2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷（文科）（解析版）.pdf

2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷（文科）（三）一、选 择 题（共 12小题）.1.已知i是虚数单位，复数z满足z l+i）=3+i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .己知集合M=x/=1 ,N=x|ax=l ,若N U M,则实数a的取值集合为（）A.1 B.-1,1）C.1,0 D.1,-1,0 3 .函数/（X）-*的零点所在的区间是（）A.（-1,-）B.（0）C.（0,=）D.（，1）2 2 2 24 .己知直线/和两个不同的平面a,6,则下列结论正确的是（）A.若/a,/p,则 aJ_0 B.若/a,贝心1 _0C.若/a,/0,贝ij a0 D.若 aJ_0,l/a,则 L 0 x-2 y+405 .若x,y满足约束条件,x+y+l 0 ,则z=3 x+），的最大值为（）2 x+y-2 4 0A.2 B.3 C.4 D.56 .第2 4届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为乐，大OT T正方形的面积2 5 a2,直角三角形中较小的锐角为0,则tan （0 4 ）=（）7 .数列&,中，a,2a,+,a ,则“6=（）A.3 2 B.6 2 C.6 3 D.6 48 .执行如图所示的程序框图，如果输出结果为若，则输入的正整数N为（）A.3 B.4 C.5 D.69.在四边形AB C。中,AB CQ,设 瑟=入 壶+|1而(入，1 R).若入+1 1 =卷,则3|AB|=()2 111A.-B.C.-D.-3 2 3 42 21 0 .已知直线y=与 双 曲 线C：-4-l(a 0,b 0)相交于不同的两点A,B,F为双曲线C的左焦点，且满足|AQ=3|8 f ,|。川=6 (。为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=土 乎X B.y=土 噂X C.y=V2 x D.y=V3 xH 111 1 .已知/(x)=(sin 0)0 E (0,-2-),设8二f (l o g 2 v 7)，b=/(l o g 4 3),c=f(l o g i6 5),则m b,c的大小关系是()A.cab B.acb C.bac D.cba1 2 .如图，已知正方体AB CO-Ai&GOi的棱长为2,E为 棱C G的中点，”为棱AAi上的点，且满足AtF：F A=1：2,点B,E,G,，为过8,E,尸三点的面B M N与正方体的棱的交点，则下列说法错误的是()DA.HF/B EB.三棱锥的体积VBrB MN=4C.直线M N与面4H 84的夹角是4 5 D.DiG：G G =1：3二、填空题 g x,01 3 .若/(x)=,/(0)=2,/(-1)=4,则/(/(-2)=_.ax+b,x 01 4 .在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是_1 5.如图所示，平面B C G B 平面A BC,Z A B C=1 20 ,四边形B CGB为正方形，且A 8=B C=2,则异面直线BC i与A C所 成 角 的 余 弦 值 为.1 6.已知数列 斯 的首项a =1，彳，bn=anan+1，Sn为数列 d的前项Jan+i和.若S“+，并计算如果该地区2021 年(r-1 0)清明节有降雨的话，降雨量为多少？(精确到0.01)*(t jX-t)(y 1 y)A A参考公式：-,3-n _ 0 a-y _ b t(t”)2i=l9 _ 7 _ 9参考数据:(t-t)(yi-y)=-58.Z (t-t)(yi-y)=-541 Z 2=60.i=l i=l i=l7-2(t t)=52.i=l1 9.如图所示，A 8 C O 是边长为2 的正方形，A E _L 平面B C E,且 A E=1.(I )求证：平面A BC。J _平面A BE；(I I)线段4。上是否存在一点凡使三棱锥C-B E F 的高=容？若存在，请求出塔的5A F值；若不存在，请说明理由.20.已知双曲线三b 0)的一条渐近线方程为y/gx，点(2,1)在a b 3双曲线上，抛物线产=2(p 0)的焦点尸与双曲线的右焦点重合.(I )求双曲线和抛物线的标准方程；(I I)过 点F做互相垂直的直线/”h,设/i与抛物线的交点为A,B,/2与抛物线的交点为 ,E,求依3|+|。|的最小值.21.已知函数/(x)=(x+1)(2 -1).(1)求曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程；(2)证明f(x)有唯一的极值点xo,且一卷 (乂0)l,n0),求证：i+2 10.m-1 n参考答案一、选 择 题（共12小题）.1.已知i 是虚数单位,复数z满足z l+i）=3+i,则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:由 z(1+z)=3+i,得 2=7 二1+1(3+i)(l-i)3-3 i+i-i2 _ 4-2i(l+i)(l-i)=T2 +12 2复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（2,-1）,位于第四象限.故选：D.2.已知集合加=仅2=1,N=M ox=l，若N U M,则实数。的取值集合为（）A.1 B.-1,1 C.1,0 D.1,-1,0解：集合 M=x|N=l=-1,1,N=x|ax=l,NUM,.,.当a=0 时，N=0,成立；当 a#0 时，=1 ,a,:N C M,；.工=-1或 工=1.a a解得a-1或a 1,综上，实数的取值集合为1,-1,0.故选：D.3.函数F（x）=e r-x 的零点所在的区间是（）A.（-1,-）B.（二 0）C.（0,5）D.（，1）2 2 2 2解：函数/（X）ex-x,画出与y=x 的图象，如下图：当 时,尸 亲-尹 之，当 x=l 时，-11,e.函数/（x）=e-x 的零点所在的区间是（/，1）.故选：D.4.已知直线/和两个不同的平面a,P，则下列结论正确的是(A.若/。，/p,则 B.若 a J _ 0,Z a,)则/邛C.若/a,/0,则 a 0D.若 a J _ 0,/a,则 L L 0解：设m u a,且加/,由/_ L 0,则加_ L 0,由面面垂直的判定定理可得：a l p,即选项A正确，故选：A.x-2y+4)05 .若 羽y满足约束条件 O ，则z=3 x+y的最大值为()2x+y-2=C0A.2 B.3 C.4 D.5x-2y+40解：由x,y满足约束条件x4y+1。，作出可行域如图，2x+y-240(x+y+l=O联立 ，解得A (3,-4),化目标函数z=3 x+y为y=-3比+z,l2x+y-2=0由图可知，当直线y=-3 x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5.故选：D.6.第 24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为标，大正方形的面积25a2,直角三角形中较小的锐角为。，则 t an （。3二）=（）。5=24+1 =3 1,。6=功+1 =6 3,工A.二 B.42 3解：设直角三角形的两直角边长为X,，则/+（。+工）2=25。2,解得x=3 m.s i n e=,c os e =4-5 5呼=率t an （。呼八c os 4 4故选：D.7.数列 小 中,（7 i =l,则 cA.32 B.6 2解：数列 如 中，m+|=2。“+1,ai=l,cc T1 DD.71a+x,二 tan 8 T =_4_ _ _ 工1+tanQ 总 7跖=()C.6 3 D.6 4 2 =2l+l=3,43=22+1=7,4/4 =2(23+1 =1 5,故选：c.8.执行如图所示的程序框图，如果输出结果为费则输入的正整数N为(A.3 B.4 C.5 D.6解：第一次执行循环体后，7=1,5=1,k=2,应不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，7=高，5=半k=3,应不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，T=j k=4,应不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，T=,$=身，&=5,应满足退出循环的条件；24 24故输入的正整数N为4,故选：B.9.在四边形A B C Q中,A8CQ,设 标=入 屈+1标(入，(1 R).若入+1 1 =言,则 胆J3|AB|=()解：-：AB/CDf二设!旦!=k,则 庆=A屈，k0,|AB|,AC=AD+DC=AB+AD=AAB+RAD.卜，I N=14:九 +=94 11+=,即 z=w，噜3故选：C.2 21 0.已知直线y=k x与双曲线C：y-l(a 0,b 0)相交于不同的两点4,B,F为双曲线。的左焦点，且满足|AF=3|8Q,|O A|=Z?(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=除x B.y=除:4 O解：设|B Q=?，则|A/q=3|B f=3/n,C.y=士 亚 x D.y=V 3x取双曲线的右焦点F ,连接AF ,BF ,所以四边形4F 8尸为平行四边形，所以依9|=|即=小,设A在第一象限，得3机-m=2“，即，=，由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和,可 得(2b)2+(2c)2=2(加+姆)，所以 02=3。2,则 按=/-“2=2*,即互=、历，a所以双曲线的渐近线的方程为y=-x=土 扬，a故选：C.JT 111 1.已知/(X)=(s i n。),O e (0,),设 a=f (q l o g 2 有)，6=/(l og 43),c=f（l og i f i 5）,则 a,b,c的大小关系是（）A.c a b B.a c b C.b a c D.c b an解：根据题意，/(x)=(s i n e)S 0G(0,),则 O V s i n O V l,则函数f (x)=(s i n 9)为减函数,又由|1 0g 27 7=1 0g 4/7 =l。g l 6 7,Iog 43=b g l 6 9,则有 Iog l 6 5|l og 2 J7 ab,故选：A.1 2.如图，已知正方体AB C。-4 8 C Q1的棱长为2,E 为 棱 C G 的中点，尸为棱A4i 上的点，且满足A L：幺=1：2,点 凡B,E,G,H 为过8,E,尸三点的面用W N与正方体的棱的交点，则下列说法错误的是（）A.HF/B EB.三棱锥的体积V B B M N=4C.直线MN与面A i B B A 的夹角是45D.DG：G G =1：3解：4 项：因为面A 0 面BG,且面A 6与面MBN的交线为FH,面 BG 与面M8 N的交线为B E,所以HFB E,A 正确；8 项：AiF：必=1：2,M Al:A B=1：2,M 4i=l,同理可得 CiN=8C=2,BiN=4,VB j-BMW=VN-MBB=SBMB B 2 3*4=4,B 正确;O O L aC 项：；B|N_L面 4 B|B A,所以/M W Bi即为所求线面角，ta n/N M B i=$l,即/M W B iW-,C 错：O T：C,G NC,10 项:靛 7=西 二 亍3M b=3,G G=-,A D iG=p DiG：GG=1：3,。对.二、填空题 gx,013.若/(x)=,/(0)=2,/(-1)=4,则/(/(-2)=1 .ax+b,x 0g x,解：v/(x)=/,/(0)=2,/(-1)=4,a+b,x 0.0Ex)审h ,x 4 o，(-2)=(4-)-2+1=10,3f(f(-2)=/(10)=/g l0=l.故答案为：1.14.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5 的 5 个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2 个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2 或 4 的概2率 是4一5 一解：现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：C：=1 0,则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括以下四个基本事件：(1,3),(2,4),(3,5),(1,5)(数字没有先后顺序).取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率P=2=苒.i u D故答案为：51 5.如图所示，平面8 C G SJ_平面A B C,Z A B C=1 2 0 ,四边形BCGS为正方形，且=B C=2,则异面直线BCi与A C所成角的余弦值为_ Y g _.解：平面B C G B i，平面A B C,Z A B C=1 2 0 ,四边形B C C山i为正方形，S.A B=B C=2,以8为原点，8 c为x轴，在平面A 8 C内过8作B C的垂线为y轴，以B B i为z轴，建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0),C i (2,0,2),A (-1,百，0),C (2,0,0),B C =(2,0,2),AC=-e，0)，设异面直线BC与A C所成角为0,则 cos0=呼 理 a _娓I西 I -|AC|2/2 4二异面直线B G与A C所成角的余弦值为逅.4故答案为：眸.4y及Xc B1 6.已知数列 斯 的首项a =1，a/广 bn=anan+1 为数列 瓦 的 前 项3an+i和.若S,亘成立，则f的最小值为 1.解：数列 如 的首项2 1=1，az n1 什13 an+l则：/一；=3 （常数）an+l an故数列/一 是 以;=1为首项，3为公差的等差数列.an al则：an=7-（首项符合通项）.n 3 n-2故:,_ 1 _ 1 z 1 _ _ L _、aa+i（3 n-2）（3 n+l）3 3 n-2 3 n+l S-一 二 _一）（1_）工n 3 U 4 4 7 3 n-2 3 n+l ）3 U 3 n+l 3由于数列g“的前n项和S.Vf恒成立，故：t A ，贝 的最小值为去故答案为：y.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题1 7.已知A B C的内角A,B,C的对边分别为”,b,c,a=l .设B为线段A C上一点，C F=&B F,有下列条件：c=l；b=百；a 2+b 2-aa b=c2.请从以上三个条件中任选两个，求SA A B F：SM的值.解：选 ，则。=。=1,b=VS24 2_,2 1由余弦定理可得：cosN A 8 C=g +二0=-,2 a c 22K n又NABCe(0,n),所以N4BC=-,所以 A=C=k.3 6在 B C F 中，由正弦定理得CFsinZCBFBFsinC因为CF=&BF,所以 si n/C B F=返.p 2 兀.ZCBFZABC=,所以NCBF=2，所以N 4 8 F=器.4 1 25 7 T JT 兀所以 si nN A B F nsi i r-nsi n(4)1 2 6 4二si n冬。s 4 c o s j s i n;二 回 返.6 4 6 4 45 兀于是 SAXBF：SCBF=sinZABF：si nZ C B F=si n-7T _ l-h/3T 2-选 ，因为”=1,by2,a2+b2-yftbc2,所以c=l.2-2 2 g由余弦定理可得cosC=a+b-c=上2 a b 2j r又N CE(0,i t),所以。=二一，6TT p n所以 A=C=-y 所以 NA3C=n-A-C=.6 3在 5b中，由正弦定理可得.smz _ C I因为CF=&BF,所以 si n/C B F=券.9 7 1又4CBF ZABC=fBFsinC所以NCBF=2，所以/4 3 尸=空-.4 1 2 L t,5 兀 TT 7 T 7 T TT 7 T 7 T J 5 +/所以 si n/4 8 F=si n 7 -=si n(-)=si n-cos i cos-si n=-1 2 6 4 6 4 6 4 4于是 S&48F：SCBFsin Z ABF：sinZCBFsin-5 兀12s i n -W I42选 ，则=c=1,a2+h2-yj2ab=c2f则a2+b2-&=臬曲,2-2 2%历由余弦定理可得cosC=a +b -c=在2 a b 2又N C w (0,IT),所以 C=-,67 T因为。=c,所以A =C=k，bOTT所以N A 5 C=n -A-C=-Q .oC F RF在 3C F中，由 正 弦 定 理 可 得 一 产 不，s in z lC B F s in C因为CF=&BF,所以 s i n/C B F=.又r N C B F 0,b 0)的一条渐近线方程为y d 3 x，点(2，1)在a，b，3双曲线上，抛物线y2=2px(p 0)的焦点F 与双曲线的右焦点重合.(1 )求双曲线和抛物线的标准方程；(II)过点尸做互相垂直的直线/”12,设人与抛物线的交点为A,B,/2与抛物线的交点为 ,E,求I ABI+I DE 的最小值.解：(I )由 题 意 可 得 且 当，S|Ja=V3b,a 3所以双曲线方程为N-3)2=3勿，将 点(2、万，1)代入双曲线方程，可 得 =3,所以双曲线的标准方程为亡_ d=1，9 3c2=a2+b2=2,所以AC=2A/Q，所以抛物线的方程为y 2=g x-(II)由题意知F(2愿，0),/i,/2与坐标轴不平行,设直线/i的方程为y=k(x-2V 3)，y=k(x-2V 3)y2=8V 3x整理可得卜2乂 2-(4/2+8近 丘+12卜 2=0,.4V 3k2+8V 3 0 恒成X,xA+x B=2，k因为直线小 A互相垂直，可设直线/2的方程为y=4(x-2 j 5)，同 理 可 得 xD+xE=8V 3k2+4V 3.4V 3k2+8V 3 r-2 l rI A B I+1 D E I=XA+XB+XD +XE+2P=2+8V k +4 3+8V 3k=16 3+8 3(k2-)3 2次.当且仅当4=1 时取等号，所以|AB|+|1的最小值为32次.2 1.已知函数/()=(x+1)(2 -1).(1)求曲线y=/(x)在 x=-1处的切线方程;(2)证明f (x)有唯一的极值点刻，且 4 0,解得：x -3,令/(x)0,解得：xO,/(-1)=-1 告 得-岛*专得./(X)有唯一的极值点X0,且 蒋(二)选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程2 2.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为 x-以 y t c为 参 数)，以坐标原点 y W 2 t4为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为p2=,2,l+si n 9且直线I经过曲线C的左焦点F.(I )求直线/的普通方程;(II)设曲线C 的内接矩形的周长为L求 L 的最大值.4解：(/)曲线C的极坐标方程为p2=-2 ,即 p2+p2sin2e=4,l+si n 9可得直角坐标方程：N+2y2=4,化为:z+z=1.4 2:.c=74-2=&，可得作焦点 F(一历 0).直线/的参数方程为x=m+&tl (f 为 参 数)，消去参数f 可得：x-y=m,ly=V 2 t把(飞 历，0)代入可得：，.直线/的普通方程为：x-y+V2=O.()设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos8,V 2sin6)(0 e ).；椭圆 C 的内接矩形的周长为 L=8cose+4j，sine=4jEsin(0+(p)(其中 tan l,n 0),求证：，+2w10.m-1 n【解答】(1)解：因为函数/C O =|x-|+|2x-1|-1 (坯R)的一个零点为1,所以。=1,又当。=1 时，f (x)=|x-l|+|2x-1|-L/(x)W l=|x-l|+|2x-1|W2,上述不等式可化以 2，或2，或J -x-l+2x-l42l-x+l-2x 2l-x+2x-l 2解得x)0 x 1,0,m-1 n所以 nt+2n=m-1+2+1=(nt-1 )+2n(-)+1=6+：-+“1 n 2m-1 n m-1 n2n .2(m-1)一地m-l n当且仅当初=4.=3时取等号，所以加+2 210.