2021年中考数学 三轮冲刺训练：相似三角形及其应用.pdf

2021中考数学 三轮专题冲刺训练：相似三角形及其应用一、选择题i.如图，将图形用放大镜放大，应 该 属 于（）A.平移变换 B.相似变换C.旋转变换 D.对称变换2.（2019雅安）若。：=3：4,且。+8=1 4,则2。一 8 的值是A.4B.2C.20D.143.如图，弦 CD垂直于。0 的直径A B,垂足为H,且 CD=2/，BD=小,则AB的长为（）A.2 B.34.（2019贵港）如图，在ABC中，点O,E 分别在AB,AC边上，DE/BC,ZACD=N B,若 A D =2 BD,BC=6,则线段 CD 的长为A.2 百 B.3yliC.276D.55.（2020.广西北部湾经济区）如图，在aA B C 中，BC=2 0,高A D=60,正方形 EFGH一边在BC上，点、E,尸分别在AB,AC上，A D 交 E F 于点N,则AN的长为（）6.（2020内江）如图，在AABC中，。、分别是4?和AC的中点，S BCED=15,则 SMBC=（）7.（2019 重庆）下列命题是真命题的是A.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比为2：3B.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比为4：9C.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为2：3D.如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为4：98.（2020 新疆）如图，在A8C中，NA=90。，。是 AB的中点，过点D作的平行线交AC于点E,作 3 c 的垂线交3 c 于点尸，若 A B=C E,且。尸 E()的面积为1,则 的 长 为AC.4石D.10二 填空题9.如图，在ABC 中，Z A C D=Z B,若 AO=2,B D=3,则 AC 长为AD.1 0.（2020 南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,A A B C和 O E P的顶点都在网格线的交点上，设 A B C的周长为。，O E F的周长为C 2,则 的 值 等 于.G1 1 .（201 9台州）如图，直 线/小 儿A,B,C分别为直线4，*4上的动点,连接A B,BC,A C,线段AC交直线4于点O.设直线4 ,4之间的距离为相，i f i 3直 线 几4之间的距离为，若Z A B C =9 0。，BD=4,且 则 加+的 最n 2大值为1 2.九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题广今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为1 2步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步.1 3 .如图，在 R/A A 8 C 中，N A C B=9 0。，A C=3,BC=4,C D 1 A B,垂足为D,E为 3c的中点，A E 与 CO交于点F,则。尸的长为B1 4.（2020 深圳）如图，在四边形A 8 C D 中，AC与 8。相交于点O,Z A B C=N A C=9 0,tcm/ACB=g,鼻 尸3,则:.2 OU 3 SCBD1 5.（2020湖州）在每个小正方形的边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知是6X6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t A B C相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是.1 6.（201 9 辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形A 8 0 C 的边3 0,C O 分别在x 轴,丁 轴上，A点的坐标为（-8,6）,点P在矩形4 B O C 的内部，点E在3。边上，满足A P B E s A C B O,当 PC是等腰三角形时，P点坐标为.三、解答题1 7.（2020.凉山州）（7 分）如图，一块材料的形状是锐角三角形A 8 C,边 B C=1 20 mm,高A ）=8 0 m m,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在8C上，其余两个顶点分别在A3、AC上，这个正方形零件的边长是多少？18.(2019张家界)如图，在平行四边形A3CO中，连接对角线A C,延长A 3至点E,使3=，连接O E,分别交8C,AC交于点E G.(1)求证：BF=C F；(2)若8 c =6,D G =4,求 FG 的长.19.如图，在 RtAAB C 中，ZACB=90,AB=10,BC=6,CD/AB,NA8C 的平分线8。交AC于点,求。E的长.20.如图，AB C 内接于。0,A8=AC,N3AC=36。,过点 A 作 AO3C,与 NAB C的平分线交于点。，B。与AC交于点E,与。交于点F.(1)求N D 4F的度数；(2)求证：AE?=E F E D；(3)求证：AO是。的切线.AD21.如图，。是A 8 C的外接圆，A 3是直径，。是A C中点，直线。与。相交于E,R两点，P是。外一点，且P在直线。上，连接出,PC,AF,满足 NPC4=NA8C(1)求证:用是。的切线；(2)证明:E产=4OZOP;若 B C=8,tanZAFP=,求 OE 的长.322.(2019上海)如图1,AD,8。分别是 A BC的内角NB AC、NABC的平分线，过点A作A E L A O,交8。的延长线于点(1)求证：N E=Z C；2(2)如图 2,如果 且 8 D：O E=2：3,求 cosNAB C 的值；(3)如果NABC是锐角，且 ABC与 AO E相似，求NABC的度数，并直接q写 出 的值.S ABC23.在矩形ABC。中，AD=4,M是A。的中点，点E是线段A 8上一点，连接E M并延长交线段C D的延长线于点F.(1)如图，求证：X A E M迫A D F M；(2)如图，若A 8=2,过点M作M G1.E/交 线 段 于 点G,求证：A G E F是等腰直角三角形；(3)如图，若AB=2 yf3,过点M作MG EF交线段B C的延长线于点G,若M G=n M E,求的值.24.如图，四边形A 8C O内接于圆。，Z 5/10=90,A C为直径，过点A作圆。的切线交C B的延长线于点E,过A C的三等分点厂(靠近点。作C E的平行线交A 3于点G,连接CG(1)求证：AB=CD-,(2)求证：C U =B E B C；(3)当 C G=&B E.，求 8 的长.2021中考数学 三轮专题冲刺训练：相似三角形及其应用答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】A【解析】由。：。=3：4知3b=4。，所以匕二9.所以由a+人=14得至U：a+y =14,解得a=6.所以8=8.所以 2a-b=2x6 8=4.故选 A.3.【答案】B【解析】由垂径定理可得D H=6，所以B H=NB D2-DH2=1,又可得 DHBS/ADB,所以有 B D2=BH-BA,（小）2=1XB A,AB =3.4.【答案】C【解析】设 AD=2x,BD=x,/.AB 3x,V D E/B C,二 AADESAAB C,.DE AD _A E .DE _2x 入 一 五.AE 2 DE=4，AC 3：ZACD=/B ,ZADE=ZB,：.ZADEZACD,V ZAZA,：.AAD EAAC D,.AD _A E _ DEACADCD设 AE=2yAC=3y,AD2yAD 2y 4 AD=M：忑=五,/.CD=27 6,故选C.5.【答案】B【解析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x,.四边EFG”是正方形,:.NHEF=NEHG=90,EF/BC,二 AAEFAABC,.AO 是ABC 的高，/.ZHDN=90,四边形EHDN是矩形，:.DN=EH=x,/AEFAABC,AN F F,而=而（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），/U DCVBC=120,AD=60,.AN=60 x,e60 x x 60=120,解得：x=40,：.AN=60-x=60-4 0=2 0.因此本题选 B.6.【答案 D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断 A D E saA B C,然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题.首先判断出 A D E sA B C,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出 ABC的面积.根据题意，点 D 和点E 分别是AB和 AC的中点，则 DEBC且 DE=B C,故可以判断出 ADEsABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SAD E ABC 1 ：4,贝 1 J S四 边 形BCEO：48c=3：4,题中已知S四 边 形BCED=15,故可得心旌=5,SMRC=2Q,因此本题选D.7.【答案】B【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比为4：9,是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的周长比为4：9,是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为16:81,是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4：9,那么这两个三角形的面积比为16：81,是假命题,故选B.8 答案A【解京】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理.如答图,过点E 作 EGLBC于G,过点A 作 AH_LBC于 H.又因为DF_LBC,所以DFAHE G,四边形DEGF是矩形.所以A R D Fs4BAH,D F=E G,所以？因为D 为 AB中点，所以4 =：，所以？AH BA BA 2 AH=g.设 D F=E G=x,则 A H=2x.因为NBAC=90,所以NB+NC=90,因为 E G L B C,所以NC+NCEG=90,所以NB=N C EG,又因为NBHA=ZCGE=90,A B=C E,所以ABHgACEG,所以 C G=A H=2x.同理可证BD FA ECG,所 以 丝=丝，因为BD=:A B=!CE,所以班=:E G=EG EC 2 2 2在 RrBDF中，由勾股定理得BD=J f）尸+8尸=Jx?+（；x）z=1%，所以AD=x,所以 CE=AB=2A D=V x.因为 DEB C,所 以 丝=丝=1,2AC AB 2所以 AE=|AC=CE=7s x.在 RrAADE 中,由勾股定理得 DE=AD2+AE2=棹x）?+（&=|x.因4DEF的面积为1,所以gD ED F=l,即g x g x 尤=1,解得=|石，所以D E=g x|不=逐，因为 AD=BD,AE=C E,所以 BC=2DE=26，因此本题选D.二,填空题_9.【答案】同 W t）f V ZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,：.ACD/XABC,-A1 C-_A1 D,Lp|P-A-C-_-2AB AC 2+3 AC.A C=E 或 A C=-VI5（舍去）.1 0.【答案】2【解析】由图形易证aA B C 与4D EF相似，且相似比为1:夜，所以周长比为卜 日故 答 案 为:T-i i.【答案】3【解析】如图，过3作8 工4于E,延长E3交4于尸，过A作AN，/2于N,过。作CM_L4于 例，设 AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,：B D 4,：.DM=y-4,DN=4-x,：ZABC=ZAEB=ZBFC=/C M D =ZAND=90。,：.ZEAB+ZABE=ZABE+/C B F=90,ZEAB=NCBF,:./A B E /XBFC,AE BE an x m=，即一=一,BF CF n y/.xy=m n,：ZADN=Z.CDM,：./CM D 0 AA7VD,AN DN nn m 4一 无 2-=-，即=-7=-CM DM n y-4 33_ y =x+10,.心=2,n 3 2(m+ri)5最 大 一.当，”最大时，（加+）最大=|机，3mn=x)=%(一万1+10)=22,10 10,.当x=-=彳 时，m最大2x 50 3 2一 =m3 2 J O 机 最 大=y，5 1 0 2 5 2 5.?+的最大值为;x=.故答案为：y.1 2.【答案】竺 解析 如图，.四边形CDEF是正方形，.CDMEZ纭CE1 7设 ED=x,则 CD=x,AD=l2-x.：DE/CF,：.ZADE=ZC,ZAED=ZB,：.ADEAACB,DE_ AD x_1 2-x _ 6 0 =,一=,X.BC AC 5 1 2 1 7如图，四边形D G F E是正方形，过。作C P L A B于P,交。G于0,：SA ABC=2-A2CBC=-AB C P,则 1 2 x 5=1 3 C P,：.CP=-.1 3设 同理得:CDGs/CAB,.空=”，AB CP6 0 y-i s、，-7 8 0/6 0 6 0 ，V-sacB。，由相似三角形对应AB 5边成比例，得4 0=2,B D=B C B C=.过点E作E G A8交C。AB 5 AB 5于点G,由平行线分线段成比例，得DG=LCD=9,EG=,所 以 空=丝，2 5 5 GF EG9即尹 =/所以。尸=,故答案为生.。日 855 531 4.【答案】豆【解析】法 1：过 3 点作BE7/A。交AC于点E,则A O O s/EB O,由ND4C=9 0 ,得到 BE_LA,.,.桨由 tanZAC B=,可得 CE=2BE=4AE,OL(JD 4 Z.SM BD AO 3 3SZCBD OC 4+(3+4)X4 32,法 2：如图，过点。作。M8 C,交 CA的延长线于点M,延长区4 交。M 于点AR ANN,得到ABCsAMW,X O B C sX O D M,进而得出对应边成比例，m=诉oC NM1 n/C R A=fan/A C B=5,而=而=弓；又/A8C=NOAC=90。，A ZBAC+ZNAD=90,VZBAC+ZBC4=90,：.ZNAD=ZBCA,：.AABC/XD AN,得出对应边N.间关系，一人,4=不，设 AB=a,D N=b,则 BC=2a,NA=2b,MNC NA Z=4b,得。M=|a,，4/?+/?=会 即 b=宓，进而表示三角形的面积，得到；：1 5.【答案】解：.在 RfZXABC 中，AC=1,BC=2,A AB=或，AC：BC=1：2,.与RrAABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,：；若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X 6网格图形中，最长线LJ段为6&,但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格国：才点且长为8 的线段，故最短直角边长应小于4,在图中尝试，可画出DE=V10EF二2 8，DF=5也的三角形，.而 _ 2晒 _ 5M =2=回，/.ABCADEF,.*.ZDEF=ZC=90,B D C.此时4D E F的面积为：JIU X 2/10+2=10,ADEF为面积最大的三角形,其斜边长为：5版 故答案为：5M.1 6.【答案】(三卷)或(一 4,3)【解析】点尸在矩形ABOC的内部，且ZXAPC是等腰三角形，.P 点在AC的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC为半径的圆弧上；当P 点在AC的垂直平分线上时，点P 同时在8。上，AC的垂直平分线与B。的交点即是E,如图1所示，V PEBO,COLBO,:.PE/CO,：.APBE s C8。，.四边形AB。是矩形，A点的坐标为(-8,6),.点 P 横坐标为-4,OC=6,30=8,BE=4,：APBE s ACBO,.世，即必，,CO BO 6 8解得：PE=3,.点 P(-4,3).P 点在以点C 为圆心AC为半径的圆弧上，圆 弧 与 的 交 点 为 P,过点P 作于E,如图2 所示，V COBO,：.PE/CO,：./PBE s ACBO,.四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(-8,6),.AC=BO=8,CP=8,AB=OC=6,：BC=VBO2+OC2=Vs2+62=10 BP=2,:APBE s /CBO,PE BE BP nn PE BE 2.布=而=而 即：解得：PE,BE=|,OE=8-=,5 5.点P(告 令,综上所述：点尸的坐标为：(-,，或(-4,3),故答案为：(-微)或(-4,3).三、解答题17.【答案】解：设这个正方形零件的边长为X m m,则4 A E F 的边E F 上的高AK=(80-x)mm.四边形 EFHG 是正方形，；.EFG H,即 EFBC.A AAEFAABC.EF _ AK x _ 80-x.就 一 茄，即 询 一 与/.x=48.这个正方形零件的边长是48 nlm.18.【答案】(1)7四边形ABCD是平行四边形，/.AD/CD,AD=BC,：丛 EBFs 丛 EAD，.BF BE布 一 西 BE=AB,AE=AB+BE,BF 一1，AD 2:.BF=-A D =-B C ,2 2：.BF=CF.(2)V四边形ABCD是平行四边形，AD/CD,./FGCS/DGA,:.a 匹,即 空 ，DG AD 4 2解得，FG=2.1 9.【答案】解:BD 平分 ZABC,：.ZABD=Z CBD.,JAB/CD,：.ZD=ZABD,:./C B D=/D,：.CD=BC=6.在 R S ABC 中，AC=/AB2-BC2=V102-62=8.AB/CD,M A B E sC D E,CE_DE _C D _ 6 _ 3*AE BE AB 10 5 A CE=-AE,DE=-BE,B P CE=-AC=-x8=3.5 S 8 8在 RtA BCE 中，BE=BC2+CE2=62+32=3V5,DE=|BE=|x3V5=|v亏2 0.【答案】解:AB=AC,ZBAC=36,：.ZABC=ZACB=(18036)=72,，ZAFB=ZACB=72,.8。平分 NA3C,A ZDBC=36,JAD/BC,.,.ZD=ZDBC=36,.,.ZDAF=ZAFB-ZD=7 2O-36O=36；(2)证明：:NEAF=NFBC=ND,NAEF=NAED,/.EAFAEDA,AE_EFDE=EA,：.AE2=EFED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，：AB=AC,，AG垂直平分BC,，AG过圆心0,：AD/BC,：.ADA.AG,.AO是。的切线.2 1.【答案】解:因为点。是A C中点，所以O D L A C,所以孙=P C,所以NPCA=N%C,因为AB是。的直径，所以 NACB=90。，所以 NA8C+N8AC=90,因为NPCA=NABC,所以N H G N A BC,所以NE1C+N3AC=9O。，所以所以必是。的切线.因为NB 40=NA0=90。，ZAOD=ZPOA,所以 PAO AD O,所以丝=处,PO 0A所以 AO2=OZO P,所以 EF1=AB2=(2AO)2=4AO2=40D-OP.(3)因为 tanZAFP=,所以设 AD=2x,3则 FD=3x,连接 A E,易证AOESAEDA,所以 ED=-AD=-x,3 3所以 E F=3,EO=X,DO-x,3 6 6在 ABC中，。为中位线,所以 D 0=-BC=4,2所 以 三x=4,x=9所以。二 士 尢=三6 5 3 52 2.【答案解：（1）证明：如图1 中,VAE1AD,.ZDAE=90,ZE=90-ZA D E,TAD 平分NBAC,A ZBAD=-Z B A C,同理NABD=，NABC,V ZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+2 2ZABC=180-ZC,/.Z A D E=1(NABC+NBAC)=90；NC,A ZE=90-(90-1 ZC)=|ZC.(2)解：延长AD交 BC于点F.VAB=AE,.,.ZA BE=ZE,BE 平分NABC,NABE=NEBC,.ZE=ZC B E,；.AEBC,/.ZAFB=ZEAD=9 0,AF DEVBD：DE=2：3,.*.cosZABC=.AB AE 3(3).ABC 与4ADE 相 似,ZDAE=90,NABC 中必有一个内角为 90。YNABC 是锐角，ZABC/900.当/BAC=NDAE=90。时，V Z E=-Z C,.，.Z A B C=Z E=-Z C,V ZABC+ZC=90,.，.ZABC=30,2 2此时部1=2-A B C当NC=NDAE=90。时，ZE=-ZC=45,AZEDA=45O,2A B C 与a A D E 相似，.Z A B C=4 50,此 时 迦=2 一a.SA A B C综上所述，N A B C=3 0。或4 5。，迦=2 6或 2 一夜.A B C2 3.【答案】(1)证明：四边形A B C O 是矩形，/.Z E A M=ZF D M=90 ,.M是 的 中 点，：.A M=D M,在 A ME和 M/中，j N A=N F D BAM=DM ,Z A M E=Z D M F：.A EM丝OFM(A SA)；(2)证明：如解图，过点G 作 G H L A。于H,解图V Z A=ZB=ZA HG=90,.四边形A B G H 是矩形，：.GH=A B=2,.M是A。的中点，：.A M=A D=2,：.A M=GH,JMGLE F,；.NGME=90：.ZA ME+ZGMH=9Q .V Z A M E+ZA E M=90,，N A E M=NGMH,在 A EM和 M G 中，(A M=G H N A E M=N G M H,Z A=Z A H G：./A E M gHMG,：.ME=MG,：.Z E G M=4 5a,由 得 A EMg丛D F M,：.ME=MF,：MGLE F,:4EM G 9丛 FMG,:.GE=GF,：.ZEGF=2ZEGM=90a,.GE尸是等腰直角三角形.(3)解：如解图，过点G 作 GHLAO交AO延长线于点”,解图V ZA=ZB=ZAHG=9Q,二四边形ABG是矩形，：.GH=AB=2yj3,：MGLEF,：.ZGME=9Q,A ZAME+ZGMH=90,V ZAME+ZAEM=90,，NAEM=NGMH,又.NA=NGM=90,.AEM s M G,EM _AM,MG=GH,在 RtAGME 中，ta n/M E G=小.LL IV I v/.n=百2 4.【答案】(1)证明：.AC为直径，ZABC=ZADC=90,二 ZABC=ZBAD=90,：.BC/AD,：.ZBCA=ZCAD,又,.AC=C4,AABCA CDA(AAS),：.AB=CD；(2)证明：.AE为。的切线且。为圆心,：.OALAE,即 CAAE,：.ZEAB+ZBAC=9Q0,而 N3AC+N3C4=90,：.ZEAB=ZBCA,而 NEBA=NABC,巡=电AB=BC,：.AB2=BEBC,由(1)知 AB=C,：.CD2=BEBC；(3)解：由(2)知必:台区台。，9即 C=2BC,FG/BC且点产为AC的三等分点,.G 为A 3的三等分点，即 CD=AB=3BG,在 RtA CBG 中，CG2=BG2+BC2,即 3=(；。)2+3。2，将代入，消去C。得，BC2+|BC-3=0,即 2802+8。-6=0,3解得8C=2或 3。=一 2(舍)，将代入得，8=平.