2017下半年北京教师资格高中数学学科知识与教学能力真题及答案.pdf

2017 下半年北京教师资格高中数学学科知识与教学能力真题及答案一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1.A0B1C2D3参考答案：参考答案：D D参考解析：2.当 xx0 时，与 xx0 是等价无穷小的是（）参考答案：参考答案：A A参考解析：3.下列四个级数中条件收敛的是（）参考答案：参考答案：D D参考解析：4.下列关于椭圆的叙述：平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆；平面内到定直线和直线外的定点距离之比为大于 1 的常数的动点轨迹是椭圆；从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆的另一个焦点；平面与圆柱面的截面是椭圆。正确的个数是（）A0B1C2D3参考答案：参考答案：C C参考解析：平面内到两定点的距离之和等于常数(常数大于两定点之间的距离)的动点轨迹是椭圆，错；平面内到定点和定直线(定点不在定直线上)距离之比为小于 1 的常数的动点轨迹是椭圆，对；正确；平面与圆柱面的截面可能是长方形、圆、椭圆，错误。故选 C。5.下列多项式为正定二次型的是（）参考答案：参考答案：B B参考解析：二次型正定的充要条件是它对应的矩阵的顺序主子式全大于零。对四个选项的二次型所对应的矩阵逐一验证即可。下面只给出 B 选项中二次型的验证过程。6.已知随机变量 X 服从正态分布 X(，2)，假设随机变量 Y=2X-3，Y 服从的分布是（）AN(2-3，22-3)BN(2-3，42)CN(2-3，42+9)DN(2-3，42-9)参考答案：参考答案：B B参考解析：XN(，2)，Y=2X-3，则 E(Y)=2E(X)-3=2-3，D(Y)=D(2X-3)=4D(X)=42，故 YN(2-3，42)。7.“等差数列”和“等比数列”的概念关系是（）A交叉关系B同一关系C属种关系D矛盾关系参考答案：参考答案：A A参考解析：“等差数列”和“等比数列”的外延中都包含常数数列，因此属于交叉关系。8.在集合、三角函数、导数及其应用、平面向量和空间向量五个内容中，属于高中数学必修课程内容的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个参考答案：参考答案：C C参考解析：导数及其应用和空间向量均属于选修课程内容。二、简答题(本大题共 5 小题，每题 7 分，共 35 分)9.(1)求子空间 V3 的维数;(3 分)(2)求子空间 V3 的一组标准正交基。(4 分)参考解析：10.据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有 60是本专业考生，有 40是非本专业考生，其中，本专业考生的通过率为 85，非本专业的考生的通过率是 50。某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。参考解析：11.在平面有界区域，由连续曲线 C 围成一个封闭图形，证明：存在实数，使直线 y=x+平分该图形的面积。参考解析：12.给出“平行四边形”和“实数”的定义，并说明定义方式。参考解析：平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。定义方式为属加种差定义法。实数：有理数和无理数统称为实数。定义方式为外延定义法。13.简述向量的数量积运算与实数的乘法运算的区别。参考解析：(1)运算对象不同：向量的数量积运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向；实数运算的对象是实数，只涉及大小。(2)运算律不同：向量的数量积运算与实数乘法运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、分配律，且运算结果均为实数，但实数的乘法运算满足消去律，向量的数量积运算则不满足；实数乘法运算中若 a 不等于 0，且 ab=0，则 b=0，但在向量数量积运算中若 a0，且ab=0，则有两种情况 b=0 或 ab。(3)运算的意义不同：向量曲的数量积表示的几何意义为|a|b|cos，实数运算并不具备几何意义。三、解答题(本大题 1 题,10 分)14.x 轴旋转一周，所成旋转曲面记作 S。(1)在空间直角坐标系下，写出曲面 S 的方程;(6 分)(2)求曲面 S 与平面 x=0 所围成立体的体积。(4 分)参考解析：(2)求益面 S 与平面 x=0 所围成立体的体积有两种方法:利用旋转体体积公式有，四、论述题（本大题 1 小题，15 分）15.数学的产生与发展过程中蕴含着丰富的数学文化。(1)以“导数及其应用”教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化；(6 分)(2)阐述数学文化对学生数学学习的作用。(9 分)参考解析：(1)数学史知识的渗透。学生在学习高中数学导数知识的时候，由于导数是一个全新的概念，不同于在小学就有所接触的方程等知识。因此，学生对于导数的历史比较感兴趣，教师可以利用这一点对学生进行数学史知识的渗透，告诉学生导数的由来、发展和在实际生活、工作中的应用。这样就可以调动学生的积极性，撇去导数知识的枯燥乏味，使之变得有趣。数学思想方法的渗透：a极限思想。在导数部分主要体现在函数的连续性、导数的计算、以及定积分内容上。b数形结合思想。数形结合在导数以及应用部分的主要表现是对函数图象的分析与求解。函数图象是导数的主要研究对象之一。要求证函数的解析式就必须进行数形结合。数学思维方式的渗透。在导数部分主要的数学思维方式有两种：观察法和归纳法。比如观察法在人教版中，导数及其应用部分主要培养了学生的观察能力。教材利用三个不同维度的观察使得学生思考导数的概念、导数的运算、导数的应用及它们之间的关系。归纳法是从特殊到一般再到特殊的过程，在人教版教材中主要体现在x 趋于 0 的计算。(2)有利于激发学生的学习兴趣。数学文化给学生带来的不仅仅是数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等，还包括数学思想、数学意识、数学精神等。在教学中可以适当的对学生进行数学文化的教育，如利用数学家的故事、数学问题的发现等内容，以此来激发学生的学习兴趣。有利于培养学生的创新意识和探索精神。新一轮数学改革的理念中强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数学思维能力也是当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。有利于发展学生的数学应用意识。数学文化的意义不仅在于知识本身，它的内涵还在于它的应用价值。数学源于生活，其理论的核心部分都是在人类社会的生产、生活实践之中发展起来的。因此，教学中我们应当有意识地结合学生已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系，增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。五、案例分析题（本大题 1 小题，共 20 分）16.下列是两位教师在“复数概念”中引入的教学片段。【教师甲】为了解决 x2-2=0 在有理数集中无解，以及单位正方形对角线的度量等问题，在初中，已经把有理数集扩充到了实数集。x2+1=0 在实数集中有解吗?类比初中的做法，我们如何做呢?看来又需要扩充数集。数学家引入了 i，使 i 是方程式 x2+1=0 的一个根，即使得 i2=-1。把这个新数 i 加到实数集中去，就会得到一个新数集，记作 A，那么方程 x2+1=0 在 A 中就有解 x=i 了。【教师乙】16 世纪，意大利数学家卡尔达诺在解决“求两个数，使其和为 l0，积为 40”时，认为这两个数是“5这样我们就引入了一个新数。这节课我们学习了复数的表达式 a+bi(a，bR)，当然，复数还有其他表达法，后续的学习中我们会学习到。问题：(1)请分析这两位老师教学引入片段的特点；(12 分)(2)复数还有三角表达法，请简述三角表达法的意义。(8 分)参考解析：(1)甲教师引入的设计思路是温故知新，带着学生回忆初中时在已知数系中遇到解决不了的问题时，处理方法是引入新数来扩充数集。类比得出高中遇到实数范围内解决不了的问题时，也应该想到引入新数的方法来扩充数集，并解决问题，进而引入新课。这样做能够让学生通过复习旧知来获得解决问题的方法，对学生解决问题的能力有一定的提高，但该教师的设计方案有些缺乏趣味性。教师乙采用数学史导入新课。这种导入既丰富了教材中的素材又丰富了教学内容，同时激发了学生的兴趣，调动了学生学习复数的积极性，引发了学生的数学思考。能使学生认识数学、理解数学，最终学好数学，体会到数学源于生活并应用于生活。有利于激活学生的思维，使学习变成一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。(2)复数的三角表示法为 z=r(cos+isin)(r0)。这样表示的意义如下：复数的三角表示法是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的。复数的三角表示形式可以解决三角函数相关的问题。六、教学设计题(本大题 1 小题，30 分)17.某位教师设计高中数学必修内容“分层抽样”的教学目标为：通过实例，了解分层抽样的特点、适用范围及分层抽样的必要性，掌握分层抽样的操作步骤；体会分层抽样、简单随机抽样及系统抽样的区别和联系，提升整体把握知识的能力。基于上述内容，完成下列任务：(1)基于教学目标，设计一个实例，总结分层抽样的步骤，并说明设计意图；(21 分)(2)基于教学目标，简要说明随机抽样、系统抽样以及分层抽样各自的特点及适用范围。(9 分)参考解析：(1)实例：假设某地区高中生 2400 人，初中生 10900 人，小学生 11000 人。此地区教育部为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取 1的学生进行调查。你认为应当怎样抽取样本?分层抽样的实施步骤如下：根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；根据总体中的个数 N 和样本容量 n 计算抽样确定第 i 层应该抽取的个体数目。按步骤中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为 n 的样本。设计意图：通过对实例的探究引导学生体会：不同的年龄阶段影响近视的因素是不一样的，利用简单的随机抽样不具有代表性。所以调查者应利用事先掌握好的各种信息对总体进行分层，这可以保证每一层一定有个体被抽到，从而使样本更具有代表性。对小学、初中、高中抽样个数的探究，体会含有个体多的层在样本中的代表也应该多，即样本从该层中取的个体数也应该多。该样的样本才更具有代表性。在整个探究过程中，根据简单随机抽样和系统抽样的基础，提升学生对分层抽样的理解。感受分层抽样的必要性以及它的特点。通过实例以及问题的引导，提高学生对分层抽样步骤的理解，提升对分层抽样适用范围的理解。(2)简单随机抽样。优点：操作简单易行。缺点：适合总体个数较少，当总体个数较多时，不快捷。“搅拌均匀”也比较困难，容易导致样本的代表性差。适用范围：总体的个数不多时。系统抽样。优点：简单易行；当对总体结构有了一定的了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样效率；当总体中的个体存在一种自然编号(如生产线上产品的质量监控)时，便于实行系统抽样法。缺点：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差。适用范围：总体个数较多时。分层抽样。优点：根据总体几个部分的明显差异，按照比例进行抽取样本，样本的代表性高。缺点：总体的几个部分差异不明显时不适合使用分层抽样。分层抽样需要和简单随机抽样或系统抽样方法结合使用。适用范围：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。