山东省泰安肥城市2023-2024学年高三上学期9月阶段测试数学试题含答案.pdf

高三数学试题第 1 页（共 6 页）试卷类型：A高 三 数 学 试 题本试卷共 22 题，满分 150 分，共 6 页考试用时 120 分钟注意事项：本试卷共 22 题，满分 150 分，共 6 页考试用时 120 分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集0,1,2,3,4,5U,集合1,2,4,2,ABxxxN,则UBA A.0,3,5B.0,1,3C.0,3D.3,52.若1 3i2iz，则z A.11+i22 B.11i22C.1 iD.1 i3.已知向量12e,e是平面内的一组基底，若向量12+23aee与122bee共线，则的值为A.1B.1C.43D.43山东省泰安肥城市2023-2024学年高三上学期9月阶段测试数学试题高三数学试题第 2 页（共 6 页）4.函数 223f xxx的单调递增区间为A.1,4B.,1 C.3+2，D.1+4，5.已知椭圆222210 xya bab 的离心率为32，则A2abB.34abC.222abD.2234ab6.已知圆22:40A xyy与圆22:20B xyx相交于,O C两点，其中点O是坐标原点，点,A B分别是圆A与圆B的圆心，则cosOACA.45B.45 C.35D.357.设数列 na的前n项和为nS,设甲：na是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有21nnaanS.则A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.锐角,满足costan1 sin，则A.22B.22C.324 D.22 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.高三数学试题第 3 页（共 6 页）9.一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则A.两组样本数据的样本极差不同B.两组样本数据的样本方差相同C.两组样本数据的样本中位数相同D.两组样本数据的样本平均数可能相同10.在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小,星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE，其中星等为km的星的亮度为1,2kEk.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，南极星的星等是0.72，则A天狼星的星等大约是南极星星等的2倍B太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1 C天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是10,110D天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是0,2921011.已知函数 f x是定义域为R的偶函数，满足2=2fxfx，当02x时，2=f xxx，则A f x的最小值是14，最大值是2B f x的周期为4C20232fD 202311012if i 12.下列几何体中，可完全放入一个半径为2的球体内的是A.棱长为2的正方体B.底面半径为1，高为2 3的圆锥高三数学试题第 4 页（共 6 页）C.棱长为11的正四面体D.底面边长为2，高为10的正四棱锥三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.现有6名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这6人中安排3人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有 种.14.将半径是5，圆心角是45的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的体积为 .15.已知函数 2sin0,2f xx，在区间,6 3 上单调递增，直线6x 和3x为函数 yf x的图象的两条相邻对称轴，则5=12f.16.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别是12,F F.点M为C左支上的一点，过2F作与x轴垂直的直线l，若M到l的距离d满足232MFd，则C的离心率e的取值范围为 .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知0=135,2,2Abc.（1）求sinC的值；（2）若D是BC上一点，ACAD,求ABD的面积.高三数学试题第 5 页（共 6 页）BCAD1A1D1C1B18.(12 分)18.(12 分)如图，四棱柱1111ABCDABC D中，1,/,AAABCD ABCD ABAD平面,24,3ABCDAD.（1）求证：111/CDABB A平面；（2）若1CD与平面ABCD所成角为060，求平面1ACD与平面11BCC B夹角的余弦值.19.（12 分）19.（12 分）已知函数 ln,mf xx mxR.（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当0m 时，21mf xm20.（12 分）20.（12 分）记nS为数列 na的前n项和，已知11a，11112nnnaaS.（1）求 na的通项公式；高三数学试题第 6 页（共 6 页）（2）令12nnba，证明：23112122nnnbbbbbbbbb.21.（12 分）21.（12 分）甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个袋中各任取一个球交换，重复进行*n nN次操作后，记甲袋中黑球个数为nX，甲袋中恰有1个黑球的概率为na，恰有2个黑球的概率为nb.（1）求1X的分布列；（2）求 na的通项公式；（3）求nX的数学期望nE X22.（12 分）分）在直角坐标系xOy中，动圆P过定点10,4F，且与定直线1:4l y 相切，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）已知正方形ABCD有三个顶点在W上，求正方形ABCD面积的最小值.高三数学参考答案及评分意见 第 1 页（共 8 页）高三数学参考答案及评分意见一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号题号12345678答案答案CBDCADAB二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号题号9101112答案答案ACDACABDABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.18014.4 21315.316.3+2，四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）解：（1）在ABC中，由余弦定理2222cosabcbcA得22422 22=102a ，所以10a.3 分由正弦定理sinsinacAC，得 22sin102sin=1010cACa.5 分（2）因为ACAD,所以090CAD，由10sin10C,得 1tan3C.7 分高三数学参考答案及评分意见 第 2 页（共 8 页）在ACDRt中，tan=ADCAC，得2tan3ADACC,8 分因为045BAD,所以11221sin222323ABDSAB ADBAD.10 分18.（12 分）解：（1）证明：在四棱锥1111ABCDABC D中，/ABCD，11CDABB A 平面,11ABABB A 平面,11/CDABB A平面.2 分11111111/,AADD DDABB A AAABB A平面平面,111/DDABB A平面.3 分又11111,/DCDDDABB ACDDC平面平面,111111,CDCDDCCDABB A平面/平面.5 分（2）1,AAABCD ABAD平面,可得1,AA AB AD两两垂直，以1,AD AB AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.1CD与平面ABCD所成角为1DCD,0160DCD.12,2 3CDDD.又24,3ABCDAD，110,0,0,0,4,0,3,2,0,0,4,2 3,3,0,2 3ABCBD.7 分设平面1ACD的法向量,x y zm，13,2,0,3,0,2 3ACAD,10,0ACAD mm,所以320,32 30 xyxz，令3z ，得2,3xy,高三数学参考答案及评分意见 第 3 页（共 8 页）可得2,3,3m.9 分 设平面11BCC B的法向量,x y zn，10,0,2 3,3,2,0BBBC,所以2 30320zxy，令2x，得3,0yz,可得2,3,0n.11 分 因为5 13cos52m nm,nm n，所以平面1ACD与平面11BCC B夹角余弦值为5 1352.12 分19.（12 分）解：（1）函数 f x的定义域是0+，可得 221mxmfxxxx.1 分当0m 时，可知 0fx，所以 f x在0+，上单调递增；2 分当0m 时，由=0fx得xm，可得0,xm时有 0fx，+xm，时有 0fx，所以 f x在0,m上单调递减，f x在+m，上单调递增.4 分xzBCAD1A1D1C1By高三数学参考答案及评分意见 第 4 页（共 8 页）综上可得，当0m 时，f x在0+，上单调递增；当0m 时，f x在0,m上单调递减，在+m，上单调递增.5 分（2）证明：当0m 时，要证 21mf xm成立，只需证 211=2mf xmm成立，只需证 min12f xm即可.6 分因为0m，由（1）知，min1 lnf xf mm.令 111 ln2ln1g mmmmm，8 分由 22111mgmmmm，可得0,1m时有 0gm，+m1，时有 0gm，所以 g m在0,1上单调递减，在1+，上单调递增，可知 min10g mg，有 0g m.11 分所以有11 ln2mm，从而当0m 时，21mf xm成立.12 分20.（12 分）解：（1）由题意得：112nnnnSSaa，所以11112nnnnnSaSaa，即1112nnnnSSaa.2 分又11a，所以111Sa，所以数列nnSa是以 1 为首项，12为公差的等差数列，高三数学参考答案及评分意见 第 5 页（共 8 页）所以12nnSna，即12nnnSa，3 分所以1122nnnSa，两式相减得112122nnnnnaaa，即1122nnnnaa，所以11111nnaaann，5 分因此 na的通项公式为nan.6 分（2）由（1）可得：12nbn，111221111212nnnnnbbbnnn.7 分因为111111111nnnnnnnn 1111111111111nnnnnnnnnn 1121nn，10 分所以2311212nnnbbbbbbbbb111111122 12122311nnn.12 分21.（12 分）解：（1）由题意可知，1X的可能取值为0,1,2，1 分所以由概率乘法公式得：11220339P X，111225133339P X，高三数学参考答案及评分意见 第 6 页（共 8 页）12122339P X.所以1X的分布列为：3 分（2）由全概率公式可知：111111|121|2nnnnnnnP XP XP XXP XP XX 101|0nnnP XP XX4 分11222211210333333nnnP XP XP X522120933nnnP XP XP X，所以15221933nnnnnaabab，即11293nnaa.5 分所以1313595nnaa.6 分又11519aP X，所以数列35na是以135a 为首项，以19为公比的等比数列，所以132121545959nnna ，即321559nna.7 分（3）由全概率公式得：111212|122|2nnnnnnnP XP XP XXP XP XX 102|0nnnP XP XX1X012P295929高三数学参考答案及评分意见 第 7 页（共 8 页）21111200333nnnP XP XP X，所以12193nnnbab.8 分又321559nna，所以12321195593nnnbb，所以1111111115593559nnnnbb .9 分又11229bP X，所以111121105599545b，10 分所以1110559nnb，111559nnb，11 分所以20121nnnnnnnE Xababab.12 分22.（12 分）解：（1）设P点坐标为,x y，则由题意得：2211|44yxy，2 分整理得：2yx.即W的方程为2yx.3 分（2）如图，不妨设三个顶点中有两个在y轴右侧（包括y轴），且设A、B、C三点的坐标分别为11,x y、22,xy、33,xy，BC的斜率为0k k，则有高三数学参考答案及评分意见 第 8 页（共 8 页）3232yyk xx，12121yyxxk.4 分又A、B、C三点在抛物线W上，所以211yx，222yx，233yx，代人上面两式得：32xkx，121xxk.5 分由于|ABBC，即222212123232xxyyxxyy，所 以221322111xxkxxk，2132xxk xx，7分所以22122xk kxk，221220kkxk，所以31k，1k，且有32122kxkk.9 分所以正方形边长为22322112kxxkkx32111kkkk k222111122211kkkkkkkk.11 分当且仅当1k 时，即B点为原点时等号成立.所以正方形面积的最小值为2.12 分xyBCOA