微分方程模型(一)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

第四讲第四讲第四讲第四讲 微分方程模型（一）微分方程模型（一）微分方程模型（一）微分方程模型（一）生活中数学智慧生活中数学智慧 第1页微分方程模型 包括包括“改变改变”、“改变改变”、“增加增加”、“降降低低”、“衰变衰变”、“边际边际”、“速度速度”、“运动运动”、“追赶追赶”、“逃跑逃跑”等等词语等等词语确实定性连续问题。确实定性连续问题。b b、微分方程建模基本伎俩、微分方程建模基本伎俩 微元法等微元法等a a、微分方程建模对象、微分方程建模对象 第2页1 1、寻寻找找改改变变量量 普普通通说说来来微微分分方方程程问问题题都都遵遵照这么文字等式照这么文字等式 改变率（微商）改变率（微商）=单位增加量单位增加量-单位降低许单位降低许等式通常是利用已经有标准或定律。等式通常是利用已经有标准或定律。c c、微分方程建模基本规则、微分方程建模基本规则 2 2、对问题中特征进行数学刻画、对问题中特征进行数学刻画第3页n3 3、用微元法建立微分方程；、用微元法建立微分方程；n4 4、确确定定微微分分方方程程定定解解条条件件（初初边边值值条条件件）；n5 5、求求解解或或讨讨论论方方程程（数数值值解解或或定定性性理理论论）；n6 6、模型和结果讨论与分析。、模型和结果讨论与分析。第4页模型模型1 1 饿狼追兔问题饿狼追兔问题n现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼正西现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼正西100100米处。假设兔子与狼同时发觉对方并一米处。假设兔子与狼同时发觉对方并一起起跑，兔子往正北起起跑，兔子往正北6060米处巢穴跑，而狼米处巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼速在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼速度是兔子两倍。问题是兔子能否安全回到度是兔子两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？巢穴？yxhy=f(x)B-60A(100,0)C(x,y)O第5页n解解 首先建立坐标系，兔子在首先建立坐标系，兔子在O O处，狼在处，狼在A A处。处。因为狼要盯着兔子追，所以狼行走是一条曲线，因为狼要盯着兔子追，所以狼行走是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼位置与兔子位置连线且在同一时刻，曲线上狼位置与兔子位置连线为曲线上该点处切线。设狼行走轨迹是为曲线上该点处切线。设狼行走轨迹是y=f(x)y=f(x)，则有则有 ，又因狼速度是兔又因狼速度是兔子两倍，所以在相同时间内狼走距离为兔子走子两倍，所以在相同时间内狼走距离为兔子走距离两倍。假设在某一时刻，兔子跑到距离两倍。假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)(0,h)处，而狼在处，而狼在(x,y)(x,y)处，则有处，则有第6页n整理得到下述模型整理得到下述模型n这属于可降阶二阶微分方程，解得狼行走轨这属于可降阶二阶微分方程，解得狼行走轨迹迹n因因 ，所以狼追不上兔子。，所以狼追不上兔子。第7页模型模型2 2 尸体冷却问题尸体冷却问题n受害者尸体于晚上受害者尸体于晚上7:307:30被发觉，法医于晚被发觉，法医于晚上上8:208:20赶到凶案现场，测得尸体温度为赶到凶案现场，测得尸体温度为32.632.6；一小时后，当尸体即将被抬走时，；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为测得尸体温度为31.431.4，室温在几个小时，室温在几个小时内一直保持内一直保持21.121.1。此案最大嫌疑犯张某。此案最大嫌疑犯张某声称自己是无罪，并有证人说：声称自己是无罪，并有证人说：“下午张下午张某一直在办公室上班，某一直在办公室上班，5:005:00时打完电话后时打完电话后就离开了办公室就离开了办公室”。从张某到受害者家。从张某到受害者家（凶案现场）步行需（凶案现场）步行需5 5分钟，现在问题是，分钟，现在问题是，张某不在凶案现场证言能否被采信，使他张某不在凶案现场证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。排除在嫌疑犯之外。第8页n解：首先应确定凶案发生时间，若死亡时间在下午解：首先应确定凶案发生时间，若死亡时间在下午5 5点点5 5分之前，则张某就不是嫌疑犯，不然不能将张分之前，则张某就不是嫌疑犯，不然不能将张某排除。某排除。n设设T(t)T(t)表示表示t t时刻尸体温度，并记晚上时刻尸体温度，并记晚上8:208:20为为t=0t=0，则则T(0)=32.6T(0)=32.6，T(1)=31.4T(1)=31.4。假设受害者死亡时。假设受害者死亡时体温是正常，即体温是正常，即T=37T=37是要确定受害者死亡时间，是要确定受害者死亡时间，也就是求也就是求T(t)=37T(t)=37时刻，进而确定张某是否是嫌时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。疑犯。n人体体温受大脑神经中枢调整。人死亡后体温调整人体体温受大脑神经中枢调整。人死亡后体温调整功效消失，尸体温度受外界环境温度影响。假设尸功效消失，尸体温度受外界环境温度影响。假设尸体温度改变率服从牛顿冷却定律，即尸体温度改变体温度改变率服从牛顿冷却定律，即尸体温度改变律与他同周围温度差成正比。即：律与他同周围温度差成正比。即：第9页n分离变量积分得：分离变量积分得：n由由T(0)=21.1+a=32.6 T(0)=21.1+a=32.6 得得a=11.5a=11.5；由；由T(1)=21.1+aeT(1)=21.1+ae-k-k=31.4=31.4n得得e-ke-k115/103115/103，即，即k=0.11k=0.11，所以，所以T(t)=21.1+11.5eT(t)=21.1+11.5e-0.11t-0.11tn当当T=37T=37时，有时，有t=-2.95 t=-2.95 小时小时-2-2小时小时5757分，分，8 8小时小时2020分分2 2小时小时5757分分5 5小时小时2323分。即死分。即死亡时间大约在下午亡时间大约在下午5:235:23，所以张某不能被排，所以张某不能被排除在嫌疑犯之外。除在嫌疑犯之外。第10页 过滤嘴作用与它材料和长度有什么关系过滤嘴作用与它材料和长度有什么关系 人体吸入毒物量与哪些原因相关，其中哪人体吸入毒物量与哪些原因相关，其中哪些原因影响大，哪些原因影响小。些原因影响大，哪些原因影响小。模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体过程，建立吸烟分析吸烟时毒物进入人体过程，建立吸烟过程数学模型。过程数学模型。构想一个构想一个“机器人机器人”在经典环境下吸烟，在经典环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变。吸烟方式和外部环境认为是不变。问题问题模型模型3 香烟过滤嘴作用香烟过滤嘴作用第11页模型模型假设假设定性分析定性分析1）l1烟草长，烟草长，l2过滤嘴长，过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量毒物量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行数量比是行数量比是a:a,a+a=13）未点燃烟草和过滤嘴对随烟雾穿行毒物）未点燃烟草和过滤嘴对随烟雾穿行毒物(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃，香烟燃烧速度是常数烧速度是常数u，v uQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量第12页模模型型建建立立0t=0,x=0，点燃香烟，点燃香烟q(x,t)毒物流量毒物流量w(x,t)毒物密度毒物密度1)求求q(x,0)=q(x)第13页t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut1)求求q(x,0)=q(x)2)求求q(l,t)第14页3)求求w(ut,t)第15页4)计算计算 Q第16页结果结果分析分析烟草烟草为何有作用为何有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比，aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 处吸入量处吸入量2)过滤嘴原因，过滤嘴原因，,l2 负指数负指数作用作用是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处吸入量处吸入量3）(r)烟草吸收作用烟草吸收作用b,l1 线性线性作用作用第17页带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴结果结果分析分析4)与另一支不带过滤嘴香烟比较，与另一支不带过滤嘴香烟比较，w0,b,a,v,l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提升提升 -b 与加长与加长l2，效果相同，效果相同第18页历史背景历史背景:模型模型4 4（）赝品判定赝品判定 在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品企业中发觉线索，于同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品企业中发觉线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮捕了三流画家范日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（梅格伦（HAVanmeegrenHAVanmeegren），此人），此人曾将曾将1717世纪荷兰名画家扬世纪荷兰名画家扬弗米尔（弗米尔（Jan VeermeerJan Veermeer）油画）油画“捉奸捉奸”等卖给纳等卖给纳粹德国戈林中间人。可是，范粹德国戈林中间人。可是，范梅格伦在同年梅格伦在同年7 7月月1212日在牢里宣称：他从未日在牢里宣称：他从未把把“捉奸捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知油画卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知油画“在埃牟斯门在埃牟斯门徒徒”以及其它四幅冒充弗米尔油画和两幅德胡斯（以及其它四幅冒充弗米尔油画和两幅德胡斯（1717世纪荷兰画家）油画，世纪荷兰画家）油画，都是他自己作品，这件事在当初震惊了全世界，为了证实自己是一个伪造者，都是他自己作品，这件事在当初震惊了全世界，为了证实自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔油画他在监狱里开始伪造弗米尔油画“耶稣在门徒们中间耶稣在门徒们中间”，当这项工作靠近完，当这项工作靠近完成时，范成时，范梅格伦得悉自己通敌罪已被改为伪造罪，所以他拒绝将这幅画变梅格伦得悉自己通敌罪已被改为伪造罪，所以他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。陈，以免留下罪证。第19页 为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成国际专门小组查究这一事件。他们用学家组成国际专门小组查究这一事件。他们用X X射线检验画布上是否曾经有射线检验画布上是否曾经有过别画。另外，他们分析了油彩中拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁过别画。另外，他们分析了油彩中拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月迹象。科学家们终于在其中几幅画中发觉了当代颜料钴兰痕迹，还在几幅月迹象。科学家们终于在其中几幅画中发觉了当代颜料钴兰痕迹，还在几幅画中检验出了画中检验出了2020世纪初才创造酚醛类人工树脂。依据这些证据，范世纪初才创造酚醛类人工树脂。依据这些证据，范梅格伦梅格伦于于19471947年年1010月月1212日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于两个多月就因心脏病发作，于19471947年年1212月月3030日死去。日死去。历史背景历史背景:第20页 然而，事情到此并未结束，许多人还是不愿相信著名然而，事情到此并未结束，许多人还是不愿相信著名“在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒”是范是范梅格伦伪造。实际上，在此之前这幅画已经被文物判定家认定为真迹，梅格伦伪造。实际上，在此之前这幅画已经被文物判定家认定为真迹，并以并以1717万美元高价被伦布兰特学会买下。教授小组对于怀疑者回答是：因为万美元高价被伦布兰特学会买下。教授小组对于怀疑者回答是：因为范范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟在埃牟斯门徒斯门徒”，来证实他高于三流画家。当创造出这么杰作后，他志气消退了。，来证实他高于三流画家。当创造出这么杰作后，他志气消退了。而且，当他看到这幅而且，当他看到这幅“在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒”多么轻易卖掉以后，他在炮制以后伪多么轻易卖掉以后，他在炮制以后伪制品时就不太专心了制品时就不太专心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证实学地、确定地证实“在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒”确实是一个伪造品。这一问题一直拖了确实是一个伪造品。这一问题一直拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡内基年，才被卡内基梅伦（梅伦（Carnegie-MellonCarnegie-Mellon）大学科学家们）大学科学家们 基本上处理。基本上处理。历史背景历史背景:第21页原理与模型原理与模型 测定油画和其它岩石类材料年纪关键是本世纪初发觉放射性测定油画和其它岩石类材料年纪关键是本世纪初发觉放射性现象。现象。放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发觉，一些：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发觉，一些“放放射性射性”元素原子是不稳定，而且在已知一段时间内，有一定百元素原子是不稳定，而且在已知一段时间内，有一定百分比原子自然蜕变而形成新元素原子，且物质放射性与所存在分比原子自然蜕变而形成新元素原子，且物质放射性与所存在物质原子数成正比。物质原子数成正比。用用N(t)表示时间表示时间t时存在原子数时存在原子数,则：则：常数常数是正，称为该物是正，称为该物质衰变常数质衰变常数 用用来计算半衰期来计算半衰期T:与负增加与负增加MalthusMalthus模型完模型完全一样全一样 其解为其解为:令令则有则有:许多物质半衰期已被测定，许多物质半衰期已被测定，如碳如碳14，其，其T=5568；轴；轴238，其，其T=45亿年。亿年。第22页与本问题相关其它知识与本问题相关其它知识:(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量放射铅铅中含有微量放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来，而铅又，白铅是从铅矿中提炼出来，而铅又属于铀系，其演变简图以下（删去了许多中间步骤）属于铀系，其演变简图以下（删去了许多中间步骤）(3)从铅矿中提炼铅时，铅从铅矿中提炼铅时，铅210与铅与铅206一起被作为铅留下，一起被作为铅留下，而其余物质则有而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有放射被留在矿渣里，因而打破了原有放射性平衡。性平衡。铀铀238-45亿亿年年-钍钍234-24天天-钋钋234-6/5分分-铀铀234-257亿亿年年-钍钍230-8万万年年-镭镭226-1600年年-氡氡222-19/5天天-钋钋218-3分分-铅铅214-27分分-钋钋214-铅铅210-20年年-铋铋210-5天天-钋钋210-138天天-铅铅206（一个非放射性物质）（一个非放射性物质）注：时间均为半衰期注：时间均为半衰期 (2)地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀。首先，铀系中各地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀。首先，铀系中各种放射性物质均在不停衰减，而另首先，铀又不停地衰减，补种放射性物质均在不停衰减，而另首先，铀又不停地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。依据世界各地抽样测量资料，地壳中铀在铀系放射性平衡中。依据世界各地抽样测量资料，地壳中铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之中所占平均重量比约为百万分之2.7（普通含量极微）。各地采（普通含量极微）。各地采集岩石中铀含量差异很大，但从未发觉含量高于集岩石中铀含量差异很大，但从未发觉含量高于23%。第23页简化假定：简化假定：本问题建模是为了判定几幅不超出本问题建模是为了判定几幅不超出300年古画，为了使模型尽年古画，为了使模型尽可能简单，可作以下假设：可能简单，可作以下假设：(1)因为镭半衰期为因为镭半衰期为1600年，经过年，经过300年左右，应用微分方年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中镭最少还有原量程方法不难计算出白铅中镭最少还有原量90%，故能够假定，故能够假定，每克白铅中镭在每分钟里分解数是一个常数。每克白铅中镭在每分钟里分解数是一个常数。(2)铅铅210210衰变为：衰变为：铅铅210T=22年年钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品，颜料应有若画为真品，颜料应有300年左右或年左右或300年以上历史，轻易证实：年以上历史，轻易证实：每克白铅中钋每克白铅中钋210分解数等于铅分解数等于铅210分解数（相差极微，已无法分解数（相差极微，已无法区分）。可用前者代替后者，因钋半衰期较短，易于测量区分）。可用前者代替后者，因钋半衰期较短，易于测量。第24页建模：建模：(1)记提炼白铅时刻为记提炼白铅时刻为t=0，当初每克白铅中铅，当初每克白铅中铅210分子数为分子数为y0，因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡，故铀与铅单位，因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡，故铀与铅单位时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅210每分钟分每分钟分解数不能大于解数不能大于30000个。个。若若则则（个）这些铀约重这些铀约重 （克）即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为4%4%以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数上界，若画上铅分解数大于该值，上界，若画上铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。断定画一定是真品。第25页 (2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t)，而镭单位时间分解，而镭单位时间分解数为数为r（常数），则（常数），则y(t)满足微分方程：满足微分方程：由此解得：由此解得：故：故：画中每克白铅所含铅画中每克白铅所含铅210当前分解数当前分解数y(t)及当前镭分解数及当前镭分解数r均可用仪器测出，从而可求出均可用仪器测出，从而可求出y0近似值，并利用（近似值，并利用（1）判断这）判断这么分解数是否合理。么分解数是否合理。第26页Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油画作了判定，测得数据以下（见表画作了判定，测得数据以下（见表3-13-1）。）。油画名称油画名称210210分解数（个分解数（个/分）分）镭镭226226分解数（个分解数（个/分）分）1 1、在埃牟斯门徒、在埃牟斯门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱女人、看乐谱女人10.310.30.30.34 4、演奏曼陀琳女人、演奏曼陀琳女人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0（个（个/分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 对对“在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒”，y y0 09805098050（个（个/每克每分钟），它必定是一幅每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似能够判定（伪造品。类似能够判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是赝品。而（）也是赝品。而（5 5）和（）和（6 6）都）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于靠近平衡状态，这么平衡不不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于靠近平衡状态，这么平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。判定判定结果：结果：第27页1 1从制冰厂购置了一块立方体冰块，在运输途从制冰厂购置了一块立方体冰块，在运输途中发觉，第一小时大约融化了中发觉，第一小时大约融化了1/41/4（1 1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（变）（2 2）如运输时间需要如运输时间需要2.52.5小时，问：运输小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？途中冰块大约会融化掉多少？思索题思索题2 2某人天天由饮食获取某人天天由饮食获取25002500大卡热量，其中新大卡热量，其中新陈代谢约需陈代谢约需12001200大卡，每千克体重约需运动消大卡，每千克体重约需运动消耗耗1616大卡，其余热量则转化为脂肪，每千克脂大卡，其余热量则转化为脂肪，每千克脂肪相当于肪相当于1000010000大卡，求此人体重增加公式及极大卡，求此人体重增加公式及极限体重。限体重。第28页