2024届高考数学数列进阶训练——（5）数列的综合应用含答案.docx

2024届高考数学数列进阶训练（5）数列的综合应用1.现存入银行8万元，年利率为，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是( )A.万元B.万元C.万元D.万元2.某公司今年获利5000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加，那么总利润达3亿元时大约还需要( )(参考数据:，) A.4年B.7年C.12年D.50年3.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为( )A.B.C.D.4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A.6秒钟B.7秒钟C.8秒钟D.9秒钟5.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞的存活数是( )A.33B.64C.65D.1276.通过测量知道，某电子元件每降低，某电子元件的电子数目就减少一半，已知在零下时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温时.该元件的电子数目最接近( )A.860个B.1730个C.3400个D.3900个7.已知数列满足，若不等式成立，则n的最大值为( )A.6B.7C.8D.98.某小区现有住房的面积为平方米，在改造过程中政府决定每年拆除平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则年后该小区的住房面积为( )A.B.C.D.9.已知数列的通项公式，设其前n项和为，则使成立的最小正整数n等于( )A.83B.82C.81D.8010.已知数列的前项和为，且.记为数列的前项和，则使成立的最小正整数为( )A.5B.6C.7D.811.银行一年定期储蓄存款年利率为r，三年定期储蓄存款年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于_.12.在数列中，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_.13.已知数列的前项和为，且，则_；若，则的最小值为_.14.已知数列，且，则_；设，则的最小值为_.15.对于数列，定义为数列的“好数”.已知某数列的“好数”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_.答案以及解析1.答案：C解析：定期自动转存属于复利问题，5年末的本利和是万元.2.答案：A解析：根据题意，每年的利润构成一个等比数列，其中首项，公比，.于是得到，整理，得，两边取对数得，解得，故还需要4年.3.答案：C解析：由已知条件和分期付款公式，可得，.4.答案：C解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数构成等比数列.设细菌将病毒全部杀死需要秒钟，则，又，即细菌将病毒全部杀死至少需要8秒钟，故选C.5.答案：C解析：由，得.6.答案：C解析：由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且，公比.由，得.故选C.7.答案：B解析：由于，故是公差的等差数列，其前n项和，故，即.要求成立时整数n的最大值，则此不等式对应一元二次方程的判别式，即，又，则，故n的最大值为7.8.答案：B解析：由题意，第一年的住房面积为，第二年的住房面积为，则.设存在实数，使得，则，是首项为，公比为1.1的等比数列，则，.故选B.9.答案：C解析：由题，易得，故，解得，故选C.10.答案：C解析：由，可知，即.时，.数列是以1为首项，以为公比的等比数列.又，数列是以为首项，以为公比的等比数列.， 即，.又的最小值为7.故选C.11.答案：解析：设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为；若按三年定期存款，三年的总收益为，为鼓励储户存三年定期的存款，应使，即.12.答案：解析：时，即，.又时，也符合上式，.不等式化为，.13.答案：；256解析：将代入，整理得，又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以.由，得，解得，故的最小值为256.14.答案：；解析：由题意可得.由得，由及运用累加法得，所以，所以，所以当时，当时，则有，所以的最小值为.15.答案：解析：由题意，得，即，则当时，-得，所以.又，即，满足上式，故数列的通项公式为，所以，显然数列为等差数列，故对任意的恒成立，即，解得，故实数k的取值范围为.2024届高考数学数列进阶训练（6）等差数列与等比数列的综合应用1.已知正项数列与分别是等差数列与等比数列，且满足，则数列的前8项和为( )A.127B.128C.255D.2562.已知等比数列和等差数列，满足，则( )A.B.1C.4D.63.在等差数列和正项等比数列中，则的前2021项和为( )A.2021B.4042C.6063D.80844.已知数列是等差数列， 是正项等比数列，且，则( )A.2025B.2529C.2026D.22755.已知数列中，则下列关于的说法正确的是( )A.一定为等差数列B.一定为等比数列C.可能为等差数列，但不会为等比数列D.可能为等比数列，但不会为等差数列6.已知等差数列的前项和为，且.将去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列的前三项，则数列的通项公式为( )A.B.C.D.7.已知等差数列的公差，前n项和为，等比数列的公比q是正整数，前n项和为.若，且是正整数，则( )A.B.C.D.8.已知等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，则数列的前9项和为( )A.B.C.D.9.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和.若，则下列说法中，正确的是( )数列是等比数列；数列是等比数列；数列是等差数列A.B.C.D.10.（多选）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差不为0的等差数列，且，则( )A.B.C.D.11.（多选）已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的取值可以是( )A.8B.9C.10D.1112.（多选）已知数列的前n项和为，若存在两项，使得，则下列结论中正确的是( )A.数列为等比数列B.数列为等差数列C.为定值D.设数列的前n项和为，则数列为等差数列13.已知等差数列的公差，且，成等比数列，则_.14.已知等比数列的前n项和为，设，那么数列的前21项和为_.15.在等差数列中，.如果是与的等比中项，那么_.16.在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列是首项为2，公比为-2的等比数列，求数列的前n项和.17.已知在等差数列中，是各项都为正数的等比数列，.求：（1）数列，的通项公式；（2）数列的前n项和.18.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和.答案以及解析1.答案：C解析：设的公差为，的公比为，由题意得，解得，所以数列的前8项和为.故选C.2.答案：D解析：设等比数列的公比和等差数列的公差分别为.因为，所以.由题意得，又，解得，所以，所以，故选D.3.答案：D解析：在正项等比数列中，解得，即，所以数列的前2021项和，故选D.4.答案：D解析：设数列的公比为，且，即，解得（舍）或，.数列是等差数列，公差设为d， ，.由，得，由，得.，故选D.5.答案：C解析：，.若，则数列为等差数列；若，则数列是首项为，公比为4的等比数列，此时，即数列从第二项起，后面的项成等比数列.综上，数列可能为等差数列，但不会为等比数列.故选C.6.答案：D解析：设等差数列的公差为，由题意可得解得故，数列的第2项至第5项依次为4，3，2，1，所以等比数列的前三项依次为4，2，1，所以等比数列的通项公式为，所以，选D.7.答案：B解析：本题考查等差、等比数列的定义，等差、等比数列的前n项和.数列是以d为公差的等差数列，且又数列是公比为q的等比数列，且或2或7或14.又q是正整数故选B.8.答案：C解析：由等比数列的前n项和(其中且)，得，从而，易得，所以，设数列的前n项和为，则，所以前9项和9.答案：C解析：由题意，为等比数列，由等比数列的性质得，或，又公比q为整数，数列，且，因此数列为等比数列，故正确；，故不正确；数列，且，因此数列为等比数列，故正确；数列，因此数列为等差数列，故正确.故选C.10.答案：BC解析：设的公比为，的公差为，将其分别理解成关于n类 (指数函数指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数( 一次函数的图象为直线)，则俩函数图象在处相交，故，从而11.答案：AB解析：由题意，得，则数列为递增数列，其前n项和，当时，；当时，故n的取值可以是8，9，故选AB.12.答案：ACD解析：数列的前n项和为，则当时，解得；当时，所以，整理，得，即（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，当时也符合，所以，故A正确，B错误；由于，故存在两项，使得，即，则，故C正确；由题意，得，所以，所以符合一次函数的形式，故该数列为等差数列，故D正确.故选ACD.13.答案：解析：因为，成等比数列，所以，所以，化简，得，则，所以.14.答案：273解析：设等比数列的公比为，由题意得，所以，所以，则，所以，则数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以.15.答案：9解析：设等差数列的公差为d，由题意得，.又是与的等比中项，即，解得或（舍去）.16.答案：（1）设数列的公差为d，则解得所以.（2）因为数列是首项为2，公比为-2的等比数列，所以.又，所以，所以.17.答案：（1）由，得，即，所以等差数列的公差，则数列的通项公式为.设等比数列的公比为，所以，由，得，即，所以等比数列的公比，所以数列的通项公式为.（2），则，-，得，故.18.（1）答案：，解析：设的公差为d，的公比为q，则依题意有且解得，.所以，.（2）答案：解析：.，得，所以.