2024届高考数学立体几何专项练——（5）直线、平面垂直的判定与性质含答案.docx
2024届高考数学立体几何专项练（5）直线、平面垂直的判定与性质1.已知直线m，n和平面，若，要使，则应增加的条件是( )A.B.C.D.2.已知在三棱锥中，平面ABC，垂足为O，且，则点O一定是的( ).A.内心B.外心C.重心D.垂心3.如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱，则它的五个面中，互相垂直的共有( )A.3对B.4对C.5对D.6对4.设，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是( )A.，B.，C.，D.，5.在矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，那么二面角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.75°6.在四边形ABCD中，.如图，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥.则在三棱锥中，下列结论正确的是( )A.平面平面ABCB.平面平面BDCC.平面平面BDCD.平面平面ABC7.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )A.B.C.D.8.已知两个平面相互垂直，有下列命题：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.49.在正四面体中,已知分别是上的点(不含端点),则( )A.不存在,使得B.存在,使得 C.存在,使得平面D.存在,使得平面平面10.（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.（多选）如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是( )A.B.C.平面PACD.12.（多选）在三棱锥中,分别为的中点,平面,则下列判断中正确的是( )A.平面B.平面 C. D.平面平面13.如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰三角形，D是的中点，点E在棱上，要使平面，则_.14.已知矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有_对.15.如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，D是的中点，F是上的动点，DF交于点E.要使平面，则线段_.16.如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)底面ABCD.(2)平面平面PCD.17.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，（1）求证：平面平面BCF.（2）设几何体，的体积分别为，求的值.18.如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线AB与平面所成角的余弦值.19.如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积.答案以及解析1.答案：C解析：由平面与平面垂直的性质定理可知，要使，只需在，上增加条件.故选C.2.答案：B解析：如图所示，分别连接OA，OB，OC，由平面ABC，可得，.又因为，所以利用勾股定理，可得，所以点O一定是的外心.故选B.3.答案：C解析：因为，所以，所以，.因为，所以底面ABCD.因为平面PAB，平面PAD，所以平面平面ABCD，平面平面ABCD.因为四边形ABCD是正方形，所以平面PAD，可得平面平面PAD，平面PAB，可得平面平面PBC，平面PAD，可得平面平面PCD.故选C.4.答案：C解析：在A选项中，则和m可能平行或相交，故A错误；在B选项中，则m与相交或或，故B错误；在C选项中，因为，所以，又，所以，故C正确；在D选项中，由，不能推出，所以由不能推出，故D错误.故选C.5.答案：A解析：过点A作于点O，连接PO，则为二面角的平面角.易知，所以，故.6.答案：D解析：在平面图形中，折起后仍然满足.因为平面平面BCD，所以平面ABD，.又因为，所以平面ADC，所以平面平面ABC.7.答案：D解析：对于A，如图（1），连接AE，由题可知，平面AEB，同理可证.又，平面MNQ.对于B，AB为上底面的对角线，显然.如图（2），连接FG.，.又，平面MNQ.对于C，由题可知，平面MNQ.对于D，如图（3），连接KB，AB与KB所成角为60°，与MN所成角为60°，AB与平面MNQ不垂直.故选D.8.答案：A解析：对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故是假命题.对于，设两个相互垂直的平面为，平面平面，.平面平面，当时，必有，而，而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即是真命题.对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，故是假命题.对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故是假命题.故选A.9.答案：D解析：为了方便解题，将正四面体放入正方体中，如图所示.连接，对于选项A，取分别为的中点，则易知，所以选项A不正确；对于选项B，在正方体中，易知平面，因为过点且与平面平行的平面不经过点，所以不存在，使得，故选项B不正确；对于选项C，在正方体中，易证平面，所以不存在，使得平面，故选项C不正确；对于选项D，设与平面的交点为，连接，只要令平面与的交点为即可得平面平面，故选项D正确.10.答案：ABD解析：A中，直线m和平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；B中，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；C中，则直线或，又，所以，故C正确；D中，缺少条件，故D不正确，故选ABD.11.答案：AC解析：由题意得，平面ABC.平面ABC，故A正确.是圆O的直径，C为圆上异于A，B的任一点，且，PA，平面PAC，平面PAC，故C正确.假设，平面PBC，则，与题目矛盾，故假设不成立，故B错误.由平面PAC可得，则为直角三角形，不可能与PB垂直，故D错误.故选AC.12.答案：ABD解析：连接,因为分别为的中点,所以,以平面,故选项A正确;因为,所以.又,所以.又平面,所以.因为,所以平面,故选项B正确;因为平面,所以.又与不垂直,所以不成立,故选项C错误;因为平面平面,所以平面平面,故选项D正确,故选ABD.13.答案：a或2a解析：由已知得，又D是的中点，所以，又侧棱底面ABC，可得侧棱平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以，故若平面，则必有.设，则，又，所以，解得或2a.故答案为：a或2a.14.答案：5解析：因为矩形ABCD所在的平面且平面平面PDC.所以平面平面ABCD，平面平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以.因为矩形ABCD所在的平面，所以.因为，所以平面平面PDC.因为平面平面PBC，所以平面平面PAD，平面平面PCD，又，所以平面PAD，又平面PAB，所以平面平面PAD.综上相互垂直的平面有5对.15.答案：解析：设，因为平面,平面，所以.由已知可得，设的斜边上的高为h,则.由，得，.在中，.由,得,即线段的长为.16.答案：(1)见解析.(2)见解析.解析：(1)因为平面底面ABCD，平面底面平面，所以底面ABCD.(2)因为，四边形ABED是平行四边形，所以.由(1)知底面ABCD，所以.因为，所以平面PAD，所以.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以，所以.因为，所平面BEF.因为平面PCD，所以平面平面PCD.17.（1）答案：见解析解析：如图，矩形ABCD中，平面平面平面平面ABEF，所以平面ABEF又平面ABEF，又AB为圆O的直径，则.因为，BC，平面BCF，所以平面BCF，且平面ADF所以平面平面BCF.（2）答案：6解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H，平面平面ABEF，平面ABCD则，所以.18.答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为，且M为BC的中点，所以.在正三棱柱中，平面平面ABC，平面ABC，且平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为M，N分别为BC，的中点，所以.又因为，所以，所以，所以，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）设，连接AO.由（1）可知平面，所以为AB与平面所成的角.连接AN，由题可知，所以为等腰三角形，作于E，则E为AB的中点，所以，所以.在中，所以，所以直线AB与平面所成角的余弦值为.19.答案：（1）见解析（2）四棱锥的体积为18解析：（1）由已知得平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由题设知，所以，故，.作，垂足为F，则平面，且.所以，四棱锥的体积.2024届高考数学立体几何专项练（6）空间向量及其运算1.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k的值为( ).A.2B.-2C.4D.-42.若点关于y轴的对称点是，则，的值依次为( ).A.1，-4，9B.2，-5，-8C.-3，-5，8D.2，5，83.已知，则a与b的夹角等于( ).A.B.C.D.4.在平行六面体中，则的值为( ).A.B.1C.D.5.设，向量，且，则的值为( )A.-1B.1C.2D.36.设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：；，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点分别是的中点,则( )A.B.C.D.8.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,，则用基底表示向量为( )A.B.C.D.9.如图，在正四棱柱中，动点P，Q分别在线段，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )A.B.C.D.10.（多选）给出下列命题,其中是假命题的是( )A.若A,B,C,D是室间中的任意四点,则有B.是,共线的充要条件C.若,共线,则D.对空间中的任意一点O与不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面11.（多选）已知向量，则下列等式中正确的是( ).A.B.C.D.12.（多选）已知空间中三点,则下列说法不正确的是( )A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是13.已知，则_.14.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若，则_.15.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为PC，PD上的点，若，则_.16.已知，若，且平面ABC，则_.17.如图，在正四棱锥中，点M为PA的中点，.若，则实数_.答案以及解析1.答案：C解析：由两个法向量共线，得.2.答案：B解析：由解得3.答案：D解析：.4.答案：C解析：因为，所以，.5.答案：A解析：，解得，又，解得，则，故选A.6.答案：C解析：结合长方体，如图，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，也不共面，故选C.7.答案：B解析：由题意得,所以.故选B.8.答案：C解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.9.答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点P的坐标为，点Q的坐标为，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.10.答案：BCD解析：显然A是真命题;若,共线，则或，故B是假命题；若,共线，则直线AB,CD平行或重合，故C是假命题；只有当时，P,A,B,C四点才共面，故D是假命题.故选BCD.11.答案：BCD解析：A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，A不正确.B.左边，右边，B正确.C.，左边，右边，C正确.D.由C可得左边，又，所以右边，D正确.12.答案：ABC解析：对于A,所以不存在实数,使得,则与不是共线向量,所以A错误;对于B,因为,所以与同向的单位向量为,所以B错误;对于C,向量,所以,所以C错误;对于D项,设平面的一个法向量是,所以则令,则平面的一个法向量为,所以D正确.故选ABC.13.答案：解析：，故.14.答案：1解析：，所以，从而.15.答案：解析：因为，所以.16.答案：解析：已知，由题意，可得，.利用向量数量积的运算公式，可得解得.17.答案：4解析：连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，设，则.，解得.
