2020年山东省菏泽市中考数学试卷(解析版).pdf

菏泽市二菏泽市二 0 二二 0 年初中学业水平考试（中考）数学试题年初中学业水平考试（中考）数学试题注意事项：注意事项：1本试题共本试题共 24 个题，考试时间个题，考试时间 120 分钟分钟2请把答案写在答题卡上请把答案写在答题卡上，选择题用选择题用 2B 铅笔填涂铅笔填涂，非选择题用非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分题卡的指定区域内，写在其他区域不得分一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置）1.下列各数中，绝对值最小的数是（）A.5B.12C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可【详解】解：55，1122，11，22，15212，绝对值最小的数是12；故选：B【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键2.函数25xyx的自变量x的取值范围是（）A.5x B.2x 且5x C.2x D.2x 且5x【答案】D【解析】【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围【详解】解：由题意得：20,50 xx解得：2x 且5.x 故选 D【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键3.在平面直角坐标系中，将点3,2P 向右平移3个单位得到点P，则点P关于x轴的对称点的坐标为（）A.0,2B.0,2C.6,2D.6,2【答案】A【解析】【分析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加 3，纵坐标不变，得到点P的坐标，再根据关于x轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可【详解】解：将点3,2P 向右平移3个单位，点P的坐标为：(0，2)，点P关于x轴的对称点的坐标为：(0，-2)故选：A【点睛】本题考查平移时点的坐标特征及关于x轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可【详解】解：从正面看所得到的图形为A选项中的图形故选：A【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图掌握以上知识是解题的关键5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分【答案】C【解析】【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形【详解】根据题意画出图形如下：答：AC 与 BD 的位置关系是互相垂直证明：四边形 EFGH 是矩形，FEH=90，又点 E、F、分别是 AD、AB、各边的中点，EF 是三角形 ABD 的中位线，EFBD，FEH=OMH=90，又点 E、H 分别是 AD、CD 各边的中点，EH 是三角形 ACD 的中位线，EHAC，OMH=COB=90，即 ACBD故选 C【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键6.如图，将ABC绕点A顺时针旋转角，得到ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则BED等于（）A.2B.23C.D.180【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是 360即可求解【详解】由旋转的性质得：BAD=，ABC=ADE，ABC+ABE=180，ADE+ABE=180，ABE+BED+ADE+BAD=360，BAD=BED=180-，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是 360，熟练掌握旋转的性质是解答的关键7.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程240 xxk的两个根，则k的值为（）A.3B.4C.3或4D.7【答案】C【解析】【分析】分类讨论：当 3 为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和4，满足三角形三边的关系；当 3 为等腰三角形的腰，则 x3 为方程的解，把 x3 代入方程可计算出 k 的值即可【详解】解：当 3 为等腰三角形的底边，根据题意得（-4）24k0，解得 k4，此时，两腰的和=x1+x2=43，满足三角形三边的关系，所以 k4；当 3 为等腰三角形的腰，则 x3 为方程的解，把 x3 代入方程得 912k0，解得 k3；综上，k 的值为 3 或 4，故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2bxc0（a0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得 k 的值之后要看三边能否组成三角形8.一次函数yaxb与二次函数2yaxbxc在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与 y 轴的关系即可得出 a、b 的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论【详解】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，a0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，A 错误；B、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第一、二、三象限，B 正确；C、二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴右侧，a0，一次函数图象应该过第一、二、四象限，C 错误；D、二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，D 错误故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据 a、b 的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9.计算3434的结果是_【答案】13【解析】【分析】根据平方差公式计算即可.【详解】223434343 1613 .故答案为13.【点睛】本题考查平方差公式和二次根式计算,关键在于牢记公式.10.方程111xxxx的解是_【答案】13x【解析】【分析】方程两边都乘以(1)x x 化分式方程为整式方程，解整式方程得出x的值，再检验即可得出方程的解【详解】方程两边都乘以(1)x x，得：2(1)(1)xx x，解得：13x，检验：13x 时，2(1)09x x，所以分式方程的解为13x，故答案为：13x【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论11.如图，在ABC中，90ACB，点D为AB边的中点，连接CD，若4BC，3CD，则cosDCB的值为_【答案】23【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到 DC=DB，DCB=B，根据锐角三角函数的定义即可求解【详解】ACB=90，BC=4，CD=3，点 D 是 AB 边的中点，DC=DB，DCB=B，AB=2CD=6，42cosDCBcosB63BCAB，故答案为：23【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键12.从1，2，3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数abyx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是_【答案】23【解析】【分析】从1，2，3，4中任取两个数值作为a，b的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可【详解】从1，2，3，4中任取两个数值作为a，b的值，其基本事件总数有：共计 12 种；其中积为负值的共有：8 种，其概率为：82123故答案为：23【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键13.如图，在菱形OABC中，OB是对角线，2OAOB，O 与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为_【答案】2 3【解析】【分析】连接 OD，先求出等边三角形 OAB 的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积【详解】解：如图，连接 OD，AB 是切线，则 ODAB，在菱形OABC中，2ABOAOB，AOB 是等边三角形，AOB=A=60，OD=2 sin603，12332AOBS，扇形的面积为：260(3)3602，阴影部分的面积为：2(3)2 32；故答案为：2 3【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积14.如图，矩形ABCD中，5AB，12AD，点P在对角线BD上，且BPBA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_【答案】3 17【解析】【分析】由矩形的性质求得 BD，进而求得 PD，再由 ABCD 得BPABABPDDQCDCQ，求得 CQ，然后由勾股定理解得 BQ 即可【详解】四边形 ABCD 是矩形，5AB，12AD，BAD=BCD=90，AB=CD=5，BC=AD=12，ABCD，2213BDABAD，又BPBA=5，PD=8，ABDQ，BPABABPDDQCDCQ，即5558CQ解得：CQ=3，在 RtBCQ 中，BC=12，CQ=3，22221233 17BQBCCQ故答案为：3 17【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键三、解答题（把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内三、解答题（把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）15.计算：20201202012|63|2 3sin45(2)2【答案】52【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可【详解】20201202012|63|2 3sin45(2)2 2020121(36)2 3(2)222 136612 52【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用，熟知以上运算是解题的关键16.先化简，再求值：21242244aaaaaa，其中a满足2230aa【答案】2a2+4a,6【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值【详解】解：原式=2224124()+22(2)aaaaaaa=22284+2(2)aaaaa=22(4)(+2)+24a aaaa=2a(a+2)=2a2+4a.2230aa，a2+2a=3.原式=2（a2+2a）=6.【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键17.如图，在ABC中，90ACB，点E在AC的延长线上，EDAB于点D，若BCED，求证：CEDB【答案】证明见解析【解析】【分析】利用 AAS 证明AEDABC，根据全等三角形的性质即可得到结论【详解】证明：EDAB，ADE=90，90ACB，ACB=ADE，在AED和ABC中ACBADEAABCED ，AEDABC，AE=AB，AC=AD，AE-AC=AB-AD，即 EC=BD【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识18.某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53，已知斜坡AB的坡度为1:2.4i，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD（参考数据：sin5345，cos5335，tan5343）【答案】大楼的高度CD为 52 米【解析】【分析】过点 B 作 BEAD 于点 E，作 BFCD 于点 F，在 RtABE 中，根据坡度1:2.4i 及勾股定理求出 BE 和AE 的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形 BEDF 是矩形，得到 BF 和 FD 的长，再在 RtBCF中，根据CBF 的正切函数解直角三角形，得到 CF 的长，由 CD=CF+FD 得解【详解】解：如下图，过点 B 作 BEAD 于点 E，作 BFCD 于点 F，在 RtABE 中，AB=52，1:2.4i tanBAE=BEAE=12.4，AE=2.4BE，又BE2+AE2=AB2，BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，AE=2.4BE=48；BED=D=BFD=90，四边形 BEDF 是矩形，FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；在 RtBCF 中，tanCBF=CFBF，即：tan53=CFBF=43CF=43BF=32，CD=CF+FD=32+20=52答：大楼的高度CD为 52 米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：6070 x；B：7080 x；C：8090 x；D：90100 x，并绘制出如下不完整的统计图（1）求被抽取的学生成绩在 C：18090 x组的有多少人；（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在 A：6070 x组的学生有多少人【答案】（1）24 人；（2）C 组；（3）150 人【解析】【分析】（1）根据扇形统计图的 B 组所占比例，条形统计图得 B 在人数，用总人数减去 A，B，D 人数，可得 C 组人数；（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；（3）根据样本中 A 组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案【详解】（1）由图可知：B 组人数为 12；B 组所占的百分比为 20%，本次抽取的总人数为：1220%60（人），抽取的学生成绩在 C：8090 x组的人数为：606 12 1824（人）；（2）总人数为 60 人，中位数为第 30,31 个人成绩的平均数，6 121830，且6 12244230中位数落在 C 组；（3）本次调查中竞赛成绩在 A：6070 x组的学生的频率为：616010，故该学校有1500名学生中竞赛成绩在 A：6070 x组的学生人数有：1150015010（人）【点睛】本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键20.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象相交于1,2A，,1B n 两点（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若ACP的面积是4，求点P的坐标【答案】（1）一次函数的表达式为1yx，反比例函数的表达式为2yx；（2）（3，0）或（-5，0）【解析】【分析】（1）将点 A 坐标代入myx中求得 m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点 B 坐标，再根据 A、B两点坐标可得一次函数表达式；（2）设点 P(x，0)，由题意解得 PC 的长，进而可得点 P 坐标【详解】（1）将点 A（1,2）坐标代入myx中得：m=12=2，反比例函数的表达式为2yx，将点 B(n，-1)代入2yx中得：21n，n=2，B(-2，-1)，将点 A（1，2）、B（-2，-1）代入ykxb中得：221kbkb 解得：11kb，一次函数的表达式为1yx；（2）设点 P（x，0），直线AB交x轴于点C，由 0=x+1 得：x=1，即 C（-1，0），PC=x+1，ACP的面积是4，11242x解得：123,5xx，满足条件的点 P 坐标为（3，0）或（-5，0）【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案【答案】（1）购买一根跳绳需要 6 元，一个毽子需要 4 元；（2）方案一：购买跳绳 21 根；方案二：购买跳绳 22 根【解析】【分析】（1）设购买一根跳绳需要 x 元，一个毽子需要 y 元，依题意列出二元一次方程组解之即可；（2）设学校购进跳绳 m 根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得 m 的范围，进而可判断购买方案【详解】（1）设购买一根跳绳需要 x 元，一个毽子需要 y 元，依题意，得：25324336xyxy，解得：64xy，答：购买一根跳绳需要 6 元，一个毽子需要 4 元；（2）设学校购进跳绳 m 根，则购进毽子（54-m）根，根据题意，得：64(54)260mm，解得：m22，又 m20，且 m 为整数，m=21 或 22，共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳 21 根；方案二：购买跳绳 22 根【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键22.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O 与BC相交于点D，过点D作O 的切线交AC于点E（1）求证：DEAC；（2）若O 的半径为5，16BC，求DE的长【答案】（1）见详解；（2）4.8【解析】【分析】（1）连接 OD，由 AB=AC，OB=OD，则B=ODB=C，则 ODAC，由 DE 为切线，即可得到结论成立；（2）连接 AD，则有 ADBC，得到 BD=CD=8，求出 AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出 DE 的长度【详解】解：连接 OD，如图：AB=AC，B=C，OB=OD，B=ODB，B=ODB=C，ODAC，DE 是切线，ODDE，ACDE；（2）连接 AD，如（1）图，AB 为直径，AB=AC，AD 是等腰三角形 ABC 的高，也是中线，CD=BD=1116822BC，ADC=90，AB=AC=2 510，由勾股定理，得：221086AD，11861022ACDSDE，4.8DE；【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度23.如图 1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAOC，OBODCD图 1图 2（1）过点A作/AEDC交BD于点E，求证：AEBE；（2）如图 2，将ABD沿AB翻折得到ABD求证：/BDCD；若/ADBC，求证：22CDOD BD【答案】（）见解析；（）见解析；见解析【解析】【分析】（1）连接 CE，根据全等证得 AE=CD，进而 AECD 为平行四边形，由=OB ODCD进行等边代换，即可得到AEBE；（2）过 A 作 AECD 交 BD 于 E，交 BC 于 F，连接 CE，AEBE，得ABEBAE，利用翻折的性质得到D BABAE，即可证明；证BEFCDE，从而得BFECED，进而得CED=BCD，且CDEBDC，得到BCDCDE，得CDDEBDCD，即可证明【详解】解：（1）连接 CE，/AEDC，OAEOCD，OAEOCD，OAOC，AOECOD，OAEOCD，AE=CD，四边形 AECD 为平行四边形，AE=CD，OE=OD，=+BOB ODCD OEE，CD=BE，AEBE；（2）过 A 作 AECD 交 BD 于 E，交 BC 于 F，连接 CE，由（1）得，AEBE，ABEBAE，由翻折的性质得D BAABE，D BABAE，/BDAF，/BDCD；/ADBC，/BDAF，四边形AFBD为平行四边形，=DAFB，BDAF，AFBD，AEBE，EF=DE，四边形 AECD是平行四边形，CD=AE=BE，AFCD，BEFCDE，EF=DE，CD=BE，BEFCDE，BEFCDE（SAS），BFECED，BFEBCD，CED=BCD，又BDC=CDE，BCDCDE，CDDEBDCD，即2CDBDDE，DE=2OD，22CDOD BD【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定和性质，考查等腰三角形的判定与性质综合，熟练掌握各图形的性质并灵活运用是解题的关键24.如图，抛物线26yaxbx与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，2OA，4OB，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当BCD的面积是92时，求ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）233642yxx；（2）154；（3）存在，151,4N 或151144，N或151+144，N【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；（2）先求出函数的对称轴和直线 BC 的函数表达式，过 D 作 DEOB 交 OB 于点 F,交 BC 于点 E，用式子表示出BCD的面积从而求出 D 的坐标，进一步可得ABD的面积；（3）根据平行四边形的性质得到/ND,MB=NDMB，结合对称轴和点 D 坐标易得点 N 的坐标【详解】解：（1）OA=2，OB=4，A（-2，0），B（4，0），将 A（-2，0），B（4，0）代入26yaxbx得：426016460abab，解得：33,42ab 抛物线的函数表达式为：233642yxx；（2）由（1）可得抛物线233642yxx的对称轴 l：1x，(0,6)C，设直线 BC：ykxm，可得：406kmm 解得3,62km，直线 BC 的函数表达式为：362yx，如图 1，过 D 作 DEOB 交 OB 于点 F,交 BC 于点 E，设233(,6)42D ddd，则3(,6)2E dd，2334DEdd，由题意可得213934242dd整理得2430dd解得11d（舍去），23d 153,4D，15,64DFAB12ABDSAB DF115624 154；（3）存在由（1）可得抛物线233642yxx的对称轴 l：1x，由（2）知153,4D，如图 2当/NDMB=ND，MB时，四边形 BDNM 即为平行四边形，此时 MB=ND=4，点 M 与点 O 重合，四边形 BDNM 即为平行四边形，由对称性可知 N 点横坐标为-1，将 x=-1 代入233642yxx解得154y=-此时151,4N，四边形 BDNM 即为平行四边形如图 3当/BDMN=BD，MN时，四边形 BDMN为平行四边形，过点 N 做 NPx 轴，过点 D 做 DFx 轴，由题意可得 NP=DF此时 N 点纵坐标为154将 y=154代入233642yxx，得233156=424xx，解得：x114=此时151144，N或151+144，N，四边形 BDMN 为平行四边形综上所述，151,4N 或151144，N或151+144，N【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题