【数学课件】空间中点、直线和平面的向量表示第一课时 2023-2024学年高二人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题关系和度量问题.第一课时第一课时(空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示)一、探究新知一、探究新知 我们知道，我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点点、直线和平面、直线和平面.二、空间点的向量表示二、空间点的向量表示 如何用向量表示空间中的一个点如何用向量表示空间中的一个点?你能证明这你能证明这个结论吗个结论吗?三、空间直线的向量表示三、空间直线的向量表示 我们知道，空间中给定一个点我们知道，空间中给定一个点A A和一个方向就能唯一确定一条和一个方向就能唯一确定一条直线直线l.如何用向量表示直线如何用向量表示直线l?用向量表示直线用向量表示直线l,就是要利用点就是要利用点A A和直线和直线l的方向向量表示直线的方向向量表示直线上的任意一点上的任意一点.如右图，如右图，是直线是直线l的方向向量的方向向量,在直线在直线l上取上取 ，设，设P P是直线是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，上的任意一点，由向量共线的条件可知，点点P P在直线在直线l上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t t，使得，使得 ，即，即 .这两个式子都称为这两个式子都称为空间直线的向量表示式空间直线的向量表示式.由此可知，由此可知，空间任意直线由直线上一点及空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定直线的方向向量唯一确定.进一步地，如右图进一步地，如右图,取定空间中的任意一点取定空间中的任意一点O,可以可以得到点得到点P P在直线在直线l上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t t，使，使 ，即有，即有四、空间中平面的向量表示四、空间中平面的向量表示 一一个定点和两个定方向能否确定一个平面个定点和两个定方向能否确定一个平面?进一步地，一个定进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面点和一个定方向能否确定一个平面?如果能确定，如何用向量表示如果能确定，如何用向量表示这个平面这个平面?我们知道，平面我们知道，平面可以由可以由其其内两条相交直线确定内两条相交直线确定.如如下下图图,设两条设两条直线相交于点直线相交于点O,它们的方向向量分别为它们的方向向量分别为 和和 ，P为平面为平面内任意内任意一一点，由平面向量基本定理可知，存在唯点，由平面向量基本定理可知，存在唯一一的有序实数对的有序实数对(x,y),使得使得 这样，点这样，点O与向量与向量 、不仅可以确定平面不仅可以确定平面,还可以具体表示还可以具体表示出出内的任意一点内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用这种表示在解决几何问题时有重要作用.你能证明这你能证明这个结论吗个结论吗?四、空间中平面的向量表示四、空间中平面的向量表示 这个式子称为空间平面这个式子称为空间平面ABC的的向量表示式向量表示式.由此可知由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定确定.进进一一步地，如步地，如下下图，取定空间任意一点图，取定空间任意一点O，可以得到，空间，可以得到，空间一点一点P位于平面位于平面ABC内的充要条件是存在实数内的充要条件是存在实数x、y，使使 五、平面的法向量五、平面的法向量 我们知道我们知道,给定空间一点给定空间一点A A和和一一条直线条直线l，则过点，则过点A A且垂直于直线且垂直于直线l的平面是唯一的平面是唯一-确定的确定的.由此得到启发，我们可以利用点由此得到启发，我们可以利用点A A和直线和直线l的方向向量来确定平面的方向向量来确定平面.如如下下图，直线图，直线 l .取直线取直线l的方向向量的方向向量 ,我们称向量我们称向量 为为平面平面的的法向量法向量.如果另有一条直线如果另有一条直线mm，在直线，在直线m m上任上任取取向量向量 ，与与 有什么关系有什么关系?给定一个点给定一个点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A且以向量且以向量 为法向量的为法向量的平面完全确定，可以表示为集合平面完全确定，可以表示为集合P|=0.六、典型例题六、典型例题例例1 1 已知点已知点A(1A(1，-2-2，3)3)、B(2B(2，1 1，-3).-3).求直线求直线ABAB与坐标平面与坐标平面y yOz z的交点坐标的交点坐标.六、典型例题六、典型例题例例2 2 如图如图,在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=4,BC=3,AB=4,BC=3,CCCC1 1=2=2，M M是是ABAB的的 中点，以中点，以D D为原点，为原点，DADA、DCDC、DD1DD1所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)(1)求平面求平面BCCBCC1 1B B1 1的法向量的法向量;(2)(2)求平面求平面MCAMCA1 1的法向量的法向量.六、课堂小结六、课堂小结1.1.空间直线的向量表示式空间直线的向量表示式2.2.空间平面的向量表示式空间平面的向量表示式3.3.求平面法向量的步骤：求平面法向量的步骤：七、巩固提升七、巩固提升课堂练习课堂练习:第第2929页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题课堂作业课堂作业:第第4141页页习题习题1.41.4第第1 1、2 2题题