江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期初调研测试数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第一学期高三期初调研测试数学年第一学期高三期初调研测试数 学学2023.09注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共本卷共 4 页，包含单项选择题（第页，包含单项选择题（第 1 题题第第 8 题）、多项选择题（第题）、多项选择题（第 9 题题第第 12 题）、填空题（第题）、填空题（第 13 题题第第 16 题）、解答题（第题）、解答题（第 17 题题第第 22 题）题）.本卷满分本卷满分 150 分，答题时间为分，答题时间为 120 分钟分钟.答题结束后，请将答题卡交回答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚请注意字体工整，笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数 z 满足1 i3iz（其中i为虚数单位），则复数 z 在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合Ax xN，216xBxR，则RAC B I（）A.0,4B.0,4C.0,1,2,3D.0,1,2,3,43.已知函数 sinf xaxx aR，则“1a”是“f x在区间,2上单调递增”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.在平行四边形 ABCD 中，点 E 在线段 AC 上，且2AEEC，点 F 为线段 AD 的中点，记,EFABAD R ，则（）A.56B.16C.12D.565.已知事件 A，B，且 0.4P A，0.5P B.若 A 与 B 互斥，令aP AB；若 A 与 B 相互独立，令bP AB，则ba（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.66.若某圆柱体的底面半径与某球体的半径相等，圆柱体与球体的体积之比和它们的表面积之比的比值相等，则该圆柱体的高与球体的半径的比值为（）江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期初调研测试数学试题含答案学科网（北京）股份有限公司A.54B.43C.32D.27.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点11,A x y，22,B xy，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OAuu u r，OBuuu r夹角的余弦值，记作cos,A B，余弦距离为1 cos,A B.已知cos,sinP，cos,sinQ，cos,sinR，若 P，Q 的余弦距离为13，1tantan7，则 Q，R 的余弦距离为（）A.12B.13C.14D.178.已知双曲线 C：222210,0 xyabab的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 A、B 两点，且0OB BF ，2ABBF ，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得分，选错或不答的得 0 分分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知函数 13sincos022f xxx的最小正周期为，则（）A.2B.直线6x 是曲线 yf x的一条对称轴C.点,06是曲线 yf x的一个对称中心 D.f x在区间50,6内只有一个零点10.若一组不完全相同的数据1x，2x，nx的平均数为x，极差为 a，中位数为 b，方差为2s，在这组数据中加入一个数x后得到一组新数据x，1x，2x，nx，其平均数为x，极差为a，中位数为b，方差为2s，则下列判断一定正确的是（）A.xx B.aa C.bb D.22ss 11.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点 E，F 分别是线段 AC，11AD上的动点，AEAC，11AFAD ，且,0,1.记 EF 与1AA所成角为，EF 与平面 ABCD 所成角为，则（）学科网（北京）股份有限公司A.当12时，四面体FAEB的体积为定值B.当12时，存在，使得/EF平面11BDD BC.对于任意，总有2D.当12时，在侧面11BCC B内总存在一点 P，使得PEPF12.已知函数 f x定义域为R，1f x是奇函数，1g xxf x，fx，gx分别是函数 f x，g x的导函数，函数 g x在区间,1上单调递增，则（）A.10fB.11fxfxC.11gxgxD.0.1e1 ln1.10gg三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.13.6111xxx的展开式常数项是_.（用数字作答）14.已知nS是等差数列 na的前 n 项和，且378aa，510S，则10S_.15.请写出一条同时满足下列两个条件的直线方程：_.过抛物线24yx的焦点；与圆2242 320 xyxy相交所得的弦长为4 2.16.已知函数 22lnlnf xxaxxax有三个不同的零点1x，2x，3x，且123xxx，则实数 a 的取值范围是_；2312123lnlnln111xxxxxx 的值为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足22 cosabcB.（1）求角 C；学科网（北京）股份有限公司（2）若ABC的面积为3 3，点 D 为 AB 中点，且13CD，求 c 边的长.18.（本小题满分 12 分）已知等比数列 na中，1*13 2nnnaan N.（1）求数列 na的通项公式及它的前 n 项和nS；（2）设11nnnnSbS S，数列 nb的前 n 项和为nT，求证：1nT.19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面 ABCD，2 2AD，2PDDC，M 为 BC 的中点.（1）求证：AM 平面 PDB；（2）求平面 PAM 与平面 PBM 夹角的余弦值.20.（本小题满分 12 分）某校为了弘扬中华优秀传统文化，在校艺术节上举办班级“古诗词双人团体赛”，每班限报一队，每队两人，每队通过回答多个问题的形式进行竞赛.现甲，乙两队进行竞答比赛，比赛规则是：每轮比赛中每队仅派一人代表答题，两人都全部答对或者都没有全部答对则均记 1 分；一人全部答对而另一人没有全部答对，则全部答对的队伍记 3 分，没有全部答对的记 0 分.设每轮比赛中甲队全部答对的概率为34，乙队全部答对的概率为23，甲，乙两队答题相互独立，且每轮比赛互不影响.（1）经过 1 轮比赛，设甲队的得分为 X，求 X 的分布列和期望；（2）若比赛采取 3 轮制，请计算第 3 轮比赛后甲队累计得分低于乙队累计得分的概率.21.（本小题满分 12 分）已知椭圆 E：222210 xyabab，四点21,2A，21,2B，2,0C，1,1D中恰有三点在椭圆 E 上.（1）求椭圆 E 的方程；（2）点 P 为椭圆 E 上的一动点，设直线 PA，PB 的斜率分别为1k，2k.求12k k的值；若不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 E 于 M，N 两点，O 为坐标原点，/OM PA，/ON PB，求OMN的面积.22.（本小题满分 12 分）已知函数 2ln11f xaxx，2exg xax，aR.学科网（北京）股份有限公司（1）若函数 f x与 g x有相同的极小值点，求 a 的值；（2）若对任意0,x，恒有 g xf x，求 a 的取值范围.参考答案参考答案一、单项选择题一、单项选择题1.【答案】D【解析】1 i2z，21 i1 iz ，位于第四象限，选 D.2.【答案】C【解析】4Bx x，4RC Bx x，0,1,2,3RAC B I，选 C.3.【答案】B【解析】1a 时，sinf xxx，1 cos0fxx，f x在,2，充分，f x在,2单调增，cos0fxax，1a，不必要，充分不必要，选 B.4.【答案】A【解析】212121323236EFEAAFACADABADADABAD ，56，选A.5.【答案】A【解析】A，B 互斥，0aP AB，A 与 B 独立，0.6 0.50.3bP ABP A P B，0.3ba，选 A.6.【答案】B【解析】设圆柱底面半径为 r，则球的半径为 r，设圆柱的高为 h，21Vr h，3243Vr，2122Srhr，224Sr，222322443r hrhrrr，2hr，选 B.7.【答案】A【解析】2cos,3P Q，2cos3，2coscossinsin3，又sinsin1tantancoscos7，coscos7sinsin，1sinsin12，7coscos12，学科网（北京）股份有限公司coscossinsin7111 cos,11112122Q R ，选 A.8.【答案】B【解析】OBBF，OBa，BFb，22ABBFb，2tanbAOBa，22tan21baFOBba，22201bbaaba，22ba，223ca，3e，选 B.二、多项选择题二、多项选择题9.【答案】ACD【解析】sin3f xx，2T，2，A 对.sin 23f xx，6x 不是对称轴，,06是对称中心，B 错，C 对.506x，5023x，2233x，sinyx在,23只有一个零点，f x在50,6有且只有一个零点，D 对.10.【答案】AB【解析】互不相等的数据加入一个数x，则极差不变，平均数不变，中位数有可能改变，方差一定改变，选AB.11.【答案】ABC【解析】方法一：12时EABS为定值 F 到平面 EAB 的距离为定值，F EABV为定值，A 对.12时，F 为11AD中点，取 AD 中点 M，则1/FM DD.14时，/ME BD，则平面/MEF平面11BDD B，/EF平面11BDD B，1AA 面 ABCD，则2，C 对，选 ABC.方法二：对于 A，12时，F 到平面 AEB 的距离为定值，E 为 AC 中点，123FAEBAEBVS为定值，A 正确.学科网（北京）股份有限公司对于 B，12时，F 为11AD的中点，设 AC 与 BD 交于点 O，当 E 为 OA 中点时，取 OD 中点 G，此时，1EG FD，1/EF DGEF平面11BDD B，B 正确.对于 C，过 F 作FMAD于点 M，FM 平面 ABCD，FEM，EFM，2，C 正确.对于 D，如图建系，1,1,0E，1,0,2F，设,2,P xz，0 x，2z，1,1,PExz ，1,2,2PFxz，22212211110PE PFxz zxz ，PE 与 PF 始终成锐角，D 错，选 ABC.12.【答案】ABD【解析】对于 A，1f x是奇函数，10f，A 正确.对于 B，1f x是奇函数11fxf x ，11fxfx，11fxfx，B 正确.对于 C，11gxxfx，11gxxfx，11gxgx，110gxgx，C 错.对于 D，由11gxgx知 g x关于直线1x 对称，g x在,1上Z，g x在1,上，10g xg，当且仅当1x 时取“”，而0.1e10.1ln1.11 ln1.1 1，0.1e1 ln1.10gg，D 正确.选：ABD.三、填空题三、填空题13.【答案】7【解析】61x展开式第1r 项616C6rrrTxr，661 C1，学科网（北京）股份有限公司5r，5161C6xx，1 67.14.【答案】55【解析】1112685 45102adadad，183ad，1010 910 8(3)552S .15.【答案】1x 或310 xy【解析】圆22239xy，圆心2,3，3r，弦长为4 2，圆心到直线距离为 1，斜率不存在，1x 满足条件.斜率存在，设1yk x，即0kxyk，22311kkk，33k，此时 l：310 xy，l：1x 或310 xy。16.【答案】21,0ee；1【解析】由222lnlnlnln00 xxxaxxaxaaxx，令ln xtx，20*tata，令 ln xg xx，21 ln0exgxxx，当0ex时，0gx，g x；当ex 时，0gx，g x，作出 g x大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，（*）式关于 t 的一元二次方程有两个不等的实根1t，2t，其中110,et，2,0t ，令 2h ttata，22(0)01011e0eeeehaahaa ，学科网（北京）股份有限公司且121ln xtx，32123lnlnxxtxx，121 2ttat ta，222231221121 2123lnlnln1111111xxxttttt txxx，应填：21,0ee；1.四、解答题四、解答题17.【解析】（1）2sinsin2sincosABCB2sincos2cossinsin2sincosBCBCBCB，1cos2C，3C.（2）12CDCACB ，2214 1322baab，2252abab，而133 31222abab，2240ab，2240 122 7cabab.18.【解析】（1）设 na公比为 q，113 2nnnaa，12233,6,aaaa，2q，1123aa，11a，12nna，1 122112nnnS.学科网（北京）股份有限公司（2）1121121212121nnnnnnb，22311111111111212121212121nnnnT .19.【解析】（1）证明：在矩形 ABCD 中，90DABABM，2ADABABBM，ABDBMA，BAMADB，设 AM 与 BD 交于 O 点，90DOMADBDAMBAMDAM ，AMBD，又PD 平面 ABCD，PDAM，BDPDDI，AM 平面 PDB.（2）如图建系，0,0,2P，2 2,0,0A，2,2,0M，2 2,2,0B.2 2,0,2PA ，2,2,2PM ，2,0,0BM ，设平面 PAM 与平面 PBM 的一个法向量分别为1111,nx y z，2222,nxyz，1111112 2202,1,22220 xznxyzu u r，222222220(0,1,1)20 xyznxu u r，设平面 PAM 与平面 PBM 所成角为，121233 14cos1472n nn n .20.【解析】（1）X 的所有可能取值为 0，1，3，1210436P X，321171434312P X，3113434P X，X 的分布列如下：X013学科网（北京）股份有限公司P167121473164124123E X.（2）甲队累计得分低于乙的情形为：甲至少有 2 场负于乙；甲有一场负于乙，另两场打平.所求概率为：322223311571211CC666126864P.21.【解析】（1）显然 A，B 在 E 上，D 不可能在 E 上，C 在 E 上，2a，2111122bb，椭圆 E 的方程为2212xy.（2）设00,P xy，220012xy，22000012220000221112222211112xyyyk kxxxx./OM PA，/ON PB，12OMONkk，设11,M x y，22,N xy，121212yyxx，即121212y yx x，且2212212222221212211222221112142212xyx xx yx yy yxy221 2121221122111222x xy yx yx yx yx y，12211222MONSx yx y.学科网（北京）股份有限公司22.【解析】（1）当0a 时，f x在1,上Z，g x在R上Z，f x与 g x均无极小值，舍去；当0a 时，2212101112xaaafxxxxx，当112ax 时，0fx，f x；当12ax 时，0fx，f x，f x的极小值点为12a.22exgxa，令 10ln22agxx，当1ln22ax，0gx，g x；当1ln22ax时，0gx，g x，g x的极小值点为1ln22a，f x与 g x有相同的极小值点，11lnln2222aaa，而ln1xx，当且仅当1x 时取“”，12a，2a .（2）方法一：由 22ln12eln11eln1xxaxaxxax，令 2exF xax，由 ln1F xFx，而ln1xx，易得 F x在0,上Z，22e0 xFxa对0,x 恒成立，2max2e2xa .方法二：由 22eln110 xaxaxx对0,x 恒成立，令 22eln11xF xaxaxx，0F xF，22e211xaFxaxx，00F，224e21xaFxx，0202Faa（必要性）学科网（北京）股份有限公司下证充分性，当2a 时，0 x 时 222e211xxFxxx2222 2122011xxxxxx，F x在0,上Z，00F xF，符合.综上：2a .