2024高考数学专项圆锥曲线技巧---齐次化处理含答案.pdf

圆锥曲线技巧-齐次化处理一、解答题1如图，设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知 OAOB，OMAB求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【答案】M 的轨迹是以（2p，0）为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点【解析】试题分析：由 OAOB 可得 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由 OMAB 可用斜率处理，得到 M 的坐标和 A、B 坐标的联系，再注意到 M 在 AB 上，由以上关系即可得到 M 点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线 AB 的方程解决解：如图，点 A，B 在抛物线 y2=4px 上，设，OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB由 OAAB，得依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程由 OMAB，得直线 OM 方程设点 M（x，y），则 x，y 满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式，可得（）+=x2+，整理得由、两式得由式知，yAyB=16p2x2+y24px=0因为 A、B 是原点以外的两点，所以 x0所以 M 的轨迹是以（2p，0）为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点考点：轨迹方程；抛物线的应用2已知椭圆 C:22221(0)xyabab的焦点是(3,0)、(3,0)，且椭圆经过点2(2,)2。（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线l与椭圆C交于,A B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线 l 恒过定点【答案】（1）2214xy（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，由题意可得223ab，再由椭圆的定义可得 2a=4，解得 a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）由题意可知，直线 l 的斜率为 0 时，不合题意不妨设直线 l 的方程为 x=ky+m，代入椭圆方程，消去 x，运用韦达定理和由题意可得 MAMB，向量垂直的条件：数量积为 0，化简整理，可得65m 或 m=2，即可得到定点试题解析：（1）椭圆C的方程为22221(0)xyabab223ab，221111112(23)(23)2 62 642222a 所以所求椭圆C的方程为2214xy（2）方法一（1）由题意可知，直线l的斜率为 0 时，不合题意.（2）不妨设直线l的方程为xkym由22,14xkymxy消去x得222(4)240kykmym.设11(,)A x y，22(,)B xy，则有12224kmyyk,212244my yk因为以AB为直径的圆过点M，所以0MA MB 由1122(2,),(2,)MAxyMBxy，得1212(2)(2)0 xxy y将1122,xkym xkym代入上式，得221212(1)(2)()(2)0ky yk myym.将代入，得225161204mmk，解得65m 或2m（舍）综上，直线l经过定点6(,0).5方法二证明：(1)当k不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5.（2）当k存在时.设直线lykxm的方程为，1122(,),(,)A x yB xy，(2,0)M.由2214xyykxm，可得222(41)84120kxkmxm.2216(41)0km 1228,41kmxxk21224441mx xk.由题意可知0MA MB,1122(2,),(2,),MAxyMBxy1122,.ykxm ykxm可得1212(2)(2)0 xxy y.整理得221212(2)()(1)40kmxxkx xm把代入整理得222121650,41kkmmk由题意可知22121650,kkmm解得62,.5mk mk （i）当2,(2)mkyk x 即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉.（ii）65mk 时，即6()5yk x，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意.综上所述，直线l过定点6(,0)5考点：1.椭圆方程；2.直线和椭圆相交的综合问题3圆224xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图），双曲线22122:1xyCab过点 P 且离心率为3.（1）求1C的方程；（2）椭圆2C过点 P 且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆心过点 P，求l的方程.【答案】（1）2212yx；（2）3 6(1)302xy，或3 6(1)302xy.【解析】试题分析：（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)xyxy，则切线斜率为00 xy，切线方程为0000()xyyxxy，即004x xy y，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482Sxyx y.由22000042xyx y知当且仅当002xy时00 x y有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 得坐标为(2,2)，由题意知解得221,2ab，即可求出1C的方程；（2）由（1）知2C的焦点坐标为(3,0),(3,0)，由此2C的方程为22221113xybb，其中10b.由(2,2)P在2C上，得22112213bb，显然，l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+3，点1122(,),(,)A x yB xy由223163xmyxy得22(2)2 330mymy，因1122(2,2),(2,2)APxyBPxy 由题意知0AP BP ，所以121212122()2()40 x xxxy yyy，将韦达定理得到的结果代入121212122()2()40 x xxxy yyy式整理得222 64 6110mm，解得3 612m 或3 612m ，即可求出直线 l 的方程.（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)xyxy，则切线斜率为00 xy，切线方程为0000()xyyxxy，即004x xy y，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482Sxyx y.由22000042xyx y知当且仅当002xy时00 x y有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 得坐标为(2,2)，由题意知解得221,2ab，故1C方程为2212yx.（2）由（1）知2C的焦点坐标为(3,0),(3,0)，由此2C的方程为22221113xybb，其中10b.由(2,2)P在2C上，得22112213bb，显然，l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+3，点1122(,),(,)A x yB xy由223163xmyxy得22(2)2 330mymy，又12,y y是方程的根，因此1221222 3232myymy ym，由11223,3xmyxmy得121222212121224 3()2 32663()32xxm yymmx xm y ym yym因1122(2,2),(2,2)APxyBPxy 由题意知0AP BP ，所以121212122()2()40 x xxxy yyy，将，代入式整理得222 64 6110mm，解得3 612m 或3 612m ，因此直线 l 的方程为3 6(1)302xy，或3 6(1)302xy.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.4（2015山西四模）分别过椭圆 E：=1（ab0）左、右焦点 F1、F2的动直线 l1、l2相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点，直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4，且满足 k1+k2=k3+k4，已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=（1）求椭圆 E 的方程；（2）是否存在定点 M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出 M、N 点坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）（2）存在点 M，N 其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值 2【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆 E 的方程（2）焦点 F1、F2坐标分别为（1，0），（1，0），当直线 l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为（1，0）或（1，0），当直线 l1，l2斜率存在时，设斜率分别为 m1，m2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点 M，N 其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值 2解：（1）当 l1与 x 轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即 k3=k4，l2垂直于 x 轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得 a=，b=，椭圆 E 的方程为（2）焦点 F1、F2坐标分别为（1，0），（1，0），当直线 l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为（1，0）或（1，0），当直线 l1，l2斜率存在时，设斜率分别为 m1，m2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，=，同理 k3+k4=，k1+k2=k3+k4，即（m1m2+2）（m2m1）=0，由题意知 m1m2，m1m2+2=0，设 P（x，y），则，即，x1，由当直线 l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为（1，0）或（1，0）也满足，点 P（x，y）点在椭圆上，存在点 M，N 其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值 2考点：直线与圆锥曲线的综合问题5已知椭圆 C：2222=1xyab（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C 上.（）求 C 的方程；（）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.【答案】(1)2214xy.(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据3P，4P两点关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知 C 经过3P，4P两点.另外由222211134abab知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此234,P P P在椭圆上，代入其标准方程，即可求出 C 的方程；（2）先设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，再设直线 l 的方程，当 l 与 x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设 l：ykxm（1m），将ykxm代入2214xy，写出判别式，利用根与系数的关系表示出 x1+x2，x1x2，进而表示出12kk，根据121kk 列出等式表示出k和m的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P，4P两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过3P，4P两点.又由222211134abab知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此222111314bab，解得2241ab.故 C 的方程为2214xy.（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知0t，且2t，可得 A，B 的坐标分别为（t，242t），（t，242t）.则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设.从而可设 l：ykxm（1m）.将ykxm代入2214xy得222418440kxkmxm由题设可知22=16 410km.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而12121211yykkxx121211kxmkxmxx12121221kx xmxxx x.由题设121kk，故12122110kx xmxx.即22244821104141mkmkmkk.解得12mk.当且仅当1m 时，0，欲使 l：12myxm，即1122myx ，所以 l 过定点（2，1）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.6已知点 P3(1,)2是椭圆 C:22221(0)xyabab上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，124PFPF（1）求椭圆 C 的标准方程;（2）设直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 相交于 A，B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 1，问:直线 l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143xy；（2）直线 l 过定点(4 0)，证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义可知2a，再代入 P3(1,)2即可求出b，写出椭圆方程；（2）设直线 l 的方程ykxm，联立椭圆方程，求出k和m之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由12|4PFPF，得2a，又312P，在椭圆上，代入椭圆方程有221914ab，解得3b，所以椭圆 C 的标准方程为22143xy（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时，11()A xy，11()B xy，11121332211yykkx，解得14x ，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程ykxm，11()A xy，22()B xy，由2234120ykxmxy，整理得222(34)84120kxkmxm，122834kmxxk，212241234mx xk，22430km 由121kk，整理得12125(21)()2402kx xkmxxm，即(4)(223)0mkmk当32mk时，此时，直线 l 过 P 点，不符合题意；当4mk时，22430km 有解，此时直线 l：(4)yk x过定点(4 0)，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.7如图，椭圆2222:1(0)xyEabab经过点0,1A，且离心率为22（1）求椭圆 E 的方程；（2）若经过点1,1，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP 与AQ 的斜率之和为定值【答案】（1）2212xy；（2）所以直线AP、AQ斜率之和为定值 2【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）把直线PQ的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【详解】解：（1）由题意知22ca，1b，结合222abc，解得2a，椭圆的方程为2212xy；（2）由题设知，直线PQ的斜率不为 0，则直线PQ的方程为(1)1yk x(2)k，代入2212xy，得22(1 2)4(1)2(2)0kxk kxk k，由已知0，设11(,)P x y，22(,)Q xy，120 x x，则1224(1)12k kxxk，1222(2)12k kx xk，从而直线AP与AQ的斜率之和：121212121122APAQyykxkkxkkkxxxx121212112(2)()2(2)xxkkkkxxx x4(1)2(2)22(1)22(2)k kkkkkk k所以直线AP、AQ斜率之和为定值 2【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形8已知椭圆方程为2218yx，射线2 2yx（x0）与椭圆的交点为 M，过 M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 A、B 两点（异于 M）（1）求证直线 AB 的斜率为定值；（2）求AMB 面积的最大值【答案】（）证明见解析；（）2.【分析】(1)设0k,求得 M 的坐标,则可表示出 AM 的直线方程和 BM 的直线方程,分别与椭圆的方程联立求得Ax和Bx,进而求得 AB 的斜率;(2)设出直线 AB 的方程与椭圆方程联立消去 y,利用判别式大于 0 求得 m的范围,进而表示出三角形 AMB 的面积,利用 m 的范围确定面积的最大值.【详解】（）斜率 k 存在，不妨设 k0，求出 M（22，2）直线 MA 方程为22()2yk x，分别与椭圆方程联立，可解出2224282Akkxk，同理得，直线 MB 方程为22()2yk x 2224282Bkkxk2 2ABABAByykxx，为定值.（）设直线 AB 方程为2 2yxm，与2218yx 联立，消去 y 得2164 2xmx2(8)0m由0 得一 4m4，且 m0，点 M 到 AB 的距离为3md 222221611438ABABABmABkxxkxxx x 设AMB 的面积为 S22222211116|162432322SABdmm当2 2m 时，得max2S【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.9已知椭圆两焦点分别为 F1、F2、P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点（1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；（3）求PAB 面积的最大值【答案】（1）12，（2）是定值为2（3）2.【解析】【分析】（1）根据121PF PF ，用坐标表示，结合点 P（x，y）在曲线椭圆22124xy上，即可求得点 P 的坐标；（2）设出 BP 的直线方程与椭圆方程联立，从而可求 A、B 的坐标，进而可得 AB 的斜率为定值；（3）设 AB 的直线方程：2yxm，与椭圆方程联立，可确定2 22 2m，求出 P 到 AB 的距离，进而可表示PAB 面积，利用基本不等式可求PAB 面积的最大值【详解】（1）由题可得102F，202F，设 P0（x0，y0）（x00，y00）则1002PFxy，2002PFxy ，22120021PF PFxy ，点 P（x0，y0）在曲线上，则2200124xy，220042yx，从而22004212yy，得02y 则点 P 的坐标为12，（2）由题意知，两直线 PA、PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 k（k0），则 BP 的直线方程为：21yk x由2221124yk xxy得222222(2)40kxkk xk，设 B（xB，yB），则222222222 2211222BBk kk kkkxxkkk，同理可得222 222Akkxk，则24 22ABkxxk，28112ABABkyyk xk xk 所以 AB 的斜率2ABABAByykxx为定值（3）设 AB 的直线方程：2yxm由222124yxmxy，得2242 240 xmxm，由22(2 2)1640mm，得2 22 2m P 到 AB 的距离为3md，则22222211111843822228823PABmmmSAB dmmm 当且仅当22 2 2 2m ，取等号PAB 面积的最大值为2【点睛】本题以椭圆的标准方程及向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积计算及利用基本不等式求最值，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行解题10已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为(0,2)，且过点(1,2)P.（）求椭圆C的方程；（）过点P作倾斜角互补的两条不同直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率是定值.【答案】（）22142yx;（）见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆 C 的方程为：222210yxabab，利用已知条件，求出 a，b，即可得出椭圆 C 的方程；（2）设出直线 PA、PB 的方程与椭圆方程联立，求出 A，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线 AB 的斜率为定值【详解】（）设椭圆方程为22221yxab（0ab）则有22211ab又222ab222112bb4220bb解得22b 24a 椭圆C的方程为22142yx或解：椭圆的另一焦点为0,2由22222(1 0)(22)(1 0)(22)4a 得2a 又2c 22b 椭圆C的方程为22142yx（）依题意，直线PA，PB都不垂直于x轴设直线PA方程为21yk x，则直线PB方程为21yk x 由222124yk xyx得22222(2)(2)40kxkk xk22(2)412Akxk22(2)42Akxk同理22(2)42Bkxk(2)(2)()2ABABABABABABAByykxkkxkk xxkkxxxxxx=2故直线AB的斜率是定值【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键11已知椭圆两焦点1F、2F在 y 轴上，短轴长为2 2，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ，过 P 作关于直线1FP对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点（1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值【答案】（1）12，；（2）证明见解析【分析】（1）由已知可解出椭圆方程，然后设出00P xy，结合121PF PF ，即可解出点 P 的坐标；（2）由（1）知1/PFx轴，直线 PA，PB 斜率互为相反数，设 PB 的直线方程为21yk x，与椭圆方程联立，即可解出222 222Bkkxk，同理可得222 222Akkxk，然后解出AByy，即可算出 AB 的斜率2ABk【详解】解：（1）设椭圆的方程为22221yxab，由题意可得2b，22ca，即2ac，222ac2c，2a 椭圆方程为22142yx，焦点坐标为02，02，设0000(00)P xyxy，则1002PFxy，2002PFxy ，22120021PF PFxy ，点 P 在曲线上，则2200142yx，220042yx，从而22004212yy，得02y，则点 P 的坐标为1,2；（2）由（1）知1/PFx轴，直线 PA，PB 斜率互为相反数，设 PB 的斜率为(0)k k，则 PB 的直线方程为21yk x，由2221124yk xxy，得222222(2)40kxkk xk，设,BBB x y，则222222 22122Bk kkkxkk，同理可得222 222Akkxk，则24 22ABkxxk，28112ABABkyyk xk xk，所以 AB 的斜率2ABABAByykxx为定值【点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题12如图，椭圆 C：经过点 P（1，），离心率 e=，直线 l 的方程为 x=4（1）求椭圆 C 的方程；（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3问：是否存在常数，使得 k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）答案见解析【解析】试题分析：（1）由题意将点 P（1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为 e=，将 a，b 用 c 表示出来代入方程，解得 c，从而解得 a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线 AB 的方程为 y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程，设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得 x1+x2=，再求点 M 的坐标，分别表示出 k1，k2，k3比较 k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设 B（x0，y0）（x01），以之表示出直线 FB 的方程为，由此方程求得 M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得 A 的坐标，由此表示出 k1，k2，k3比较 k1+k2=k3即可求得参数的值解：（1）椭圆 C：经过点 P（1，），可得由离心率 e=得=，即 a=2c，则 b2=3c2，代入解得 c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设 A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，在方程中，令 x=4 得，M 的坐标为（4，3k），从而，=k注意到 A，F，B 共线，则有 k=kAF=kBF，即有=k所以 k1+k2=+=+（+）=2k 代入得 k1+k2=2k=2k1又 k3=k，所以 k1+k2=2k3故存在常数=2 符合题意方法二：设 B（x0，y0）（x01），则直线 FB 的方程为令 x=4，求得 M（4，）从而直线 PM 的斜率为 k3=，联立，得 A（，），则直线 PA 的斜率 k1=，直线 PB 的斜率为 k2=所以 k1+k2=+=2=2k3，故存在常数=2 符合题意考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程视频13如图，椭圆 C:22221xyab（ab0）经过点 P（2,3），离心率 e=12，直线 l 的方程为 y=4（）求椭圆 C 的方程；（）AB 是经过（0,3）的任一弦（不经过点 P）设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3问：是否存在常数，使得12311kkk？若存在，求的值【答案】（）216x+212y=1（）2【解析】试题分析：（）通过将点 P（2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得结论；（）分 AB 斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论试题解析：（）由已知得22222491,1,2ababcca，解得 a=4，b=3,c=2所以椭圆 C 的方程为216x+212y=1（）当直线 AB 不存在斜率时，A（0,-23），B（0,23），M（0,4），此时 k2=2 3302=32 32，k1=2 3302=32 32，k3=4302=-12，11k+21k=-4，可得=2当直线 AB 存在斜率时，可设为 k（k0），则直线 AB 的方程为 y=kx+3设 A（x1,y1），B（x2,y2），联立直线 AB 与椭圆的方程，得221,16123,xyykx消去 y，化简整理得，（4k2+3）x2+24kx-12=0，所以 x1+x2=22443kk，x1x2=21243k，而11k+21k=1123xy+2223xy=112xkx+222xkx=12121222()x xxxkx x=24kk又 M 点坐标为（1k,4），所以31k=1243k=12kk故可得=2因此，存在常数 2，使得11k+21k=3k恒成立考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质14在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2222xyab1（ab0）的右顶点为（2，0），离心率为32，P是直线 x4 上任一点，过点 M（1，0）且与 PM 垂直的直线交椭圆于 A，B 两点（1）求椭圆的方程；（2）若 P 点的坐标为（4，3），求弦 AB 的长度；（3）设直线 PA，PM，PB 的斜率分别为 k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得 k1+k3k2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）2214xy；（2）825；（3）存在，2，计算见解析【分析】(1)根据题意可知c，再由离心率公式可得a，然后根据222bac得出b，即可得椭圆的方程；(2)根据P点的坐标写出直线AB方程，与椭圆联立解得,A B坐标，利用两点间距离公式即可求得弦AB的长度；(3)先假设存在，后分直线AB斜率存在和不存在两种情况进行求解，直线AB斜率不存在时容易的R,直线AB斜率存在时，设,A B点坐标，与椭圆联立，再分别求出123,k k k，进行化简整理即可得到的值.【详解】（1）由题知2a，32cea，3c，2221bac，椭圆方程为2214xy（2）(1,0)MQ，(4,3)P1MPk，直线AB与直线PM垂直，1ABk，直线AB方程0(1)yx，即1yx ，联立22114yxxy ，得2580 xx-=0 x或85,(0,1)A，83,55B，|AB825（3）假设存在常数，使得123kkk当直线AB的斜率不存在时，其方程为1x，代入椭圆方程得31,2A，31,2B，此时(4,0)P，易得1320kkk,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(1)yk x，11,A x y，22,B xy代入椭圆方程得（1+4k2）x28k2x+4k240，12xx22814kk，21224414kx xk，直线PM方程为11yxk，则34,Pk21kk,11134ykkx,23234ykkx,132kkk,121233144yykkxxk，即12211233()4444yxyxkkxxk，化简得：1221121212324416x yx yxxkkx xxxk，将12xx22814kk，21224414kx xk，111yk x，221yk x，代入并化简得：2kk 2综上：2【点睛】本题考查的是椭圆标准方程基本量的运算以及椭圆的几何性质、直线与椭圆的应用和圆锥曲线中的定值问题，是难题.15已知椭圆 C:22221xyab（ab0）的两个焦点分别为 F1（2，0）、F2（2，0）.点 M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点 N 的坐标为（3，2），点 P 的坐标为（m，n）（m3）.过点 M 任作直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，设直线 AN、NP、BN 的斜率分别为 k1、k2、k3，若 k1k32k2，试求 m，n 满足的关系式.【答案】（1）2213xy；（2）mn10【解析】试题分析：（1）利用 M 与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得 b 的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M 的直线 l 的方程，将 l 与椭圆 C 联立，得到两交点坐标关系，然后将 k1k3表示为直线 l 斜率的关系式，化简后得 k1k32，于是可得 m，n 的关系式.试题解析：（1）由题意，c2，b1，所以 a223bc故椭圆 C 的方程为2213xy（2）当直线 l 的斜率不存在时，方程为 x1，代入椭圆得，y63不妨设 A（1，63），B（1，63）因为 k1k3662233222又 k1k32k2，所以 k21所以 m，n 的关系式为23nm1，即 mn10当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 yk（x1）将 yk（x1）代入2213xy，整理得：（3k21）x26k2x3k230设 A（x1，y1），B（x2，y2），则22121222633,3131kkxxx xkk又 y1k（x11），y2k（x21）所以 k1k3121221121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)yyyxyxxxxx122112122(1)(3)2(1)(3)3()9k xxk xxx xxx121212122(42)()6123()9kx xkxxkx xxx222222223362(42)6123131336393131kkkkkkkkkkk 222(126)126kk2所以 2k22，所以 k223nm1所以 m，n 的关系式为 mn10综上所述，m，n 的关系式为 mn10.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，16已知椭圆 C：22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(2,0)(2,0)FF、，点 M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，设点 N(3，2)，记直线 AN、BN 的斜率分别为 k1、k2,求证：k1+k2为定值【答案】(1)221.3xy(2)见证明【分析】（1）根据几何条件得,a b即可，（2）先考虑斜率不存在时特殊情况，再考虑斜率存在情况，设直线方程以及交点坐标，化简12kk，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简即得结果.【详解】(1)依题意，222,2,cab由已知得1bOM,解得3,a 所以椭圆的方程为221.3xy（2）当直线l的斜率不存在时，由221,1,3xxy解得61,.3xy 设12662266331,1,23322ABkk则当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1,yk x代入221,3xy+=化简整理得2222316330.kxk xk依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设1122,(,),A x yB xy则22121222633,.3131kkxxx xkk又11221,1,yk xyk x故1221121212122323223333yxyxyykkxxxx=121212121212224693xxkx xxxxxx x=22222222226336122246313131633933131kkkkkkkkkkk =2212 2126 21kk为定值.综上，12kk为定值 2.【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.17已知椭圆 E：=1（ab0）的焦距为 2，且该椭圆经过点（）求椭圆 E 的方程；（）经过点 P（2，0）分别作斜率为 k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆 E 交于 M，N 两点，当直线MN 与 y 轴垂直时，求 k1k2的值【答案】（）+y2=1（）【解析】试题分析:（）由题意得，2c=2，=1；从而求椭圆 E 的方程；（）由题意知，当 k1=0 时，M 点的纵坐标为 0，点 N 的纵坐标为 0，故不成立；当 k10 时，直线 PM：y=k1（x+2）；联立方程得（+4）y2=0；从而解得 yM=；可得 M（，），N（，）；从而可得（k2k1）（4k2k11）=0，从而解得解：（）由题意得，2c=2，=1；解得，a2=4，b2=1；故椭圆 E 的方程为+y2=1；（）由题意知，当 k1=0 时，M 点的纵坐标为 0，直线 MN 与 y 轴垂直，则点 N 的纵坐标为 0，故 k2=k1=0，这与 k2k1矛盾当 k10 时，直线 PM：y=k1（x+2）；由得，（+4）y2=0；解得，yM=；M（，），同理 N（，），由直线 MN 与 y 轴垂直，则=；（k2k1）（4k2k11）=0，k2k1=考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程18已知椭圆 C：2222xyab1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 为椭圆的左顶点，点 B 为上顶点，|AB|7且|AF1|+|AF2|4.（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 F2作直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，记 AM、AN 的斜率分别为 k1、k2，若 k1+k23，求直线 l 的方程.【答案】（1）22143xy；（2）310 xy【分析】（1）依题意得到关于a、b的方程组，解得即可；（2）设11,M x y，22,N xy，设直线l的方程为1xmy，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由123kk，即1212322yyxx，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得 2247acacab解得23ab，所以椭圆方程为23143xy（2）由（1）设11,M x y，22,N xy，21,0F，设直线l的方程为1xmy，联立方程得231143xmyxy，消去x整理得2234690mymy，所以122634myym，122934y ym因为111xmy，221xmy，所以122834xxm，212212434mx xm因为123kk，即1212322yyxx，所以121212122336120my yyyx xxx代入得22222961248233612034343434mmmmmmm 解得3m 即l：310 xy【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.19设 A，B 为曲线 C：24xy 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程【答案】（1）1；（2）yx7.【分析】（1）设,A B两点坐标，代入抛物线方程相减后可求得AB的斜率；（2）由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可求得切点M坐标，设直线 AB 的方程为 yxm，代入抛物线方