2023年高考全国乙卷数学(文)真题(解析版).pdf
2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学文科数学一、选择题一、选择题1.232i2i（）A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】【分析】由题意首先化简232i2i，然后计算其模即可.【详解】由题意可得232i2i2 1 2i1 2i ，则22322i2i1 2i125.故选：C.2.设全集0,1,2,4,6,8U，集合0,4,6,0,1,6MN，则UMN（）A.0,2,4,6,8B.0,1,4,6,8C.1,2,4,6,8D.U【答案】A【解析】【分析】由题意可得UN的值，然后计算UMN即可.【详解】由题意可得2,4,8UN，则0,2,4,6,8UMN.故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCDABC D中，2ABBC，13AA，点,H I J K为所在棱上靠近点1111,B C D A的三等分点，,O L M N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCDABC D去掉长方体11ONICLMHB之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少 2 个边长为 1 的正方形，其表面积为：22 242 321 130 .故选：D.4.在ABC中，内角,A B C的对边分别是,a b c，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A.10B.5C.310D.25【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角形内角和定理可得A的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC，即sincossincossinsincossincosABBAABABBA，整理可得sincos0BA，由于0,B，故sin0B，据此可得cos0,2AA，则32510BA C.故选：C.5.已知e()e1xaxxf x 是偶函数，则a（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为 ee1xaxxf x 为偶函数，则 1eeee0e1e1e1axxxxaxaxaxxxxf xfx，又因为x不恒为 0，可得1ee0axx，即1eeaxx，则1xax，即11a，解得2a.故选：D.6.正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则EC ED （）A.5B.3C.2 5D.5【答案】B【解析】【分析】方法一：以,AB AD 为基底向量表示,EC EDuuu r uuu r，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以,AB AD 为基底向量，可知2,0ABADAB ADuu u ruuu ruu u r uuu r，则11,22ECEBBCABAD EDEAADABAD uuu ruuruuu ruu u ruuu r uuu ruuruuu ruu u ruuu r，所以221111 43224EC EDABADABADABAD uuu r uuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu r；方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则1,0,2,2,0,2ECD，可得1,2,1,2ECED uuu ruuu r，所以143EC ED uuu r uuu r；方法三：由题意可得：5,2EDECCD，在CDE中，由余弦定理可得2225543cos25255DECEDCDECDE CE，所以3cos5535EC EDEC EDDECuuu r uuu ruuu r uuu r.故选：B.7.设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域22,14x yxy内随机取一点 A，则直线 OA 的倾斜角不大于4的概率为（）A.18B.16C.14D.12【答案】C【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域22,|14x yxy表示以0,0O圆心，外圆半径2R，内圆半径1r 的圆环，则直线OA的倾斜角不大于4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角4MON，结合对称性可得所求概率21424P.故选：C.8.函数 32fxxax存在 3 个零点，则a的取值范围是（）A.,2 B.,3 C.4,1D.3,0【答案】B【解析】【分析】写出2()3fxxa，并求出极值点，转化为极大值大于 0 且极小值小于 0 即可.【详解】3()2f xxax，则2()3fxxa，若 f x要存在 3 个零点，则 f x要存在极大值和极小值，则a00gxg，g x在区间0,上单调递增，00g xg，满足题意.当102a时，由 1201h xax可得1=12xa，当10,12xa时，0,h xh x在区间10,12a上单调递减，即 gx单调递减，注意到 00g，故当10,12xa时，00gxg，g x单调递减，由于 00g，故当10,12xa时，00g xg，不合题意.综上可知：实数a得取值范围是1|2a a.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法函数在区间,a b上单调，实际上就是在该区间上 0fx(或 0fx)恒成立函数在区间,a b上存在单调区间，实际上就是 0fx(或 0fx)在该区间上存在解集21.已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A 在C上（1）求C的方程；（2）过点2,3的直线交C于,P Q两点，直线,AP AQ与y轴的交点分别为,M N，证明：线段MN的中点为定点【答案】（1）22194yx（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,a b c，进而可得结果；（2）设直线PQ的方程，进而可求点,M N的坐标，结合韦达定理验证2MNyy为定值即可.【小问 1 详解】由题意可得222253babccea，解得325abc，所以椭圆方程为22194yx.【小问 2 详解】由题意可知：直线PQ的斜率存在，设1122:23,PQ yk xP x yQ xy，联立方程2223194yk xyx，消去 y 得：222498231630kxkkxkk，则2222642364 49317280kkkkkk，解得0k，可得2121222163823,4949kkkkxxx xkk，因为2,0A，则直线11:22yAP yxx，令0 x，解得1122yyx，即1120,2yMx,同理可得2220,2yNx，则1212121222232322222yyk xk xxxxx 12211223223222kxkxkxkxxx121212122434 2324kx xkxxkx xxx222222323843234 231084949336163162344949k kkkkkkkkkkkkkk，所以线段PQ的中点是定点0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论【选修【选修 4-4】（10 分）分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sin42，曲线2C：2cos2sinxy（为参数，2）.（1）写出1C的直角坐标方程；（2）若直线yxm既与1C没有公共点，也与2C没有公共点，求m的取值范围【答案】（1）2211,0,1,1,2xyxy（2）,02 2,【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y的取值范围；（2）根据曲线12,C C的方程，结合图形通过平移直线yxm分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问 1 详解】因为2sin，即22 sin，可得222xyy，整理得2211xy，表示以0,1为圆心，半径为 1 的圆，又因为2cos2sincossin2,sin2sin1 cos2xy，且42，则22，则sin20,1,1 cos21,2xy，故221:11,0,1,1,2Cxyxy.【小问 2 详解】因为22cos:2sinxCy（为参数，2），整理得224xy，表示圆心为0,0O，半径为 2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线yxm过1,1，则1 1 m，解得0m；若直线yxm，即0 xym与2C相切，则220mm，解得2 2m，若直线yxm与12,C C均没有公共点，则2 2m 或0m，即实数m的取值范围,02 2,.【选修【选修 4-5】（10 分）分）23.已知 22f xxx（1）求不等式 6xfx 的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组 60f xyxy所确定的平面区域的面积【答案】（1）2,2；（2）6.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问 1 详解】依题意，32,2()2,0232,0 xxf xxxxx，不等式()6f xx化为：2326xxx或0226xxx或0326xxx，解2326xxx，得无解；解0226xxx，得02x，解0326xxx，得20 x，因此22x，所以原不等式的解集为：2,2【小问 2 详解】作出不等式组()60f xyxy表示的平面区域，如图中阴影ABC，由326yxxy，解得(2,8)A，由26yxxy,解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)BD，所以ABC的面积11|62|2(2)|822ABCCASBDxx.
