2021年中考数学第三轮压轴题冲刺复习：二次函数 综合练习题（含答案）.pdf

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：二次函数 综合练习题1、如图，已知抛物线 =依2过点A(-3,2).4(1)求抛物线的解析式；(2)已知直线/过点A,0)且与抛物线交于另一点3,与y 轴交于点C,求证：MC2=MA.MB;(3)若点P,。分别是抛物线与直线/上的动点，以OC为一边且顶点为O,C,P,。的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线,=6 2+公-2 交x 轴于A,B两点，交y 轴于点C,且。A=2OC=8。8.点尸是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)若PC/AB,求点P 的坐标；(3)连接A C,求AE4c面积的最大值及此时点尸的坐标.3、如图，抛物线y=ax2+bx-1 与 x 轴交于A(1,0)、B (6,0)两点，D是y 轴上一点，连接D A,延长DA交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2)若E点在第一象限，过点E作EFx轴于点F,AADO与4AEF的面积比为也 些=工，求出点E的坐标;2AAEF(3)若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D,使DA2=DMDN?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.4、已知抛物线y=-L x 2-x的图象如图所示：2 2(1)将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C,则平移后的解析式为.(2)判断aABC的形状，并说明理由.(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.5、如图,抛物线 y=ax2+bx-5 与坐标轴交于 A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)三点，顶点为D.(1)请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)连接B C 与抛物线的对称轴交于点E,点 P 为线段B C 上的一个动点(点P不与B、C 两点重合)，过点P 作 PF D E 交抛物线于点F,设点P 的横坐标为m.是否存在点P,使四边形PE D F 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.过点F 作 F H L B C 于点H,求A PF H 周长的最大值.6、如图，已知抛物线丁=加+乐+。(0)的对称轴为直线=1,且抛物线与工轴交于A、8两点，与y 轴交于C点，其中A(1,O),C(0,3).(1)若直线 =侬+经过8、C两点，求直线8 C 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x =T 上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x =-l上的一个动点，求使A B PC 为直角三角形的点P的坐标.7、如图，抛物线的顶点为4人-1），与y轴交于点3（0,-：）,点F（2,l）为其对称轴上的一个定点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线/是过点C（0,-3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点PG%”）到直线/的距离为d,求证：PF=d;（3）已知坐标平面内的点54,3）,请在抛物线上找一点Q,使DFQ的周长最小,并求此时 尸。周长的最小值及点Q的坐标.8、如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x?+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接P B,得4PCB之 BOA（0为坐标原点）.若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，M A B面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足N M P 0=N P 0A的点M的坐标.备用图9、如图，已知抛物线y=ax2+|x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两 点（B点在A点右侧）与y轴交于C点.（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P,使4P B C的面积最大.若存在，请求出4P B C的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N,10、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+ax+c的图象经过点C（0,2）和点D3（4,-2）.点E是直线y=-L x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.3（1）求二次函数的解析式及点E的坐标.（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC,OE,M E.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.图11、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴相交于人(-1,0),B(3,0)两点，与 y 轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH，x 轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上 一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线8 c 及 x 轴分别交于点D、M.P N 工BC,垂足为N.设M(T,O).点P 在抛物线上运动，若 P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m的值；当点P 在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使 PN C 与 A O C 相似.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.1 3、综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=#+b x+c经过点A (-4,0),点M为抛物线的顶点，点 8在y 轴上，且。4=。8,直线A 3 与抛物线在第一象限交于点C (2,6),如图.(1)求抛物线的解析式；(2)直线4?的 函 数 解 析 式 为，点M的 坐 标 为,c o s Z A B O=；连接O C,若过点。的直线交线段A C于点P,将 A O C 的面积分成1 ：2的两部分，则点P 的坐标为；(3)在y 轴上找一点Q,使得 4 W。的周长最小.具体作法如图，作点A关于y轴 的 对 称 点 连 接M A 交y轴于点Q,连接AM.A Q,此时 A M 0的周长最小.请求出点。的坐标；(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、0、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.1 4、如图，二次函数y =/+b x+3 的图像与y 轴交于点A,过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点5,抛物线过点0(1,0),且顶点为。，连接AC、B C、B D、CD.(1)填空：b=；(2)点尸是抛物线上一点，点尸的横坐标大于1,直线P C 交直线8。于 点 若Z C Q D =Z A C B,求点P 的坐标；(3)点E在直线AC 上，点E关于直线对称的点为产，点 F关于直线8 c 对称的点为G,连接AG.当点尸在x 轴上时，直接写出AG的长.参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：二次函数综合练习题1、如图，已知抛物线卜=火2 过点A(-3,2).4(1)求抛物线的解析式；(2)已知直线/过点A ,M(|,0)且与抛物线交于另一点3,与y 轴交于点C,求证：MC2=MA.MB；(3)若点P,。分别是抛物线与直线/上的动点，以O C 为一边且顶点为O,C,P,。的四边形是平行四边形，求所有符合条件的尸点坐标.【解答】解：（1）把点A（-3,2）代入卜=依2,4得到2=9a,41a,4 抛物线的解析式为4（2）设直线/的解析式为y=+，则有-=-3k+b4O=-k+b2解得k=-27 3b=4直线/的解析式为y=-g x +；,令x=0,得到y3.*.C(0,-),4y=由 y=4x=x=-3解得 1或 95（i,一）,4如图1中，过点A作轴于4，过8作 网_Lx轴于耳,则阴 0C/A4,图13BM MB,_ 2-_ 1MC-MO 3-32MC _ MO _ 2 _ 1而=福=g _（_3）=.BM MCl,M C M AfB P MC2=MAMB.图2 OC为一边且顶点为O,C,P。的四边形是平行四边形,.P D/O C9 PD=OC,。（兀-1 H）,2 4,1 2 z 1 3、I 3匕/一（一三十二*;，4 2 4 4整理得：产+2r-6=0或r+21=0,解得/=一1-我 或T =V7或一2或0（舍弃）,.尸（-1-7 7,2+）或（-1+V7,2-与 或（一2,1）.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线,=办2+-一2交工 轴于A,8两点，交y轴于点C,且。4=2OC=8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)若PCHAB,求点P的坐标；(3)连接AC,求A ftA C 面积的最大值及此时点尸的坐标.解：由 y =可得点。(0,-2),即 O C =2.(1 、V OA=2OC=SOB,二 4-4,0),B ,0 .7把A,8两点坐标代入y =o?+法一2,解得a=I,b=：,7 抛物线的表达式为y =/+；x 2.(2)PCI IAB,C(0,2),.点 P 的纵坐标为 一2,7 -2=x H x-2.27解得西二一鼻，兀 2=。(舍).(3)设直线AC的表达式为了=履-2 (女工0),把A(-4,0)代入可得=-;，直线AC的表达式为y =-x-2.过点尸作x 轴的垂线，垂足为O,交线段AC于点E；过点C作C M L P E,M 为垂足.设点尸 加,/+g 加一2)(4 加 0),则点 PE-PD-ED=-f m2+m-2 f m+2-m2-4/n.(2 J(2 J*iXPiAC=S ZPE+S刖 E C =PE,AD H P E,MC PE,AOZiV 4V1I L A I C v 2 2 2=-x-m2-4m)x4=-2m2一 8m=-2(m+2)2+8当m=2时,S/S P A C最 大=8 7 77 7 22+m-2=(-2)2+x(-2)-2 =-52 2故点尸(2,5).3、如图，抛物线y=ax2+bx-1 与 x 轴交于A(1,0)、B(6,0)两点，D 是y 轴上一点，连接D A,延长DA交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2)若 E 点在第一象限，过点E 作 EFx轴于点F,A A D 0与AAEF的面积比为也 独=工，求出点E 的坐标;5AEF 9(3)若 D 是y 轴上的动点，过 D 点作与x 轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D,使 DA2=DMDN?若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)将 A(1,0),B(6,0)代入函数解析式，得9a+b-=0936a+6b 号二 0解得34抛物线的解析式为y=-Wx2+x-1；4 4(2),.,EF_Lx 轴于点 F,ZAFE=90.V ZAOD=ZAFE=90,NOAD=/FAE,/.AODAAFE.SAAD0 _AO_1 -，AAEF 葩 9VAO=1,，AF=3,OF=3+1=4,当 x=4 时，y=-上X42+9X 4-2=2,4 4 2 2；.E点坐标是(4,2),(3)存在点D,使DA2=DMD N,理由如下:设D点坐标为(0,n),AD2=l+n2,当 y=n 时，-工x2+&x-2=n4 4化简，得-3X2+21X-18-4n=0,设方程的两根为Xi，X2,DM=Xi，DN=X2,DA2=DM*DN,gp l+M=18+4n,化简，得3n2-4n-15=0,解得 ni=，ri2=3,3.D 点坐标为（0,一至）或（0,3）.34、已知抛物线y=-1 x2-W x的图象如图所示：2 2（1）将该抛物线向上平移2 个单位，分别交x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点C,则平移后的解析式为Y=-1X2 -Wx+2.2 2_（2）判断A B C的形状，并说明理由.（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.故答案为：y=-x2-x+2；2 2(2)当 y=0 时，-l x2-Wx+2=0,解得 xi=-4,x2=l,即 B(-4,0),A(1,2 20).当 x=0 时，y=2,即 C(0,2).AB=1-(-4)=5,AB2=25,AC2=(1-0)2+(0-2)2=5,BC2=(-4-0)2+(0-2)2=20,VAC2+BC2=AB2,.ABC是直角三角形；(3)y=-x2-x+2 的对称轴是 x=-,设 P (-W,n),2 2 2 2A P2=(1+为)2+n 2=J l+M,C P 2=2+(2 -n)2,A C2=l2+22=52 4 4当A P=A C 时，A P2=A C2,空+/=5,方程无解;4当 A P=C P 时,A P 2=C P 2,空+M=2 +(2 -n)2,解得 n=0,即 P i (-2,0),4 4 2当 A C=C P 时 A C 2=C P 2,旦+(2 -n)2=5,解得 m=2+S,n 2=2 -2,p2(-2,_ 4 2 2 22+2/H),P 3 (一旦，2 -且 1).2 2 2综上所述：使得以A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P的坐标（0),(-之，2+1 1),(-空,2 -2 2 2叵)25、如图，抛物线 y=ax2+bx-5 与坐标轴交于 A (-1,0),B (5,0),C (0,-5)三点，顶点为D.（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接B C 与抛物线的对称轴交于点E,点 P为线段B C 上的一个动点（点 P不与B、C 两点重合），过点P 作 P FD E 交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.是否存在点P，使四边形P E D F为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.过点F 作 FH J _ B C 于点H,求4 P FH 周长的最大值.【解答】解：(1)把 A (-1,0),B (5,0)代入抛物线y=ax?+bx-50-a-b-5。二 2 5 a+5 b-5解得/.y=x-4 x-5，顶点坐标为D (2,-9)(2)存在设直线B C 的函数解析式为 y=k x+b(k W O)把 B (5,0),C (0,-5)代入得A B C 解析式为y=x-5当 x=m 时，y=m -5.P (m,m -5)当 x=2 时，y=2 -5=-3A E (2.-3)；P FD E y 轴.点F 的横坐标为m当 x=m 时,y=m2-4 m -5.F(m,m -4 m -5)P F=(m -5)-(m2-4 m -5)=-m2+5 mV E (2,-3),D (2,-9)/.D E=-3 -(-9)=6如图，连接D FV P F/7D E.当P F=D E 时，四边形P E D F为平行四边形即-m2+5 m=6解得m i=3,m,=2 (舍去)当 m=3 时，y=3 -5=2此时 P (3,-2).存在点P(3,-2)使四边形P E D F为平行四边形.由题意在 R tZX B O C 中,O B=O C=5，B C=5 后CA BO C=1 0+5A/2；P FD E y 轴.,.ZFP E=ZD E C=ZO C BV FH B C/.ZFH P=ZB 0 C=9 0.,.P FH A B C O.CA P FH _P F,B C O B C艮 口 CA PI：H=(-m +5 m)=(V 2+1)(-m +5 i n)W2V 0 m =吠+的解析式为y=x +3.(2)直线BC与对称轴x =T的交点为M,则此时M 4 +MC的值最小，把x =-l代入直线y=x +3得y=2,.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2).(注：本题只求M坐标没说要证明为何此时M 4 +MC的值最小，所以答案没证明M 4 +MC的值最小的原因).(3)设又例 3,0),C(0,3),二 8。2=1 8,P B 2=(1 +3 +产=4+产，P C2=(-l)2+(f-3)2=r2-6 +1 0,若点8为直角顶点，则BCPBPC?即：1 8+4+/=/_ 6/+1 0解之得：t =-2,若点。为直角顶点，则8。2+?。2=依2即：1 8+产 一 6 7 +1 0=4+产解之得：f =4,若点P为直角顶点，则P 82+P C 2=5 C 2即：4+产+产6，+1 0=1 8解之得:3 +V 1 7 3-V 1 74=-2-，,22 =-2-综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,三 普)或(-1,三 普).7、如图，抛 物 线 的 顶 点 为 与y轴交于点5(0,-g),点尸(2,1)为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线/是过点C Q-3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(2)到直线/的距离为d,求证：PF=d；(3)已知坐标平面内的点。(4,3),请在抛物线上找一点Q ,使DFQ的周长最小，并求此时A D尸。周长的最小值及点Q的坐标.【解答】(1)解：由题意抛物线的顶点A(2,-l),可以假设抛物线的解析式为y o(x 2)1,.抛物线经过8(0,5 )，2=4 -1,21.。=一,8抛物线的解析式为y=J(x-2)2-1.8(2)证明：,.P(九),n=-l(zm。-、22)1 ，1 1-1=-m m,8 8 2 21 .1 1、m ),8 2 2:.d =-n r -m-(-3)=-/n2 m+,8 2 2 8 2 2 F(2,l),PF=J(m-2)2+(-7H2 TH-I)2=J-A?4-n r1+m2 m+,V 8 2 2 V 64 8 8 2 4m 1 4 1 3 7 2 5 25”1 4 1 3 7 2 5 2564 8 8 2 4 64 8 8 2 4:.d2=PF2,:.P F =d.(3)如图，过点Q作Q H,直线/于H,过点。作 直 线/于N.DFQ的周长=。/+2 2+尸。，。尸是定值=也2+22=26,.DQ+Q尸的值最小时，ADR2的周长最小，QF=QH,/.DQ+DF=DQ+QH,根据垂线段最短可知，当。，Q,H共线时，OQ+Q”的值最小，此时点与N重合，点Q在线段ON上，/.OQ+Q”的最小值为6,.她 尸。的周长的最小值为2 0 +6,此时。(4,-；).ODB8、如图，直线y=-3 x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x?+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接P B,得4PCB之 BOA（0为坐标原点）.若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，A M A B面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足NMPO=NPOA的点M的坐标.【解答】解：（1）当y=c时,有c=-x2+bx+c,解得：xi=0,X2=b,.,.点C的坐标为（0,c）,点P的坐标为（b,c）.直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,二点A的坐标为（1,0）,点B的坐标为（0,3）,，0B=3,OA=1,BC=c-3,CP=b.V A PC B A B O A,ABC=OA,CP=OB,b=3,c=4,.点P的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=-X2+3X+4.(2)当 y=0 时,有-X2+3X+4=0,解得：Xl=-1,X2=4,二点F的坐标为(4,0).过点M作MEy轴，交直线AB于点E,如图1所示.点M的横坐标为m(0 m W 4),.点M的坐标为(m,-m 2+3m+4),点E的坐标为(m,-3m+3),/.ME=-m2+3m+4-(-3m+3)=-m2+6m+l,/.S=OA*ME=-rr)2+3m+=-(m-3)2+5.2 2 2 2*/-|x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两 点（B点在A点右侧）与y 轴交于C点.（1）求抛物线的解折式和A、B 两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P,使A P B C 的面积最大.若存在，请求出A P B C 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若 M是抛物线上任意一点，过点M作 y 轴的平行线，交直线B C 于点N,当 M N=3 时，求 M点的坐标.【解答】解：(1).抛物线丫=2*2+2*+4的对称轴是直线x=3,23_-i=3 解得：a=-,2a 4二抛物线的解析式为y=-l x2+-x+4.4 2当 y=0 时,-x2+x+4=0,4 2解 得:xi=-2,X2=8,，点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0).(2)当 x=0 时，y=-x2+x+4=4,4 2.点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为y=kx+b(kWO).将 B(8,0)、C(0,4)代入 y=kx+b,/f i 1津+b R,解得：k=,1 b=4|b=4直线BC的解析式为y=-lx+4.假设存在，设点P的坐标为(x,-1X2+1X+4),过点P作PDy轴，交直线BC4 2于点D,则点D的坐标为(x,-x+4),如图所示.2PD=-x2+x+4-(-x+4)=-X2+2X,4 2 2 4.-.SAPBC-PD*0B=X8(-x2+2x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.2 2 4：-l 0,.当x=4时，P B C的面积最大，最大面积是16.V 0 x 8,，存在点P,使APBC的面积最大，最大面积是16.（3）设点M的坐标为（m,-Lm2+Sm+4）,则点N的坐标为（m,-Lm+4）,4 2 2/.MN=|-m2+m+4-（-m+4）|=|-m2+2m|.4 2 2 4又.MN=3,|-m2+2m|=3.4当 0m 8 时，有-Lm2+2m+3=0,4解得：rri3=4-2-/7 m4=4+2j7，.点P的坐标为（4-2沂，沂-1）或（4+2攻，-V 7-1）.综上所述：M点的坐标为（4-2夜，V 7-1）,（2,6）、（6,4）或（4+2行，-斤1）.10、在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+1+:的图象经过点C（0,2）和点D（4,-2）.点E是直线y=-x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.3（1）求二次函数的解析式及点E的坐标.（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC,OE,M E.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.【解答】解：(1)把C(0,2),D(4,-2)代入二次函数解析式得:1 6 a+VC=-2,c=2解得：a-万，即二次函数解析式为丫=-&2+x+2,1c=2 3 3，1y=yx+2联立一次函数解析式得：。匚 ，IT 亭+2消去 y 得：-x+2=-x2+x+2,3 3 3解 得:x=0或x=3,则 E (3,1)；(2)如图，过M作MHy轴，交CE于点H,设 M(m,-m2+m+2),贝U H(m,-m+2),3 3 3/.MH=(-m2+m+2)-(-m+2)=-m2+2m,3 3 3 3S 四 边 形COEM=SAOCE+SACME=L X 2 X 3+LMH 3=-m2+3m+3,2 2当m=-b=3时，S最 大=2 1,此时M坐标为(工，3)；a 2 4 2(3)连接B F,如图所示，当-2x2+Cx+20=0 时，xi=,X2=,3 3 4 4OB/辿4 4VZACO=ZABF,ZAOC=ZFOB,.,.AOCAFOB,氏-5，-，0OAF.-0OCB，即即-541 _一 斤+_5 4解得：OF=W,211、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y 轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH_Lx轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标.【解答】解：(1)将 A,B,C 代入函数解析式，得a-b+c=0/2-3=-2/2-1，P(,-2&-1).当 PM=MC 时，(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,解得 廿0(不符合题意，舍)，n2=-7 (不符合题意，舍)，n3=l,n2-2n-3=1-2-3=-4,P (1,-4)；综上所述：P (1,-4)或 2A/2-1)-12、如图，抛物线y=g/+A +c与x轴交于A、B两 点(点A在点B左边),与y轴交于点C.直线y=g x-2经过B、C两点.备用图（1）求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上 一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线8C 及 x 轴分别交于点D、M.P N L B C,垂足为N.设点P 在抛物线上运动，若 P、D、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m 的值；当点P 在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使PNC与AOC相似.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：(1)由直线y=；x 2经过B、C 两点得B(4,0),C(0,-2)将 B、C 坐标代入抛物线得c _ _2 h=Q Z 解得 2，8+4/?+c=0 i c-2i 7，抛物线的解析式为：y=x2-x-2；(2)：PN _LBC,垂足为 N.M(m,0)1 ,3 1P(m,m2),D(m,一，九 一 2),2 2 2分以下几种情况：I 1 3M 是 PD 的中点时，MD=PM,B P 0-(-m-2)=-m2 一 一 m-22 2 2解得叫=-2,网=4(舍去);i i 3P 是 MD 的中点时，MD=2MP,即 一，”一2=2(-/2一一m_2)2 2 2i 3|D 是 MP 的中点时，2MD=MP,即一加2一一m-2=2(-m-2)2 2 2解得 4=1,生=4（舍去）;AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2)，AO=1,C0=2,B0=4,又 NAOC=NCOB=90。，CO BOAAOCSACOB,：.ZACO=ZABC,：与AOC 相似:.ZACOZPCN,:.ZABC=ZPCN,AB/PC,i a点P 的纵坐标是-2,代入抛物线y=一 1 x 2,得x2-x-2-22 2解得：西=。（舍去），无2=3,.点P 的坐标为：（3,-2）13、综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=#+云+c经过点A(-4,0),点M 为抛物线的顶点，点 8 在y 轴上，且。4=。8,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图.(1)求抛物线的解析式；(2)直线A B的函数解析式为y=x+4,点M的坐标为(-2,-2),cosN A B O=；连接O C,若过点0的直线交线段AC于点P,将AOC的面积分成1：2 的两部分，则点P 的坐标为(-2,2)或(0,4)；(3)在y 轴上找一点0,使得AM。的周长最小.具体作法如图，作点A关于y 轴的对称点A,连接M4交 y 轴于点。，连接AM、A Q,此时AM0的周长最小.请求出点Q 的坐标；(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、0、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.图f l-X 1 6 4 b +c =02工 x 4 +2 b +c =61 2【解答】解:(1)将点A、C 的坐标代入抛物线表达式得：解得；，故直线A B的表达式为：产(2)点 A(-4,0),O B=O A=4,故点 3 (0,4),由点A、8的坐标得，直线A B的表达式为：y=x+4；则 N AB O=4 5 ,故 c o s N A 3 O=j；对于y=|x 2+2 x,函数的对称轴为=-2,故点M(-2,-2)；O P将 AO C的面积分成1：2的两部分，则AP=|AC或|AC,则关=1或3 即9=4/解得：”=2或%故点尸(-2,2)或(0,4)；故答案为:y=x+4；(-2,-2)；y；(-2,2)或(0,4)；(3)AM Q 的周长=AM+AQ+M Q=AM+A M 最小，点 A (4,0),设直线4 M的表达式为：y=kx+b,则卜5。?1。,解得I 2 k +b=2故直线A M的表达式为：令x=0,则 y=-故点 Q (0,-1);(4)存在，理由：设点 N(m,)，而点 A、C、。的坐标分别为(-4,0)、(2,6)、(0,0),当A C 是边时，点A 向右平移6 个单位向上平移6 个单位得到点C,同样点O(N)右平移6个单位向上平移6 个单位得到点N(。)，即 0 土6=加，0 6=，解得：m=n=6,故点 N (6,6)或(-6,-6)；当A C 是对角线时，由中点公式得：-4+2=M+0,6+0=+0,解得：加=-2,=6,故点 N (-2,6)；综上，点N的坐标为(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).1 4、如图，二次函数=/+法+3 的图像与y 轴交于点4,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点8,抛物线过点。(1,0),且顶点为。，连接A C、B C、B D、CD.(1)填空：b=；(2)点P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于1,直线P C 交直线8。于点Q.若N C Q D =Z A C B,求点P 的坐标；(3)点E 在直线A C上，点 E 关于直线8。对称的点为E点F 关于直线B C 对称的点为G,连接A G.当点F 在x 轴上时，直接写出A G的长.【详解】解：(1)抛物线过点C (1,0),.,.将 C (1,0)代入 y=x 2+bx+3 得 0=l+b+3,解得b=-4,故答案为：-4；(2)由(1)可得抛物线解析式为：y=f 一以+3,当 x=0 时，y=3,.A的坐标为(0,3),当 y=3 时得3 =/一4X+3,解得 x i=0,X2=4,.点B 的坐标为(4,3),y=x2-4%+3 =(x-2)-1,.顶点D 的坐标为(2,-1),设 B D 与 x 轴的交点为M,作CHLA B 于 H,D G _ L C M 于 G,t an ZAC H=t an ZO AC=,3根据勾股定理可得BC=3 后，C D=0,BD=2 岔,.,.BD=VBC2+CD2-/.ZBCD=90o,/.tanZCBD=-，3.,.ZACH=ZCBM,VZHCB=ZBCM=45,NACH+NHCB=NCBM+NMCB,即 NACB=NCMD,Q 在 CD上方时：若NCQO=Z 4 C 8,则Q 与M 点重合，y=/-4%+3 中，令 y=0,解 得:x=l 或 3,.抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3,0）,即此时P 的坐标为（3,0）；Q 在 CD下方时：过点Q 作 QK，x 轴，过点C 作 CLLQM于点L,过点A 作ANLBC 于点 N,可得：AB 4,BC=3V2 AC=910,设 C N=x,则 BN=3-2,在 ABC 中，AC2-CN2=AB2-BN2，即（而 一=42 一 9 五一无，解得：x=e,/.cos N ACN=,AC 5设直线BD的表达式为：y=mx+n,将 B,D 代入得：3=4m+f m=2.点C和 C关于直线B D 对称,.,.C R=C R=；B D=6则有(p _3 1+(q _l)2=(可p1-6 p+q1-2+5 =0 即-得：p=l-2 q,代入,解得：4=或 0(舍)，代入中，得：”=/,17P-解得：即点C，(1,T),0 5 51 7求得直线C，N，的表达式为：y=-x-,3 3.点F 在x 轴上，令y=0,则x=7,.点 F(7,0),又 点F 和点G 关于直线BC对称，BC：y=x-l,连接CG,可得 NBCF=45o=NBCG,.ZFCG=90o,，CG=CF=6,.点G 的坐标为(1,6),又 A(0,3),.AG的长为7?行=而.