2021年四川省乐山市中考数学真题试卷（学生版+解析版）.pdf

2021年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1.（3 分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2 元记作+2,支出5 元 记 作（）A.5 元B.-5 元 C.-3 元 D.7 元2.（3 分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试,并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）类型健康亚健康不健康数 据（人）3271A.32 B.7 C.J D.A10 53.（3 分）某种商品机千克的售价为 元，那么这种商品8 千克的售价为（）A.血（元）B.旦（元）C.还（元）D.上（元）m 8m n 8n4.（3 分）如图，已知直线八、/2、/3两两相交，H/1 1/3,若 a=50 ,则 p的度数为（）C.1 40 D.1 50 5.（3 分）如图，已知直线A：y=-2元+4 与坐标轴分别交于4、3 两点,那么过原点。且将AAOB的面积平分的直线1 2的解析式为（）C.=当2D.y=2,x6.（3 分）如图是由4 个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90 后,其主视图是（)7.（3 分）七巧板起源于我国先秦时期，古 算 书 周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如 图 1 所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意 为“来自中国的拼图），图 2 是由边长为4 的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的 腿（即阴影部分）的面积为（）8.（3 分）如图，己知点尸是菱形48C。的对角线AC延长线上一点，过点P 分别作A。、力 C 延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若N4BC=120,4 8=2,则 PE-P尸的值为9.（3 分）如图，已知OA=6,OB=8,B C=2,与。&4 8 均相切，点尸是线段AC与抛物线），=&?的交点，则a的 值 为（)2 210.（3 分）如图，直 线/1与 反 比 例 函 数（x 0）的图象相交于A、8 两点，线段43x的中点为点C,过 点 C 作 X轴的垂线，垂足为点。.直 线/2过原点。和点C.若直线/2匕存在点P（?，），满足则胆+的值为（）A.3-近 B.3 或 C.3+旄 或 3-遥 D.3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11.（3 分）（2 0 2 1-T T）=.12.（3 分）因式分解：4a2-9=.13.（3 分）如图是根据甲、乙两人5 次射击的成绩（环数）制作的折线统计图.你认为谁的成绩较为稳定？（填“甲”或 乙”）14.（3 分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A点的仰角为3 0 ,她朝石碑前行5米到达点力处，又测得石碑顶4点的仰角为6 0 ,那么石碑的高度A B的长=米.（结果保留根号）D B1 5.（3分）在R t z M B C中，N C=90 ,有一个锐角为6 0 ,A B=4.若 点P在直线A 2上（不与点A,8重合），且/P C 8=3 0 ,则C P的长为.1 6.（3分）如图，己知点A （4,3）,点B为直线y=-2上的一动点，点C （0,）,-2n3,A C，B C于点C,连接A 8.若直线A B与x正半轴所夹的锐角为a,那么当s i n a的值最大时，的值为.三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.1 7.（9分）当x取何正整数值时，代数式2至与军工的值的差大于1.2 31 8.（9分）如图.已知A B=D C,Z A=Z D,4 c与 相 交 于 点。，求证：N O B C=N O C B.四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.2 0.(1 0分)已知关于x的一元二次方程/+x-t=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求?的取值范围;2 1.(1 0分)某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬.学校德育处随后决定在全校1 0 0 0名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动.张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图.(1)求这组数据的平均数和众数；(2)经调查，当学生身上的零花钱多于1 5元时，都愿捐出零花钱的2 0%,其余学生不参加捐款.请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？(3)捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从2 2.(1 0分)如 图，直线/分别交x轴、y轴于A、8两点，交反比例函数y=K (&W 0)的x图象于P、Q两 点.若 A B=2 B P,且 A O B的面积为4.(1)求k的值；(2)当点P的横坐标为-1时，求 P O Q的面积.五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.2 3.（1 0分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标），随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0 x 1 0和1 020时，图象是线段：当2 0 W xW 45时，图象是反比例函数的一部分.（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要1 7分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36?请说明理由.2 4.（1 0分）如图，已知点C是以4 B为直径的半圆上一点，。是A 8延长线上一点，过点。作B O的垂线交A C的延长线于点E,连结C D,且（1）求证：C D是OO的切线；（2）若 ta n N O C E=2,BD=1,求。的半径.E六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.2 5.(1 2分)在等腰 A B C中，A B=A C,点D是B C边上一点(不与点8、C重合)，连结A D.(1)如 图1,若/C=6 0 ,点。关于直线A 8的对称点为点E,连结A E,D E,则N 8 D E(2)若N C=6 0 ,将线段4。绕点A顺时针旋转6 0 得到线段A E,连结B E.在图2中补全图形；探究C D与B E的数量关系，并证明；(3)如图3,若 组 收 =%,且试探究B E、B D、A C之间满足的数量关B C D E系，并证明.2 6.(1 3分)已知二次函数)，=0?+法+,的图象开口向上，且经过点A (0,_ 1),8(2,-/).(1)求6的 值(用 含 的代数式表示)；(2)若二次函数在1 W x 0）的图象相交于A、8 两点，线段A8x的中点为点C,过 点 C 作 X轴的垂线，垂足为点。.直 线/2过原点。和点C.若直线/2上存在点尸（?，），满足则”?+的 值 为（）A.3-75 B.3 或3 C.3+泥 或3-泥 D.32【分析】如图，作 A B Q的外接圆。/,交直线/2于P,连接A P,P8,则N AP B=N AO B满足条件。想办法求出点P的坐标，可得结论。【解答】解：如图，作 4 B O的外接圆OJ,交直线/2于P,连接A P,PB,则N AP B=N AO B满足条件。由题意 A(l,3),8(3,1),：AC=BC,，C(2,2),.,C x 轴，工(2,0),.4 0=在与=标48=必曰=2加班=行不=加，：.N 4B O是直角三角形，是AO的中点，心3),2 2.直线OC的解析式为y=x,/.尸(?,)，；P J=JA ql远0尸 虫 区_ 2 2.0尸=逅逗2 2加=3-祈2 22 2 _；.!+=3 -泥，此时尸(3 -返，2-近)，2 2 2 2根据对称性可知，点尸关于点C的对称点尸(旦+在,3+后)，2 2 2 2.*.w+n=3+V&综上所述，的值为3+旄 或3-旄，故选：C.【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题：本大题共6 个小题，每小题3 分，共 18分.1 1.(3 分)(2 0 2 1 -TT)=1.【分析】直接利用零指数基的性质计算得出答案.【解答】解：(2 0 2 1-1 1)=1.故答案为：1.【点评】此题主要考查了零指数累，正确掌握零指数基的性质是解题关键.1 2.(3 分)因式分解：4 a 2-9=(2 a+3)(2 4-3).【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.【解答】解：4/-9=(2 a+3)(2 a-3).故答案为：(2 a+3)(2 a 3).【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.1 3.(3分)如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩(环数)制作的折线统计图.你认为谁的成绩较为稳定？甲 (填“甲”或“乙”)【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案.【解答】解：甲 的 平 均 成 绩 为=7+6+9+6+7=7,乙 的 平 均 成 绩 为=5+9+6+7+8x甲 5 x乙 5=7,，甲的方差为5甲2=1.2,乙的方差为s/=2,5 甲2 s 乙I甲的成绩较稳定.故答案为：甲.【点评】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差.14.（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30 ,她朝石碑前行5米到达点。处，又测得石碑顶A点的仰角为60 ,那么石碑的高度A 8的 长=_ 且 _ 米.（结果保留根号）D B【分析】设石碑的高度A B的长为x米，R t A B C和R t a A B。中，分别用含x的代数式表示B C和80，用。=5列方程，即可解得X,得到答案.【解答】解：设石碑的高度A 8的长为x米，R t Z X A B C 中，BC=二扇,tan30R t Z A B Z）中，BD=勺，tan60 v3,:CD=5,:BC-BD=5,即-=5,V 3解得故答案为:【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是用含x的代数式表示8 C和15.（3分）在R t A A B C中，Z C=90,有一个锐角为60 ,A B=4.若 点P在直线AB上（不与点4,B重合），且N P C B=30,则CP的 长 为2或巧.【分析】分NABC=60、NABC=3 0 两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.【解答】解：(1)当/A B C=6 0 时，则 8C=2AB=2,当点P 在线段A 8 上时,:NPCB=30,故 CP_LAB,则 PC=BCcos30=2 义 返=；2当点P(P)在 4 3 的延长线上时,ZP CB=30,NA8C=60,则BC为的等腰三角形则 BP=BC=2,(2)当/A B C=30 时，同理可得，P C=2；故答案为2或依【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键.16.(3 分)如 图，已知点A(4,3),点 B 为直线y=-2 上的一动点，点 C(0,)，-2n3,4(7,8(7于点。，连接4 8.若直线AB与 x 正半轴所夹的锐角为a,那么当sina的值最大时，的 值 为 1 .一2一【分析】当 si n a 的值最大时，则 t a n a=幽 值 最 大，即当BG 最大时，si n a 的值最B N B N大，设 8 G=y,由 t a n/C A M=t a n/B C G,得 到 =-工（-3）（n+2）,进而求解.【解答】解：过点A作 AM，），轴于点M,作 ANLBN交于点N,:直线 y=-2x 轴，故N A B N=a,当 si n a 的值最大时，则 t a n a=&_-值最大，B N B N故 3N最 小,即 8 G 最大时，t a n a 最大，即当8 G 最大时，si n a 的值最大，设 B G=y,则 A =4,G C=n+2f C M=4 -，V ZA CM+ZMA C=90 ,Z A C M+Z B C G=9 0Q,:/CA M=/B CG,t a n Z C AM=t a n Z B CG,AC M =B G)即 4-n 二 y ,A M C G 4 n+2、y=-(n -3)(n+2),4:-A1,先去分母，然后通过2 3移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可.【解答】解：依题意得：x+3-2 1;2 3去分母，得：3（x+3）-2（2 x 7）6,去括号，得：3x+9-4x+26,移项，得：3x-4x6-2-9,合并同类项，得：-x -5,系数化为1,得：x0即可列不等式得到答案；(2)根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案.【解答】解：(1)一元二次方程/+x-m=0有两个不相等的实数根，.,.0.即 l+4 w 0,：.m-A；4(2)二次函数y=/+x-m图象的对称轴为直线产-工，2.抛物线与x轴两个交点关于直线x=对称，2由图可知抛物线与x轴一个交点为(1,0),另一个交点为(-2,0),，一元二次方程/+x -m 0的解为x i=l,X 2 -2.【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性.2 1.(1 0分)某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬.学校德育处随后决定在全校1 0 0 0名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动.张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图.(1)求这组数据的平均数和众数；(2)经调查，当学生身上的零花钱多于1 5元时，都愿捐出零花钱的2 0%,其余学生不参加捐款.请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？(3)捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从【分析】(1)由加权平均数和众数的定义求解即可；(2)把零花钱多于1 5元的列式计算即可；(3)画树状图，共 有1 2种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8利 再 由 概 率公式求解即可.【解答】解：(1)这组数据的平均数=5 X 1+1 0 X 3+1 5 X 4+2 0 X 6+2 5 X 1+3 0 X 3+4 0 X=2 0 5（元），1+3+4+6+1+3+2 ，其中2 0 元出现的次数最多，这组数据的众数为2 0 元；（2）调查的2 0 人中，身上的零花钱多于1 5 元的有1 2 人，估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1 0 0 0 X&X 2 0 X 2 0%+1 0 0 0 X _Lx 2 5 X2 0 2 02 0%+1 0 0 0 X 2 X 3 0 X 2 0%+1 0 0 0 X 2 X 4 0 X 2 0%=3 1 5 0 （元）；2 0 2 0（3）把捐款最多的两人记为A、B,另一个学校选出的两人记为C、D,画树状图如图：开始ABC D/T/1/1/NB C D A C D A B D A B C共 有 1 2 种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8 种，两人来自不同学校的概率为方-=?.1 2 3【点评】本题考查了利用列表或树状图求概率、条形统计图、加权平均数以及众数等知识；用的的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.2 2.（1 0 分）如图，直线/分别交x 轴、y 轴于A、B两 点,交反比例函数y=K&W0）的x图象于P、Q两 点.若 A B=2 8 P,且 A O B 的面积为4.（1）求的值;（2）当点P的横坐标为-1 时，求尸。的面积.【分析】（1）由题意求得 P O B 的面积为2,作P M l y轴 于 M,证得P B MS A B O,即可求得AP BM的面积为I,从而求得SN O M=3,根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值：(2)由P8M S480,求 得0A=2,得至lj A为(2,0),把x=-1代入反比例函数解析式求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AB解析式，然后解析式联立，解方程组求得Q的坐标，最后根据SPOQ=S POA+SQOA即可求得。【解答】解：(1)：A B=2B P,且AOB的面积为4,.POB的面积为2,作PM y轴于M,：.PM/OA,:A P B M s A A B O,.也型=(理2,即 也 晅 _(工)2,SAAB0 AB 4 T 2 J的面积为1,S 4PoM=1+2=3,.尸0用=工因，2 因=6,2=-6;(2),点尸的横坐标为-：XP BM s XABO、里=里 即 工=!OA AB 0A 2：.OA=2,A(2,0),把x=-1代入y=-旦得，y=6,x P(-1,6),设直线AB为把P、A的坐标代入得f-m4 n%,解得I 2mtn=0 I n=4直线 4 8为丫=-2 x+4,6,解y=q得（x=3或 卜 y=-2 x+4 l v=-2 l y=6【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数4的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出 P O M的面积；（2）求得。点的坐标.五、本大题共2 个小题，每小题10分，共 20分.2 3.（1 0分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当0W x 17,即可得到答案.5 5【解答】解：设 当 20&W4 5时，反比例函数的解析式为产K,将 C(2 0,4 5)代入得:4 5=*-,解得&=900,20.反比例函数的解析式为 尸 驷 _,X当x=45 时，y=i O O=2 0,45：.D(45,2 0),(0,2 0),即 A对应的指标值为2 0；(2)设当0 W x 17,5 5，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出OWxVIO和 20WxW45时的解析式.24.(1 0 分)如 图，已知点C 是以A 8为直径的半圆上一点，。是 A 8延长线上一点，过点。作 8。的垂线交AC的延长线于点E,连结C,且 CQ=ED(1)求证：CO是。的切线；(2)若 tan/O C E=2,B D=1,求。0 的半径.【分析】(1)连接 O C,由 CD=DE,O C=O A,可得N Q C =/,ZOCA=ZOAC,而 EO_LA。，可得NOAC+/E=90,故可证/O CO=90,CO 是。0 的切线；(2)连接B C,设 的 半 径 为 x,由 tanN D C E=2,可得挺1=2,从而可用x 的代数式E D表示。E 和 C D,再根据CD是。的切线用切割线定理列方程，即可解得。的半径.【解答】解：(1)连 接 O C,如图：CD=DE,OC=O4,:.ND CE=N E,ZOCA=ZOAC,：EDAD,：.ZADE=90,/OAC+NE=90,A ZOCA+ZDCE=90 ,A ZDCO=90,：.OCCDf c。是O O 的切线；(2)连接B C,如图:；NDCE=NE,VtanZDCE=2,/.tan=2,V E D I AD,RtZED4 中，包 _=2,ED设。的半径为x,则 OA=OB=x,：.AD=2x+,2 x+l 9E DED=x+=CD,2；8是。的切线，：.CD2=BDAD,（x+工）2=1 X（2x+l）,解得=3 或 =-工（舍去），2 2 2，。的半径为3.2【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程.六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25.（12分）在等腰A8C中，A B=4 C,点。是 BC边上一点（不 与 点&C 重合），连结A D.(1)如 图1,若N C=6 0,点。关于直线A B的对称点为点E,连结A E,D E,则/8D E-30 ：(2)若/C=6 0,将 线 段 绕 点A顺时针旋转6 0得到线段A E,连结B E.在图2中补全图形；探 究 与B E的数量关系，并证明；(3)如图3,若 运 典 _=鼠且/4 O E=/C.试探究B E、B D、A C之间满足的数量关B C D E系，并证明.【分析】(1)由A B=A C,Z C=60,可得N B=60,点。关于直线A B的对称点为点、E,可得。即可得到答案；(2)根据题意补全图形即可；由已知得 A B=A C,A D=A E,Z B A C ZE A D=60 ,从而可得N D4C,EA B四O A C (S A S),即可得 C =B E；(3)连接A E,根据己知可证4B C s/V i)E,N E A B=N D A C,AE=AD,从而可得4E A B/X D A C,C D=BE,又 坦=里=鼠即可得到 A C=k (B D+B E).B C B C【解答】解：(1)：A B=A C,Z C=60,*/A B C是等边三角形,A Z B=60,/点D关于直线AB的对称点为点E,.D E.L A B,：.ZB D E=S 0 0-60 -9 0 =30；故答案为：30 ；A(2)补全图形如下:CD=BE,证明如下：AB=AC,Z C=60,/XABC是等边三角形，：.AB=AC,/B 4C=60,.线段AD绕点4 顺时针旋转60得到线段AE,：.AD=AE,ZEAD=60a,：.ZBAC=ZEAD=60,：.ZB AC-NBAD=NEAD-A B A D,即 NEAB=ADAC,在EA B 和 Z M C 中，A B=A C*Z EA B=Z DA C A E=A D：./EAB/DAC(S A S),：.CD=BE；(3)AC=k(BD+BE),证明如下:连 接 如 图：.ZCZABC,：ZADE=ZC,：.NABC=NADE,.A B _A D,B C =DE/ABC/ADE,：.Z D A E Z B A C,胆=A D A E，N D A E -/B A D=A B A C -A B A D,即 Z E A B=ADAC,；A 8=A C,：.AE=AD,在EA B和 D4C中，A B=A C-Z EA B=Z DA C-A E=A D：.EAB/DAC(S A S),:*CD=BE,BC=BD+CD=BD+BE,而 迪=旭 _=4，B C B C；.一世 一 二k,B P A C=)t CBD+BE).B D+B E【点评】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.26.(1 3分)已知二次函数y=o?+法+c的图象开口向上，且经过点A (0,2),B(2,-1).(1)求b的值(用含的代数式表示)；(2)若二次函数y u a+Z z r+c在1WXW3时，y 的最大值为1,求a的值；(3)将 线 段A B向右平移2个单位得到线段A B.若 线 段A B 与抛物线y=ax1+bx+c+4a-1仅有一个交点，求a的取值范围.【分析】(1)把A,B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论.(2)由题意，x=l或x=3时，y取得最大值1,由此构建方程求解即可.(3)把问题转化为不等式组，可得结论.【解答】解：(1)二次函数)，=取2+法+。的图象开口向上，经过点A (0,S),B(2,2-1),2a034a+2b+c=蒋：.b=-2（2），二 次 函 数-（2+l）x+旦,0,在 14 近3 时,y的最大值为1,2，x=l 时，y=l x=3 时，y=l,1 =a-（2a+l）+旦或 l=9a-3（2。+1）+3,2 2解得a-!（舍弃）或.2 6；.a=5.6(3).线段AB向右平移2 个单位得到线段A B,.,.4 （2,旦）,8 （4,-工）.2 2.线段A B与抛物线=0?-（2“+l）x+4”仅有一个交点,2 2（2a+l）71+4 a 4 qq*I 1 1 16a-4（2a+l）+y+4a-解得，工W a 旦.4 4或,1Q4a2（2a+l）f+4 a）不不等式组无解,16a-4（2a+1）+y+4a44 4【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题.