湖南长沙一中2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题含答案.pdf

第 1 页 共 6 页 长沙市第一中学长沙市第一中学 2023-2024 学年度学年度高二高二第一学期第一学期入学考试入学考试 数数 学学时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1已知集合220Ax xx=，()ln 3Bx yx=，则AB=（）A23xxB3x x C123x xx，yR，则“xy”是“xy”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数()225,1,1xaxxf xaxx=是R上的增函数，则实数 a 的取值范围是（）A(,1 B2,1C2,0D(,05已知02，0y，1xy+=，则221xxxy+的最小值为（）A7 B143C22+D2 21+学科网（北京）股份有限公司第 2 页 共 6 页 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司对 5 个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）A1829 周岁人群参保总费用最少 B30 周岁以上的参保人群约占参保总人群的 20%C54 周岁以上的参保人数最少 D丁险种更受参保人青睐 10 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为棱 A1D1，AA1，CD 的中点，则（）A6EF EB=BB1G平面 BEF C直线 AB 交平面 EFC 于点 P，则 AP=13ABD点 A1到平面 BEF 的距离为2311下列各式中，值为34的是（）A22sin 30cos 60sin30 cos60+B22sin 23cos 53sin23 cos53+C22sin 20cos 803sin20 cos80+D22cos 10cos 50sin40 sin80+12若函数()f x满足：x R，恒有()()22f xf x+=，x R，恒有()()2fxf x=，1,1x 时，()()211f xx=+，则下列结论正确的是（）A()20230f=B1x，2x R，()()21f xf x的最大值为 4 C()f x的单调递增区间为41,41kk+，kZD若曲线11yk x=与()f x的图象有 6 个不同的交点，则实数 k 的取值范围为（12，1）学科网（北京）股份有限公司第 3 页 共 6 页 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知2log 3a=，则44aa+的值为_ 14如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC=2，AC 与 BD 的交点为 M，N 为边 AB 上任意一点（包含端点），则MB DN 的最大值为_15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为 0.8，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4：1 获胜的概率是_ 16已知ABC的边 AC=2 2，且321tantanAB+=，则ABC的面积的最大值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分）已知函数()22 3sin cos2cosf xxxx=（1）若xR，求()f x在0,的单调区间；（2）若()f x在0,m上的最小值为2，求实数 m 的取值范围18（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABBC，D 是 AC 的中点，AA1=AB=2（1）求证：AB1平面 C1BD；第 4 页 共 6 页（2）若异面直线 AC 和 A1B1所成角的余弦值为55，求四棱锥 B-AA1C1D 的体积19（本小题满分 12 分）某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在 50 分以上（包括 50 分，满分 100 分）共有 100 人，分成50，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100五组，得到如图所示频率分布直方图（1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到 0.1）；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于 70 分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取 6人，再从这 6 人中任取 3 人，求此 3 人分数都在60，70）的概率20（本小题满分 12 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1，S2，S3，已知12332SSS+=，2 5sin5C=第 5 页 共 6 页（1）求ABC的面积；（2）若5sinsin3AB=，求 c 21（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 Q-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 QAD 是正三角形，侧面 QAD底面 ABCD，M 是 QD 的中点（1）求证：AM平面 QCD；（2）在棱 BQ 上是否存在点 N 使平面 ACN平面 ACM 成立？如果存在，求出BNNQ；如果不存在，说明理由22（本小题满分 12 分）已知函数()ln xf xba=+（aR）的图象经过点（1，0）和点（e，1），()22g xxx=（1）求函数()f x的解析式；第 6 页 共 6 页（2）设0m，若对于任意1,xmm，都有()()210g xf m+，求 m 的取值范围