2021年山东省淄博市临淄区中考数学一模试卷（解析版）.pdf

2021年山东省淄博市临淄区中考数学一模试卷一、选 择 题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中.每小题5 分，满分60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0 分.）1.-8 的倒数是（）A.-B.-8 C.8 D.8 82.2020年 6 月 2 3 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成.该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（）A.3.6X103 B.3.6X104 C.3.6X 105 D.36X1043.下列运算错误的是（）（b-a）B.=-1a+bC 0.5a+b _5a+10b0.2a0.3b 2a_3b、a-b b-aa+b b+a4.已知 3，=4,32 m-4n=2.若 9=x,则 x 的 值 为（）A.8 B.4 C.2&D.7 25.最近一周，小然每天销售某种装饰品的个数为：11,10,11,13,11,13,1 5.关于这组数据，她得出如下结果，其中错误的是（）A.众数是11 B.平均数是12 C.方差是半 D.中位数是136.如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是（)甲 乙 丙A.仅有甲和乙相同 B.仅有甲和丙相同C.仅有乙和丙相同D.甲、乙、丙都相同7.利用我们数学课本上的计算器计算asin52,正确的按键顺序是（）A.CD 030135CUGOCZ!B-CD叵）C Z 3 叵3 C Z 3 CD COc-QDOQDCE DCDCI DCZ DCZ Dd-G E 3 c z J C Z 3 G E D CD C Z D C Z 38.已知关于x 的分式方程-7-4=*的解为正数，则 4 的取值范 围 是（）x-2 2-xA.-8Jl-8 且 JlW-2 C.k -8 且 D.左0）的图象上，/A 8O=90,过 AO边的三x等分点M、N 分别作x 轴的平行线交AB于点尸、Q.若四边形MAQP的面积为3,则 kH.一个三角形木架三边长分别是75c7,100cm,120。小 现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和 120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A.一种 B.两种 C.三种 D.四种1 2 .如图，在正方形A B C C中，A B=8,A C与8。交于点。，N是A0的中点，点M在B C边上，且B M=6.P为对角线8。上一点，则P M-P N的最大值为（）A.2 B.3 C.2&D.4/2二、填 空 题（每小题4 分，共 20分）1 3 .已知。=7 -3 6,则代数式。2+6必+9 2的值为.1 4.若卜-2|+，x+y=。，则-2X y-1 5 .在a A B C中，已知乙4BC=9 0,Z BA C=3 0,B C=.如图所示，将A A B C绕点A按 逆 时 针 方 向 旋 转9 0 后 得 到 A B C .则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积为.1 6.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲 中 有 三 张 标 有 数 字5，1的卡片，乙中有三张标有数 字1,2,3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为。，从乙中任取一张卡片，将其数字记为从若“，6能使关于x的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，则甲获胜；否则乙获胜.则乙获胜的概率为.1 7 .如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有3个菱形，第个图形中一共有7个菱形，第个图形中一共有1 3个菱形，按此规律排列下去，第个图形中菱形的个数为 O o O o图 图OOOOOQO O_ OOOO图OO O o o o OOO OO O宅 OO图三、解 答 题（第18,19题每题8分；第20,21,22题每题10分，第23,24题每题12分;满分70分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1 8.解不等式组,1x+l 7-1x,3x-2 X x-4I-并写出它的所有整数解.1 9 .如 图，在 A 8 C中，M,N分别是4 8和 AC 的中点，连接点E是 C N的中点,连接ME并延长，交 8c的延长线于点D若 B C=4,则 C O的长是多少？2 0.为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟9 9 次，某班班长统计了全班5 0 名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）.求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少.2 1 .某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5 万元;乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过2 0吨.(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为2 3 5万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.2 2.如 图，在的边8 C上取一点O,以。为圆心，0 c为半径画。0,与边A B相切于点。，A C=A Q,连接。4交。0于点E,连接C E,并 延 长 交 线 段 于 点F.(1)求证：A C是。的切线；4(2)若 A 8=10,t a n 8=,求。0 的半径；3(3)若下是A 3的中点，试探究B O+C E与A F的数量关系并说明理由.2 3 .如 图1,已知四边形A B C Q是矩形，点E在B A的延长线上，A E=A D.E C与B O相交于点G,与A。相交于点F,A F=A B.(1)求证：B D 1 E C；(2)若A B=1,求A E的长；(3)如图2,连接A G,求证：EG-D G=G.2 4 .如图，在直角坐标系中有Rt Z V I O B,0为坐标原点，。8=1,t a n/A B O=3,将此三角形绕原点0顺时针旋转9 0 ,得到Rt A C O D,二次函数y=-x+hx+c的图象刚好经过A,B,C三点.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点。(1,3)的直线/：y=fcc-k+3与二次函数的图象相交于M,N两点.一 右-S“MN=2,求k的值；证明：无论为何值，PMN恒为直角三角形；当直线/绕着定点Q旋转时，PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式.参考答案一、选 择 题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中.每小题5分，满分60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分.）1.-8 的倒数是（）A.-B.-8 C.8 D.8 8【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数，可求一个数的倒数.解:-8 的倒数是故选：A.2.2020年 6 月 2 3 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成.该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（）A.3.6X103 B.3.6X104 C.3.6X105 D.36X104【分析】科学记数法的表示形式为a X l）的形式，其 中 lW|a|10,为 整 数.确 定n的值时，要看把原数变成。时.，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原 数 绝 对 值 时，是正数；当原数的绝对值 1 时，是负数.解：36000=3.6X104,故选：B.3.下列运算错误的是（）A.4=i(b-a)2B.C.-a-b 4-=-la+b0.5a+b 5a+10bD.0.2a-0.3b 2a-3ba b _baa+b b+a【分析】根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案.解：A、，)：=.(日)，=,故本运算正确;(b-a)2(a-b)2B、景=皆=7故本运算正确;05a+b _ 5a+10b0.2a0.3b 2a-3b故本运算正确;。、w=一 震故本运算错误;故选：D.4.已知 3 M=4,32 m-4 =2.若 9 =x,则 x 的 值 为（）A.8 B.4 C.2&D.7 2【分析】根据事的乘方以及同底数塞的除法法则计算即可求出的值，再根据算术平方根的定义即可求出x 的值.解：V 3m=4,32m(3 吟 2+(3)4=2.4 2：(3”)4=2,(3 )4=42-?2=8,又；9 =3 2 =X,/.(3n)(32 n).*.x2=8,，=近=2 M.故选：c.5 .最近一周，小然每天销售某种装饰品的个数为：1 1,1 0,1 1,1 3,1 1,1 3,1 5.关于这组数据，她得出如下结果，其中错误的是()A.众数是1 1 B.平均数是1 2 C.方差是芋 D.中位数是1 3【分析】将数据从小到大重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可.解：将这组数据重新排列为1 0,1 1,1 1,1 1,1 3,1 3,1 5,所以这组数据的众数为1 1,中位数为1 1,平均数为I0*11X 3尸X 2+15=1 2,方 差 为 会 (1 0-1 2)2+3 X (1 1-1 2)2+2 X (1 3 -1 2)2+(1 5 -1 2)2 =孚故选：D.6 .如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是（）T 1 2 V 2 ni Z E tri甲 乙 丙A.仅有甲和乙相同 B.仅有甲和丙相同C.仅有乙和丙相同 D.甲、乙、丙都相同【分析】由已知条件可知，甲的主视图有2歹U,每列小正方数形数目分别为2,2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2,1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2,2.据此可即可求解.解：根据分析可知，甲的主视图有2歹U，每列小正方数形数目分别为2,2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2,1；丙的主视图有2歹U，每列小正方数形数目分别为2,2；则主视图相同的是甲和丙.故选：B.7 .利用我们数学课本上的计算器计算a si n 5 2 ,正确的按键顺序是（）A.QJ Q Q S S OB.区CDG DCDCO CZDc-CDC3CZ30 OCZ3CZ3QD.p b T|Q Z J CD G E）C Z 3 C O C Z 3【分析】根据计算器的使用方法，可得答案.解：利用该型号计算器计3而5 2 ,按键顺序正确的是：E 函 日 西 国0日,故选：B.8.已知关于x的分式方程二三-4=白 的 解 为 正 数，则的取值范围是（）x-2 2-xA.-8 k-8且左W-2 C.女 -8 且女W 2 D.攵 V 4 且 A W -2【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出火的范围即可.去分母得：X -4（A-2）=-k,去括号得：x-4 x+8=-k,解得：X=等，O由分式方程的解为正数，得 到 塔（）,且 塔 W Z,3 3解得：&-8 且 k -2.故 选:B.9.如图，A B C 内接于。，/A=5 0.E是边8 c的中点，连 接 0 E并延长，交。于点。，连接B。，则 的 大 小 为（）A.5 5 B.6 5 C.6 0 D.7 5【分析】连接C。，根据圆内接四边形的性质得到N C Q B=1 8 0。-N 4 =1 30 ,根据垂径定理得到O O LBC,求得8 O=C。，根据等腰三角形的性质即可得到结论.解：连接C Q,./A=5 0,.,.Z C）B=1 80o-乙 4=1 30,.E 是边8 c的中点，：.ODB C,：.B D=C D,:.N O D B=N O D C=L/B D C=6 5。,2故选：B.1 0.如图，Z V IB。的顶点A在函数y=K（x 0）的图象上，NA B O=9 0,过AO边的三x等分点M、N分别作x轴的平行线交A B于点P、Q.若四边形M N Q P的面积为3,则k【分析】易证A NQSA MPSA O B,由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出 4 V Q的面积，进而可求出 A OB的面积，则上的值也可求出.解：NQ/MP/OB,：./A N Q/A M P A O B,N是0 A的三等分点，.AN=1迎 前 一 A O _T.SAAHQ 1SA A NP 4；四边形M N Q P的面积为3,.SAANQ 13+S&JJQ 4S&ANQ=1,:一=（幽）2AAOB AO 9/.S4A0B=9,.,.k=2SAOB=lS,故选：D.1 1 .一个三角形木架三边长分别是7 5。，1 00c,1 2 0 a m 现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为6 0”和 1 2 0c？的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A.一种 B.两种 C.三种 D.四种【分析】分类讨论：长 1 2 0c m 的木条与三角形木架的最长边相等，则 长 1 2 0a”的木条不能作为一 边，设 从 1 2 0。的一根上截下的两段长分别为X O,）5 7 （x+y W 1 2 0）,易得长60cm的木条不能与15cm的一边对应，所以当长6 0c 7 的木条与l OOc v n 的一边对应时有言=白=黑；当长6 0c%的木条与1 2 0c 7 的一边对应时有等=黑，然后分别120 100 75 100 120利用比例的性质计算出两种情况下得x和 y的值.解:长1 2 0c m 的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长1 2 0c m的木条不能作为一边，设 从 1 2 0。%的木条上截下两段长分别为X C 7 W,ycm（x+y W 1 2 0）,由于长6 0c 7%的木条不能与15cm的一边对应，否则x+y 12 0cm,当长6 0c m 的木条与1 00。的一边对应，则2=0 7=-,75 120 100解得：x=4 5,y=7 2；当长6 0c 机的木条与1 2 0c m 的一边对应，则 二 =:匚=?75 100 120解得：x=37.5,y=5 0.，有两种不同的截法：把 1 2 0c？的木条截成4 5 c z、7 2 0n两段或把1 2 0c m 的木条截成37.5。小 5 0c m 两段.故选：B.1 2 .如图，在正方形A 8C Z）中，A B=8,AC与 3。交于点O,N 是 AO 的中点，点 M在边上，且 3 M=6.尸为对角线3。上一点，则尸M-PN 的最大值为（）A.2 B.3 C.2V2 D.442【分析】以 8。为对称轴作N 的对称点N,连接MN，并延长交BO于 P,连 N P,依据P M-P N=P M-P N W M N,可得当P,M,M三点共线时，取“=，再 求 得 型=且 匚BM AN=，即可得出PMABC,NC MN=90 ,再根据NCM 为等腰直角三角形，即O可得到C M=M N=2.解：如图所示，以 8。为对称轴作N 的对称点M,连接M N 并延长交8。于 P,连 NP,根据轴对称性质可知，PN=PN,：.PM-P N=P M -P N W M N,当 P,M,M三点共线时，取“=”，.正方形边长为8,；.A C=MAB=8&,为 AC中点，.A O=OC=4y2,:N 为 0 A中点，；.0 N=2&,.0M=C M=2&,.A N=6&,；B M=6,；.C M=A B -B M=8 -6=2,C M _ CN _ 1,B M_A N7_ 京，：.PM/A B/C D,NC MN=90 ,；/。加=45,.NCM 为等腰直角三角形，：.C M=MN=2,即 PM-PN 的最大值为2,故选：4.二、填 空 题（每小题4 分，共 20分）1 3.已知a=7-3Z?,则代数式“2+6人+9 的 值 为 49.【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案.解:a=7-3 b,/.a+3b=7,：.a2+6ah+9h2=(a+36)2=72=49,故答案为：49.1 4.若以-2|+J x+y=。，则-1 外=2.【分析】根据非负数的性质进行解答即可.解：.h-2 i+y =o,.x-2=0,x+y=0,.x=2,y=-2,-x y=X 2 X (-2)=2，故答案为2.1 5.在ABC 中，已知NABC=90,ZBAC=30,B C=.如图所示，将AABC绕点 A按逆时针方向旋转9 0 后得到ABC.则图中阴影部分的面积为_ 己二巨【分析】解直角三角形得到A 8=EBC=F，A C=2 B C=2,然后根据扇形的面积公式即可得到结论.解：ZA B C=90,NR4 c=30:.A B=-J C=M，A C=2 B C=2,二图中阴影部分面积=S m ACc-S1X IXV3=2EZ/3,故答案为：土 巨；2,B C=1,；增形AOA，-1BCBDt1 6.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字劣，5，1的卡片，乙中有三张标有4 2数 字1,2,3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为小 从乙中任取一张卡片，将其数字记为R若a,6能使关于x的一元二次方程以2+法+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.则乙获胜的概率为 4-一9一【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙同学获胜的概率.解：画树状图如下:开始由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙同学获胜的有4种结果数，乙同学获胜的概率为，9故答案为：卷.1 7.如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有3个菱形，第个图形中一共有7个菱形，第个图形中一共有1 3个菱形，按此规律排列下去，第个图形中菱形的个数为OO O图 oo图OOOO O Qo ooooo图OOO o o OO OO图【分析】根据图形的变化规律即可得第个图形中菱形的个数.解：第个图形中一共有3个菱形，即2+1 X I =3；第 个 图 形 中 一 共 有7个菱形，即3+2 X 2=7；第 个 图 形 中 一 共 有1 3个菱形，即4+3 X 3=1 3；按此规律排列下去,所以第个图形中菱形的个数为：8+7X 7=5 7.故答案为：5 7.三、解 答 题（第 18,19题 每 题 8 分；第 20,2 1,22题 每 题 10分，第 23,24题 每 题 12分;满 分 70分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.解不等式组,y X+l 7-y X,并写出它的所有整数解.3x-2x-4I-【分 析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得.解：，寺（+17-*等 若寸解不等式，x （左 中，Z NM E=Z CD E99,.超过全校的平均次数;(2)这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19=36,所以中位数一定在100120范围内;(3)该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2=33(人),故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是空.2 1.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨.(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.【分析】(1)根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；(2)根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值.解：(1)设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产(1 0 0-x)吨，10 x+(100-x)X 1 =235,解得，x=15,/.100-x=85,答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15盹，85盹；(2)设利润为卬万元，销售甲种特产。吨，卬=(10.5-1 0)。+(1.2-1)X(1 0 0-。)=0.3。+20,0Wa20,.当=20时，卬取得最大值，此时狡=26,答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元.2 2.如图，在4 8 C的边3 C上取一点O,以。为圆心，OC为半径画。0,与边45相切于点。，AC=AD,连接OA交。0于点E连 接C E,并延长交线段4 8于点F.(1)求证：AC是。的切线;(2)若 AB=10,tanB=,求。的半径；3(3)若尸是A 8的中点，试探究BO+CE与 A尸的数量关系并说明理由.【分析】(1)连 接 由 切 线 的 性 质 可 得/4。0=90,由“SSS”可证4 7。丝4A D O,可得 NAOO=NACO=90,可得结论；(2)由锐角三角函数可设AC=4x,B C=3 x,由勾股定理可求8 c=6,再由勾股定理可求解；(3)连接 O。，D E,由“SAS”可知C O EgZO O E,可得N O C E=N O E D,由三角形内角和定理可得NOEFulSO。-Z O E C-ZOD=1800-2ZOCE,ZDFE=180-Z B C F-ZCBF=180-2 Z 0 C E,可得N D E F=N D F E,可 证。E=D F=C E,可得结论.解：(1)如图，连接OO,。与边A 8相切于点。，：.OD AB,即 NAOO=90,：A O=A O,AC=AD,O C=O D,.4 CO丝ADO CSSS),A ZADO=ZACO=90,：.OD1AB,又o c 是半径，AC是。的切线;(2)VtanB=,3 BC.设 AC=4x,BC=3x,JAC+BCAB2,.16x2+9x2=100,.*.x=2,：.BC=6f9：AC=AD=Sf A5=10,：.BD=2,OB2=OD2+BD2f(6-OC)2=OC2+4f;.oc=区,3故O O的半径为日o(3)AF=CE+BD,理由如下:由（1）可知：ACOgZVLDO,A ZACO=ZADO=90,ZAOC=ZAODf又:CO=DO,OE=OE,：./COE/DOE(SAS),：.ZOCE=ZODE,*：OC=OE=OD,J ZOCE=ZOEC=ZOED=NODE,：.ZDEF=S0-ZOEC-ZOE)=180-2ZOCE,；点厂是4 8中点，Z A C B=9 0 ,：.C F=B F=A F,:./FC B=/FB C,A Z D F E=1 8 0 -NB C F-NC B F=18 0 -2 NOC E,：.N D E F=NDFE,：.DE=DF=C E,：.A F=B F=DF+B D=C E+B D.2 3.如 图1,已知四边形A BC。是矩形，点E在B A的延长线上，A E=A D.E C与8。相交于点G,与4。相交于点尸，A F=A B.(1)求证：B D1.EC；(2)若4 B=l,求A E的长；(3)如图2,连接A G,求证：EG-D G=G.图1图2【分析】(1)证明尸也A Q B(SA S),得出/A E F=N A O B,证得/EG B=9 0 ,则结论得出；(2)证明 A EF s o c F,得出坐望，BP A E DF=A F DC,设 A E=4 O=(4 0),D C D F则有。(“-D =1,化简得层-。-1=0,解方程即可得出答案；(3)在线段E G上取点P,使得 P=O G,证明a A EP丝Z V I D G (S A S),得出A P=A G,N E A P=N D A G,证得 P A G为等腰直角三角形，可得出结论.【解答】(1)证明：四边形A 8 C O是矩形，点E在8 A的延长线上，/EA F=/D 4 B=9 0 ,：A E=A D,A F=A B,：.A EF/XA DB(S A S),：.乙A EF=NA DB,NGEB+/GBE=N4O8+NABO=90,即 NEGB=90,故 BD_LEC,(2)解：,四边形45CZ)是矩形，J.AE/CD,：.ZAEF=/DCF,ZEAF=/CDF,：.AAEFADCF,.A E _ A F ,D C D F即 AE-DF=AFDC,设 AE=ADa(a 0),则有(a-1)1,化简得 a2-a-=0,解得a 上 巫 或 上 正(舍 去)，2 2.)=“反2(3)证明：如图，在线段EG上取点P,使得EP=G,图2在?!：与AOG 中，AE=AD,ZAEP=ZADG,EP=DG,：./AEP/ADG(SA S),：.APAG,ZEAP=ZDAG,：./PA G=/PA D+/ft4G=N PA O+N E 4P=/O A E=90,.PAG为等腰直角三角形，：.EG-DG=EG-EP=PG=-/2!AG.2 4.如图，在直角坐标系中有RtZA08,O为坐标原点，08=1,tan/A B O=3,将此三角形绕原点。顺时针旋转90,得到R taC O C,二次函数y=-X2+以+C的图象刚好经过A,B,C三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标;（2）过定点。（1,3）的直线/：y=f c c-k+3与二次函数的图象相交于M,N两点.一 右-S“MN=2,求k的值；证明：无论为何值，P M N恒为直角三角形；当直线/绕着定点Q旋转时，P M N外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式.【分析】（1）根据正切的定义求出04根据旋转变换的性质求出。C,利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点尸的坐标:（2）根据题意求出P Q=1,根据三角形的面积公式得到通-=4,根据一元二次方程根与系数的关系解答即可;根据正切的定义得到ta n/P M E=l证明结论；1x,ta n Z FPN=-,x2-1进而证明N P M E=NFPN,用k表示出MN的中点坐标，计算即可.【解答】（1）解：0 B=l,ta n/A 8 O=3,0 A=la n N A 8 0=3,.A (0,3),根据旋转的性质可得：O C=O A=3,：.C(3,0),根据题意可得:解 得:管,(c=3 9+3b+c=0二二次函数的解析式为y=-x+2 x+3,：y=-x1+2 x+3=-(x-1)2+4,二顶点坐标为尸（1.4）；(2)解：设 M(为，y i),N(如 2),直线/：y=米-好 3 过定点。(1,3),抛物线的顶点坐标为P(1,4),尸。=1,：.S MN=亳PQ*CX2-XI)=2,.%2-xi=4,联立 y=-x+2x+3 与 y=kx-&+3 可 得/+(k-2)x-k=0,，+%2=2-k,x xi=-k,:.(X2-X l)2=(X1+X2)2-4xi*X 2=2+4=16,.%=23*证明：过点尸作尸G_Lx轴，垂足为G,分别过点M,N 作 PG的垂线，垂足分别为瓦F,设 M(x i,y i),N(12,2).VM,N 在二次函数y=-f+2x+3图象上，.*.yi=-x i2+2xi+3,y2=-X22+2r2+3.:P(1,4),.PE=4-yi=4+x/-2xi-3=(xi-1)2,ME=1 -xi,PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(X2-1)2,NF=X2-1,PE(xi-1)/.tanZPA/E=-=-=1 -xi,ME 1-XFN x2-1 1tanZFPN=-7PF(x2-l)2*2-1由可知 Xl+%2=2-%,X*X2=-k,.X+X2=2+X|X2，(1 -Xl)(X2-1 )=1,._1_ 1 X=r,X2-I/.tan Z PME=tan Z FPN,:./P M E=/F P N,：/PME+NMPE=9C,：NFPN+/MPE=90,即 NMPN=90,.无论左为何值，P M N 恒为直角三角形；解：设线段/WV的 中 点（x,）,2由可得M N 的中点为（毕，-k+6）,2 2化简，得 y=-2x2+4x+1,