2024高考数学专项练习欧拉线欧拉函数等数学文化题含答案.pdf

1欧拉线欧拉函数等数学文化题认识欧拉欧拉线欧拉函数等数学文化题认识欧拉莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler，1707年4月15日1783年9月18日)，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理 等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。2024高考数学专项练习欧拉线欧拉函数等数学文化题2以欧拉的数学成就为背景的数学问题以欧拉的数学成就为背景的数学问题一、单选题一、单选题1正整数1，2，3，n的倒数的和1+12+13+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n很大时1+12+13+1nlnn+.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设 x表示不超过x的最大整数.用上式计算 1+12+13+12022的值为()(参考数据：ln20.69,ln31.10，ln102.30)A.7B.8C.9D.1022018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为 论小于某值的素数个数 的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为 xxlnx的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为(素数即质数，lge0.43429，计算结果取整数)()A.189B.186C.145D.1093高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德牛顿欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR R，用 x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，例如：-3.5=-4,2.1=2.已知函数 f x=ex1+ex-12，则函数g x=f x的值域是()A.-1,0,1B.-1,0C.-1,1D.-1,04欧拉公式ei=cos+isin把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足(2ei+i)z=i，则|z|=()A.15B.13C.55D.335数列1n 叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式：当n很大时，1+12+13+1nlnn+，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设 x表示不超过x的最大整数.用上式计算 1+12+13+13456的值为()(参考数据：ln20.69,ln31.10,ln102.30)A.7B.8C.9D.106欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知eai为纯虚数，则复数sin2a+11+i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后3人称为三角形的“欧拉线”若ABC满足AC=BC，顶点A 1,0，B-1,2，且其“欧拉线”与圆M：x-32+y2=r2相切，则下列结论正确的是()A.圆M上的点到原点的最大距离为3+2B.圆M上不存在三个点到直线x-y-1=0的距离为2C.若点 x,y在圆M上，则yx+1的最小值是-2D.若圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，则a-3,38数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知点A 0,2和点B 1,0为ABC的顶点，则：“ABC的欧拉线的方程为x=1”是“点C的坐标为(2,2)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题二、多选题9对于正整数n，(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目函数(n)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如(10)=4，(10与1，3，7，9均互质)则()A.(12)+(29)=32B.数列(n)单调递增C.若p为质数，则数列(pn)为等比数列D.数列n(3n)的前4项和等于582710瑞士著名数学家莱昂哈德欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，AB=AC=4，点B-1,3，点C 4,-2，且其“欧拉线”与圆M:x-32+y2=r2相切，则下列结论正确的是()A.ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为3 2C.若点 x,y在圆M上，则x2+y2的最小值是11-6 2D.圆 x-a-12+y-a2=8与圆M有公共点，则a的取值范围是 1-2 2,1+2 2111765年，数学家欧拉在其所著的 三角形几何学 一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC的顶点B-1,0,C 0,2，重心G16,23，则下列说法正确的是()A.点A的坐标为32,0B.ABC为等边三角形C.欧拉线方程为2x+4y-3=0D.ABC外接圆的方程为 x-142+y-582=1256412欧拉公式exi=cosx+isinx(其中i为虚数单位，xR R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则()A.ei=1B.ei2为纯虚数4C.exi3+i=12D.复数e2i对应的点位于第三象限13瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,AB=AC，点B-1,3，点C 4,-2，圆M:(x+3)2+y2=4,P x0,y0是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()A.ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得MPN=6C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点14对于正整数n，n是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数 n以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：9=6.则()A.28=11B.数列 3为等比数列C.数列 n不单调D.log7 77=5+log7615瑞士数学家欧拉1765年在其所著的 三角形的几何学 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A 2,0、B 0,4，其欧拉线方程为x+y-2=0，则顶点C的坐标不可以是()A.-2,2B.-1,1C.-12,12D.23,-2316瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC，AB=AC=4，点B-1,3，点C 4,-2，且其“欧拉线”与圆M:x-32+y2=r2相切，则下列结论正确的是()A.ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为3 2C.若点 x,y在圆M上，则x2+y2的最小值是3-2D.圆 x-a-12+y-a2=8与圆M有公共点，则a的取值范围是 1-2 2,1+2 217欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数y=f x，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有-xD，并且 f x f-x=1，就称函数y=f x为倒函数，则下列函数是倒函数的为()A.f x=lnxB.f x=exC.f x=1+x1-xD.f x=x,x0-1x,x0 三、填空题三、填空题18数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如Fn=22n+1(n=0，1，2，)的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：an=mlog2Fn-1(n=1，2，3，)，m为常数，Sn表示数列 log2an的前n项和，若S5=20，则a5=.19莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作 三角形的几何学 中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线已知ABC的三个顶点坐标分别是(-1,0)，(3,0)，(0,2)则ABC的欧拉线方程为5四、双空题四、双空题20对正整数n，函数 n是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数根据欧拉函数的概念，可得 441=，数列 n 7n的前n项和Sn=1欧拉线欧拉函数等数学文化题欧拉线欧拉函数等数学文化题认识欧拉认识欧拉莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler，1707年4月15日1783年9月18日)，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理 等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。2以欧拉的数学成就为背景的数学问题以欧拉的数学成就为背景的数学问题一、单选题一、单选题1正整数1，2，3，n的倒数的和1+12+13+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n很大时1+12+13+1nlnn+.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设 x表示不超过x的最大整数.用上式计算 1+12+13+12022的值为()(参考数据：ln20.69,ln31.10，ln102.30)A.7B.8C.9D.10【答案】B【详解】由题意知1+12+13+12022=ln2022+.而ln2022=ln23337=ln2+ln3+ln3371.79+ln337，又ln300ln3370，1+ex1，011+ex1，-1-11+ex0，-1212-11+ex12，即-12 f x12，当-12 f x0时，g x=-1，当0 f x2，所以，圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为d+r=4 2，B错；对于C选项，记点P x,y，因为 0-32+022，则原点O在圆M外，所以，x2+y2=OP2的最小值为OM-r2=3-22=11-6 2，C对；对于D选项，圆 x-a-12+y-a2=8的圆心为F a+1,a，半径为R=2 2，由题意可得R-rFMr+R，即2 a-22+a23 2，解得1-2 2 a1+2 2，D对故选：ACD111765年，数学家欧拉在其所著的 三角形几何学 一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC的顶点B-1,0,C 0,2，重心G16,23，则下列说法正确的是()A.点A的坐标为32,0B.ABC为等边三角形C.欧拉线方程为2x+4y-3=0D.ABC外接圆的方程为 x-142+y-582=12564【答案】ACD【分析】根据重心公式计算得到A正确；计算 AB=AC=52,BC=5 得到B错误；计算线段BC垂直平分线的方程得到C正确；计算外接圆圆心为M14,58，得到圆方程，D正确，得到答案.【详解】G16,23为ABC的重心，设A x,y，由重心坐标公式16=x+-1+0323=y+0+23，7解得x=32y=0，A32,0，选项A正确；AB=AC=52,BC=5，所以ABC不是等边三角形，故选项B错误；AB=AC，ABC的外心 重心 垂心都位于线段BC的垂直平分线上，ABC的顶点B-1,0,C 0,2，线段BC的中点的坐标为-12,1，线段BC所在直线的斜率kBC=2-00-1=2，线段BC垂直平分线的方程为y-1=-12x+12，即2x+4y-3=0，ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0，故选项C正确；因为线段AB的垂直平分线方程为x=14，ABC的外心M为线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线的交点，所以交点M的坐标满足2x+4y-3=0 x=14，解得M14,58，外接圆半径r=MB=14+12+582=12564，所以ABC外接圆方程为 x-142+y-582=12564，故选项D正确.故选：ACD.12欧拉公式exi=cosx+isinx(其中i为虚数单位，xR R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则()A.ei=1B.ei2为纯虚数C.exi3+i=12D.复数e2i对应的点位于第三象限【答案】BC【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】解：对于A：ei=cos+isin=-1，故A错误；对于B：ei2=cos2+isin2=i，所以ei2为纯虚数，故B正确；对于C：exi3+i=exi3+i=cosx+isinx3+i=cos2x+sin2x32+12=12，故C正确；对于D：e2i=cos2+isin2，则复数e2i在复平面内对应的点为 cos2,sin2，因为22，所以cos20，所以点 cos2,sin2位于第二象限，即复数e2i对应的点位于第二象限，故D错误；故选：BC13瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,AB=AC，点B-1,3，点C 4,-2，圆M:(x+3)2+y2=4,P x0,y0是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()A.ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得MPN=6C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点【答案】ABD【分析】由题意求出BC中点为D的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线AD的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项即可.8【详解】设BC中点为D，因为AB=AC，所以ADBC，因为kBC=3+2-1-4=-1，所以kAD=1，且xD=-1+42=32，yD=3-22=12，所以D32,12，由题意可得欧拉线为直线AD，则欧拉线的方程为y-12=x-32即y=x-1，A正确；由圆的切线性质可得MPDMPN，设P(a,a-1)，则PM2=(a+3)2+(a-1)2=2a2+4a+10，在MPD中由正弦定理得PMsinPDM=PDsinMPD，所以sinMPD=PDsinPDMPM=22a2+4a+10，由二次函数的性质得当a=-422=-1时2a2+4a+10取最小值8，所以sinMPD=22a2+4a+1022，即MPD的最大值为4，所以MPN4，所以圆M上存在点N，使得MPN=6，B正确；由圆的切线的定义可知PDMD，PEME，PD=PE，所以SPDME=SPMD+SPME=12PDMD+12PEME=2PD，又因为PD=PM2-4，且PMmin=-3-112+(-1)2=2 2，所以PDmin=4即四边形PDME面积的最小值为4，C错误；设P(a,a-1)，因为PDMD，PEME，所以P,D,M,E四点共圆，其中PM为直径，设PM中点Ha-32,a-12，则PH=a-a-322+a-1-a-122=a2+2a+52，所以圆H为 x-a-322+y-a-122=a2+2a+52即x2+y2-(a-3)x-(a-1)y-3a=0，所以DE为圆M和圆H的相交弦，两圆方程相减得DE方程为(a+3)x+(a-1)y+5+3a=0，即a(x+y+3)+3x-y+5=0，由x+y+3=03x-y+5=0 解得DE过定点(-2,-1)，D正确；故选：ABD14对于正整数n，n是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数 n以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：9=6.则()A.28=11B.数列 3为等比数列C.数列 n不单调D.log7 77=5+log76【答案】BC【分析】根据题目定义列出满足函数 n的数列即可各个选项一一判断求解.【详解】不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以 28=12，故A错误；因为与3n互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，3n-2，3n-1，共 3-13n-1=23n-1个，所以 3n=23n-1，则数列 3n为2为首项,3为公比的等比数列，故B正确；因为 6=2，5=4，所以 62=6，所以数列 n不单调递减，所以数列 n不单调，故C正确；因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，77，共有777=76(个)，所以log7 77=log777-76=6+log76，故D错误.9故选：BC.15瑞士数学家欧拉1765年在其所著的 三角形的几何学 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A 2,0、B 0,4，其欧拉线方程为x+y-2=0，则顶点C的坐标不可以是()A.-2,2B.-1,1C.-12,12D.23,-23【答案】BC【分析】由已知求出AB的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设C x0,y0，根据三角形ABC的重心x0+23,y0+43在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出C的坐标，从而选出选项.【详解】A 2,0，B 0,4，AB的垂直平分线方程为x-2y+3=0，又因为外心在欧拉线x+y-2=0上，联立x-2y+3=0 x+y-2=0，解得三角形ABC的外心为G13,53，又r=GA=13-22+53-02=5 23，ABC的外接圆方程为 x-132+y-532=509.设C x0,y0，则三角形ABC的重心x0+23,y0+43在欧拉线上，即2+x03+4+y03-2=0，整理得：x0+y0=0，又因为C x0,y0在外接圆上，得 x0-132+y0-532=509，联立x0+y0=0 x0-132+y0-532=509，解得：x0=-2y0=2 或x0=23y0=-23，所以顶点C的坐标可以是-2,2或23,-23，反之-1,1与-12,12不满足条件.故选：BC.16瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC，AB=AC=4，点B-1,3，点C 4,-2，且其“欧拉线”与圆M:x-32+y2=r2相切，则下列结论正确的是()A.ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为3 2C.若点 x,y在圆M上，则x2+y2的最小值是3-2D.圆 x-a-12+y-a2=8与圆M有公共点，则a的取值范围是 1-2 2,1+2 2【答案】AD【分析】分析可知ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，可判断A选项；求出r的值，求出圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离，可判断B选项；求出x2+y2的最小值，可判断C选项；利用圆与圆的位置关系求出a的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为 AB=AC=4，则ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，10kBC=3+2-1-4=-1，线段BC的中点为E32,12，所以，ABC的“欧拉线”方程为y-12=x-32，即y=x-1，A对；对于B选项，圆心M 3,0，则r=3-12=2，圆心M到直线x-y+3=0的距离为d=3+32=3 2 2，所以，圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为d+r=4 2，B错；对于C选项，记点P x,y，因为 0-32+022，则原点O在圆M外，所以，x2+y2=OP2的最小值为OM-r2=3-22=11-6 2，C错；对于D选项，圆 x-a-12+y-a2=8的圆心为F a+1,a，半径为R=2 2，由题意可得R-r FMr+R，即2 a-22+a23 2，解得1-2 2 a1+2 2，D对.故选：AD.17欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数y=f x，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有-xD，并且 f x f-x=1，就称函数y=f x为倒函数，则下列函数是倒函数的为()A.f x=lnxB.f x=exC.f x=1+x1-xD.f x=x,x0-1x,x0-1x,x0时，-x0，f x f-x=x1x=1；当x0，f x f-x=-1x-x=1，故D项符合，故选：BD三、填空题三、填空题18数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如Fn=22n+1(n=0，1，2，)的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：an=mlog2Fn-1(n=1，2，3，)，m为常数，Sn表示数列 log2an的前n项和，若S5=20，则a5=.【答案】64【分析】根据对数定义可得an=m2n，再结合等差数列的前n项和公式求m，进而求a5.【详解】Fn=22n+1，则an=mlog2Fn-1=m2n,显然m0log2an=log2m2n=log2m+log22n=log2m+n11log2an+1-log2an=log2m+n+1-log2m+n=1数列 log2an以首项为log2m+1，公差为1的等差数列又S5=5 log2m+1+log2m+52=5 log2m+3=20，即log2m=1则m=2a5=m25=232=64故答案为：64.19莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作 三角形的几何学 中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线已知ABC的三个顶点坐标分别是(-1,0)，(3,0)，(0,2)则ABC的欧拉线方程为【答案】5x+4y-6=0【分析】根据已知点的坐标，分别求得三角形垂心和重心的坐标，再求欧拉线方程即可.【详解】由A(-1,0)，B(3,0)，C(0,2)，可知AB边上的高所在的直线为x=0，又kBC=2-00-3=-23，因此BC边上的高所在的直线的斜率为32，所以BC边上的高所在的直线为：y-0=32(x+1)，即3x-2y+3=0，联立x=03x-2y+3=0 x=0y=32 ，所以ABC的垂心坐标为 0,32，由重心坐标公式可得ABC的重心坐标为-1+3+03,0+0+23=23,23，所以ABC的欧拉线方程为：y-3223-32=x-023-0，化简得5x+4y-6=0故答案为：5x+4y-6=0.四、双空题四、双空题20对正整数n，函数 n是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数根据欧拉函数的概念，可得 441=，数列 n 7n的前n项和Sn=【答案】2526n-17n+16【分析】由质因数分解求得441的所有质因数，利用质因数结合定义可求得(441)，因为除了7的倍数外，其他数都与7n互质，因此易得(7n)，然后由错位相减法求得数列n(7n)的前n项和【详解】因为441=3272，所以不大于441的数中，能被i(i=3，7)整除的数与441都不互质，所以 441=441-4413-4417+44121=252因为除了7的倍数外，其他数都与7n互质，所以 7n=7n-7n7=67n-1，则Sn=6 1+27+n7n-1，所以7Sn=6 7+272+n7n，所以-6Sn=6 1+7+7n-1-n7n=61-7n1-7-n7n=1-6n7n-1，故Sn=6n-17n+16故答案为：252；6n-17n+1612【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列和等比数列直接应用其前n项和公式计算；(2)裂项相消法：最典型的数列：an是公差为d且各项均不为0的等差数列，数列1anan+1 的项需变形：1anan+1=1d1an-1an+1，然后求和；(3)错位相减法：an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn的前n项和需用此法；(4)分组(并项)求和法：例如an是等差数列，bn是等比数列，则数列an+bn的前n项可用分组求和法；(5)倒序相加法：与等差数列有类似性质的数列：首末两项及与首末两项等距离的两项的和相等，则可用倒序相加法求和