2024高考数学专项练习圆锥曲线中的二级结论及应用含答案.pdf

1圆锥曲线中的二级结论及应用1.易混易错归纳圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。1.1.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记F1PF2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21+cos；(2)SPF1F2=b2tan2；(3)e=sinF1PF2sinPF1F2+sinPF2F1.2.2.设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记F1PF2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21-cos；(2)SPF1F2=b2tan2；(3)e=sinF1PF2|sinPF1F2-sinPF2F1|.3.3.设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAPkBP=e2-1.4.4.设圆锥曲线以M(x0，y0)(y00)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)圆锥曲线为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，则kAB=-b2x0a2y0，kABkOM=e2-1.(2)圆锥曲线为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)，则kAB=b2x0a2y0，kABkOM=e2-1.(3)圆锥曲线为抛物线y2=2px(p0)，则kAB=py0.5.5.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交椭圆于A，B两点，且|AF|=|FB|，则椭圆的离心率等于-1(+1)cos.6.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|AF|=|FB|，则双曲线的离心率等于-1(+1)cos.7.7.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为p1-cos，p1+cos，1|AF|+1|BF|=2p，|AB|=2psin2，SAOB=p22sin.2024高考数学专项练习圆锥曲线中的二级结论及应用22.好题演练1.1.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(-12，-15)，则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=12.2.已知双曲线E的中心为原点，F 1,0是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N-4,-5，则双曲线E的渐近线的方程为A.5x2y=0B.2x5y=0C.4x5y=0D.5x4y=03.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=32，经过右焦点且斜率为k(k0)的直线交椭圆于A，B两点，已知AF=3FB，则k=()A.1B.2C.3D.24.4.如图，过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.2035.5.(2021贵州遵义师范学院附属实验学校高二期末(文)已知A，B分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为A.2B.3C.5D.66.6.已知双曲线C：x2k-y25=1 k0的左、右焦点分别为F1，F2，且F1PF2=3，则F1PF2的面积为()A.2B.3C.5 3D.67.7.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为-12，则椭圆的离心率为()3A.13B.12C.22D.328.8.在椭圆x225+y29=1上，PF1F2为焦点三角形，如图所示(1)若=60，则PF1F2的面积是；(2)若=45，=75，则椭圆离心率e=9.9.(2022荆州模拟)已知 P是椭圆x24+y2=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当F1PF2=3时，则PF1F2的面积为10.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线AP与BP的斜率之积为-14，则椭圆C的离心率为11.11.已知一条过点P 2,1的直线与抛物线y2=2x交于A，B两点，P是弦AB的中点，则直线AB的斜率为12.12.已知椭圆E的中心为原点，F 3,0是E的焦点，过F的直线l与E相交于A,B两点，且AB中点为M 2,-1，则E的离心率e=13.13.过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点F，作直线l交C的两条渐近线于A，B两点，A，B均位于y轴右侧，且满足AF=3FB，O为坐标原点，若OFA=120，则双曲线C的离心率为14.14.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则|AB|为15.15.设F为抛物线C：y2=16x的焦点，过F且倾斜角为6的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为。1圆锥曲线中的二级结论及应用1.易混易错归纳圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。1.1.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记F1PF2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21+cos；(2)SPF1F2=b2tan2；(3)e=sinF1PF2sinPF1F2+sinPF2F1.2.2.设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记F1PF2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21-cos；(2)SPF1F2=b2tan2；(3)e=sinF1PF2|sinPF1F2-sinPF2F1|.3.3.设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAPkBP=e2-1.4.4.设圆锥曲线以M(x0，y0)(y00)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)圆锥曲线为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，则kAB=-b2x0a2y0，kABkOM=e2-1.(2)圆锥曲线为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)，则kAB=b2x0a2y0，kABkOM=e2-1.(3)圆锥曲线为抛物线y2=2px(p0)，则kAB=py0.5.5.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交椭圆于A，B两点，且|AF|=|FB|，则椭圆的离心率等于-1(+1)cos.6.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|AF|=|FB|，则双曲线的离心率等于-1(+1)cos.7.7.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为p1-cos，p1+cos，1|AF|+1|BF|=2p，|AB|=2psin2，SAOB=p22sin.22.好题演练1.1.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(-12，-15)，则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【答案】B【解析】由题意可知 kAB=-15-0-12-3=1，kMO=-15-0-12-0=54，由双曲线中点弦中的斜率规律得 kMOkAB=b2a2，即54=b2a2，又9=a2+b2，联立解得a2=4，b2=5，故双曲线的方程为x24-y25=1.2.2.已知双曲线E的中心为原点，F 1,0是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N-4,-5，则双曲线E的渐近线的方程为A.5x2y=0B.2x5y=0C.4x5y=0D.5x4y=0【答案】A【解析】kAB=-5-0-4-1=1，kON=-5-4，由结论2kABkOM=e2-1e2-1=54,e2=94，4b2=5a2，可得双曲线的渐近线方程为5x2y=0，故选：A3.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=32，经过右焦点且斜率为k(k0)的直线交椭圆于A，B两点，已知AF=3FB，则k=()A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】=3，由结论可得，e=32，由规律得32cos=3-13+1，cos=33，k=tan=2.4.4.如图，过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.203【答案】C3【解析】因为1|AF|+1|BF|=2p，|AF|=4，所以|BF|=43，所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163.5.5.(2021贵州遵义师范学院附属实验学校高二期末(文)已知A，B分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为A.2B.3C.5D.6【答案】B【解析】由结论可得KAPkPB=e2-1=2，e=3，故选B6.6.已知双曲线C：x2k-y25=1 k0的左、右焦点分别为F1，F2，且F1PF2=3，则F1PF2的面积为()A.2B.3C.5 3D.6【答案】C【解析】由x2k-y25=1 k0，b=5，F1PF2=3，由结论可知SF1PF2=b2tan2=5 37.7.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为-12，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.22D.32【答案】22【解析】kAPkBP=-12，e2-1=-12，e2=12，e=22.8.8.在椭圆x225+y29=1上，PF1F2为焦点三角形，如图所示(1)若=60，则PF1F2的面积是；(2)若=45，=75，则椭圆离心率e=【答案】(1)3 3(2)6-22【解析】(1)由结论得SPF1F2=b2tan2，即SPF1F2=3 3.4（2）由公式e=sin(+)sin+sin=sin60sin45+sin75=6-22.9.9.(2022荆州模拟)已知 P是椭圆x24+y2=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当F1PF2=3时，则PF1F2的面积为【答案】33【解析】由结论可得：S=b2tan2，可得S=1tan6=33.10.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线AP与BP的斜率之积为-14，则椭圆C的离心率为.【答案】32【解析】kAPkBP=-14KAPkPB=e2-1=-14，e2=34,e=32，所以椭圆的离心率e=32；11.11.已知一条过点P 2,1的直线与抛物线y2=2x交于A，B两点，P是弦AB的中点，则直线AB的斜率为【答案】1【解析】由结论可知kAB=py0=112.12.已知椭圆E的中心为原点，F 3,0是E的焦点，过F的直线l与E相交于A,B两点，且AB中点为M 2,-1，则E的离心率e=【答案】22【解析】kAB=y2-y1x2-x1=0+13-2=1,且kOM=-12，kABkOM=e2-1，即e2=12,e=2213.13.过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点F，作直线l交C的两条渐近线于A，B两点，A，B均位于y轴右侧，且满足AF=3FB，O为坐标原点，若OFA=120，则双曲线C的离心率为【答案】4-2 3【解析】由AF=3FB，=3，又OFA=120，倾斜角=600，由结论可得：e=3-1(3+1)cos600=4-2 314.14.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则|AB|为5【答案】12【解析】易知2p=3，由结论可得知|AB|=2psin2，所以|AB|=3sin230=12.15.15.设F为抛物线C：y2=16x的焦点，过F且倾斜角为6的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为。【答案】64【解析】由y2=16x，p=8,=6，由结论可得，SAOB=p22sin=64.