1,故0 4 x2-2el+6 x+4.【答案】(1)答案不唯一，见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出函数导数，根据导数分，区0和。0两类讨论，即可求出函数单调区间；(2)原不等式等价于(x)=ex-l nx-2 0,分析函数有唯一极值点与，只需证明以修)0即可，结合零点可知9(%)=一+%-2,利用均值不等式可知最小值大于0,即可证明.(1)由题意知“X)的定义域为(0,+8).由已知得f(x)=+(8；a)x i =(8-2 1+1)当o MO时,/(x)0 J(x)在(0,+0时，令/(x)0,得x?；令/(x)0,得0 x 0,则”(同=6，一：，易知”(X)在(，+8)上单调递增，且 6)=血-2 0,所以9(x)在(川上存在唯一零点方,此时如)在(0,为)上单调递减，在优收)上单调递增，要证9(X)0即要证(毛)0,由e%_ L =0,得6。=,/二，7，代入xo 玉)e1 1试卷第12页，共4 7页夕（毛）=e%I n%-2,得 9（玉）=一+/一 2,xo因为/（%）=Fx0-2 2/玉）2=0 ,所以/（x）4 x2-2ev+6 x+4.8.（20 21天津南开中学高三月考）已知/（x）=QV 21nx,x w（0,e ,其中e 是自然对数的底数.（1）若八在x=l 处取得极值，求。的值；（2）求/（幻的单调区间；设 a 5,g（x）=-5 +l 吟，存在，w （0,e ,使得|/（再）（）|9 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）a=（2）答案见详解.（1,/）【分析】（1）先求导得到广（X）,令/（x）=0,解出。的值，并验证”的值是否满足极值的条件.（2）先求导（x）,然后对“分类讨论，判断尸（力的符号的正负，从而可得f（x）的单调区间.（3）把要求的问题：存在国，（。，使得|/（王）-8（W）|9成立，转化为“对于任意x e（O,e ”/（x L-g（矶）(.(X T),XX在区间(0,1)上，r(x)0,函数/(x)在X=1处取得极小值，因此a=1时符合题意./(%)=2ax-=-,x e(0,e,X X当。V0时，_f(x)0时,当 x j o,回I a)时，/(x)0,所以/(x)在区间上单调递减；在区间,e上单调递增;若 也N e,即则f(x)在区间(0,e上单调递减；ae综上所述，当0“4二，则/(X)在区间(。，4上单调递减.e当。/时，/(力 在 区 间0,*上单调递减；在区间*,e上单调递增.(3)当时，由(2)可知，当 工=乎 时，函数f(x)取得最小值，且乎=l+ln。；试卷第14页，共4 7页g(x)=-5 +l*，.函数g(x)在区间(0,e 上单调递增，x=e 时，函数g(x)取得最大值，且8 侬=g(e)=-4 T n a,.存在.eOe,使得/a)-g(x j 9 成立，必有对于x e(0,百，(切曲g (x)1J 9,|l +l n 6f-(-4-l n t?)|4,联立可得,I ,ed y解得e实数a的取值范围为(e W e 2)9.(2 0 2 1山东师范大学附中高三月 考)已知函数/(x)=xe、-a 1 5 +x a e R).(1)当a =l 时，求函数/(x)的极值；(2)讨论函数/(0(x l)的单调性.【答案】(1)极大值二,极小值02 e(2)答案见解析【分析】(1)当。=1时，=+求导，令尸(外=0 可得极值点和极值；(2)八 x)=(x+D(e*-a),对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出.(1)当Q=1 时，/(x)=xe 了+/(x)=ex+-(x+l)=(x4-l)(ex-l),令/(x)=0 得 了 =一 1 或 x=0.X(-00,-1)-1(TO)0(0,+8)+0-0十“X)/.x=_ 时，f(x)有 极 大 值=x=0 时，x)有极小值 0)=0.(2)J (x)=ex 4-加-a(x+l)=(x+l)(e -a),V x-l,x+l 0.(1)当a 0 时，有-a 0，当x l,Z(x)0,/(x)在(1,”)上单调递增.(2)当a 0 时，令/(x)=0,得x=l n .当In a M l,即0 0,e从而函数/(力 在(-1,转)上单调递增.当l n a 1,即工时，e当X(L l n a),/r(x)0,/(x)单调递增.综上，aw l时，x)在(l,4 w)上单调递增；e当时，在(-l,l n a)单调递减，在(In a,物)单调递增.10.(2 0 2 1广东湛江二H-中高三月考)已知函数/(x)=a r-l-l n x(a wR).(1)当a =l 时,求/(x)在(1J)处的切线方程；(2)讨论/(x)的单调性；【答案】(1)y=O 当“V O 时，/(X)在(0,)上单调递减，当a 0 时，f(x)在区间(0,：)上单调递减,/(X)在区间(5+8)上单调递增【分析】(1)求出/(X)在x=l 处的斜率，即可得出方程：(2)求出函数导数，讨论“V O 和a 0 两种情况，根据导数正负可得出.(1)当4 =1 时，f(x)=x-l-nx,则广(司=1一/,则/=0,又/(1)=0,故f(x)在。，/)处 的切线方程为y=0；(2)(2)函数/(x)的定义域为(0,+8),f，(x)=a-：=?，当“V 0 时，r(x)0 时，令/(x)=0,x=,ax e(0,1 时，r(x)0,4 x)单调递增，综上所述，当“V O 时，/(x)在(0,”)上单调递减，当”0 时，“X)在区间(0,)上单调递减，/(x)在 区 间+8)上单调递增.11.(2 0 2 1陕西武功县普集高级中学高三期中(文)已知函数1A x)=好一3 改一1,#0.(1)求人用的单调区间；(2)若人x)在 x=-l处取得极值，直线y=，与y=/(x)的图像有三个不同的交点，求，的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(-3,1)【详解】(l j/(x)=3 x2 3 =3(x2),当 a v O 时,对 x R,有，当时,兀0 的单调增区间为(-8,4-0 0).当。0 时，由/(力 0,解得X V 石 或 X 6 由 /(尤)。,解得一&v a，当。X)时 的 单 调 增 区 间 为(一8,一&),(&,+o o),单调减区间为(一6,&i).(2)二 兀 0 在冗=一1处取得极值,试卷第18页，共4 7页V(-l)=3 x(-l)2-3 a=0,1./(*)=丁一3 x 1,/(x)=3 f 3,由了(X)=O,解得 X 1=1,X 2=l.由(1)中4 0的单调性可知，+,+,令,+x+a =-(x-+a+；,分别讨论aW一；,a 0,解不等式机(x)0 或切(x)0 即可得单调增区间和减区间，进而可得单调性.(2)设g(x)=+；分别求/(X),g(x)利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求出g(x L 0,x x11，/、I ,a-x+X 4-6 Fg(X)=l +=-，X X-X令机(x)=-x 2+x+a =-(x-g)+a+；,当“W-；时，g(x)4 0 恒成立，此时g(x)在(O,+e)上单调递减，当 9 4 0 可得：l V i+4x +Vl+4,4 2)4 2 2所以g(x)在(o,匕 用 上 单 调 递 减，在(上 哼 至，匕 用 上 单 调 递 增，在1 +，+8 上单调递减，当。时，解不等式-9+卜。可得：上 p。r a -/-(l +V l +4i-上单倜速增，在-2 J I 2上单调递减,综上所述：当时，g(x)在(0,+8)上单调递减,当一:a 0 时，g(x)在 o,l+J；+4 上单调递增,在l+J；+4 收 上单调递减,(2)试卷第2 0页，共4 7页1 1-r由f（x）=l n x-%可得/（幻=一一1 =,X X由尸 0 可得O v x v l,由f（x）1,所以f（x）在（0,1）上单调递增，在（1，位）上单调递减，所以/（乩”=/（1）=如1 T =-1,所以（x）L=i，设g（x）=l+：,则（由 g 1x）0 即 l l n x 0 可得0 x e；由 g（x）0 即l-l n x e ,所以g （x）=+g在（0,e）上单调递增，在（e,大 ）上单调递减，所以 g（x）3=g（e）=+g =:+；l，所以g（x）1r ax W+g对任意的（0,+e）恒成立.13.（20 21湖北武汉高三月考）已知函数f（x）=a e+2x-l（1）讨论函数x）的单调性；（2）证明：对 任 意 的 当 0 时，f（x）x+ae）x.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导得r（x）=e +2,再对。分两种情况讨论得解;(2)欲证对任意的a2 1,a(e*-e x(x-l)2 成立，只需证e*-“Z(x-l)2,构造函数g(x)=e*-ex-(x-l)?,证明 g(x)0,即得证.(1)解：/(x)=ae*+2.当4*0 时，r(x)0,函数f(x)在 R 上单调递增；当。0 解得由 r(x)ln故/在,8,In d 上单调递增，在卜-1,+8)上单调递减.综上所述，当。2 0 时，f(x)在 R 上单调递增；当 0 时，/(x)在 8 “一|上单调递增，在上单调递减.(2)证明：原不等式等价于。ex”(x-令 g(x)=e*-e x,则 g(x)=e*e.当x l时，g(x)l 时，g(x)0.g(x)N g=0,即，一 ex 2 0，当且仅当x=l 时等号成立.当x=l 时，a(e*-)N(x-l)2 显然成立；当 x 0 且X HI 时，ex-ex0.欲证对任意的aN l,a(e、ex)(x-1尸成立，只需证/-exW(x-l)?g(x)=ex-e x-(x-l)2,g(x)=er-e-2(x-l)试卷第22页，共47页令/j(x)=g(x),/?(x)=e*_ 2,令/?(x)=0,x =l n 2x l n 2,/?,(x)l n 2,/?(%)0,g x)递增g(l n 2)=2-e-2(l n 2-l)=4=e-21n 2(0,g,()=3-0故存在x(e(O,l n 2),使g(为)=0又由 g(D =0,所以 0 x 0,g(x)递增，x()x l 时，gx)l 时，g(x)0,g(x)递增，又g(0)=0,g =0,故x 0 时，g(x)0.综上所述，结论得证14.(20 21全国高三课时练习)已知函数/(x)=(a r-l)e*(x 0,“e R).(1)讨 论 函 数 的 单 调 性；(2)当。=1时，/(x)依-2 恒成立，求整数4 的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)1.【分析】(1)求出函数导数后，分。三种情况讨论，即可求解函数单调区间;(2)分离参数可得/。恒成立,令M x)=(x T)e,+2 a 0),利用2导数求出函数M X mi n =()=,分 析 出 即 可 求 出 整 数 人 的 最 大值.(1)由 /(%)=(以 _ 1 户(1 0,4 w R)得/z(x)=a r-(l-tz)eA.当.2 1 时，:(力 0,故”力在(。,+8)上单调递增;当o a 解得*=y.故/(X)在 上 单 调 递 减，在(土 二 用 上单调递增;当。=。时,r(x)0,故f(x)在(0,+8)上单调递减.(2)原不等式等价于k o 恒成立.X人，/、(x-l)ex+2z n i I G2-x+l)ev-2z、令 h(x)=)-(x 0),则(x)=i-J-(%0)-令f(x)=，-x+l)e*2(x 0),则，(x)=x(x+l)e 0,所以f(x)在(0,+巧上单调递增.又0=，-2 依-2 恒成立，所以整数左的最大值为1.15.(2021黑龙江哈尔滨三中高三期中(文)己知函数/(x)=o r-l n x.(1)讨论函数A x)的单调性；(2)设a 0,当%0 时，满 足 )=/&),求 证：/(毛)+f (x J 0.【答案】(1)0,(0,|上减，(：,+8)上增；(2)证明见解析.【分析】(1)求导分两种情况当4,0 时，当。0 时，利用导函数的正负得到函数f(x)的单调性.I n (2)由/(%)=/(%)得 到 _ 玉，代入所求，化简得a-工 2 一%/(电)+/(%)=-(2 1 n -+),令.=乂，(r 1),4*(0 =2 1 n r-/+-(/l),X?X X X,X t求导分析单调性，最值，即可得出结论.【详解】(1)函数/(x)=o r-l n x,定义域为(0,+8),/(幻=丝 ，当a M O时，f(x)=a-0 时，/(x)=0 即5-1=0,所以x =L,a当0 x ，时，r(x)0,a a所以/(x)在(o,|上为减函数，在(：,+8)上为增函数.综上，当“V0 时，f (x)=a-0 时，/(x)在(0,5)上为减函数，在(一,+8)上为增函数.I n 强(2)由题意入2%0，由-I n=%-I n/,_ nx2-nxl _&所以/(/)+/(3)=_ +_ _ =2 内 +,将 _ X,代入得:AC,Cl X2-XlI n 技fef(x2)+f(x,)=2-小 也 又%为 0,x2-x x1x2所以I n 卫f(x2+f(xt)=2 工 _ A X =_L-gn王-迂+)=!n 三-J五)，x2-Xj XjX2 x2-Xj%西 电 x2-x1%X,马设“Q D,g(-3 1),则g(o=勺巴=一罕0所以g(。在(i,y)上是减函数,所以g(f)g(l)=0，即 2 1 n 三一卫+土 0,所以 r(x 2)+r(演)0在（0,2）上恒成立，故 X）在 0,2上为增函数，故函数/（x）在区间 0,2上的最小值为/（0）=/=8,故 =2 a.若 金3,则/（犬）0在（0,2）上恒成立，故/（X）在 0,2上为减函数,故函数/（x）在区间 0,2上的最小值为/（2）=/+4 +8=8,故“=7.若一3 a 0,则时，/（x）0,故x）在（0,-ga）上为减函数，在为增函数，故/（x）在 0,2上的最小值为/（-引=/+苗，设 g=4 +-,-3 a 0,则短（。）=a（a+2）0,故g（4）在（-3,0）为减函数，故0 g（a）0）当空0时，令/(外0,得 0 贡 VI,令/(x)l,J f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当。0 时，令/*)=0,得 X l=l,%2=-，2ai)当。=；时，1(力=(1)2 则/在(0,+g)上单调递增；H)当 时，令/(克)0,得0 x l；令/(x)V0,得-v x l,22a2a/(x)在(0.()和(1,+8)单调递增，在(，1)单调递减；，)当0 4 0,得 O V x -；令/(x)V O,得22a2a /*)在(0,1)和 咫+8)单调递增，在(弓)单 调 递 减；综上：当 时，/(X)在(0,1)上单调递增；在(1,+8)单调递减；力当4 时，/(X)在(0,+8)上单调递增；i i)当”g 时，f(x)在(0，巳 和(1,+8)单调递增，在()单调递减；沆)当0 “；时，”X)在(0,1)和(,+8)单调递增，在 单 调 递 减；1 8.(2 0 2 1 全国高三专题练习)已知函数f(x)=(x2-奴+1)炭.讨 论 x)的单调性.【答案】答案见解析【分析】求出函数的导函数，分“=0,0 三种情况讨论，根据导函数的符号，即可求出函数的单调区间.【详解】解：/(%)=2 +(2-a)x+l-a e =(x+l-a)(x+l)e，试卷第28页，共4 7页由/(x)=0,得士=-1,x2=-l,当“=0 0 寸，f(x)=(x+l)2，W0,，/(x)在 R 上单调递增；当。0,故 x)单调递增;在xw(a-L-l)有/(x)0,故 x)单调递增；当 0 时，在xe(Y ,-l)有/(x)0,故 单 调 递 增；在xe(T a-l)有/(x)0,故 x)单调递增；综上所述，当。=0 时，/*)在 A上单调递增；当a 0 时，“X)在(-8,-1)和(。-1,+8)上单调递增，在(1,4-1)上单调递减.19.(2021全国高三专题练习)设函数f(x)=l n x+?,g(x)=a x-3.求函数以司=x)+g(x)的单调递增区间.【答案】答案见解析【分析】求得“X)=a+l ；+l i),分。1 三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数夕(x)的单调递增区间.【详解】函数9(x)的定义域为(0,+8),(px)=ax+nx+-3),g、i，/、1 a-ax2+x-(a-(x+l)(a +l-)所以，(p(x)=a+-=-=-：-XX X X当 a 0,当0 v x 0,当1 1 时，0 ()0,0,且d(x)不恒为零，此时，函数9(x)的单调递增区间为(0,+力)，无减区间;当。1 时,由d(x)=0,可得 0,当0 x 时，e (x)?时，0.aa此时，夕(X)在(),一 上单调递减，在(?,+)上单调递增.综上可知，当“1 时，S(x)的单调递增区间是/,+8).2 0.(2 0 2 1 广西南宁模拟预测(文)已知函数/(切=吧，)在工=,处的切线斜率xe为以(1)求m的值;(2)已知 g(x)=o r 2-(2 +l)x,i z e R ,令尸(x)=(x)+g(x),求尸(x)的单调区间.【答案】(1)1;(2)答案见解析.【分析】(1)由已知得出/=2/,从而可求得实数机的值;(2)求得F (x)=(2 o x-l)(x-l)x对实数。的取值进行分类讨论，分析导数在(0,+8)上试卷第30页，共47页的符号变化，由此可得出函数F(x)的增区间和减区间.【详解】(1)因 为/(力=詈，则U(x)=0?nx)，则/g)=2斌=2/,解得机=1；(2)由题意，Fx)=xfx)+gx)=nx+ax1-(2a+)x,其中1 0,所以尸(x)=0+2 a r _(2 a +l)=2 a x2(2 a +)x+I =(2 a x-l)(x 1),其中X X X当a W O时，2奴一1 V。，所以当工(0,1)时，x-l 0,函数b(力单调递增，当x l,4 8)时，x-l0,此时尸(%)0时，令F(X)=(2-T)(XT)=O,解 得 芭=(,X2=l,1-2若则当X(0,1)U1一+8)时，此时广(力 0,即函数F(x)的单调递增区间为(0,1)、当时，此时(x)。，即函数，(x)单调递减区间为(I,*)；(i i)当(=1即a =g时，此时F(x)N 0,且F(x)不恒为零，函数尸(x)在(0,+8)单调递增；(i i i)当*0,即函数*x)单调递增递增区间为(0七)、(l，y),当彳小媒 时，此时尸(x)；当0 a 0 时，解/(x)m i n=-l na)=“即可判断结果.a【详解】(1)定义域为 R,f(x)=e(a e -2)+e*aex=2ae2-2 eA=2 e*(a e*-义当a VO时，r(x)0 时，由 /(X)=0 得x =-l na ,若x v-l na 时，(x)-l na 时，f (x)0；则/(x)在(f,-I na)上单调递减；在(-I na,小功上单调递增；(2)不存在.试卷第3 2 页，共4 7页理由如下:当a V O时，x)0时，则“X)在(-o o,-l na)上单调递减；在(-I na,位)上单调递增;解了今加-卜。，得 。，与”。矛盾，无解.综上可知，不存在实数。使得了(X)2 0恒成立.22.(2。如四川高三月考(W)已知函数x_*2,(1)试讨论X)的单调性;(2)求证:4 8 1 2+I n 2 I n 3 I n 44n,H-l n(+l)l时，f(x)0,即 l n x 2(D,从而得到火 一1)2(+1),即可得到x +1 I nn /4 x 1 4 x 2 4 x 2 4 x 7 2 x 3,2 x 4,2 x 5,-0,/(即“0,/(X)在(0,+8)上单调递增7-1 0 ,当 即。2时，由f+(2-2 a)x +l =0得6Z-1 0X1 =a 2 a，/=a 1 +Ja-2 a ,止 匕 时 x2 X 0,所以/(x)在(O,x J上单调递增，在(玉,马)上单调递减，在(七,+8)上单调递增综上所述：当时，/)在(0,+8)上单调递增,当a2时，/(*)在(0,3)上单调递增，在(%,%)上单调递减，在(9，长。)上单调递增(2)由(1)知当a =2时，函数/(*)在(0,+8)上是单调增函数,且当x l 时，f(x)l)=l nl-芈2=01 +1EHJ II nx 2-(-x-1-)-=2-(-x-1)-4-(-x-1)-4-(-/-?-1)-、2,nN.rix +l I nx I nx I n/z 当=2,3,，时,但2 x 3,丑2 x 4,生2 x 5,，土 土2(+2),l n2 I n 3 I n 3 l n(n+l)将上个不等式相加得4 8 1 24-+-+-+-I n 2 I n 3 I n 4 l n(n+1)2 3 +4 +5 +(/?+2)=2 xn(3+2)2=(及+5)4 8 1 24 即-+-J-1-+-I n 2 I n 3 I n 4 l n(+l)0(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当6=时，求使f(x)2 0在区间 0,+o o)上恒成立的的所有值.【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)近.2【分析】试卷第34页，共47页(1)求导，分2 0,。0讨论求解即可得答案;I p 1 e(2)根据题 意 得 进 而 得 了在 区 间-上单调递减，在区间(一皿丁,内)a 2a a 2a上单调递增，故根据题意得/(x)min=-(eln2a-2/)2 0,即eln2-2/2 0 ,再令2ag(a)=e ln 2 a-2/,a w(0,l,研究函数最值即可得答案.【详解】(1)由题意得f(x)=ae+A,a 0,当6 2 0 时，/(%)0,则f(x)在区间(r。,田)上单调递增；当b0,解得x L n(-。)，令/(x)0,解得x 0 ,；/。)2 0 在区间0,+)上恒成立，A/(0)=l-0,.,.0 a 0,即 e In 2a-2a2 0.2a设 g(a)=eIn 2。-2a2,ae(0,l,则 g,(a)=-4a=-,a a令g)=0,得。=立，2 g(。)在区间()，)上单调递增，在区间(系,1上单调递减，g(a)ma x=g()=0，.g(a)n w x4 0在区间(0,1上恒成立，当且仅当“=立 时，g(a)=0,2，满足不等式e l n 2a-2a 2 2。的。的值为也.2综上，使f(x)2 0在区间 0,+8)上恒成立的。的所有值为立.2)1 Z：24.(2021辽宁高三月考)已知函数/()=彳3-(2。+1)/+4 +5“2.(1)讨论/(*)的单调性；(2)若，(x)只有1个零点%,且与0,求“的取值范围；(3)当。=-!时，是否存在正整数A,使得关于x 的方程|助11幻+/(8$)|=4有解？如4果存在，求出A的值；如果不存在，说明理由.一 1 1 7【答案】(1)答案不唯一,具体见解析；(2),y)；(3)存在；k=.【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后讨论其单调性即可；(2)首先确定函数的单调性，然后分类讨论求解关于。的不等式组即可求得的取值范围；(3)由函数的解析式将/(s in x)+/(c o s x)进行变形，然后求解其取值范围即可确定是否存在满足题意的实数h【详解】解：(1)fx)=2x2-2(2a+l)x+4a=2(x-l)(x -2a),当a =g时，r(x)=2(x-l)L 0,所以/(x)在R上是增函数；当 a 0 ,解得 x 1 ；2令f (x)；时，令/(x)0 ,解得x 2a ；试卷第36页，共47页令r(x)0,解得l 0且Xf所以/（X）只有1个零点,且与 （）,符合题意;当“彳时，需要满足:2/(0)0,即/(D016 2 n a 031 6 2 c 1 c+2。033解得a 一!或:a 0,38 3 28一a 十 aI 3 31 7解得不。01 1 7综上所述，a的取值范围是（Y，-$U（%今；I o i i(3)当。=-时，=2 3 3 1 2 2 2/(s in x)+/(c o s x)=(s in-x+c o s-x)-(s in x+c o s-x)-(s in x +c o s x)+=-(s in x +c o s x)(s in2 x -s in x c o s x+c o s2 x)-(s in x+c o s x)+3 2 32 2 1=(s in x+c o s x)(-s in x c o s x)-(s in x+c o s x)+3 3 62 2 1=(s in x+c o s x)(-s in x c o s x-l)+-=-(s in x +c o s x)(1 +2 s in x c o s x)+-=-(s in x +c o s x)3+=-s in3(x +)+,3 6 3 4 6因为s in(x +f)e -1,1,所以|/区118)+/()仁 0,4自+3 4 3 6因为I 述+1 2,所以存在&=1,使得关于x的方程(s in x)+/(c o s x)|=Z有解.3 625.(2021河南高三月考(理)己知函数/。)=；/+2/+奴+1(。6/?).(1)求函数/*)的单调区间；(2)若/)有两个极值点为，x2,设点4(不 5)，fi(x2,/(x2),直线4 3 与x=l 的交点在曲线y=/(x)上，求实数”的值.【答案】(1)答案见解析；(2)-5.【分析】(1)先对函数进行求导，然后对。进行讨论，推出函数的单调性即可；(2)先表示出极值点的坐标，进而表示出直线A B的方程，求出交点坐标，最后代入原函数即可求出答案.【详解】(1)f x)=x2+4 x +=(x +2)2+一4,当2 4时，/(x)0,/(x)在R上单调递增；当。4时，令/(x)=0,解得 =-2_4-61 ,&=-2+，4-,当X V X 1或时，尸(%)。，当耳X 时，/(x)v 0,综上可知，当时，/(x)的单调递增区间是(f,+8),无单调递减区间；当4时，的单调递增区间是(-c o,2 和卜2+o o),单调递减区间是(-2-44-a,-2+j 4-a).(2)由(1)知，当。4时，/(%)有两个极值点玉二一2 ,x2=-2+y4a,试卷第38页，共4 7页且满足 X；+4工 +=（）,x；+4%+=（）,即 工：=-4工 一。，2=-4X2-a,所 以/(%)=：玉(-4X1 _。)+2(-42)+办+1=xi+-|i-8%1-2 a+l4 2=-(-4 -a)+ax1-胱-2a+l=2 8a 3 32 王一铲+1,同理/（马）2 8 a 3 3-3所以直线A B 的方程为y=（|”2与x=l 的交点坐标是（1,一 不3；3 35 1 a,把x=l,y=耳代入y=/(%)=耳工+2厂+ox+l,解得。=一5,故实数。的值为-5.26.（2021福建三明市第二中学高三月考）已知函数/。）二6-Inx,g（x）=*+3 x,其中4E R.（1）求/（幻的极值；（2）若存在区间M,使/（X）和g（x）在区间M 上具有相同的单调性，求。的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）（-O O,-3）U（0,-HX）.【分析】（1）求 的 导 函 数，讨论参数。并判断了（刈的符号，确定了。）的单调性，进而求极值.（2）利用导数研究g（x）的单调性，结合 中 的 单 调 区 间，判断了（九）和g（x）是否存在相同的单调区间，求的取值范围.【详解】（1）函数/（X）的定义域为（0,+?）,/（x）=a-p当“V0时，函数f（x）在（0,+?）上单调递减，从而f（x）没有极大值，也没有极小值.当a 0 时，令/(x)=0 得x =L