第四章 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）.docx

第四章 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）一根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且nN*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数±0，)(3)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数二根式的性质(n>1，且nN*)(1)n为奇数时，a.(2)n为偶数时，|a|(3)0.(4)负数没有偶次方根思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n为大于1的奇数时，aR；当n为大于1的偶数时，a0.三分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a(a>0，m，nN*，且n>1)负分数指数幂规定：a(a>0，m，nN*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a中，为什么必须规定a>0?提示：若a0,0的正分数指数幂恒等于0，即a0，无研究价值若a<0，a不一定成立，如(2)无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.四有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a>0，r，sQ)(2)(ar)sars(a>0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)五无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a>0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂六指数函数的概念一般地，函数yax(a>0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.七指数函数的图象和性质a的范围a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点(0,1)，即当x0时，y1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数yax与yax的图象关于y轴对称思考1：指数函数yax(a>0且a1)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示：指数函数yax(a>0且a1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势思考2：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律八对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a1.九常用对数与自然对数十对数的基本性质(1)负数和零没有对数(2)loga 10(a>0，且a1)(3)logaa1(a>0，且a1)思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：axN(a>0且a1)，则总有N>0，所以转化为对数式xlogaN时，不存在N0的情况十一对数的运算性质如果a>0，且a1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)思考：当M>0，N>0时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaM·logaN是否成立？提示：不一定十二对数的换底公式若a>0且a1；c>0且c1；b>0，则有logab.十三对数函数的概念函数ylogax(a>0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)思考1：函数y2log3x，ylog3(2x)是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式十四对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，)值域R性质定点(1,0)，即x1时，y0单调性在(0，)上是减函数在(0，)上是增函数思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”十五反函数指数函数yax(a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0且a1)互为反函数十六、三种函数模型的性质yax(a>1)ylogax(a>1)ykx(k>0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度yax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于ykx(k>0)的增长速度，ylogax(a>1)的增长速度越来越慢；存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax十七函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标十八方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点十九函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)·f(b)<0.二十二分法的定义对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法思考：若函数yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解二十一二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0(此时x0(a，c)，则令bc；若f(c)f(b)0(此时x0(c，b)，则令ac.(4)判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)(4)二十二常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a>0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数模型y二十三.建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：<解题方法与技巧>1.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.典例1： (1)若x<0，则x|x|_.(2)若3<x<3，求的值思路点拨(1)由x<0，先计算|x|及，再化简(2)结合3<x<3，开方、化简，再求值(1)1x<0，|x|x，|x|x，x|x|xx11.(2)解|x1|x3|，当3<x1时，原式1x(x3)2x2.当1<x<3时，原式x1(x3)4.因此，原式2.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题典例2：将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)(a>0)；(2)；(3)(b>0)解(1)原式a.(2)原式x.(3)原式bb.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.典例3：化简求值：4.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.典例4：已知aa4，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.思路点拨解(1)将aa4两边平方，得aa1216，故aa114.(2)将aa114两边平方，得a2a22196，故a2a2194.5判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.典例5：(1)下列函数中，是指数函数的个数是()y(8)x；y2x21；yax；y2·3x.A1B2C3 D0(2)已知函数f(x)为指数函数，且f，则f(2)_.(1)D(2)(1)中底数8<0，所以不是指数函数；中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；中底数a，只有规定a>0且a1时，才是指数函数；中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f(x)ax(a>0且a1)，由f得a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.6.指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.典例6：(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa>1，b<0 Ba>1，b>0C0<a<1，b>0 D0<a<1，b<0(2)函数yax33(a>0，且a1)的图象过定点_(1)D(2)(3,4)(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<ab<1a0，即b>0，b<0，故选D.(2)令x30得x3，此时y4.故函数yax33(a>0，且a1)的图象过定点(3,4)7.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.典例7：比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.61.2和0.61.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a1)解(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.61.2,0.61.5可看作函数y0.6x的两个函数值，因为函数y0.6x在R上是减函数，且1.2>1.5，所以0.61.2<0.61.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.701,0.92.1<0.901，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，yax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，yax在R上是减函数，故a1.1<a0.3.8.利用指数函数的单调性解不等式（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式（2）解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)典例8：(1)解不等式3x12；(2)已知ax23x1<ax6(a>0，a1)，求x的取值范围解(1)21，原不等式可以转化为3x11.yx在R上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当0<a<1时，函数f(x)ax(a>0，a1)在R上是减函数，x23x1>x6，x24x5>0，根据相应二次函数的图象可得x<1或x>5；当a>1时，函数f(x)ax(a>0，a1)在R上是增函数，x23x1<x6，x24x5<0，根据相应二次函数的图象可得1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<1或x>5；当a>1时，1<x<5.9.函数yaf(x)(a>0，a1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a>0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.典例9：判断f(x)x22x的单调性，并求其值域思路点拨解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，yx22x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，0<u13，原函数的值域为(0,310.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.典例10：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)27；(2)log325；(3)lg 1 0003；(4)ln x2.解(1)由27，可得log27.(2)由log 325，可得532.(3)由lg 1 0003，可得1031 000.(4)由ln x2，可得e2x.11.求对数式logaN(a>0，且a1，N>0)的值的步骤(1)设logaNm；(2)将logaNm写成指数式amN；(3)将N写成以a为底的指数幂Nab，则mb，即logaNb.典例11：求下列各式中的x的值：(1)log64x； (2)logx 86；(3)lg 100x; (4)ln e2x.解(1)x(64)(43)42.(2)x68，所以x(x6)8(23)2.(3)10x100102，于是x2.(4)由ln e2x，得xln e2，即exe2，所以x2.12.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.典例12：已知3a5bc，且2，求c的值思路点拨解3a5bc，alog3c，blog5c，logc3，logc5，logc15.由logc152得c215，即c.13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.典例13：求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)ln(x1)；(3)f(x)log(2x1)(4x8)解(1)要使函数f(x)有意义，则logx1>0，即logx>1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)(2)函数式若有意义，需满足即解得1<x<2，故函数的定义域为(1,2)(3)由题意得解得故函数ylog(2x1)(4x8)的定义域为.14.函数图象的变换规律(1)一般地，函数yf(x±a)b(a，b为实数)的图象是由函数yf(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，yf(|xa|)的图象是关于直线xa对称的轴对称图形；函数y|f(x)|的图象与yf(x)的图象在f(x)0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.典例14：(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象为()A B C D(2)已知f(x)loga|x|，满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象思路点拨(1)结合a>1时yaxx及ylogax的图象求解(2)由f(5)1求得a，然后借助函数的奇偶性作图(1)Ca>1，0<<1，yax是减函数，ylogax是增函数，故选C.(2)解f(x)loga|x|，f(5)loga51，即a5，f(x)log5|x|，f(x)是偶函数，其图象如图所示15.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.典例15:比较下列各组值的大小：(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.解(1)法一(单调性法)：对数函数ylog5x在(0，)上是增函数，而<，所以log5<log5.法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，所以log5<log5.(2)法一(单调性法)：由于log2，log2，又因对数函数ylog2x在(0，)上是增函数，且>，所以0>log2>log2，所以<，所以log2<log2.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出ylogx及ylogx的图象，由图易知：log2<log2.(3)取中间值1，因为log23>log221log55>log54，所以log23>log54.16.常见的对数不等式的三种类型(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解；(3)形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解.典例16：已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(62x)(a0，且a1)(1)求函数(x)f(x)g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)g(x)中x的取值范围思路点拨(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合(2)分a1和0a1求解不等式得答案解(1)由解得1x3，函数(x)的定义域为x|1x3(2)不等式f(x)g(x)，即为loga(x1)loga(62x)，当a1时，不等式等价于解得1<x；当0a1时，不等式等价于解得x<3.综上可得，当a1时，不等式的解集为；当0a1时，不等式的解集为.17.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型ykxb(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型yax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型ylogax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.典例17：(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 019xBy2019Cylog2 019x Dy2 019x(2)下面对函数f(x)logx，g(x)x与h(x)2x在区间(0，)上的递减情况说法正确的是()Af(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢Bf(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快Cf(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变Df(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C(1)指数函数yax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)logx，g(x)x与h(x)2x在区间(0，)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变18.由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.典例18：函数f(x)2x和g(x)2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f与g，f(2 019)与g(2 019)的大小解(1)C1对应的函数为g(x)2x，C2对应的函数为f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)从图象上可以看出，当1x2时，f(x)g(x)，fg；当x2时，f(x)g(x)，f(2 019)g(2 019)19.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.典例19：(1)求函数f(x)的零点；(2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点解(1)当x0时，令x22x30，解得x3；当x>0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.20.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.典例20：(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(3,4)B(2，e)C(1,2) D(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)(1)C(2)C(1)因为f(1)ln 2<0，f(2)ln 31>0，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.63<0，f(0)132<0，f(1)2.7241.28<0，f(2)7.3952.39>0，f(3)20.08614.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.典例21：已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4D4,3D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.22.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.典例22:某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20152018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？思路点拨解(1)画出散点图，如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0)由已知得解得f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.08<0.1，f(4)8.5，且|8.448.5|0.06<0.1.一次函数模型f(x)1.5x2.5能基本反映年产量的变化(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)1.5×52.510万件，又年产量减少30%，即10×70%7万件，即2019年的年产量为7万件成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期