2021年中考数学复习：与等腰三角形相关的二次函数综合型压轴题解题技巧（含练习题及答案）.pdf

2021年中考数学复习：与等腰三角形相关的二次函数综合型压轴题解题技巧方法提炼：1、设出点坐标，利用等腰三角形的性质求边长；2、当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论：当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在.用以上方法即可找出所有符合条件的点。典例引领：例：如图，直线y=3 x+3 交 x 轴于点A,交 y 轴于点B,过 A、B 两点的抛物线交x 轴于另一点 C(3,0)o求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使A A B Q 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。y.解：抛物线的解析式为：y=*2+2x+3 y T 该抛物线的对称轴为x=l。设 Q 点坐标为(1,m)-y U-X-当 AB=AQ 时 Q 点坐标(1,6),或(L -6)；*|：当 BA=BQ时 解得：m=0,m=6,Q 点坐标为(1,0)或(1,6)此点在直线AB上，不符合题意应舍去；当 QA=QB时 解得：m=l,Q 点坐标为(1,1).抛物线的对称轴上是存在着点Q(l,6)、(1,-6)、(1,0)、(1,1)跟踪训练:第1页 共4 4页1 .抛物线 =以2-4奴+3 a交x轴于点&C两点，交y轴于点A,点。为抛物线的顶点，连接A B、A C,已知 A B C的面积为3.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为?，过 点P作P Q A C交y轴于点Q,AQ的长度为d,求d与加的函数关系式；(3)在(2)的条件下，当4=4时，作。NJ _ y轴于点N,点G为抛物线上一点，4 G交线 段 于 点M,连接若 A M N是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标.2 .如图，抛物线y=-H-L+c与x轴交于A,8两点，且点B的坐标为(3,0),与y3 3轴交于点C,连接A C,BC,点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点尸的横坐标为 a,过点P作x轴的垂线，交A C于点Q.(1)求A,C两点的坐标.(2)请用含的代数式表示线段P Q的长，并求出a为何值时P Q取得最大值.(3)试探究在点尸运动的过程中，是否存在这样的点。，使得以8,C,。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，抛物线y=a?+b x+3交x轴于点A (-1,0)和点B (3,0),与)，轴交于点C.第2页 共4 4页(1)求抛物线的解析式；(2)连接B C,若点尸为线段8 c上的一个动点(不与点以 点C重合)，过点P作直线P N_ L x轴于点N,交抛物线于点M,当 B C M面积最大时，求 B P N的周长.(3)在(2)的条件下，当a BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 C N Q为等腰三角形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.4 .在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+%x+c经过点A、B、C,已知A (-1,0),C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)如 图1,P为线段B C上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D,当C O P为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)如图2,抛物线的顶点为E,E F _ L x轴于点尸，N是直线E F上一动点，M (m,0)是x轴一个动点，请直接写出C N+M N+1 M B的最小值以及此时点M、N的坐标.25.图1,抛物线与x轴交于A (-1,0),B(3,0),顶点为。(1,-4),点尸为y轴上第3页 共4 4页一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)在y轴的负半轴上是否存在点P,使 8 O P是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图2,点M(-m)在抛物线上，求的最小值,6.如图，直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=-经过8,C两点，与x轴另一交点为A.点尸以每秒、历个单位长度的速度在线段8 C上由点B向点C运 动(点P不与点8和 点C重合)，设运动时间为f秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)如图，过点P作y轴垂线交)，轴于点M连接MN交8 c于点。，当肥=工时,NQ 2求t的值；(3)如图，连接AM交8 c于点。,当P D例是等腰三角形时，直接写出f的值.第4页 共4 4页7.在平面直角坐标系中，二次函数y=a，+&v+c(aW O)的图象与x轴的交点为A (-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3),顶点为。，其对称轴与x轴交于点(1)求二次函数解析式：(2)连接4 C,AD,C D,试判断 A O C的形状，并说明理由；(3)点P为第三象限内抛物线上一点，a A P C的面积记为S,求S的最大值及此时点P的坐标；(4)在线段A C上，是否存在点R使A A E尸为等腰三角形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.第5页 共4 4页8.抛物线y=o?+6 x+我 分 别 交x轴于点A (1,0),8(-3,0),交y轴于点C.抛物线的对称轴/与x轴相交于点D,直线A C与抛物线的对称轴/相交于点P.(1)请直接写出抛物线的解析式和点。的坐标；(2)如 图1,点M为线段O C上的动点，点N为线段A C上的动点，且M N L 4 C,在点M，点N移动的过程中，是否有最小值？如果有，请求出最小值；(3)以点C为旋转中心，将直线A C绕点C逆时针旋转，旋转角为a(0 =工2+版+c与y轴交于点C,与X轴相交于A,8两点，点4的坐标为2(2,0),点C的坐标为(0,-4).(1)求该抛物线的解析式；(2)点。是线段B A上的一动点，点E为线段A C上一动点,若始终保持N A Q E=ZABC,连 接C Q,求a C Q E的面积S关于点Q的横坐标m的函数关系式；(3)若点。为O B的中点，点M是线段B C上一点，当 O M O为等腰三角形时，直接写出点M的坐标.10.已知：如图，抛物线丫=办2+公+3与坐标轴分别交于点A,B(-3,0),C(1,0),点P是线段A B上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线解析式：(2)当点P运动到什么位置时，B AB的面积最大？(3)过点P作x轴的垂线，交线段A B于点O,再过点P作 片 轴交抛物线于点,连接O E,请问是否存在点P使 为 等 腰 直 角 三 角 形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.第7页 共4 4页11.抛物线y=-Z +c 与*轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，顶点为C,对称轴交9x 轴于点。，点 P 为抛物线对称轴C O 上的一动点(点P 不与C,。重 合).过 点 C 作直线 P B 的垂线交尸8 于点E,交 x 轴于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)当 PCF的面积为5 时，求点P 的坐标；(3)当/(7/为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y jM+b x+c与 x 轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，且抛物线经过点。(2,3).(1)求这条抛物线的表达式;(2)将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G 在 x 轴上.原抛物线上一点M 平移后的对应点为点N,如果AMN是 以 为 底 边 的 等 腰 三 角 形，求点N 的坐标；(3)若点P 为抛物线上第一象限内的动点，过点3 作 2 E L O P,垂足为E,点。为)，轴上的一个动点，连接QE、QD,试求QE+Q力的最小值.第8页 共4 4页1 3.如图，菱形ABC。在平面直角坐标系中，边 A 8在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，AB=10,ta n/D 4 B=2,抛物线经过点8、C、D.3(1)求抛物线的解析式；(2)直线E F与 BC平行，与抛物线只有一个交点，求直线E尸解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使aP B C 是以BC为腰的等腰三角形？若存在直接写出P 点坐标，若不存在说明理由.第9页 共4 4页参考答案1.分析：(1)-4 or+3a交x轴于点8、C两点，交)，轴于点A,则点8、C的坐标分别为：(1,0)、(3,0),点 A(0,3a),AB C 的面积=工4 3乂。4=工 x 7 X3a=3,2 2即可求解；(2)P Q平行线于A C直线，其表达式设为：y -x+b,设点P(i,m2-4/n+3)(m 2),将点尸的坐标代入上式，即可求解；(3)d=4时，点 尸(4,3),设点G (,2-4 n+3),直线P C的函数表达式为：y=2 r-5，直线A G的函数表达式为：尸(-4)x+3，联立并解得：x=-,6-n故点 M-I L-5),A N=A M,即 4+9=(旦)2+(旦-8)2,即可求解.6n 6n 6-n 6-n解：(1)丫=/-4+3。交x轴于点8、C两点，交y轴于点A,则点B、C的坐标分别为：(1,0)、(3,0),点4 (0,3a),AB C 的 面 积=工8*0 4=工 x I?x 3a=3,解得：a=,2 2故抛物线的表达式为：y=-4 x+3；(2)点 4 (0,3),点 C (3,0),D(2,-I),则P Q平行线于A C直线，其表达式设为：-x+b,设点 P(m,，2-4?+3)(z 2),将点P的坐标代入上式并解得：b m2-3 m-3,则”=4。=|巾2 -3刑(w 2)；(3)当 d=4 时，|3-3?|=4,解得：扰=4或-1 (舍去-1),故点P(4,3),第 1 0 页 共 4 4 页设点 G（，层一4 +3）,点。（2,-1）,则点 N（0,-1）同理可得：直线尸。的函数表达式为：y=2 x-5 ，直线A G的函数表达式为：y=（”-4）x+3，联立并解得：x=旦，故点M （旦，工_-5）,6 n 6-n 6-n点 A（0,3）、点 N （0,-1）,AN=AM,即 16=(-?-)2+2,6-n 6-n解得：=或4,3故点G （竺 -5）或（4,3）.3 9点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，其 中（2）,要注意分类求解，避免遗漏.2.分析：（1）将点8的坐标（3,0）代入抛物线解析式可得出c=4,解方程_ X2X+4=0,3 3得 11=3,X2=-4,则 A (-4,0)；（2）求出直线A C的解析式=-x+4,设 尸（处4421 4+4），则点。（小。+4）,3 3则PQ可用a表示，由二次函数的性质可求出PQ的最大值;（3）分BC=BQ、BC=CQ、C Q=B Q三种情况，分别列得出方程求解即可.解：（1）把点B的 坐 标（3,0）代入抛物线解析式y=x 2x+c得，3 3-9 -l+c=0,解得：c=4,令 y=0,则-jx+E O，o o解得 X1=3,X2=-4,第1 1页 共4 4页(-4,0),C(0,4)；(2)VA (-4,0),C (0,4),设直线A C的解析式为y=kx+b,.J-4k+b=0,I b=4.fk=l,lb=4直线A C的解析式y=x+4,点P的横坐标为，P(a,1 424+4)，则点Q(。，+4),3 3,尸。=-4 a 2-a+4-(a+4)=o o o o；a 2 a=(a +2 )+-3 3 3 3；.a=-2时，P Q有最大值国；3(3)存在，理由：点 A、B、C 的坐标分别为(-4,0)、(3,0)、(0,4),则 B C=5,AB=7,AC=4-/2 Z O A C=Z OC A=45 ,_ 4将点8、C的坐标代入一次函数表达式：y=，x+并解得：(m-万,n=4直线B C的 解 析 式 为 产-当+4,3设B C的中点为“，由中点坐标公式可得”(色，2)，.过8 c的中点”且与直线B C垂直直线的表达式为：y=34 8 当B C=B。时，如 图1,第1 2页 共4 4页：B C=B Q=5,设：Q M=A M=，贝ij B M=7 -n,由勾股定理得：（7-）2+/=2 5,解得：=3或4 （舍去4）,故点。i（-1,3）；当B C=C Q时，如 图1,A C Q=5,则 A Q=A C -C Q=4&-5,.8-5 7 2Q M=A M=,0/5 I-8-5 y2 .,Q2（下-2 ），当C Q=B Q时，联立直线A C解析式yx+4和yx+-4 8解得x=-空（不合题意，舍去）,2综合以上可得点。的坐标为：。（-1,3）或（等 内，生 苧 ）.点评：主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.3.分析：（1）由A、8两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）先求出直线B C的解析式，设 尸（x,-x+3）,则-/+2 x+3）,求出B C M面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理可求出的周长；第1 3页 共4 4页(3)由(2)可知0)，设。(1，。)，由两点间的距离公式可分别表示出C。,Q N2,C N2,若ACNQ为等腰三角形，可分CQ=QM C Q=C N、QN=CN三种情况考虑,由此可得到关于的方程，解方程求出符合题意的坐标即可.解：(1)由题意可得：(a-b+3=019 a+3 b+3=0解得，aflb=2抛物线解析式为=-X2+2X+3；(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b,则有：(3 k+b=0l b=3，解得：上1,lb=3二直线BC的解析式为：y=-x+3.设 P(x,-x+3),则 M(x,-J?+2X+3),：.P M=(-/+2 x+3)-(-x+3)=-/+3 x.1 o.SzBCM=S尸=(X8 一 XC)=手 儿,C DC M_ 3,2 r j 3 /3 s 2 2 f.5A B C M-(-X+3X)-F(XF)R，.当x=3 时，BCM的面积最大.2此时 p(3,S),2 2：.PN=ON=3-,2：.B N=O B -O N =3 -3=3,2 2第 14页 共 4 4 页在 RtZXBPN中，由勾股定理得：返，2CmCN=BN+PN+PB=3+a ZZ2，当BCM的面积最大时，BPN的周长为3+3返；2（3）由（2）知尸点坐标为（3 3）,2 20）.y=-/+2x+3=-（x-1）2+4,抛物线的对称轴为x=l,设 Q（1,a）,：C（0,3）,N 弓，0）,；。2=尸+（3“）2,CN2=（J）2+32 Q N2=（l-j）2+a2若CNQ为等腰三角形，可分三种情况：当 CQ=QN时，l+（3_a）2V）2+a2,解得：8.点。的坐标为（1,号）,当 CQ=CN时，1+（3_）2 1+9，解得：6 7 =3+返 L一 2，点。的坐标为（1,3-Y*），（1，3+Y*），第1 5页 共4 4页当 Q N=C N时，（1 e）2+2 2=（1_）2 +3 2,解得：a=Vi i-.点。的坐标为（1,小五），（1 -VT i）综合以上可得点。的坐标为（1,3）或（1,3 -返I）或（1,3+返1）或（1,VT i）8 2 2或（1 ,VT 1）点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质及分类讨论思想等知识.把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键.4.分析：（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设PQ t,3 7）,即可得。-P+2/+3）,即 可 求 得 的 长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）如图2,构造B G与x轴成3 0 角，将 转 化 为 线 段M到B G的距离，从而可2知C、M、N、B在同一条直线上时，C N+M N+L w B取最小值，根据C G的长和/C G B2=6 0 即可求出最小值.根据直线8 G求出直线C解析式，即求出MN坐标.解：（1）:抛 物 线），=-/+x+c经过点A、B、C,把A（-1,0）,C（0,3）代入解析式得，.f-l_b+c=0lc=3解得 6=2,c=3.故该抛物线解析式为：y=-，+2 x+3.(2)令-f+2 x+3=0,解得x i=-1,X23,第1 6页 共4 4页即 B(3,0),设直线B C的解析式为y=h+b ,则(b=3 ,l 3 k+bz=0解得：(k=-l ,l b=3故直线B C的解析式为y=-x+3；设尸 C t,3 -t),：.D(r,-?+2 z+3),:.PD=(-P+2/+3)-(3 -r)=-P+3 r,；O B=O C=3,.BO C是等腰直角三角形，：.Z OC B=45 ,当 C D=PC 时，则 N C P O=Z C DP,；PZ)y 轴，：.Z C PD=Z OC B=45a,A Z C D P=4 5 ,：.Z PC D=9 0,直线CD的解析式为y=x+3,解尸+：得 卜=。或 卜=1,y=-x2+2 x+3 l y=3 l y=4：.D(1,4),此时 P(1,2)；第1 7页 共4 4页当 C C=P O 时，则 N O C P=N C PQ=4 5 ,：.Z C D P=9 0Q,.C Q x 轴，点的纵坐标为3,代入 y=-x+2x+3 得，3=-/+2 x+3,解得x=0或x=2,此时 P（2,1）；当 PC=PD 时，,:P C=0，二 加-金+3 3解得f=0或t3-a,此时 P（3 -a）；综上，当 ）尸为等腰三角形时，点尸的坐标为（1,2）或（2,1）或（3-&,7 2）.（3）C N+M N+1 M B的最小值为+3，N坐 标 为（1,3-M坐标 为（圾,0）.2 2理由如下：如图，取G点坐标为（0,-）,连接BG,V B（3,0）,直线B G解析式为：y=Y2 x-V ，3；.t a n/G 8 O=返，.*.N G BO=3 0。，3过 M 点作 M B _ L BG,第1 8页 共4 4页CN+MN+IMB=CN+MN+B M,2.CN+MN+UB取最小值时，C、M,N、B 在同一条直线上，2即 CB,LBG,设直线C 8 解析式为了=飞/1 乂+1 ,VC（0,3）故直线C B 解析式为为y=-x+3,:抛物线的顶点为E 坐 标 为（1,4）,EFJ_x轴，N在EF、C B 上，.N坐 标 为（1,3-愿），M Cm,0）是x 轴一个动点，也是C 8 与x 轴交点，：.M（V3-0）.VCG=3+V3-ZCGB=60,：.CB=CGsinNCGB=（3+）X返=色 巨 坦，2 2综上所述：CN+MN+Lw8的最小值为名叵型，N 坐标为（1,M 坐标为（花,2 20）.第1 9页 共4 4页图1点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识.此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.5.分析：（1）由已知抛物线顶点。可设抛物线顶点式，再把点A代入即求得二次项系数a的值.（2）由点8、。坐标可求BZ）的 长.设 点P坐 标 为（0,力，用f表示BP?,D P1.对BP=B D、三种情况进行分类讨论计算，解方程求得f的值并讨论是否合理.（3）由点B、C坐标可得N BC O=4 5 ,所以过点P作B C垂线段P Q即构造出等腰直角 PQ C,可得P Q=P C,故有M P+返PC=M P+PQ.过点M作B C的垂线段M”，2 2根据垂线段最短性质，可知当点M、P、。在同一直线上时，M P+-P C=M P+P Q=M H2最小，即 需 求 的 长.连 接M 2、MC构造 BC M,利用y轴分成 BC D与 C D M求面积和即得到A B C历面积，再由S&B C M=k c,M H即求得M H的长.2解：（1）.抛物线顶点为。（1,-4）设顶点式为y=a （x -1）2*4V A（-L 0）在抛物线上.*.4 6;-4=0,解得：a=l.抛物线的解析式为=（X-1）2-4=7-2%-3第2 0页 共4 4页(2)在y轴的负半轴上存在点尸，使BE)尸是等腰三角形.,：B(3,0),力(1,-4)L B*(3-1)2+(0+4)2=2 0设y轴负半轴的点P坐 标 为(0,f)G V 0)：.B P2=32+P,DP2=12+(t+4)2若 B P=B D,则 9+=2 0解得：“=。五(舍 去)，t2=-Tn r D P=B D,则 1+(r+4)2=2 0解得：1=5/19-4(舍去),t2=-5/19-4若 BP=P,则 9+P=l+(r+4)2解得：f=-1综上所述，点尸坐标为(0,-J T I)或(0,-0-4)或(0,-1)(3)连接M C、MB,M B交y轴于点),过点P作PQ_ LBC于点Q,过点仞作于点”,；x=0 时，y=7 -2x-3=-3：.C(0.-3)B(3,0),Z B OC=9 0，NO BC=NO CB=45 ,B C=3&V Z P 0 C=90第2 1页 共4 4页，Rt Z PQC 中，s i n/B C O=返一PC 2，尸。=乎PC；.M P+P C=M P+P Q:MH1.BC 于点、H，当点M、P、。在同一直线上时，MP+VM (-3,w)在抛物线上2：.m(-3)2 -2义(-旦)-3=旦2 2 4：.M(-3,且)2 4设直线M B解析式为y=kx+b(1(39 kfV+b=7 解得：J33k+b=0 b=y直线 M 8：=-工+32 2二.M B与y轴交点。(0,3)2.c n=3-(-3)=旦2 2.SBCM=SBCD+SCDM=-C D,BO+CD,XM=CD,CXH-XM)=_Lx2X (3+3)2 2 2 2 2 2V:SM C M=LC，MH2第2 2页 共44页：.MH=2 X等3V227V28点评：本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，解二元一次方程组和一元二次方程，垂线段最短定理.求线段和最小值时，一般利用特殊三角函数应用把含有系数的线段长进行转换，再利用三点成一直线或垂线段最短性质得到最短路径的位置，进而计算.6.分析：(1)求直线y=-x+4 与 x 轴交点8,与)，轴交点C,用待定系数法即求得抛物线解析式.(2)根据点8、C 坐标求得NOBC=45,又尸轴于点E,得到2功 是等腰直角三角形，由 P B=g 求 得 B E=P E=t,即可用/表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m表 示 点M纵坐标，求 得M P的 长.根 据M P/C N 可证AMPQSANC Q,故有坦出，把用r 表示的MP、NC代入即得到关于r 的方程，求解即得到f 的值.NC NQ 2(3)因为不确定等腰PQM的底和腰，故需分3 种情况讨论：若M D=M P,则=NMP)=45,故有/)MP=90,不合题意；若 D M=D P,则=45,进而得A E=M E,把 含 f 的式子代入并解方程即可；若 M P=D P,则/尸 皿=A P D M,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得CDF进而得CF=C.用，表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与 y 轴交点F的坐标，即能用t 表示CP的长.把直线AM 与直线BC解析式联立方程组，解得x 的值即为点。横 坐 标.过。作)，轴垂线段。G,得等腰直角C D G,用。G 即点。横坐标，进而可用f 表示CO的 长.把 含 f 的式子代入C F=C D,解方程即得到/的值.第2 3页 共4 4页解：(1)直线y=-九+4中，当x=0时，y=4：.C(0,4)当 y=-x+4=0 时，解得：x=4：.B(4,0)抛物线y=-+bx+c经过B,C两点.j 16+4b+c=0 解得：,b=3l0+0+c=4 I c=4，抛物线解析式为=-/+3x+4(2)YB(4,0),C(0,4),ZBOC=90：.OB=OC：.ZOBC=ZOCB=45轴于点 E,PB=y：.ZBEP=90.RtZXBEP 中，sin/P8E=鸣PB 2:.BE=PE=PB=t2:.XM=XP=OE=OB-BE=4-t,yp=PE=t.点M在抛物线上.yM=-(4-t)2+3(4-力 +4=-p+5rMP=yM-yp=-?+4/PNLy轴于点N第2 4页 共4 4页，/P N O=Z N O E=NPE O=9 0 四边形O N P E 是矩形：.ON=PE=t：.N C=O C-O N=4-tY M P/C NJ X M P Qs X N C Q.MP J Q l 而 而 至-t2+4t 1 -=4-t 2解得：n=!，7 2 =4(点 P 不与点C 重合，故舍去)2./的值为工2(3)V Z PEB=90,B E=P E:.NB PE=NPB E=45.NMPO=NBPE=45 若 M D=M P,则N M O P=N M P D=4 5./O MP=90,即轴，与题意矛盾若 D M=D P,则/D M P=/MPO=45 NAEM=90：.A E=M Ey=-/+3 x+4=0 时，解得：x i =-1,X2=4第2 5页 共4 4页(-1,0)由(2)得，XM=4-f,ME=yM=-P+5t：.AE=4-t-(-1)=5-/.*.5-r=-?+5r解得：t=,Z2=5(0 /4,舍去)若 M P=DP,则如图，记AM与y轴交点为R过点。作。G_Ly轴于点G/CFD=/PMD=/PDM=NCDF：.CF=CDVA(-1,0),M(4-/,-?+5/),设直线 AM 解析式为/./-a+m=,解得：(a-ka(4-t)-h n=-1+5 t I m=t，直线 AM：y=tx+t：.F(0,t)：.CF=OC-OF=4-t*tx+t=-x+4,解得：x=I t+1DG=XD=-t+1VZCGD=90,ZDCG=45：.C D=JP G=4r).t+1.4 7=&(4-t)t+1第2 6页 共4 4页解得：ty/2-1综上所述，当 PO M是等腰三角形时，/=1或-1.点评：本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据.7.分析：(1)二次函数表达式为：ya(x+3)(x -1)a(f+2 x -3),则-3 a=-3,解得：a=,即可求解；(2)由故 AO C为直角三角形；(3)S=1 尸H X0 A=3(-x-3-7-2 x+3)=-3(x+旦)2+ZL,即可求解；2 2 2 2 8(4)分A E=E F、AE=AF、A F=E F三种情况分别求解即可.解：(1)二次函数表达式为：ya(x+3)(x -1)a(7+2 x-3),则-3 a=-3,解得：a I,函数的表达式为：y=x+2x-3；(2)由(1)知，点。(-1,-4),A C=3&,CD=a,A O=J(_I+3)2+(_ 4)2=倔,：.AD2=A C1+C D2,故 AD C为直角三角形；(3)过点P作P“y轴交A C于点H,第2 7页 共4 4页图2将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线4 c的表达式为：y=-x-3,设点尸(x,f+2 x-3),则点 H(x,-X-3),S=LPHX(-x -3 -/-2 x+3)=-3(x+3)2+Z L,2 2 2 2 8当x=-3时，s最大值为2工，此时点p(-3,-至)；2 8 2 4(4)；0A=0C=3,.NO AC=NO C A=45 ,当AE=E F时，如下图，图34E F为等腰直角三角形，AE=2=E F,.点F(-l,-2)；第2 8页 共4 4页 当 AE=AF时,同理可得：点 尸(-3+-A/);当 4尸=后 尸 时 ，同理可得：点 F(-2,-1 )；故点 F 的坐标为：(-1,-2)或(-3+J,-&)或(-2,-1).点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其 中(3),要注意分类求解，避免遗漏.8.分析：(1)用待定系数法即求得抛物线解析式；用顶点坐标公式即求得对称轴直线，得到点D 坐标.(2)求 点 C 坐标，利用三角函数求得/0 C 4 的度数.由MN垂直AC可把4C转化为2M N,所以当点。、M、N 在同一直线上时DW+LWC=OM+MN,根据垂线段最短，可知2过点。作。尸 _LAC于点八 此时为。M+MN最短.求NOAC的度数，利用三角函数即求得。尸的长.(3)求直线BC解析式，把 x=l代入即求得点E 坐标，进而得QE的 长.由 NPD4=90,ZPAD=600利用三角函数求得尸。的长，进而得PE的长，求得PE=2E).求直线AC解析式，求点P 坐标，进而求PC的长.设抛物线上的点。坐 标 为 G,-J-t2-(fW O),根据两点间距离公式即能用f 表示PQ?,C Q2.由cP。为3 3等腰三角形分三种情况讨论两腰相等，即列得关于/的方程，求解得/的值即得到点Q坐标.解：(1).抛物线 旅 过 点 A(1,0),B(-3,0)(a+b+V3=019a-3b+V3=0第2 9页 共4 4页，抛物线的解析式为：y=-3 32a2-对称轴为直线：工=-一=-12*(苧：.D(-1,0)(2)在 M,N 移动的过程中，D M+L/C 有最小值.2如 图 1,过点。作。FL AC于点F：.C(0,A/3)VA(1,0)在 RtZA OC 中，tan Z O C A=更=-L.=返0C V 3 3A Z OCA=30 MN AC,即 NMNC=902DM+1MC=DM+MN2当点 、M、N 在同一直线上时，D M+，C=D M+M N=D F最小2VZO AC=90-Z OC A=6 0.在 RtDAF 中，sin/O A C=1L”lAD 2第3 0页 共4 4页.)尸=4。=返X (1 +1)=如2 2:.DM+1MC的最小值为F(3)P E=2 E D,理由如下：设直线BC的解析式为y=kx+h.卜3 k h 0解得J k当M lb=V 3.直线BC的 解 析 式 为)=返 计 我，3:对称轴为直线：X=-1,点E在对称轴上.点 E (-1,3：.D E=?-3V Z P D A=90 ,Z PAD=6 0：.在 Rt勿。中，t an N Q 4 C=F RAD V S:.PD=2 累：.PE=PD-D E=2 M -2叵=J.3 3：.PE=2E D设直线A C解析式为y=c x+把点A(1,0)代入得：c+=0,解得：c=-5/京直线 AC：y=-小+M第3 1页 共4 4页直线AC与对称轴：直线x=-1的交点为尸：.P（-1,2百）PC=、F +（2禽-“）2=2,/点。在抛物线上设点。坐 标 为（f,-鱼？-织 3+我）（岸 0）3 3；.PQ2=（r+i）2+（-2愿）2,CQ2=P+（-日-）2i）若 P Q=P C,如图2垂直平分CQ-QE=CE=1,yQ=yc=,f2，Q（-2,V 3）zz）若 PQ=CQ,则（f+1）2+（-J t2-+弧-2愿）2=尸+（-J l j2-H a+禽3 3 3 3-M）2解得：t -2,t i-1：.Q（-2,如）或（-1,3沆）若 P C=C Q,则+（-与2-醇1+禽-M）2=43 3解得：f=-2；.Q（-2,V 3）综上所述，当CPQ为等腰三角形时点Q 的坐标分别为（-2,我），（-1,延）.3第3 2页 共4 4页图1点评：本题考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，特殊角三角函数，垂线段最短，两点间距离公式，等腰三角形的性质.求线段与线段的几分之一的和的最小值，通常需要对几分之一线段长进行转换，再利用三点共线或垂线段最短等相关定理找到最小值时的位置.9.分析：(1)将点4、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求二次函数解析式解答；(2)先求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式求出Sz x AB C,设Q(，0),表示出Q A,再 判 断 出 然 后 根 据 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 表 示 出SMQE,再根据SAQCE=SMQC-SM QE整理得到关于m的函数关系；(3)分 当。历时，D O=D M=D B=2,N O B C=NBMD=45 ,再求出 例=9 0 ,然后写出“点的坐标；当。时，过点M作M N L O。于点N,根据等腰三角形三线合一的性质可得点N为。的中点，求 出 W=O N=1,B N=B D+D N=3,再 根 据 为 等 腰 直 角 三 角形求出M N=B N=3,然后写出M点的坐标；当0。=。何时，根据 O B C为等腰直角三角形求出点O到B C的距离，然后与相比较判断出不存在.解：(1)将点 A (2,0),C(0,-4),分别代入 y n M+Z ur+c,2第3 3页 共4 4页2+2b+c=0,lc=-4解得：(b=l,lc=-4 抛物线的解析式为y=/x 2+x-4；(2)令 y=0,BpJLr2+x-4=0,解得 x i=-4,xi=2,2 ,点 8(-4,0),AB=2-(-4)=2+4=6,SzsABC=48 O C=/x 6X 4=12,设。点坐标为Gn,0),贝ijQA=2-m.?ZAQE=ZABC,：.QE/BC,：.AQES2XABC,AAQE z 2-m、2-=(-)AABC 6,SAAQE=f(2-m)2,119SMCE=S QC-SQ E=j(2-m)芳 义(2-m)*=-l 2 J.83 m 3私为(3)OM。为等腰三角形，可能有三种情形：当。M=DO 时，DO=DM=DA=2,所以，NOBC=NBMD=45,第3 4页 共4 4页所以，NB DM=9 0 ,所以，M 点的坐标为（-2,-2）；当M D=M O时，如图，过 点M作M N 1.0 D于 点N,则 点N为 0 D的中点,：.DN=ON=,B N=B D+D N=3,又 为 等 腰 直 角 三 角 形，:.MN=B N=3,点的坐标为（-I,-3）；当 OO=OM 时，0 8 C 为等腰直角三角形，点0到BC的 距 离 为 返 X 4=2 加，2即 8c上的点与点。之间的最小距离为2&,2加 2,的情况不存在，综上所述，点M的坐标为（-2,-2）或（-1,-3）.点评：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，三角形的面积，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，注意等腰三角形根据腰长的不同分情况讨论.第3 5页 共4 4页1 0.分析：(1)用待定系数法即可求抛物线解析式.(2)设点尸横坐标为h过点尸作P F)，轴交A 8于点F,求直线A B解析式，即能用f表示点F坐标，进而表示P F的长.把物B分成外尸与M B F求面积和，即得到%B面积与f的函数关系，配方即得到，为何值时，应B面积最大，进而求得此时点P坐标.(3)设点尸横坐标为r,即能用f表示P C的长.根据对称性可知点P、E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用f表示点E横坐标，进而用f表示P E的长(注意点P、E左右位置不确定，需分类讨论).由于尸D E要成为等腰直角三角形，N D P E=9 0：所以尸。=尸旦 把含t的式子代入求值即得到点P坐标.解：(1),抛物线丫=/+灰+3 过点3(-3,0),C(1,0).f9a-3b+3=0 解得：卜=-1Ia+b+3=0 lb=_2二抛物线解析式为y=-x2-2x+3(2)过点P作轴于点，交A B于点F；x=0 时，)，=-/-2x+3=3(0,3)直线A 8解析式为y=x+3；点P在线段A B上方抛物线上.,.设 P(r,-12-2r+