2021年上海市闵行区高考数学二模试卷（解析版）.pdf

2021年上海市闵行区高考数学二模试卷一、填 空 题（满分54分，共 有 12题，1-6每题4 分，7-12每题5 分）.1.设集合4=4 -3*-4 0,B=（x-2 x 0）的两焦点分别为丹、Fl,P为双曲线上一点，PF1_L x轴，且PF2是|P Fd与FIF2的 等 差 中 项，则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程为.10.若四边形4BC。是边长为4 的菱形，P为其所在平面上的任意点，则|忌.我 一 说.而|的取值范围是.+C-（-冗 冗iii/2九 3冗、tanx,x t （-r-,JU-y）11.己知函数/（x）=|厂，若/（x）在 区 间D3 ci 仁,九 2兀1|x+3 ，x （,上的最大值存在，记该最大值为K。,则满足等式K0,a）=3Ka,2 0的实数a的取值集合是.1 2.已知数列a“(eN*)满足的+1=|。2 -。1|+|的-+|a”-a”-il(22),且 防=1,a2=a(a l),则0+4 2+4 3+“24=.(结果用含。的式子表示)二、选择题(每小题5 分).13 .设p：l o g j x V O,q：x 0),0Xl 道恒成立；f(2 F-x Pf(X2)恒 成 立.则()A.正确，正确 B.正确，错误C.错误，正确 D.错误，错误16 .在直角坐标平面上，到两条直线y=0与y=x的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面 积 是()A.18 B.18 7 2 C.3 6 D.36A/2三、解 答 题(共 有 5 题，满分76分)17 .已知函数f(x)=l o g 2(2 X +l).(1)证明：/(x)在 区 间(-8,+8)上是增函数；(2)若 函 数/(x)=m+f(x)在区间 0,2 上存在零点，求实数，”的取值范围.18.如图，在四棱锥 M-4 B CZ)中，已知 A M _ L 平面 A B C。，A B 1.A D,A B/CD,A B=2CD,且 A B=A M=A =2.(1)求四棱锥M-A B C。的体积；(2)求直线仞C与平面A O M所成的角.M1 9.某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为2 0 米，顶角为30。，现在花圃内修一条步行道(步行道的宽度忽略不计)，将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线OE表示(、E 两点分别在腰4 8、AC上，以下结果精确到0.01).(1)如果曲线O E是以A 为圆心的一段圆弧(如图1),求 4。的长；(2)如果曲线O E是直道(如图2),求 AO+AE的最小值，并求此时直道Q E 的长度.2 620.(16分)如 图，已知椭圆：亍+y 2=1的左、右顶点分别为A、B,P 是椭圆上异于 A、8 的一点，直 线/：x=4,直线AP、B P分别交直线/于两点C、D,线段CD 的中点为E.(1)设直线AP、的斜率分别为以八kBP,求“”总p的值；(2)设ABP、ZVIBC的面积分别为$、S 2,如果a=2 S i,求直线4 P 的方程；(3)在 x 轴上是否存在定点N(，0),使得当直线NP、N E的斜率比户、ZNE存在时，kNP，kNE为 定 值?若存在，求出比PMNE的值；若不存在，请说明理由.21.(18 分)对于有限集 5=。1,ai,3,am.,am(meN,如果存在函数/(x)(/U)=除 外)，其图象在区间。上是一段连续曲线，且满足f(S)=S,其中/(S)=f(x)x&S,S D ,那么称这个函数f (x)是尸变换，集合S 是 P 集合，数歹 i j a”2,。3，am-1,a,”是尸数列.例如，5=1,2,3 是 P 集合，此时函数/(x)=4-x是 P 变换，数 列 1,2,3 或 3,2,1 等都是尸数列.(1)判断数列1,2,5,8,9是否是P 数列？说明理由；(2)若各项均为正数的递增数列 a,)(1W 2 O2 1,N*)是尸数列，若尸变换f (x)=-)X求,。2 0 2 1的值;(3)元素都是正数的有限集S=a”。2,。3,，a、-i，am(m N*,?2 3),若。(勾,总有 S，其 中 IWi,j W m.试判断集合S是否是集合？请说明理由.ai参考答案一、填 空 题(满 分54分，共 有12题，1-6每题4分，7-12每题5分).1.设集合4 =4 -3 x-4 0 ,B=x-2x2,则(-1,2).解：A =x 4-3 x-4 V 0 =*(x-4)(x+1)0 =x|-l x 4),A D B=R-I V x 0,b 0)的两焦点分别为Q、Fl,P为双曲线上一点，PF1_ Lx轴，且IP B I是IP QI与|尸产2|的等差中项，则双曲线的渐近线方程为丫=2扬.解：设 Fi (c,0),F2(c,0),由 x=c,可得 y =b j。_=i,U aE2则|P F2|=X-,a由户为双曲线的右支上一点，可得|P F|=2q+|P B|=2+2_,a22由IP F2I是|P H|与尸画的等差中项，可得a _=2 4+红+2 ,a a可得 b2=c2-a2=2a(a+c),即为 c=3a,则 z?=V c2-a2=2V 2a 所以双曲线的渐近线方程为y=2&x.故答案为：y=2技.10.若四边形AB C。是边长为4的菱形，P为其所在平面上的任意点，R i J IP A-P C-P B-P D I的 取 值 范 围 是 0,16).解：建立如图所示的平面直角坐标系，设OA=a,OD=b,A(0,a),C(0,-a),B (b,Q),D(-b,0),P(x,y),7r则 O A=4si na,。=4c o sa,aE(0,贝Ij 2a w (0,n),p =(-x,a-y),pQ=(-x,-a-y),p g=(Z?-x,-y),p p=(-b-x,-y),所以而,氏=炉+产一，而丽*凡则 I直 瓦-而,瓦|=炉-2l=16|c o s2(x -si n2(x|=16|c o s2a l 0,16).故答案为：0,16).yr (兀 兀i11/2兀tanx,xt JU(-1 1.已知函数f(x)=1 八七6弋3 _/-u r兀 2兀7-x+33*x W(E，-I3几2),若/(x)在 区 间 D上的最大值存在，记该最大值为K。,则满足等式K 0,a)=3 K m 2a 的实数a的取值集合是_ 等，解：函数/(x)的大致图象如右图所示,由 K0,a)=f(x),x60,a),结合图象可知，o o此时K 0,a)=V 3,贝 iJKa,2 a)型，x a,2a，而)=乎 时，x号或x节，当 a#时，K a,2a)=K 唾，等=-攀 X 等+入 母 平，满足条件;y 9 9 儿 9 4当 2 a W，即 a书时，KUa,2a=K 磊，=t an-=-满足条o LZ 12 0 3件.，实数a 的 值 可 以 为 萼 或 咚.9 12故答案为：修7兀1212.已知数列 a (nN*)满 足。/1=|政-。1|+3-公|+|。M i l (心 2),且 的=1,。2=a(1),则。1+2+。3+24=23。+210 .(结果用含。的式子表示)解：因为。+1 =|。2-。1|+|。3-2什 +|斯-1|,所以-。|+|。3-。2什 +1。-1 -。-2|(23),所以 an+-anan-an-9 所以 a+i=a+|a -an-9因为。1 =1,aia(t z l),所以 3=。2-a=a-1,。4 =。3+|。3-。2|=，。5=4+|。4 -。3|=。+1，6 =。5+|。5-。4|=。+2,所以小-小一1 =1,心 3,1 n=l所以=a,n=2,a-h i-4,n 3且 n W N*所以。1+。2+。3 。24=1+。+1 )+。+(。+1)+(a+20)=23+1+2+3+20=23+210,即。1+2+。3+24 =23+210.故答案为：23a+210.二、选 择 题（本大题共有4 题，满分20分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设 p：log 2X 0,q：x l,则 是 q 成 立 的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分亦非必要条件解：由于命题 p=log 2X V 0=log 210 0 X l；.P：0 x l=p：x 0）,0 X|X 2,且/（X l）=/（及），给出以下结论：X 号 1 1 道恒成立；f（2 V I-x1）f（x2）m.则（）A.正确，正确 B.正确，错误C.错误，正确 D.错误，错误解：对于，因为 0 0）,于是 3-及）（X|X 2-6Z）=0,因为X|X 2,所以X 1X 2=4,所以X+*2 =2，于是2 1 黄 2 遥，所以对;对于，因为0X l 0）的性质得，0X xiVa%2，由 知 遍 2 s q rta-X X2，因 为 f （x）在（J Z，+）上 单 调 递 增，所以f（2 -X ）f（X2）,所以对.故选：A.16.在直角坐标平面上，到两条直线y=0 与 y=x 的距离和为3 的点的轨迹所围成的图形的面 积 是（）A.18 B.18 72 C.36 D.3672解：设 点 PCG y）是曲线C 上的任意一点，由点尸满足平面内到两条定直线x=0,y=x 距离之和为3,.i x-y|_|x|+3，V2当 0WyW3时时，.%+（0-1）y-3&=0,xWy 时，x-y+3 M=0,当-3WyW0时时，A x-（亚+l）y-3&=0,x这y 时，x+（&-1）y+3&=0,分别画出四条直线如下图，易知四边形A BCO为矩形，直线无+（血-1）y-3&=0 与直线x+（2-1）y+3/2=O的距离为._ 1 3&+3&1 6企-7（V 2-1）2+1 弋 4：2 .直线x-（扬1）y+3M=0 与直线x-（扬1）y-3&=0 的距离为._ I 3A/2+3V2 I _ 6&也一、(a+1)2+：.代2 r=8版,V 4-22 r 4+2&故选：B.三、解 答 题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知函数f（x）=log2（2 +l）.（1）证明：/（X）在 区 间（-8,+8）上是增函数；（2）若 函 数/（幻=m 4/（外 在区间。，2 上存在零点，求实数机的取值范围.【解答】证明：（1）在R上任取为，必 且 X 1 V X 2，X-9 1+1则/（xi）-f（X2）l o g 2（2，1 +1）-l g 2（2,2 +1）l o g 2-,2%+1XiX2,；.0 2力+1 V 2、2+LX,X,2 1+1 9 1+1A 0 -1,.l o g 2-0,X,X,2 2+1 2 2+1.*./（X1）,又因为 4BLA。，A B/C D,所以 C C A。，5 L A M Q A D=A,AM,AD effiA D M,所以所以N C M D为直线M C与平面A D M所成的角，在 RtCDM 中，C D-I,M D=2&tan/CM D=2 8 =g后所 以/CMD二 a rc ta iiT L4故直线MC与平面A OM所成的角为arctan厚.1 9.某植物园中有一块等腰三角形A8 C的花圃，腰长为20米，顶角为30,现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线OE表示（、E 两点分别在腰A B、AC上，以下结果精确到0.01）.（1）如果曲线OE是以A为圆心的一段圆弧（如 图 1）,求 A。的长；（2）如果曲线。E 是 直 道（如图2）,求 A O+4E的最小值，并求此时直道OE的长度.1 7 T c解：（1）设A Z）=x,依题知，扇 形 的 面 积 为S扇形D虹-x又A A B C 的面积为=-2 02s i n 3 0 =I O C-,1 /日 1 兀 2由 S扇形D A E =9 SAABC；.xy=2 0 0,又A D+A E=x+y 2后（当且仅当x=y=1 0加时取等号），此时A D+A E=2 0&g 2 8.2 8 （米），D E=72 x2-2 x2c o s 3 0 =7.3 2 （米）综上，A Q+A E的最小值约为2 8.2 8米，此时直道。E的长度约为7.3 2米.(1*1 1)(图2)2 c2 0.（1 6分）如图，已知椭圆：今+丫2=的左、右顶点分别为A、B,P是椭圆上异于A、8的一点，直线/：x=4,直线A P、B尸分别交直线/于两点C、D,线段C ）的中点为E.（1）设直线A P、BP的斜率分别为kA P、kB P,求k,kB P的值；（2）设A BP、Z V I BC的面积分别为$、52,如果S2=2SI,求直线4 P的方程；（3）在x轴上是否存在定点N 5,0）,使得当直线NP、N E的斜率左液、加E存在时,ANP6 E为定值？若存在，求出心PM,VE的值；若不存在，请说明理由.解：（1）可求点4、8 的坐标分别为（-2,0）、（2,0）,Q 1 1所以 y y y 4 1；kAPkB P 2 7：2=_r 7=_2-T=4“乙 同 乙 x-4 x-4 *(2)设点尸(2cos0,sin0)(sin。#。),则直线入 尸 的 方 程 为 尸 盘 前（x+2）.令 X=4得 y金 管 不，所以点C 的坐标为（4,COS D+13sin 6 x.cos 0+1由 S2=2SI 得31叵唔三L：2|s in 8 所以cos 8 二，sin B =cos+1 2 2所以直线AP的方程为y=返（X+2）.6(3)同(2),设点尸(2cos0,sinQ)(sin0#=O),直线AP的方程为y-S ln (x+2)2cos+2同理可求直线BP的方程为：y=NS1 Q N(x-2)2cos-2 A 0令X=4得 y=S D,所 以 点。的 坐 标 为(4,S R ,),C D 中点COS y-1 COS D-1E(4,2-4噌).sin f2-4c o s 8_ s i n 8 s i n 8如 迎 2 c o s 8 -n 4-n2-4c o s 8 2-4c o s 8.(2 c o s 0 -n)(4-n)n(n-4)+2(4-n)c o s 0要使&NP-E为定值，只需7 2n(n-4)2(4-n)解得”=1,此时k j j p ,卜耻所以在x轴上存在定点N(1,0),使得ZNP ZNE为定值，.(1 6分)32 1.(1 8 分)对于有限集 S=a i,。2,ai,am.,am(/neN*,根2 3),如果存在函数/(%)(/(x)=除 外)，其图象在区间。上是一段连续曲线，且满足/(S)=S,其中/(S)=/(%)|AG 5,5 C D),那么称这个函数f (x)是尸变换，集合S是P集合，数列 a i,az,3,am.i,一 是 P数列.例如，S=1,2,3 是 集合，此时函数/(x)=4-x是P变换，数 列1,2,3或3,2,1等都是P数列.(1)判断数列1,2,5,8,9是否是P数列？说明理由；若各项均为正数的递增数列 m (I -W 2 0 2 I,eN*)是户数列，若P变换f (x)=旦X求 2 0 2 1的值;(3)元素都是正数的有限集S=m,3,。3,，am-,am(w e N*,z3),若的V 勾，a -i总有 S，其 中IWi,j W m.试判断集合S是否是P集合？请说明理由.ai解：(1)记5=1,2,5,8,9),存在函数/(x)=1 0-x,使得/(S)=S,所以数列1,2,5,8,9是P数列.(2)因为函数f(x)=?在区间(0,+8)上是减函数，X,9 9 9 9 9所以一 -,al a2 a3 a2 0 2 0 a2 0 2 1因为递增数列 a“(1 W W 2 O 2 1,G N*)是尸数列,以9 9 920豆吟n，嬴二2，-a ia 2 ,-0 2 0 2 1 ,贝 lj所97 7-a2 0 2 1 A2=(a 2 0 2 1)金 2 a 2 0 2 0)ana2 0 2 2-n (a2 0 2 1 a)=1 2 1所以 a】a 2 a 3 a z M =32 0 2 1(3)不妨设 0 42。3，-l4,”当时，考 察 氏 氏 3 一 l,a】a 3 即3-=a i(2(n(m)所以“(lWWm)是等比数列，an=a V(l n an-l 1 n 1nri-1此时存在尸变换f(x)=2 _ 使得f(S)=5,故集合S是尸集合.Xm_i a1n当i=l 时，考察 ai=lV2,-V.V-,a 9 a 9 3.9&9因 为 泛，必，入)7 a9 3.9 3.9 3.9a即3-=a 2(3 4 n 4 n 0,所以“(1WW，)是等比数列，an=a?1(l n n O )an-l 2n 乙nr 1此时存在尸变换f(x)=%-使得/(S)=s,故集合S是一个P集合.X综合，可知，集合S是一个P集合.