第2节 导数与函数的单调性.pptx

索引第三章 一元函数的导数及其应用第2节导数与函数的单调性1.借助几何直借助几何直观了解函数的了解函数的单调性与性与导数的关系数的关系.2.能能利利用用导数数研研究究函函数数的的单调性性，会会求求函函数数的的单调区区间(其其中中多多项式式函数一般不超函数一般不超过三次三次).考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系知识梳理条件条件恒有恒有结论函数函数yf(x)在区在区间(a，b)上可上可导f(x)0f(x)在在(a，b)上上_f(x)0f(x)在在(a，b)上上_f(x)0f(x)在在(a，b)上上是是_单调递增单调递增单调递减单调递减常数函数常数函数索引2.利用导数判断函数单调性的步骤利用导数判断函数单调性的步骤第第1步，确定函数步，确定函数的的_；第第2步，求出步，求出导函数函数f(x)的的_；第第3步步，用用f(x)的的零零点点将将f(x)的的定定义域域划划分分为若若干干个个区区间，列列表表给出出f(x)在在各各区区间上的正上的正负，由此得出函数，由此得出函数yf(x)在定在定义域内的域内的单调性性.定义域定义域零点零点索引常用结论1.若若函函数数f(x)在在(a，b)上上单调递增增，则x(a，b)时，f(x)0恒恒成成立立；若若函函数数f(x)在在(a，b)上上单调递减，减，则x(a，b)时，f(x)0恒成立恒成立.2.若若函函数数f(x)在在(a，b)上上存存在在单调递增增区区间，则x(a，b)时，f(x)0有有解解；若若函数函数f(x)在在(a，b)上存在上存在单调递减区减区间，则x(a，b)时，f(x)0有解有解.索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)(1)函数函数f(x)在在(a，b)内内单调递增，那么一定有增，那么一定有f(x)0.()(2)在在(a，b)内内f(x)0且且f(x)0的的根根为有有限限个个，则f(x)在在(a，b)内内单调递减减.()(3)若若函函数数f(x)在在定定义域域上上都都有有f(x)0，则f(x)在在定定义域域上上一一定定单调递增增.()(4)函数函数f(x)xsin x在在R上是增函数上是增函数.()诊断自测索引解析解析(1)f(x)在在(a，b)内内单调递增，增，则有有f(x)0.索引2.(多多选)已已知知定定义在在R上上的的函函数数f(x)，其其导函函数数f(x)的的大大致致图象如象如图所示，所示，则下列叙述正确的是下列叙述正确的是()CDA.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(d)f(e)解析解析由由题意得意得，当，当x(，c)时，f(x)0，所以函数所以函数f(x)在在(，c)上上单调递增，增，因因为abc，所以，所以f(c)f(b)f(a).当当x(c，e)时，f(x)0，所以函数所以函数f(x)在在(c，e)上上单调递减，减，因因为cde，所以，所以f(c)f(d)f(e).索引3.(选修二修二P97T2改改编)函数函数f(x)x32x24x的的单调递增区增区间是是 _.索引(0，2函数在函数在2，)上上单调递增，增，2，)a，)，a2.又又a0，0a2.索引在在x2，)上恒成立，上恒成立，即即a2x2恒成立，恒成立，x2，)，x24，a24，又又a0，0a2.K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一不含参函数的单调性例例1(1)下列函数在下列函数在(0，)上上单调递增的是增的是()A.f(x)sin 2x B.f(x)xexC.f(x)x3x D.f(x)xln xB索引(1，)(x)在在(0，)上上单调递减，且减，且(1)0，当当x(0，1)时，(x)0，当当x(1，)时，(x)0，f(x)在在(0，1)上上单调递增，在增，在(1，)上上单调递减减.索引确确定定不不含含参参的的函函数数的的单调性性，按按照照判判断断函函数数单调性性的的步步骤即即可可，但但应注注意意一一是是不不能能漏漏掉掉求求函函数数的的定定义域域，二二是是函函数数的的单调区区间不不能能用用并并集集，要要用用“逗逗号号”或或“和和”隔开隔开.感悟提升索引训练训练1(1)函数函数f(x)x22ln x的的单调递减区减区间是是()A.(0，1)B.(1，)C.(，1)D.(1，1)A令令f(x)0，得，得x1，当当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；减；当当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增增.索引 索引考点二含参函数的单调性索引 f(x)0在在(0，)上恒成立，上恒成立，函数函数f(x)在在(0，)上上单调递增；增；索引若若导函函数数为二二次次函函数数式式，首首先先看看能能否否因因式式分分解解，再再讨论二二次次项系系数数的的正正负及及两两根根的的大大小小；若若不不能能因因式式分分解解，则需需讨论判判别式式的的正正负，二二次次项系系数数的的正正负，两根的大小及根是否在定，两根的大小及根是否在定义域内域内.感悟提升索引 训练训练2(2021全国乙卷全国乙卷节选)讨论函数函数f(x)x3x2ax1的的单调性性.解解由由题意知意知f(x)的定的定义域域为R，f(x)3x22xa，对于于f(x)0，(2)243a4(13a).索引 令令f(x)0，则xx2；令令f(x)0，则x1x0恒成立，恒成立，所以函数所以函数f(x)是增函数是增函数.索引 索引角度角度3解不等式解不等式例例5 已知函数已知函数f(x)exex2x1，则不等式不等式f(2x3)1的解集的解集为_.解析解析f(x)exex2x1，定，定义域域为R，当且当且仅当当x0时取取“”，f(x)在在R上上单调递增，增，又又f(0)1，原不等式可化原不等式可化为f(2x3)f(0)，索引1.根据函数根据函数单调性求参数的方法：性求参数的方法：(1)利利用用集集合合间的的包包含含关关系系处理理：yf(x)在在(a，b)上上单调，则区区间(a，b)是是相相应单调区区间的子集的子集.(2)f(x)为增增(减减)函函数数的的充充要要条条件件是是对任任意意的的x(a，b)都都有有f(x)0(f(x)0)，且且在在(a，b)内内的的任任一一非非空空子子区区间上上，f(x)不不恒恒为零零，应注注意意此此时式式子子中中的的等等号号不能省略，否不能省略，否则会漏解会漏解.(3)若若函函数数yf(x)在在区区间(a，b)上上不不单调，则转化化为f(x)0在在(a，b)上上有有解解(需需验证解的两解的两侧导数是否异号数是否异号).2.利利用用导数数比比较大大小小，其其关关键是是判判断断已已知知(或或构构造造后后的的)函函数数的的单调性性，利利用用其其单调性比性比较大小大小.3.与与抽抽象象函函数数有有关关的的不不等等式式，要要充充分分挖挖掘掘条条件件关关系系，恰恰当当构构造造函函数数，再再利利用用导数研究新函数的数研究新函数的单调性，从而解不等式性，从而解不等式.感悟提升索引C索引(10，3)函数函数g(x)在区在区间1，2上不上不单调，g(x)0在区在区间(1，2)内有解，内有解，易知函数易知函数y2x2x在在(1，2)上是减函数，上是减函数，y2x2x的的值域域为(10，3)，因此因此实数数a的取的取值范范围为(10，3).FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161.函数函数f(x)xln x1的的单调递减区减区间是是()C【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162.已知函数已知函数f(x)x(exex)，则f(x)()A.是奇函数，且在是奇函数，且在(0，)上上单调递减减B.是奇函数，且在是奇函数，且在(0，)上上单调递增增C.是偶函数，且在是偶函数，且在(0，)上上单调递减减D.是偶函数，且在是偶函数，且在(0，)上上单调递增增解析解析因因为f(x)x(exex)，xR，f(x)x(exex)x(exex)f(x)，所以所以f(x)是偶函数，是偶函数，当当x0时，f(x)exexx(exex)0，所以所以f(x)在在(0，)上上单调递增增.D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16DA.2 B.1 C.3 D.4解析解析f(x)x23xa，且，且f(x)的的单调递减区减区间为1，4，f(x)x23xa0的解集的解集为1，4,1，4是方程是方程f(x)0的两根，的两根，则a(1)44.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 164.函函数数yf(x)的的导函函数数yf(x)的的图象象如如图所所示示，则函函数数yf(x)的的图象象可可能能是是()D解解析析f(x)0的的解解集集对应yf(x)的的单调递增增区区间，f(x)0的的解解集集对应yf(x)的的单调递减区减区间，验证只有只有D符合符合.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 165.(2023深深圳圳质检)若若函函数数f(x)x24xbln x在在区区间(0，)上上单调递减减，则实数数b的取的取值范范围是是()A.1，)B.(，1C.(，2 D.2，)解析解析函数函数f(x)在在(0，)上上单调递减，减，f(x)0在在(0，)上恒成立，上恒成立，C2x24x2(x1)222，b2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 167.(2023豫南地区豫南地区联考考)不等式不等式2ln xxln 2的解集是的解集是()A.(1，2)B.(2，4)C.(2，)D.(4，)B当当0 xe时，f(x)0，当，当xe时，f(x)0，所以所以f(x)在在(0，e)上上单调递增，在增，在(e，)上上单调递减减.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 168.函函数数f(x)(x1)exx2的的单调递增增区区间为_，单调递减区减区间为_.解析解析f(x)xex2xx(ex2)，令令f(x)0，得，得x0或或xln 2，当当x(，0)(ln 2，)时，f(x)0，当当x(0，ln 2)时，f(x)0.f(x)的的单调递增区增区间为(，0)，(ln 2，)，单调递减区减区间为(0，ln 2).(，0)，(ln 2，)(0，ln 2)索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162解析解析f(x)x22mxn，由由f(x)的的单调递减区减区间是是(3，1)，得得f(x)0的解集的解集为(3，1)，则3，1是是f(x)0的解，的解，2m312，n1(3)3，可得可得m1，n3，故，故mn2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(1，)解析解析因因为h(x)在在1，4上存在上存在单调递减区减区间，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数求函数f(x)的的单调区区间.所以所以h(x)在在(0，)上上单调递减减.由由h(1)0知，当知，当0 x0，所以，所以f(x)0；当当x1时，h(x)0，所以，所以f(x)0时，f(x)3x22x1的解集是的解集是_.解析解析令令g(x)f(x)x2，则g(x)是是R上的偶函数上的偶函数.当当x0时，g(x)f(x)2x3x22x1得得f(2x)(2x)2f(x1)(x1)2，即即g(2x)g(x1)，于是，于是g(|2x|)g(|x1|)，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知函数已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数求函数f(x)的的单调区区间；当当a0时，f(x)的的递增区增区间为(0，1)，递减区减区间为(1，)；当当a0时，f(x)的的递增区增区间为(1，)，递减区减区间为(0，1)；当当a0时，f(x)为常函数，无常函数，无单调区区间.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区在区间(t，3)上不是上不是单调函数，函数，即即g(x)在区在区间(t，3)上有上有变号零点号零点.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16当当g(t)0时，即，即3t2(m4)t20对任意任意t1，2恒成立，恒成立，由于由于g(0)0，故只要故只要g(1)0且且g(2)0，即即m5且且m9，即，即m9，