六年级下册数学试题-小升初精讲：17讲 排组杂题（无答案）全国通用.docx

第十七讲 加乘原理、排组杂题【加法原理】教学目标： 1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯， 锻炼思维的周全细致知识要点：一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做 法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津， 有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可 以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二 类的方法数二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，第 k 类方法中有mk 种不同做法，则完成这件事共有 N = m1 + m2 + + mk 种不同方法，这就是加法原理加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类； 其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“整体等于局部之和”三、加法原理解题三部曲 1、完成一件事分 N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意 顺序，这样才能做到不重不漏1例 1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书 150本，不同的科技书 200 本，不同的小说 100 本那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析 在这个问题中，小明选一本书有三类方法即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说 所以，是应用加法原理的问题解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法例 2 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同问：从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析 中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取， 要么从第二个口袋中取，共有两大类方法所以是加法原理的问题中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个， 再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题解：从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法， 每一类方法中的一种做法都可以完成这件事事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理例 3 如右图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析 从甲地到丙地共有两大类不同的走法第一类，由甲地途经乙地到丙地这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有 4 种走法；第二步从乙地到丙地共 2 种走法，所以由乘法原理，这时共有 4×2=8 种不同的走法第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有 3 种不同的走法 解：由加法原理知，由甲地到丙地共有： 4×2+3=11（种）不同的走法例 4 如下页图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析 从 A 点到 B 点有两类走法，一类是从 A 点先经过 C 点到 B 点，一类是从 A 点先经过 D 点到 B点两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从 A2到 B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可 解：从 A 点先经过 C 到 B 点共有：1×3=3（种）不同的走法 从 A 点先经过 D 到 B 点共有：2×3=6（种）不同的走法 所以，从 A 点到 B 点共有：3+6=9（种）不同的走法例 5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析 要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑第一类，两个数字同为奇数由于放两个正方体可认为是一个一个地放放第一个正方体时，出现 奇数有三种可能，即 1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9 种不同的情形第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有 3×3=9 种不同情形 最后再由加法原理即可求解解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有3×3=9（种）不同的情形所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形【乘法原理】1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯 知识要点：一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上 8 点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1 点半的课如果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有 2 种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来， 显而易见一共是 10 条路线但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30 种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原理就派上上用场了3二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成 n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1 步有 A种不同的方法， 第二步有 B种不同的方法，第 n步有 N种不同的方法那么完成这件事情一共有 A×B××N 种不同的方法结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤，第 1 步是从家到长宁，一共 5种选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 5×2 个可选择的路线了，即 10 条三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分 N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字有多少种染色的方法；3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一 张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排 法例 1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析 某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）其中，买主食有 3 种不同的方法，买副食有 5 种不同的方法故可以由乘法原理解决解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有 3×5=15 种不同的方法补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤 来完成；每个步骤各有若干种不同的方法来完成这样的问题就可以使用乘法原理解决问题例 2 右图中有 7 个点和十条线段，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何线段和点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同的走法？分析 甲虫要从 A 点沿线段爬到 B 点，必经过 C 点，所以，完成这段路分两步，即由 A 到 C，再由 C 到 B 而由 A 到 C 有三种走法，由 C 到 B 也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论解：这只甲虫从 A 到 B 共有 3×3=9 种不同的走法例 3 书架上有 6 本不同的外语书，4 本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析 要做的事情是从外语、语文书中各取一本完成它要分两步：即先取一本外语书（有 6 种取法），再取一本语文书（有 4 种取法）(或先取语文书，再取外语书）所以，用乘法原理解决解：从架上各取一本共有 6×4=24 种不同的取法4例 4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100 米跑、200 米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？分析 三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名首先，王英去报名，可报 4 个项目中的一项，有 4 种不同的报名方法其次，赵明去报名，也有 4 种不同的报名方法同样，李刚也有 4 种不同的报名方法满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决解：由乘法原理，报名的结果共有 4×4×4=64 种不同的情形例 5 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？分析 在确定由 0、1、2、3 组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成要求组成不相等的三位数所以，数字可以重复使用，百位上，不能取 0，故有 3 种不同的取法； 十位上，可以在四个数字中任取一个，有 4 种不同的取法；个位上，也有 4 种不同的取法，由乘法原理，共可组成 3×4×4=48 个不相等的三位数要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取 0，有 3 种不同的取法；十位上，由于百位已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下 0 和其余两个数字，故有 3 种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有 2 种取法，由乘法原理，共有 3×3×2=18 个没有重复数字的三位数解：由乘法原理共可组成 3×4×4=48（个）不同的三位数；共可组成 3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数例 6 由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析 要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取 1、3、5 中的一个，有 3 种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有 5 种取法；百位上有 4 种取法；千位上有 3 种取法，故可由乘法原理解决解：由 1、2、3、4、5、6 共可组成3×4×5×3=180个没有重复数字的四位奇数例 7 现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取9 张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析 要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的但注意到，取 2 张一角的人民币和取 1 张贰角的人民币，得到的钱数是相同的这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币 4 张和贰角的人民币 2 张统一起来考虑即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共 8 种情况（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取 4 张壹角的人民币与取 2 张贰角的人民币是一种情况）这样一来，可以把它们看成是 8 张壹角的人民币整个问题就变成了从 8 张壹角的人民币和 3 张壹元的人民币中分别取钱这样，第一步，从 8 张壹角的人民币中取，共 9 种取法，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从 3 张壹元的人民币中取共 4 种取法， 即 0、1、2、3由乘法原理，共有 9×4=36 种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉解：取出的总钱数是9×4-1=35 种不同的情形5